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导数的计算 5


(1.2.2)基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则

我们今后可以直接使用的基本初等函数的导数 公式
公式1.若f ( x) ? c, 则f '( x) ? 0; 公式2.若f ( x) ? x n , 则f '( x) ? nx n ?1; 公式3.若f ( x) ? sin x, 则f '( x) ? cos x; 公式4.若f ( x) ? cos x, 则f '( x) ? ? sin x; 公式5.若f ( x) ? a x , 则f '( x) ? a x ln a( a ? 0); 公式6.若f ( x) ? e x , 则f '( x) ? e x ; 1 公式7.若f ( x) ? log a x, 则f '( x) ? ( a ? 0, 且a ? 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ? ln x, 则f '( x) ? ; x

导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的 导数的和(差),即: f ( x) ? g ( x) ? ? f ?( x) ? g ?( x)

?

?

法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数 乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 , 即: ? f ( x) ? g ( x)?? ? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) 法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数 乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 , 再除以第二个函数的平方.即: ? f ( x) ?? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ( g ( x) ? 0) ? g ( x) ? ? 2 ? ? ? g ( x) ?

例2.求函数y=x3-2x+3的导数.
练习: 1 (1). y ? 4 ;(2). y ? x x. x

例 3 日常生活中的饮用水 通常是经过 净化的.随着水 纯净度的提高, 所需净化费 用不断增加 .已知将1吨水净 化到纯净度为x%时所需费 用?单位 : 元?为 5284 ?80 ? x ? 100?.求净化到下纯度 c? x ? ? 100? x 时, 所需净化费用的瞬时变 化率 :

?1? 90% ;

?2?98% .

思考 如何求函数 y ? ln ?x ? 2?的导数呢?

若设u ? x ? 2?x ? ?2?, 则y ? ln u.从而y ? ln?x ? 2?可以 看成是由y ? ln u 和u ? x ? 2?x ? ?2?经过"复合" 得到

的,即y可以通过中间变量 u表示为自变量 x的函数.
如果把 y 与u 的关系记作y ? f ?u ?, u 和 x的关系记作 u ? g ?x ?, 那么这个"复合" 过程可表示为 y ? f ?u ? ? f ?g ?x ?? ? ln?x ? 2?.
2

我们遇到的许多函数都 可以看成是由两个函数 经过 " 复合" 得到的, 例如, 函数y ? ?2 x ? 3? 由y ? u 2和u ? 2 x ? 3 " 复合"而成, 等等.

一般地, 对于两个函数y ? f ?u ?和u ? g ? x ?, 如果通过变量u , y可以表示成x的函数, 那么称这个函数为函数 y ? f ?u ?和 u ? g ? x ?的复合函数 (com posite fun? ction), 记作y ? f ? g ? x ??.

复合函数y ? f ?g ?x ??的导数和函数 y ? f ?u ?, u ? g ?x ?的
' ' ' 导数间的关系为 yx ? yu ? ux .

y 表示y对x的导数
由此可得, y ? ln?3x ? 2?对x的导数等于y ? ln u对u的 导数与u ? 3x ? 2对x的导数的乘积 ,即 1 3 y ? y ? u ? ?ln u ? ?3x ? 2? ? ? 3 ? . u 3x ? 2
' x ' u ' x ' '

' x

即y对x的导数等于 y对u的导数与u对x的导数的乘积 .

例 4 求下列函数的导数

?1? y ? ?2 x ? 3? ; ?2? y ? e ; ?3? y ? sin ??x ? ? ??其中? , ?均为常数?.
2 ? 0.05 x ?1


' x

?1?函数y ? ?2 x ? 3?2 可以看作函数y ? u 3和
' u ' x

u ? 2 x ? 3的复合函数 . 由复合函数求导法则有

y ? y ?u ? u

? ? ? ?2x ? 3? ? 4u ? 8x ? 12.
2 ' '

?2?函数 y ? e?0.05 x?1 可以看作函数 y ? eu 和u ?
? 0.05x ? 1的复合函数 . 由复合函数求导法则有

y ? y ?u
' x ' u

' x

? e

? ? ? ?? 0.05x ? 1?
u '

'

? ?0.05eu ? ?0.05e?0.05 x?1.

