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黄冈中学2006届高三数学第一轮复习单元测试


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黄冈中学 2006 届高三数学第一轮复习单元测试
撰稿人: 撰稿人:黄冈 刘杰峰

第十四 第十四单元

排列、 排列、组合和概率

一、选择题: 选择题: 1.有 4 名高中毕业生报考大学,有三所大学可供选择,每人只能填报一所大学,则报名 的方案

数为 ( ) A.

34

B.

43

C.

3 A4

D.

3 C4

2.将一枚均匀硬币抛掷 8 次,有 4 次正面向上,则正面向上面 4 次中恰好三次连在一起 的情况的不同种数为 ( ) A.480 B.240 C.20 D.10 3.两个同学同时做一道题,他们做对的概率分别为 P(A)=0.8,P(B)=0.9,则该题至少被 一个同学做对的概率为 ( ) A. 1.7 B.1 C. 0.72 D. 0.98 4. 已知:ξ

B (n, p )
B.
5

, Eξ 若

= 3Dξ , P= 则
C.





A.

1 3

2 3

1 2

D.

1 4


5. (理)在 (1 x) A.74

+ (1 x)6 + (1 x)7 + (1 x)8 的展开式中,含 x3 的项的系数是(
B.121 C.-74 D.-121 (

(文)在 (1+ x)

5

(1+ x)6 的展开式中,含 x3 的项的系数是



A.5 B.-5 C.10 D.-10 6. 现从男女共名学生干部中选出 2 男 1 女分别参加“资源”“生态”“奥数”三个夏令 、 、 营活动,已知共有 90 种不同的参加方案,则男女同学的人数依次为 ( ) A. 2,6 B. 3,5 C. 5,3 D. 6,2 7.随机变量 ξ 的分布列为 p(ξ 等于

= k) =

c 1 5 , K=1, 3, 其 C 为常数, p( < ξ < ) 2, 4, 则 k(k +1) 2 2
( )

1

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A.

2 3

B.

3 4

C.

4 5

D.

5 6

8.某机械零件加工由 2 道工序组成, 1 道工序的废品率为 a , 2 道工序的废品率为 b , 第 第 假定这 2 道工序出废品的工序彼此无关的,那么产品的合格率是 A. ( )

ab a b +1

B.

1 a b

C.

1 ab

D.

1 2ab

9.从不同号码的五双靴中任取 4 只,其中恰好有一双的取法种数为 ( ) A.120 B.240 C.360 D.720 10.设有 m 升水,其中含有 n 个大肠杆菌,今任取一升水检验,设其中含大肠杆菌的个数 为 ξ ,则 Eξ 为 ( )

A.

m n

B.

n n (1 ) m m

C.

n m

D.以上都不对

11.(理)某初级中学有学生 270 人,其中一年级 108 人,二、三年级各 81 人,现要利 用抽样方法抽取 10 人参加某项调查,考虑选用简单随机抽样,分层抽样和系统抽样 三种方案,使用简单随机抽样和分层抽样时,将学生按一、二、三年级依次统一编号 为 1,2,…270;使用系统抽样时,将学生统一随机编号为 1,2,…270,并将整个 编号依次分为 10 段,如果抽得号码有下列四种情况: ①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250, ②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265; ③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254; ④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270; 关于上述样本的下列结论中,正确的是( ) A.②、③都有不能为系统抽样 B. ②、④ 都有不能为分层抽样 C. ①、④可能为系统抽样 D. ①、③可能为分层抽样 (文)把同一排 6 张座位编号为 1、2、3、4、5、6 的电影票全部分给个人,每人至少 分 1 张,至多分 2 张,且这两张票具有连续的编号,那么不同的分法种数是( ) A.168 B.96 C.72 D.144
5) 1 (x18 f (x) = e 12. 理) ( 设随机变量的密度函数为 3 2π
2

, 其中 x ∈ (∞, +∞),η = 3ξ 5 ,

2

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则( A.

) B.

η N(0,1)

η N(5,32 )

C.

η N(10,92 )


D.

η N(10,27)

(文)已知随机变量 ξ A.

N(0,1),η = 2ξ +1,则(

η N(0,1)
6

B.

η N(1,22 )

C.

η N(1,42 )

D.

