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高中数学奥赛练习1答案


高中数学奥赛练习?1 答案
4? 的两个根,则 a + b = ( )? 3? 10 4? 10 28 A.? B.? C.? D.? 27? 81? 81? 81? log 3 3 log 3?(3x? )? 1 + log? x? 4? 1 4? 3? 解 原方程变形为? + = - ,即? + = - .? log 3 (3 x) log 3? 27 3? 1 +

?log 3? x 3 3? 1 t? 4? 令? 1 + log? x = t , 则? + = - , 解 得? t1 = -1, t2? = -? .?所 以? 1 + log 3? x = -1? 或? 3? 3? t 3 3? 1? 1? 10 1 + log 3? x = -3?,所以方程的两根分别为? 和? ,所以?a + b =? .? 故选(C).? 9? 81? 81? uuur 3?uuu r? 2. 设 D 为△?ABC?的边?AB?上一点, P?为△?ABC?内一点,且满足?AD = AB ,? 4? uuu uuur 2?uuu r r S? AP = AD + BC ,则? △APD? = (? ? ? ? ? )? 5? S△?ABC? 3? 2? 7? 8? A.? B.? C.? D.? 10? 5? 15? 15? uuu 2?uuu r r 解 连?PD,则?DP = BC ,所以?DP //?BC ,故??ADP = ?B ,故? 5? 1? S? APD? 2? AD × DP × sin??ADP? 3 2 3? △ = = × = .? 故选(A).? 1? S? ABC? 4 5 10? △? AB × BC × sin??B 2? 3. 定义在 R? 上的函数? f ( x? 既是奇函数又是周期函数,若? f ( x? 的最小正周期是 p , )? )? p 8? 且当 x∈[0,? )时,? f ( x) = sin?x ,则? f ( p )?的值为? (? ? ? ? ? )? 2 3? 3? 3? 1? 1? A.? B.? -? C.? D.? 2? 2 2? 2
1. 已知?a,?b 是方程?log 3 x? 3 + log 27?(3 x)?= 解 根据题设条件可知?

8 p p p p 3? f ( p ) = f (- + 3p ) = f (- ) = - f ( ) = - sin = .? 3 3 3 3 3 2?
故选(B).? 4. 已知?ABCD - A1 B1C1 D1? 是一个棱长为?1 的正方体,? 1?是底面?A1 B1C1 D? 的中心,M? O? 1? 是棱?BB? 上的点,且?S △DBM : S△O1B1M = 2 : 3?,则四面体?O1?ADM? 的体积为? 1? (? ? ? ? ? )?

3? 7? C.? 16? 48? 解 易知?AC ^ 平面?D1 B1?BD ,设 O 是底面?ABCD 的中
A.? B.? 心,则 AO ^ 平面?DO1?M? .?

7? 24?

D.?

11 48?
D? O C? B? M

S? BD × BM BM? 2? 因为? △DBM = = 2?× = ,? S△O B M O1 B1 × B1 M B1?M 3?
1 1

A

D? 1? A? 1? O? 1? B? 1?

C? 1?

所以?

BM? 1? 1 3? = ,故?BM = , B1?M =? .于是? 4 4? B1?M 3? S △DO M = S D B BD - S△DD O - S△O B M - S△DBM?
1 1 1 1 1 1 1

1 2 1 2 3 1 1? 7? = 1? 2 - ? ?1 - ? ? - ? ?? 2? = 2?, 2 2 2 2 4 2 4 16 1 1 7 2 7? 所以? A-O1MD = S△DO1M? × AO = ? V 2?? = .? 故选(C).? 3 3 16 2 48?
5. 有编号分别为 1,2,3,4,5?的?5?个红球和?5?个黑球,从中取出?4?个,则取出的球 的编号互不相同的概率为 ( )?

1? 8? D.? 3? 21? 4? 解 从?10?个球中取出?4?个,不同的取法有?C10? = 210 种.如果要求取出的球的编号互不
A.? B.? C.?
4? 相同,可以先从?5 个编号中选取?4 个编号,有?C? 种选法.对于每一个编号,再选择球,有两 5?

5? .? 21?

2? .? 7?

