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高中数学配套课件:第一部分 第三章 3.2 第一课时 一元二次不等式的解法(1)


3.2 一 元 二 次 不 等 式 及 其 解 法

理解教材新知

知识点一
知识点二

第 三 章 不 等 式

第一
课时 一元 二次 不等 把握热点考向

考点一
考点二 考点三

式的
解法 (1) 应用创新演练

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观察下列不等式: (1)x2>0;(2)-x2-2x≤0;(3)x2-5x+6>0. 问题1:上述不等式各有几个未知数,并且未知数的最高次 数是多少? 提示:各有一个未知数x,并且未知数的最高次数是2.

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问题2:上述三个不等式在表达形式上有何共同特点? 提示:形如ax2+bx+c>0(或≤0),其中a,b,c为常数,

且a≠0.

返回

1.定义
只含有 一个 未知数,并且未知数的 最高次数是2 不等式,称为一元二次不等式. 2.一般表达式 一元二次不等式的一般表达形式是ax2+bx+c>0(或 ax2+bx+c<0或ax2+bx+c≥0或ax2+bx+c≤0)(a≠0),其中 a、b、c为常数. 返回 的

3.解与解集 使一元二次不等式成立的 x的值 叫做一元二次不等

式的 解 ,所有的解所组成的 集合 叫做一元二次不等
解集 式的 .

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已知一元二次不等式x2-2x>0,一元二次函数 y=x2-2x,一元二次方程x2-2x=0. 问题1:二次函数与x轴交点坐标是多少? 提示:(0,0)、(2,0). 问题2:一元二次方程根是什么? 提示:x1=0,x2=2. 返回

问题3:问题1中的坐标与问题2中的根有何内在联系? 提示:交点的横坐标为方程的根. 问题4:x满足是什么条件,函数图象在x轴上方? 提示:x>2或x<0. 问题5:能否利用问题4得出不等式x2-2x>0的解集? 提示:能.不等式的解集为{x|x>2或x<0}.

问题6:不等式x2-2x<0的解集呢?
提示:{x|0<x<2}. 返回

解一元二次不等式可以根据函数的零点与相应一元 二次方程根的关系,先求出一元二次方程的根,再根据函 数图象与x轴的相关位置确定一元二次不等式的解集.如 下表:

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判别式
Δ=b2-4ac 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根

Δ>0

Δ=0

Δ<0

有两相异实根 有两相等实根 b x1,x2(x1<x2) x1=x2=- 2a

没有实数根

二次函数
y=ax2+bx+c (a>0)的图象

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判别式

Δ=b2-4ac
ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+ c<0(a>0)的解集

Δ>0 {x|x<x1或 x>x2} {x|x1<x<x2}

Δ=0 {x|x≠x1}

Δ<0

R

?

?

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1.对一元二次不等式概念的理解 (1)“只含一个未知数”,并不是说在代数式中不能含 有其他的字母类的量,只要明确指出这些字母所代表的 量,哪一个是变量“未知数”,哪一些是“参数”就可以. (2)“次数最高是2”,仅限于“未知数”,若还含有其

他参数,则次数不受此条件限制.

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2.① 当Δ≥0(其中a>0)时,相应的一元二次方程 有两个实根,ax2+bx+c>0的解集可简记为:“判别 式大于零,取两边”.ax2+bx+c<0的解集可简记为“ 判别式大于零,取中间”;② 当Δ<0(其中a>0)时, 方程无实根,一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集是

R,ax2+bx+c<0的解集是?.

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第一课时

一元二次不等式的解法(1)

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[例1] 解下列不等式: (1)x2-5x-6>0;(2)-x2+7x>6. (3)(2-x)(x+3)<0;(4)4(2x2-2x+1)>x(4-x). [思路点拨] 首先将不等式等价转化为不等式的右边

是0,左边为ax2+bx+c(a>0)的形式,再求出对应方程 的根,然后结合二次函数的图象写出解集.

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[精解详析]

(1)方程x2-5x-6=0的两根为x1=-1,x2=6.

结合二次函数y=x2-5x-6的图象知,原不等式的解集为

{x|x<-1或x>6}.(2)原不等式可化为x2-7x+6<0.
解方程x2-7x+6=0得,x1=1,x2=6.

