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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学(苏教版,必修一) 第二章函数 2.2.2 课时作业]


2.2.2

函数的奇偶性

课时目标 1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义;2.掌握判断函数奇偶性的方法;3. 了解函数奇偶性与图象的对称性之间的关系.

1.函数奇偶性的概念 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 A. (1)如果对于任意的 x∈A,都有__________,那么称函数 y=f(x)是偶函数; (

2)如果对于任意的 x∈A,都有__________,那么称函数 y=f(x)是奇函数. 2.奇、偶函数的图象 (1)偶函数的图象关于______对称. (2)奇函数的图象关于______对称.

一、填空题 1. 已知 y=f(x), x∈(-a, a), F(x)=f(x)+f(-x), 则 F(x)是________函数(填“奇”、 “偶” 或“非奇非偶”). 2.f(x)是定义在 R 上的奇函数,下列结论中,不正确的是________.(填序号) ①f(-x)+f(x)=0; ②f(-x)-f(x)=-2f(x); f?x? ③f(x)· f(-x)≤0; ④ =-1. f?-x? 3.下面四个结论:①偶函数的图象一定与 y 轴相交;②奇函数的图象一定过原点;③偶 函数的图象关于 y 轴对称;④没有一个函数既是奇函数,又是偶函数. 其中正确的命题个数是________. 1 4.函数 f(x)= -x 的图象关于________.(填序号) x ①y 轴对称;②直线 y=-x 对称;③坐标原点对称; ④直线 y=x 对称. 5.设函数 f(x)=(x+1)(x+a)为偶函数,则 a=____________________________. 6.若函数 y=f(x+1)是偶函数,则下列说法正确的是________.(填序号) ①y=f(x)图象关于直线 x=1 对称; ②y=f(x+1)图象关于 y 轴对称; ③必有 f(1+x)=f(-1-x)成立; ④必有 f(1+x)=f(1-x)成立. 7.偶函数 y=f(x)的定义域为[t-4,t],则 t=_____________________________.

8. 设奇函数 f(x)的定义域为[-5,5], 若当 x∈[0,5]时, f(x)的图象如图所示, 则不等式 f(x)<0 的解集是________. 9.已知奇函数 f(x)的定义域为 R,且对于任意实数 x 都有 f(x+4)=f(x),又 f(1)=4,那么 f[f(7)]=________. 二、解答题 10.判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=3,x∈R; (2)f(x)=5x4-4x2+7,x∈[-3,3];

(3)f(x)=|2x-1|-|2x+1|; 1-x , x>0, ? ? (4)f(x)=?0, x=0, ? ?x2-1, x<0.
2

-x +2x ?x>0? ? ? 11.已知奇函数 f(x)=?0 ?x=0? ? ?x2+mx ?x<0?

2

.

(1)求实数 m 的值,并在给出的直角坐标系中画出 y=f(x)的图象; (2)若函数 f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,试确定 a 的取值范围.

能力提升 5 7 12 . y = f(x) 在 (0,2) 上是增函数, y = f(x + 2) 是偶函数,则 f(1) , f( ) , f( ) 的大小关系是 2 2 ____________________. 13.已知函数 f(x)是定义在 R 上的不恒为零的函数,且对于任意的 a,b∈R 都满足 f(ab) =af(b)+bf(a). (1)求 f(0),f(1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性.

1.函数奇偶性

(1)从函数奇偶性定义来看,奇、偶函数的定义域一定关于原点对称,否则此函数是非奇 非偶函数. (2)函数的奇偶性是相对于函数的定义域而言,这一点与函数单调性不同,从这个意义上 说,函数单调性是函数的“局部”性质,而奇偶性是函数的“整体”性质. (3)函数 f(x)=c(c 是常数)是偶函数,当 c=0 时,该函数既是奇函数又是偶函数. 2.函数的奇偶性与图象的对称性的关系 (1)若一个函数是奇函数,则其图象关于原点对称,反之,若一个函数图象关于原点中心 对称,则其一定是奇函数. (2)若一个函数是偶函数,则其图象关于 y 轴对称,反之,若一个函数图象关于 y 轴成轴 对称,则其必为偶函数.