种颜色可供挑选,所以取出的球的编号互不相同的取法有?C5?× 2 = 80 种.? 因此,取出的球的编号互不相同的概率为?
n

4

4?

80 8? =? .? 故选(D).? 210 21
( D.?3?个 )?

6. 使得 3 + 81? 是完全平方数的正整数 n 有 A.? ? 0?个? B.? ? 1?个? C.? ? 2?个? 解

当?n ? 4?时,易知 3n + 81?不是完全平方数.故设?n = k + 4?,其中 k? 为正整数,则?

3n + 81 = 81(3k +?1)?.? 因为 3n + 81? 是完全平方数,而?81?是平方数,则一定存在正整数 x ,使得?3k? + 1?= x 2? , 即?3k? = x 2? - 1 = ( x + 1)( x - 1)?,故?x + 1, x - 1?都是?3?的方幂.? 又两个数?x + 1, x - 1?相差?2,所以只可能是?3?和?1,从而?x = 2, k =?1? .? 因此,存在唯一的正整数?n = k + 4 = 5?,使得 3n + 81? 为完全平方数.故选(B).?
二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 本题共有 6 小题,要求直接将答案写在横线上。 7. 设 [ x? 表示不大于 x 的最大整数, ]? 集合?A = {x | x 2? - 2[ x] = 3}?,? = { x | B 则?A I?B = _________________.? 解 不等式? < 2 < 8?的解为?-3 < x < 3?,所以?B = ( -? 3)?.? 3,

1? x? < 2 < 8}?, 8?

1? 8?

x

若 x ? A I B ,则?í

所以 [ x? 只可能取值?-3, -2, -? 0,1, 2 .? ]? 1, ? -3 < x < 3,? 若 [ x] ? -2?,则?x 2? = 3 + 2[ x] < 0?,没有实数解;若 [ x] = -1? ,则?x 2? = 1?,解得?x = -1?; 若 [ x] = 0?,则?x 2? = 3?,没有符合条件的解;若 [ x ] = 1?,则?x 2? = 5?,没有符合条件的解; 若 [ x] = 2?,则?x 2? = 7?,有一个符合条件的解?x =? 7?.? 因此, A I?B = -1, 7? .? 8. 解 若数列 {a? }?满足:?a1 = n? 由?an +1 - an =

ì x 2? - 2[ x] = 3,?

{

}?

2 2? , an +1 - an = (an +1? + an?)?,则?a2007? = _______.? 3 3?

2? (an +1? + an?)?两边平方得?3( an +1 - an ) 2? = 2( an +1? + an?)?, 3?

又?3( an - an -1 ) 2? = 2( an + an?-1?)?,两式相减,得?

3(an +1 - an -1 )(an +1 - 2an + an -1 ) = 2(an +1 -?an?-1?)?.? 2 2? , an +1 - an = (an +1? + an?)?求得?a2? = 2?,又由递推关系式易知数列 {a? }?是单 n? 3 3? 2? 调递增数列,所以?an +1 - an?-1? ? 0?,故?3( an +1 - 2an + an?-1?) = 2?,即?an +1 - 2? n + an?-1? = , a 3? 2? 4? 2? 即?( an +1 - an ) - ( an - an?-1?)?= ,所以数列 {an +1? - an?}?是以?a2 - a1? = 为首项,? 为公差的 3? 3? 3? 4 2 2? 等差数列,所以?an +1? - an? = + ( n - 1) = ( n + 1)?,于是? 3 3 3? 2 1? an? = a1? + (2 + 3 + L + n ) = n ( n + 1)?, 3 3? 1? 所以?a2007? = ? 2007 ? (2007 + 1) =?1343352?.? 3? 9. 设复数?z1 = (2 - a) + (1 - b) i , z 2 = (3 + 2a ) + (2 + 3b) i , z3? = (3 - a ) + (3 - 2b) i ,?其
由?a1 = 中?a,?b ? R ,当? z1 + z2 + z3? 取得最小值时, 3a + 4? =?__________.? b 解 易 求 得? z1 + z2 + z3? = 8 + 6i? ,, 于 是? z1 + z2 + z3 ? z1 + z2 + z3? =?10?,?

