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第九节 函数与方程


高考总复习数学(文科)

第二章 函数、导数及其应用
第九节 函数与方程

考纲要求

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考纲要求

结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的 联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数. 栏 目 链 接

课前自修

/>
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课前自修

一、函数的零点
1.定义:一般的,如果函数 y=f(x)在______________________ 实数a处的值等于零 , 即 f(a)=0,则____ a 叫做这个函数的零点. 2.函数的零点存在性定理:若函数 y=f(x)在闭区间[a,b]上的图 象 是

连续不间断的 ______________________









f(a)· f(b)<0 , 区间端点的函数值符号相反, ___________________________ 即_________________ 则函数 y=f(x) 区间(a,b)内至少有一个零点 在______________________________________ ,即相应的方程 f(x)=0
在区间(a,b)内至少有一个实数根.

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通过零点 (不是偶次零 3.函数的零点具有下列性质:当它______________
变号 ,相邻两个零点之间的所有函数值保持同号. 点)后函数值________

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二、一元二次方程根的分布问题
关键是抓住方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根所在区间端点的函数值的符号、判 别式及对称轴的位置这三点来考虑. 二次方程 f(x)=ax2+bx+c=0 的实根分布及条件: (1)方程 f(x)=0 的两根中一根比 r 大,另一根比 r 小?a·f(r)<0;

? ? b (2)二次方程 f(x)=0 的两根都大于 r??-2a>r, ? ?a·f(r)>0;

Δ =b2-4ac>0,

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? b ?p<- <q, 2a (3)二次方程 f(x)=0 在区间(p,q)内有两根?? ?a·f(q)>0, ?a·f(p)>0;
=0,检验另一根在(p,q)内成立.

Δ =b2-4ac>0,

(4)二次方程 f(x)=0 在区间(p,q)内只有一根?f(p)· f(q)<0 或 f(p)=0 或 f(q)

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课前自修
基 础 自 测
1.根据表中的数据,可以判定方程 ex-x-2=0 的一个 根所在的区间为( C )
x ex x+2 -1 0.37 1 0 1 2 1 2.72 3 2 7.39 4 3 20.09 5

A.(-1,0)

B.(0,1)

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C.(1,2) D.(2,3)

解析:设f(x)=ex-(x+2),则由题设知f(1)=-0.28 <0,f(2)=3.39>0,故有一个根在区间(1,2)内.

课前自修
2.设 f(x)=2x+x-4,则函数 f(x)的零点位于区间( C ) A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)

解析:f(1)=-1<0,f(2)=2>0,由函数零 点定理知零点在(1,2)上,故选C.

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3.如果函数 f(x)=x2+mx+m+2 的一个零点是 0,则另一个零 点是________ 2 .

解析:依题意知:m=-2.∴f(x)=x2-2x.
∴方程x2-2x=0的另一个根为2,即函数 f(x)的

另一个零点是2.
4.方程 x2-2ax+4=0 的两根均大于 1,则实数 a 的取值范围是 ____________.
? 5? ?2, ? 2? ?

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解析:方法一 利用韦达定理.

设方程 x2-2ax+4=0 的两根为 x1,x2, (x1-1)(x2-1)>0, ? ? 5 则?(x1-1)+(x2-1)>0,解得 2≤a< . 2 ? ?Δ≥0, 方法二 利用二次函数图象的特征.

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Δ≥0, ? ? 5 2 f ( 1 )> 0 , 设 f(x)=x -2ax+4,则? 解得 2≤a< . 2 ? ?a>1,

考点探究

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考点探究

考点1 判断函数在给定的区间是否存在零点
【例 1】 判断下列函数在给定区间上是否存在零点: (1)f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8]; (2)f(x)=x3-x-1,x∈[1,2]; (3)f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3]; 1 (4)f(x)= -x,x∈(0,1). x 思路点拨:利用函数零点的存在性定理或图象进行判断. 自主解答:

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考点探究
点评:(1)研究函数的零点存在性问题常用的办法有 三种:一是用零点存在性定理,二是解方程,三是用图 象. (2)三次函数问题是近几年的高考热点问题,解决这 类问题主要抓住图象的零点、特殊点、函数值、图象的 变化趋势等方面综合考虑.
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考点探究
解 析 : (1) 方 法 一 f(1)×f(8)< 0. 故 f(x)=x2-3x-18 在区间[1,8]上存在零点. 方法二 令 x2-3x-18=0,x∈[1,8],解得 x=-3 或 x=6, 因 为 f(1) = - 20<0 , f(8) = 22>0 , 所 以

所以函数 f(x)=x2-3x-18 在区间[1,8]上存在零点. (2)因为 f(1)=-1<0,f(2)= 5 >0,所以 f(1)× f(2)< 0. 故 f(x)=x3-x-1 在[1,2]上存在零点.