?3?函数y ? sin??x ? ? ?可以看作函数y ? sin u和
u ? ?x ? ?的复合函数 .
由复合函数求导法则有
' ' ' ' ' yx ? yu ? ux ? ?sin u ? ? ??x ? ? ?

? ? cosu ? ? cos??x ? ? ?.

例5.某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s= -4t3+16t2. (1)此物体什么时刻在始点? (2)什么时刻它的速度为零? 解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得: t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在 始点. (2) ? s?(t ) ? t 3 ? 12t 2 ? 32t , 令s?(t ) ? 0, 即t3-12t2+32t=0, 解得:t1=0,t2=4,t3=8, 故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.
1 练习:已知曲线 y ? x 3 在点P(1,1)处的切线与直线m平

1 4 t 4

行且距离等于 10 ,求直线m的方程.

1 练习:已知曲线 y ? x 3 在点P(1,1)处的切线与直线m平

行且距离等于 10 ,求直线m的方程.

1 1 解:y ? 3 , y? ? ( 3 )? ? ( x ? 3 )? ? ?3 x ? 4 ; x x ?曲线在 P (1,1)处的切线的斜率为 k ? y? | x ?1 ? ?3,
从而切线方程为 y ? 1 ? ?3( x ? 1),即3 x ? y ? 4 ? 0.
设直线m的方程为3x+y+b=0,由平行线间的距离公 式得:
| b ? (?4) | 3 ?1
2

? 10 ?| b ? 4 |? 10,? b ? 6或b ? ?14;

故所求的直线m的方程为3x+y+6=0或3x+y-14=0.

一、复习
1.解析几何中,过曲线某点的切线的斜率的精确描述与 求值;物理学中,物体运动过程中,在某时刻的瞬时速 度的精确描述与求值等,都是极限思想得到本质相同 的数学表达式,将它们抽象归纳为一个统一的概念和 公式——导数,导数源于实践,又服务于实践. 2.求函数的导数的方法是:

(1)求函数的增量?y ? f ( x ? ?x) ? f ( x); 说明:上面的方法 (2)求函数的增量与自变量的增量的比值 : 中把x换x0即为求 函数在点x0处的 导 ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ? ; 数. ?x ?x ?y (3)求极限,得导函数y? ? f ?( x) ? lim . ?x ?0 ?x

说明:上面的方法中把x换x0即为求函数在点x0处的 导数. 3.函数f(x)在点x0处的导数 f ?( x0 ) 就是导函数 f ?( x )在x= x0处的函数值,即 f ?( x0 ) ? f ?( x) |x? x .这也是求函数在点x0 处的导数的方法之一。
0

4.函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率. 5.求切线方程的步骤: (1)求出函数在点x0处的变化率 f ?( x0 ) ,得到曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 (2)根据直线方程的点斜式写出切线方程,即

y ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ).

二、新课——几种常见函数的导数
根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式. 1) 函数y=f(x)=c的导数.
?y 解 : y ? f ( x ) ? C , ?y ? f ( x ? ?x ) ? f ( x ) ? C ? C , ? 0, ?x ?y ? f ?( x) ? C ? ? lim ? 0. ?x ? 0 ?x

公式1: C? ? 0 (C为常数) .

请同学们求下列函数的导数:
2) y ? f ( x) ? x, y ' ? 1 3) y ? f ( x) ? x , y ' ? 2 x
2
表示y=x图象上每一点 处的切线斜率都为1

这又说明什么?

1 1 4) y ? f ( x) ? , y ' ? ? 2 x x
公式2: ( x
n

)? ? nx (n ? Q) .
n ?1

看几个例子
例1.已知P(-1,1),Q(2,4)是曲线 y=x2上的两点,求与直线PQ平行的曲线

y=x2的切线方程。

例2.已知y ? x,(1)求y?; (2)求曲线在点(, 11 )处的切线方程.
练习.求曲线y=x2在点(1,1)处的切线与x轴、 直线x=2所围城的三角形的面积。

四、小结与作业
1 1.会求常用函数 y ? c, y ? x, y ? x , y ? , x
2

的导数.其中: 公式1: C? ? 0 (C为常数) .

2.能结合其几何意义解决一些与切点、切线斜率 有关的较为综合性问题.


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