第 3 课时

奇偶性的概念

知识梳理 1.(1)f(-x)=f(x) (2)f(-x)=-f(x) 2.(1)y 轴 (2)原点 作业设计 1.偶 解析 ∵F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x). 且 x∈(-a,a)关于原点对称, ∴F(x)是偶函数. 2.④ 解析 因为 f(-x)=-f(x),所以①、②显然正确, 因为 f(x)· f(-x)=-[f(x)]2≤0,故③正确. 当 x=0 时,由题意知 f(0)=0,故④错误. 3.1 1 解析 函数 y= 2是偶函数,但不与 y 轴相交,故①错; x 1 函数 y= 是奇函数,但不过原点,故②错; x 函数 f(x)=0 既是奇函数又是偶函数,故④错. 4.③ 解析 ∵x∈(-∞,0)∪(0,+∞), 1 且对定义域内每一个 x,都有 f(-x)=- +x=-f(x), x 1 ∴该函数 f(x)= -x 是奇函数,其图象关于坐标原点对称. x 5.-1 解析 ∵f(x)为偶函数,∴f(-1)=f(1), 即(-1+1)(-1+a)=2(1+a), ∴a=-1. 6.①②④ 解析 由题意,y=f(x+1)是偶函数,所以 f(x+1)的图象关于 y 轴对称,故②正确;y=f(x +1)的图象向右平移一个单位即得函数 y=f(x)的图象,故①正确;可令 g(x)=f(x+1),由 题意 g(-x)=g(x),即 f(-x+1)=f(x+1),故④正确. 7.2 解析 偶函数的定义域应当关于原点对称,故 t-4=-t,得 t=2. 8.(-2,0)∪(2,5] 解析 由题意知, 函数 f(x)在[-5,0]的图象与在[0,5]上的图象关于原点对称. 画出 f(x)在[- 5,0]上的图象,观察可得答案. 9.0 解析 ∵f(7)=f(3+4)=f(3)=f(-1+4)=f(-1) =-f(1)=-4,

∴f[f(7)]=f(-4)=-f(4)=-f(0+4)=-f(0)=0. 10.解 (1)f(-x)=3=f(x), ∴f(x)是偶函数. (2)∵x∈[-3,3],f(-x)=5(-x)4-4(-x)2+7 =5x4-4x2+7=f(x),∴f(x)是偶函数. (3)f(-x)=|-2x-1|-|-2x+1| =-(|2x-1|-|2x+1|)=-f(x), ∴f(x)是奇函数. (4)当 x>0 时,f(x)=1-x2,此时-x<0, ∴f(-x)=(-x)2-1=x2-1,∴f(-x)=-f(x); 当 x<0 时 f(x)=x2-1, 此时-x>0,f(-x)=1-(-x)2=1-x2, ∴f(-x)=-f(x); 当 x=0 时,f(-0)=-f(0)=0. 综上,对 x∈R,总有 f(-x)=-f(x), ∴f(x)为 R 上的奇函数. 11.解 (1)当 x<0 时,-x>0,f(-x)=-(-x)2+2(-x) =-x2-2x.

又 f(x)为奇函数, ∴f(-x)=-f(x)=-x2-2x, ∴f(x)=x2+2x,∴m=2. y=f(x)的图象如图所示 (2)由(1)知 f(x) -x +2x ?x>0? ? ? =?0 ?x=0? ? ?x2+2x ?x<0?
2



由图象可知,f(x)在[-1,1]上单调递增,
? ?a-2>-1 要使 f(x)在[-1,a-2]上单调递增,只需? , ?a-2≤1 ? 解得 1<a≤3. 7 5 12.f( )<f(1)<f( ) 2 2 解析 因 y=f(x+2)是偶函数,f(x+2)的图象向右平移 2 个单位即得 f(x)的图象.所以函 数 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称,又因 f(x)在(0,2)上是增函数,所以 f(x)在(2,4)上是减 函数, 7 5 且 f(1)=f(3),由于 >3> , 2 2 7 5 7 5 ∴f( )<f(3)<f( ),即 f( )<f(1)<f( ). 2 2 2 2 13.解 (1)令 a=b=0,f(0)=0+0=0; 令 a=b=1,f(1)=f(1)+f(1), ∴f(1)=0.

(2)f(x)是奇函数. 因为 f(-x)=f((-1)· x)=-f(x)+xf(-1), 而 0=f(1)=f((-1)×(-1))=-f(-1)-f(-1), ∴f(-1)=0,∴f(-x)=-f(x)+0=-f(x), 即 f(x)为奇函数.


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