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考点探究
(3) 因为 f(1) = log2(1 + 2) - 1= log23 - 1> log22 - 1= 0, f(3) = log2(3+2)-3=log25-3< log28 -3=0, 所以 f(1)× f(3)< 0.故 f(x)=log2(x+2)-x 在区间[1,3]上存在零 点. 1 (4)画出函数 f(x)= -x 的图象如下图所示, 由图象可知函数 f(x) x 1 1 = -x 在(0, 1)内的图象与 x 轴无交点, 故函数 f(x)= -x 在区间(0, x x 1)上不存在零点.

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考点探究
?变式探究
1.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上存在零点的是 ( C ) 1 A.y= B.y=e-x x C.y=lg|x| D.y=-x2-1

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解析:因为函数是偶函数,故排除A,B,又因y =-x2-1<-1,故在区间(0,+∞)上不存在零点,

故选C.

考点探究

考点2 判断函数零点的个数
【例 2】 点个数为( A.1 个 ) B.2 个 C.3 个 D.4 个
?1?x 已知函数 f(x)=?2? -sin x,则 f(x)在[0,2π ]上的零 ? ?

点评:利用图象交点的个数:将函数变形为两个函数的差,画两 个函数的图象,看其交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的 零点.

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考点探究
?变式探究
2.(1)(2014· 郑州模拟)函数 f(x)=x2-2x 在 x∈R 上的零点的个数 是( D ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个
? ?x+1,x≤0, (2)已知函数 f(x)=? 则函数 y=f(f(x))+1 的零点个 ? ?log2x,x>0,

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数是( A ) A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个

考点探究

考点3 求与函数零点有关的参数问题
【例 3】
? ?log2x,x>0, 已知函数 f(x)=? x 且函数 h(x)=f(x)+x ? ?3 ,x≤0,

-a 有且只有一个零点,则实数 a 的取值范围是( A.[1,+∞) B.(1,+∞) C.(-∞,1) D.(-∞,1]

)

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考点探究
解析:如图,在同一坐标系中分别作出 y=f(x)与 y=-x+a 的图象, 由图可知,当 a>1 时,直线 y=-x+a 与 y=f(x)只有一个交点,故选 B.

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点评: 函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围, 若方程可解, 通过解方程即可得出参数的范围, 若方程不易解或不可解, 则将问题转化 为构造两个函数, 利用两个函数图象的关系求解, 这样会使得问题变得直 观、简单,这也体现了数形结合思想.

考点探究
?变式探究
3.(2014· 新课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=ax3-3x2+1, 若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围是 栏 目 链 接

( C )
A.(2,+∞) B.(1,+∞)

C.(-∞,-2) D.(-∞,-1)

考点探究
解析:取a=-2,则f(x)=-2x3-3x2+1,因为f(-1)= -2×(-1)3-3×(-1)2+1=0,所以-1是函数f(x)的零 点,所以a≠-2,排除D;取a=3,则f(x)=3x3-3x2+1, f(-1)=-3-3+1=-5<0,f(0)=1>0,所以函数f(x) 在(-1,0)上有零点,排除A,B,故选C. 栏 目 链 接

考点探究

考点4 方程根的分布问题
【例4】 (1)m为何值时,f(x)=x2+2mx+3m+4. 栏 目 链 接

①有且仅有1个零点; ②有2个零点且均比-1大; (2)若函数f(x)=| 4x-x2|+a有4个零点,求实数a的取 值范围.

考点探究
解析: (1)①f(x)=x2+2mx+3m+4 有且仅有 1 个零点?方程 f(x) =0 有 2 个相等实根?Δ=0,即 4m2-4(3m+4)=0,即 m2-3m-4 =0,∴m=4 或 m=-1.

? ? ②由题意,知?-m>-1, 即?m<1, ? ?f(-1)>0, ? ?1-2m+3m+4>0.
∴-5<m<-1.∴m 的取值范围为(-5,-1).

?Δ>0,

2 m ? -3m-4>0,

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考点探究
(2)令 f(x)=0,得|4x-x2|+a=0,即|4x-x2|=-a. 令 g(x)=|4x-x2|,h(x) =-a. 作出 g(x),h(x)的图象.

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由图象可知,当 0<-a<4, 即-4<a<0 时,g(x)与 h(x)的图象有 4 个交点,即 f(x)有 4 个零点. 故 a 的取值范围为(-4,0).