2 - a 3 + 2 a 3 - a? 8? 7 5? z1 + z2 + z3? 取得最小值,当且仅当? = = = ,解得?a = , b = ,所 1 - b 2 + 3b 3 - 2b 6? 3 4? 以 3a + 4? =?12.? b p 225 2? 10. 设?x ? (0, ) ,则函数?y?= + 的最小值为__________.? 2? 2? 4 sin x cos?x


) ,所以 sin x > 0,cos x > 0?,设?k > 0?,? 2? 225 1 1? y= + k sin 2 x + + + k cos?2? x -?k? ? 15 k + 3?3? k - k (1) 2? 4 sin x cos x cos?x 15? ì 2? 225? ì 225 ì 4? ,? = k sin 2 x, sin x?= ,? ?sin x?= ? 4sin 2? x ? 2? k? ? ? ? 4? k? 其中等号成立当且仅当?í ?í ?í 成 3? ? 1 = k cos2 x ?cos? x?= 1? ?cos?2? x?= 1? 3? 2? ? cos?x ? ? ? ? k? k ?
立,此时?

因为?x ? (0,

p

15 1? 1? + = 1?,设? = t?6? ,则?2t 4 + 15t 3? - 2 =?0?.而? 3? 2? k 2? k? k 4 3 4 3 2t + 15t - 2 = 2t - t + 16t 3 - 2 = t 3 (2t - 1) + 2(2t - 1)(4t 2? + 2t +?1)? = (2t - 1)(t 3 + 8t 2? + 4t + 2),? 故?(2t - 1)(t 3 + 8t 2? + 4t + 2) = 0?, 15 1? 1? 注意到?sin 2 x = ? 1, cos 2? x?= ? 1?,判断易知满足限制条件的根只有?t =? .? 3? 2? 2? 2? k? k 1? 1? 当?t = 时,? k? = 6? = 64?,不等式(1)取得等号.? 2? t 225 2? 所以函数?y?= + 的最小值为? 15 64 + 3 3? 64 - 64 =?68 . 2? 4 sin x cos?x

11. 对于函数? f ( x )?= ax + bx ,存在一个正数 b?,使得? f ( x? 的定义域和值域相同, )? 则非零实数 a 的值为__________. 解 若?a > 0?,对于正数 b?,? f ( x? 的定义域为?D? = ( -?, - ] U [0, +?)?,但? f ( x? 的 )? )?

2?

b? a

值域?A ? [0, +?)?,故 D ? A ,不合要求. 若?a < 0?,对于正数 b?,? f ( x? 的定义域为?D? = [0, - ]?. )? 由于此时?[ f ( x )]max? = f?( 由题意,有?-

b? a

b b? b? )?= ]?. ,故函数的值域?A?= [0, 2? a? 2? - a 2? - a

b b? = ,由于?b > 0?,所以?a = -4?. a? 2? - a 12. 已知双曲线的中心在原点,焦点在坐标轴上,点?P ( -2, 0)?到其渐近线的距离为? 2 6 2? .若过 P?点作斜率为? 的直线交双曲线于?A,?B 两点,交?y?轴于 M? 点,且 PM? 是 PA? 3? 2? 与 PB 的等比中项,则双曲线的半焦距为__________.? -2? k? 2 6 解:设渐近线的方程为?y = kx ,由题设得? ,解得?k = ± 2?,双曲线的 = 2? 3? 1?+ k
渐近线方程为?y = ± 2? ,故可设双曲线的方程为?2x 2 - y 2? =?l x 设?A( x1 , y1 ), B ( x2 , y? )?,直线?AB?的方程为?y = 2? 得?3 x - 4 x - 2l - 4 =?0?.? 当? D = 16 + 12(2l + 4) > 0 , 即? l > 2?

(l ??0) .?

2? ( x + 2)?,代入双曲线方程消去?y?, 2?

8? 时 , 上 面 的 方 程 恰 有 两 实 根 , 且? 3

x1 + x2 =

4 2? , x1 x2? = - (l +?2)?.? 3 3? 2? 由 题 设 可 知 ,? PM = PA × PB , 可 化 为? ( x1 + 2) × ( x2? + 2) = 4? , 即?