结合二次函数y=x2-7x+6的图象知,原不等式的解集为
{x|1<x<6}.

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(3)原不等式可化为(x-2)(x+3)>0. 方程(x-2)(x+3)=0两根为2和-3. 结合二次函数y=(x-2)(x+3)的图象知,原不等式的 解集为{x|x<-3或x>2}.

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(4)由原不等式得 8x2-8x+4>4x-x2. ∴原不等式等价于 9x2-12x+4>0. 2 解方程 9x2-12x+4=0,得 x1=x2=3. 结合二次函数 y=9x2-12x+4 的图象知, 原不等式 2 的解集为{x|x≠3}.

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[一点通]

(1)解一元二次不等式一般按照“三步曲”进行:

第一步,化二次项的系数为正数;第二步是求解相应的一 元二次方程的根;第三步,根据根的情况结合图象写出一元二 次不等式的解集.

(2)当把二次项的系数化为正数,并求得相应方程的根后,
也可以直接按下列技巧写解集,即“大于0取两边,小于0取中 间”,意指“取根的两边”、“夹根的中间”.如(x-1)(x- 2)>0?x<1或x>2;(x-1)(x-2)<0?1<x<2.

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1.不等式x>x2的解集是 A.{x|x>1} C.{x|0<x<1} B.{x|x<0} D.R

(

)

解析:x>x2?x(x-1)<0?0<x<1.
答案:C

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2.不等式x2+6x+10<0的解集是

(

)

A.?
C.{x|x>5}

B.R
D.{x|x<2}

解析:∵Δ=36-40=-4<0.∴方程x2+6x+10=0无实 根.结合二次函数y=x2+6x+10的图象知,不等式的解 集为?. 答案:A 返回

3.解下列不等式:
(1)2+3x-2x2>0; (2)x(3-x)≤x(x+2)-1;
解:(1)原不等式可化为 2x2-3x-2<0, ∴(2x+1)(x-2)<0. 1 故原不等式的解集是{x|-2<x<2}.

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(2)原不等式可化为 2x2-x-1≥0, ∴(2x+1)(x-1)≥0, 1 故原不等式的解集是{x|x≤-2或 x≥1}.

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[例2]

1 若不等式ax +bx+c≥0的解集是{x|-3≤x≤2},
2

求不等式cx2+bx+a<0的解集.

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[思路点拨]

一元二次不等式解集的端点值是相应的一元

二次方程的根,据此,利用根与系数的关系可求得a,b,c cb 的值,进而求解.也可以利用a·的值整体代入,转化所求 a 不等式进行求解.

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[精解详析] 法一:由 ax2+bx+c≥0 的解集为 1 {x|-3≤x≤2},知 a<0, 1 c 又(-3)×2=a<0,则 c>0. 1 又-3,2 为方程 ax2+bx+c=0 的两个根, b 5 b 5 ∴-a=3.∴a=-3.

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c 2 5 2 又a=-3,∴b=-3a,c=-3a. 2 2 5 ∴不等式cx +bx+a<0变为(-3a)x +(-3a)x+a<0,
2

即2ax2+5ax-3a>0. 又∵a<0,∴2x2+5x-3<0?(2x-1)(x+3)<0. 1 ∴不等式cx +bx+a<0的解集为{x|-3< x <2}.
2

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1 法二:∵原不等式的解集为{x|-3≤ x ≤2}. 1 ∴-3,2 是方程 ax2+bx+c=0 的两个根,且 a<0. b ? 1 -3+2=-a, ? 由根与系数的关系得? ?-1×2= c, a ? 3

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5 ?b ?a=-3, 即? ?c=-2. 3 ?a 由于 a<0,所以不等式 cx2+bx+a<0 可化为 c 2 b 2 5 x +ax+1>0,即-3x2-3x+1>0. a 亦即 2x2+5x-3<0?(2x-1)(x+3)<0. 1 ∴不等式 cx2+bx+a<0 的解集为{x|-3<x<2}.

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[一点通] “三个二次”之间的内在联系

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4.关于x的不等式x2+bx+c>0的解集是{x|x<2或x>3}, 则b=________,c=________.
解析:可知 2,3 是方程 x2+bx+c=0 的两个根.
?2+3=-b, ? ∴? ?2×3=c. ? ?b=-5, ? 即? ?c=6. ?