η (1,8)

二.填空题: 填空题: 13.计算: 10.01 = 14.设随机变量 ξ 。 (精确到 1)

B(2, p),η B(4, p) ,若 p(ξ ≥ 1) =

5 ,则 p(η ≥ 1) = 9



15.从 1,3,5,7 中任取 2 个数字,从,2,4,6,8 中任取 2 个数字,组成没有重复数 字的四位数,其中能被 5 整除的四位数共有 个。 16.(理)某公司有 5 万元资金用于投资开发项目,如果成功,一年后可获利 12%;一旦 失败,一年后将丧失全部资金的 50%,下表是过去 200 例类的项目开发的实施结果: 投资成功 192 次 投资失败 8次

则该公司一年后估计可获利益的期望是 。 (文)在三角形的每条边上各取三个分点(如图) ,以这 9 个分点为顶点可画出若干个三角形, 若从中任意抽取一个 三角形, 则其三个顶点分别落在原三角形的三条不同边上 (用数字作答) 的概率为 解答题: 三.解答题: 17.已知 (x
lg x





+1)n 的展开式中,末三项的二项式系数的和为 22,二项式系数最大的项为

20000,求 x 的值。

3

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18.已知有 6 只电器元件, 其中有 2 只次品和 4 只正品, 每次随机抽取一只测试, 不放回, 直到 2 只次品都找到为止,设需要测试的次数为 ξ ,求 ξ 的分布列。

19.如下表,它满足:①第 n 行的首尾两数均为 n ;②表中的递推关系类似杨辉三角; 则第 n 行 (n ≥ 2) 的第二个数是多少? 1 2 2 3 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5 6 16 25 25 16 6 7 22 41 50 41 22 7

20.袋子 A 和 B 中装有若干个均匀的红球和白球,从 A 中摸一个红球的概率是 摸出一个红球的概率为 P。 ⑴(理)从 A 中有放回地摸球,每次摸出一个,有 3 次摸到红球停止。 ① 求恰好摸 5 次停止的概率;

1 ,从 B 中 3

②记 5 次之内 (含 5 次) 摸到红球的次数为 ξ , 求随机变量 ξ 的分布列及数学期望 E ξ ;

(文)从 A 中有放回地摸球,每次摸出一个,共摸 5 次,求: ①恰好有 3 次摸到红球的概率;

4

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② 第一次、第三次、第五次均摸到红球的概率;

⑵若 A、B 两个袋子中的球数之比为 1:2,将 A、B 中的球装在一起后,从中摸出一个 红球的概率是

2 ,求 P 的值。 5

21.某工厂产生甲、乙两种产品,每种产品都有是经过第一和第二工序加工而成,两道工 序的加工结果相互独立,每道工序的加工结果均有 A、B 两个等级,对每种产品,两 道工序的加工结果都为 A 级时,产品为一等品。 ⑴已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为 A 级的概率如表示所示,分别求生产 出的甲、乙产品为一等的概率 P 甲、P 乙;
效 产 工 序 率 品

第一工序 0.8 0.75

第二工序 0.85 0.8

甲 乙

⑵已知一件产品的利润如表二所示,用 ξ 、η 分别表示一件甲、乙产品的利润,在⑴ 的条件下,求 ξ ,η 的分布列及 Eξ , Eη 。
利 产 等 级 润 品

一等 5(万元) 2.5(万元)

二等 2.5(万元) 1.5(万元)

甲 乙

5

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⑶已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示,该工厂有工人 40 人,可用 资金 60 万元,设 x 、 y 分别表示生产甲、乙产品的数量,在(2)的条件下, x 、

y 为何值时, z = xEξ + yEη 最大?最大值是多少?(解答时须给出图示)
用 产 项 目 量 品

工人(名) 8 2

资金(万元) 5 10

甲 乙

22.为防止某突发事件发生,有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用,单独 采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率(记为 P)和所需费用如表: 预防措施 P 费用/万元 甲 0.9 90 乙 0.8 60 丙 0.7 30 丁 0.6 10

预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施,在总费用不超过 120 万 元的前提下,请确定一个预防方案,使得此突发事件不发生的概率最大。

十四、排列、 十四、排列、组合和概率参考答案
一、选择题: 1.A 2.C 3.D 4.B 二、填空题: 13. 1006015 三、解答题: 17.由 C +C n n
n n1

5.D 6.B 7.D 8.A 9.A 10.C 11.D

12.C

14.