考点探究
点评:二次方程根的分布问题,要通过二次函数的图 象和性质解决,即根据二次函数的单调性、对称轴, 利用数形结合思想研究函数在给定区间上的根的分布 问题. 栏 目 链 接

考点探究
?变式探究
4.(1)(2013· 北京延庆县一模)已知函数f(x)=x2-(a+b)x +ab+2(a<b)的两个零点为α,β(α<β),则实数a,b,α,

β的大小关系是 ( A )
A.a<α<β<b B.α<a<β<b C.a<α<b<β D.α<a<b<β

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考点探究
(2)已知二次函数 f(x)=x2+2bx-2b-1(b∈R),若关于 x 的方程 f(x)+x+b=0 的两个实数根分别在区间(-3,-2),(0,1)内,则实 数 b 的取值范围是( C )
?1 ? A.?5,1? ? ? ?1 5? C.?5,7? ? ? ?5 ? B.?7,1? ? ? ? 1? D.?-1,5? ? ?

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考点探究
解析:(1)f(x)=x2-(a+b)x+ab+2=(x-a)(x-b)+2,所以 f(a) =f(b)=2>0,又该二次函数图象开口向上,且 α,β(α<β)是函数 的两个零点,所以 a<α<β<b,故选 A. (2)记 g(x)=f(x)+x+b=x2+(2b+1)x-b-1,则

? ?g(-2)=1-5b<0, 1 5 ?g(0)=-1-b<0, 解得5<b<7,所以实数 ? ?g(1)=b+1>0.
g(-3)=5-7b>0,
?1 5? ? , ?.故选 C. ?5 7?

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b 的取值范围为

感悟高考

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感悟高考
高考方向 1.虽然近五年在本节没有单独命题,但函数零点个数、存在区 间及方程解的确定与应用有可能会成为高考的热点. 栏 目 2.估计会与函数的图象与性质交汇命题,主要考查函数与方程、 链 接 转化与化归、数形结合思想.

3.题型以选择题和填空题为主,若与导数综合,则以解答题形
式出现,属中、高档题.

感悟高考
品 味 高 考
6 1.(2014· 北京卷)已知函数 f(x)= -log2x,在下列区间中,包含 x f(x)零点的区间是( C ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,+∞)

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感悟高考
6 解析:利用零点存在定理求解.因为函数 f(x)= -log2x x 3 在(0,+∞)上的图象连续,且 f(2)=3-1=2>0,f(4)= -2 2 1 6 =- <0,所以函数 f(x)= -log2x 的零点在(2,4)上,故选 x 2 C.

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感悟高考
2 ? ?|x +5x+4|,x≤0, 2.(2014· 天津卷)已知函数 f(x)=? 若函数 y ? ?2|x-2|,x>0.

=f(x)-a|x|恰有 4 个零点,则实数 a 的取值范围为________ (1,2) .
解析:本题考查函数的图象,切线的性质,难度较大. 作出 f(x)的函数图象如下图所示,设 m:y=a1|x|与 y=- x2 - 5x - 4 相 切 , 设 切 点 (x0 , - x02 - 5x0 - 4) , 故
? ?-2x0-5=-a1, ? 解得 a1=1, 即直线 m: y=a1|x|=|x|, 2 ? - x - 5 x - 4 =- a x , ? 0 0 1 0

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又直线 l: y=a2|x|=2|x|, 要想函数 y=f(x)-a|x|恰有四个零点, 则 a1<a<a2,即 1<a<2.

感悟高考

高 考 测 验
? ?x(x+4),x<0, 1. 已知函数 f(x)=? 则函数 f(x)的零点个数为 ? ?x(x-4),x≥0,

( C ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

解析:当x<0时,令x(x+4)=0,解得x=-4;当 x≥0时,令x(x-4)=0,解得x=0或x=4,所以f(x)有 3个零点,故选C.

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感悟高考
2 ? ?ax +2x+1,-2<x≤0, 2.已知函数 f(x)=? 有 3 个零点,则实 ? ax - 3 , x > 0 ?

数 a 的取值范围是________.

?3 ? ? ,1? ?4 ?

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感悟高考
? ?2x+1,-2<x≤0, 解析:当 a=0 时,函数 f(x)=? 只有一个零 ?-3,x>0 ?

点,不合题意;当 a<0 时 ,f(x)=ax-3(x>0)无零点,f(x)=ax2+ 2x+1(-2<x≤0)只有一个零点,不合题意;当 a>0 时,f(x)=ax- 3(x>0)有一个零点,所以 f(x)=ax2+2x+1(-2<x≤0)必有两个零 点,故

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?f(-2)=a×(-2) +2×(-2)+1>0, ? 3 解得 <a<1. ?-2<- 2 <0, 4 2a ? ?a>0,
2

Δ=22-4a>0,


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