答案:-5 6

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5.若关于x的不等式ax2-6x+a2>0的解集为{x|1<x<m}, 则a=________,m=________.
解析:可知 1,m 是方程 ax2-6x+a2=0 的两个根, 且 a<0. 6 ? ?a=-2, ?a=+2, ?1+m= , ? ? a ∴? 解得? 或? (舍去). ?m=-2 ?m=+2 ? ? ?1×m=a, ?

答案:-2

-2

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1 6.已知方程 ax +bx+2=0 的两根为-2和 2.
2

(1)求 a、b 的值; (2)解不等式 ax2+bx-1>0.
1 解:(1)∵方程 ax +bx+2=0 的两根为-2和 2,
2

b ? 1 -2+2=-a, ? 由根与系数的关系,得? ?-1×2=2. a ? 2 解得 a=-2,b=3.

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(2)由(1)知,ax2+bx-1>0 变为-2x2+3x-1>0, 1 即 2x -3x+1<0,解得2<x<1.
2

1 ∴不等式 ax +bx-1>0 的解集为{x|2<x<1}.
2

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[例3]

(12分)解关于x的不等式x2-(a+a2)x+a3>0. 先将不等式的左边分解因式,就此得方

[思路点拨]

程x2-(a+a2)x+a3=0的两根,然后就a的取值范围比较两 根的大小,从而写出不等式的解集.

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[精解详析]

原不等式可化为(x-a)(x-a2)>0.

则方程x2-(a+a2)x+a3=0的两根为x1=a,x2=a2
由a2-a=a(a-1)可知, (1)当a<0或a>1时,a2>a. ∴原不等式的解为x>a2或x<a; (2)当0<a<1时,a2<a,

(2分)

(5分)

∴原不等式的解为x>a或x<a2 ;

(8分)

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(3)当a=0时,原不等式为x2>0,∴x≠0; (4)当a=1时,原不等式为(x-1)2>0,∴x≠1. 综上可知: 当a<0或a>1时,原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}; 当0<a<1时,原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}; 当a=0时,原不等式的解集为{x|x≠0};

(9分) (10分)

当a=1时,原不等式的解集为{x|x≠1}.

(12分)

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[一点通]

含参数的不等式的解题步骤为

(1)将二次项系数转化为正数; (2)判断相应方程是否有根(如果可以直接分解因式,可 省去此步);

(3)根据根的情况写出相应的解集(若方程有相异根,为
了写出解集还要分析根的大小). 另外,当二次项含有参数时,应先讨论二次项系数是 否为0,这决定不等式是否为二次不等式.

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7.当a>-1时,关于x的不等式x2+(a-1)x-a>0的解集
是________.

解析:原不等式可化为(x+a)(x-1)>0
∴方程(x+a)(x-1)=0.的两根为-a,1.∵a>-1.

∴-a<1的不等式的解集为{x|x<-a或x>1}.
答案:{x|x<-a或x>1}

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8.解关于x的不等式x2-ax-2a2<0(a∈R). 解:原不等式转化为(x-2a)(x+a)<0. 对应的一元二次方程的根为x1=2a,x2=-a. (1)当a>0时,x1>x2, 不等式的解集为{x|-a<x<2a}; (2)当a=0时,原不等式化为x2<0,无解;

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(3)当a<0时,x1<x2, 不等式的解集为{x|2a<x<-a}. 综上所述,原不等式的解集为

a>0时,{x|-a<x<2a};
a=0时,x∈?;

a<0时,{x|2a<x<-a}.

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1.解一元二次不等式的一般步骤是:①化为标准形
式;②确定判别式Δ=b2-4ac的符号;③若Δ≥0,则求 出该不等式对应的二次方程的根;若Δ<0,则对应的 二次方程无根;④联系二次函数的图象得出不等式的解 集.特别地,若一元二次不等式的左边的二次三项式能 分解因式,则可立即写出不等式的解集(在两根之内或 两根之外).

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2.解含字母参数的一元二次不等式,与解一般的一 元二次不等式的基本思路是一致的,但要注意分类讨 论思想的运用. 3.解一元二次不等式,应首先尝试因式分解法.若

能够进行因式分解,那么在解含参数的不等式时,就
可以避免了Δ≤0的讨论.

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