65 81

15. 228

16. (理)4760 (文)

1 3

+Cn2 =22,得 n2 +n42=0,∴n=6或 n=7(舍) = n

6

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2 T ∴ n+2 =T =C3(xlgx)3 =20000, xlgx =10, , lg 1 即 两边取 10 为底的对数, (lgx) =1∴ x =± ,∴x =10 得 4 6

2

= 或 x=

1 1 = = ,经检验 x=10或 x= 满足条件。 10 10

18.依题知, ξ的值为 2,3,4,5,则

ρξ =2) = 2 = ( 2

1 1 1 1 1 1 C2 1 CCA2 2 AAA2 4 CA A3 A2 8 ρξ =3) = 2 4 2 = ,ρξ =4) = 2 3 4 = ,ρξ =5) = 2 4 54 2 = ( ( ( , C 15 A3 15 A4 15 A 15 6 6 6 6

故 ξ 的分布列为:

ξ
ρ

2

3

4

5

1 15

2 15

4 15

8 15

19.如题图,第 n 行的第二个数都可看作是它肩上的两数之和,如第 7 行的第二个数: 22=6+16=6+ (5+11) =6+5+ (4+7) =6+5+4+ (3+4) =6+5+4+3+ (2+2) =6+5+4+3+2+ (1+1) 因此,第 n 行的第二个数为:

(n 1) + (n 2) ++ 3+ 2 +1+1 =

[1+ (n 1)] (n 1) +1 = 1 n2 1 n +1
2

2

2

20.(1) (理)①

1 1 1 8 2 C4 ×( )2 ×( )2 × = 3 3 3 81
k k

②随机变量 ξ 的取值为 0,1,2,3,由 n 次独立重复试验概率公式 P (k) = Cn P n 得

(1 P)nk ,

1 k 1 P(ξ = k) = C5 ( )k (1 )5k 3 3

k = 0,1,2,3

所以随机变量 ξ 的分布列是:

7

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ξ
P

0
32 243

1
80 243

2
80 243

3
17 81

∴Eξ =

32 80 80 17 131 ×0 + ×1+ ×2 + ×3 = 243 243 243 81 81


(文)①

2 40 3 1 C5 ( )3( )2 = 3 3 243

1 1 ( )3 = 3 27

(2)设袋子 A 中有 m 个球,则袋子 B 中有 2m 个球

1 m+ 2mp 13 3 3 = ,得 p = 由 m+ 2m 5 30
21.(1)P 甲= 0.8×0.85 = 0.68 (2)随机变量 ξ,η 的分布列是: P 乙= 0.75×0.8 = 0.6

∴Eξ = 5×0.68+ 2.5×0.32 = 4.2

Eη = 2.5×0.6 +1.5×0.4 = 2.1

(3)由题设知

5x +10y ≤ 60 8x + 2y ≤ 40 x ≥ 0, y ≥ 0

,目标函数

z = xEξ + yEη = 4.2x + 2.1y
作出可行域,如图所示,作直线 l :4.2x + 2.1y = 0 ,将直

Y

8x+2y=40 L1 M
5x+10y=60

线 l 向右平移至 l1 的位置时,直线经过可域上的点 M 且与 原点距离最大,此时 z = 4.2x + 2.1y 有最大值。 O

X L:4.2x+2.1y=0

8

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解方程

5x +10y = 60 8x + 2y = 40



x=4 y=4

即 x = 4, y = 4 , z 取最大值, z 的最大值为 25.2 22.方案 1:单独采用一种预防措施的费用均不超过 120 万元,由表可知,采用甲措施,可 使此突发事件不发生的概率最大,其概率为 0.9。 方案 2:联合采用两种预防措施,费用不超过 120 万元,由表可知,联合甲、丙两种预防

1 措施可使此突发事件不发生的概率最大, 其概率为:

(1 0.9 )(1 0.7 ) = 0 .97

方案 3:联合采用三种预防措施,费用不超过 120 万元,只能联合乙、丙、丁三种预防措 施,此时突发事件不发生的概率为: 1 (1 0.8)(1 0.7)(1 0.6) = 0.976 综合上述三种预防方案可知,在总费用不超过 120 万元的前提下,联合使用乙、丙、丁 三种预防措施可使此突发事件不发生的概率最大。

9


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