2 4? x1 x2 + 2( x1 + x2?) + 4 = 4?,即? - (l + 2) + 2 × + 4 = 4?,解得?l = 2 或?l =?14 .? 3 3
因此,双曲线的方程为?2 x 2 - y 2? = 2?或?2 x 2 - y 2? = 14?,即?x 所以双曲线的半焦距为? 1 + 2 = 3 或? 7 + 14 =? 21 .? 三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13. 过点?Q (-1, -1)?作已知直线?l : y =
2? x? 1? x + 1?的平行线,交双曲线? - y 2? = 1?于点? 4? 4? 2?

y?2? x 2 y 2? = 1?或? =?1?.? 2? 7 14?

M ,?N?.
(1)证明:点 Q 是线段 MN?的中点.? (2)分别过点?M ,?N?作双曲线的切线?l1 ,?l? ,证明:三条直线?l , l1 ,?l? 相交于同一点.? 2? 2? (3)设 P?为直线 l 上一动点,过点 P?作双曲线的切线?PA,?PB ,切点分别为?A,?B .证明: 点 Q 在直线?AB?上.? 解 (1)直线 MN?的方程为?y - ( -1) =

1? 1? [ x - ( -1)]?,即?y = ( x - 3)?,代入双曲线方 4? 4?

程?

2? x? - y 2? = 1?,得? 3 x 2? + 6 x - 25 =?0?.? 4? 设?M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y? )?,则?x1 ,?x? 是方程的两根,所以?x1 + x2? = -2?, 2? 2? 1? 于是?y1 + y2 = ( x1 + x2? - 6) = -2?,故点?Q (-1, -1)?是线段 MN?的中点.? 4? 2? x? 2? (2)双曲线? - y = 1? 的过点?M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y? )?的切线方程分别为? 2? 4? x x? x x? l1 : 1? - y1?y = 1?,?l2 : 2? - y2?y =?1?.? 4? 4? ì x1?x? ? 4? - y1?y?= 1,? ? 联 立 , 得? í 两 式 相 加 , 并 将? x1 + x2? = -2? ,? y1 + y2? = -2? 代 入 , 得? ? x2?x?- y y = 1,? 2? ? 4? ? 1? 1? y = x + 1?,这说明直线?l1 ,?l? 的交点在直线?l : y = x + 1?上,即三条直线?l , l1 ,?l? 相交于同一 2? 2? 4? 4?

点.? (3)设?P ( x0 , y? )?,? A( x3 , y3 ), B ( x4 , y? )?,则?PA,?PB 的方程分别为? 0? 4?

x3?x? - y3?y = 1?和? 4?

x4?x? x x? x x? - y4?y = 1? ,因为点 P?在两条直线上,所以? 3 0? - y3 y0? = 1? ,? 4 0? - y4 y0? = 1?,这表明 4? 4? 4? x x? x x? 点?A,?B 都在直线? 0? - y0?y = 1? 上,即直线 AB?的方程为? 0? - y0?y =?1? .? 4? 4? x? x? 又?y0? = 0? + 1?,代入整理得? 0? ( x - y ) - ( y + 1) = 0?,显然,无论?x? 取什么值(即无论? 0? 4? 4? P?为直线 l 上哪一点) Q (-1, -1)?都在直线?AB?上.? ,点?
14。已知正实数?a? b? c?满足?ab?+?bc?+ ca?= 1 ,证明:? ,? ,?

2? 3? 3? 14? + + ? .? 2? a?2 +?1? a?2? + 1? a?2? + 1? A? B? C? 证明:令?a = tan? , b? = tan? , c? = tan? (其中 A?+?B?+ C? = p ,? < A? B? C? < p ) 0? ,? ,? ,则原不 2? 2? 2? A? B? C? 3? 14? 等式等价于?cos +?2?cos? + 3? cos? ? .? 2? 2? 2? 2? A B? C? A? B? C? 而?cos? +?2?cos? + 3? cos? ? 1?+ 4?+ 9?× cos?2? + cos?2? + cos?2? ,? 2? 2? 2? 2? 2? 2? 3? 所以只须证?cos A?+?cos?B?+ cos?C? ? ,以下略.? 2?
15. 已知数列 {a? }?满足递推关系式:?an +1? = n?

1?

1? 2? an - an? + 2?,?n ? 1,?n ??N .? 2? 3 2?

(1) a1? = 4?, 若? 证明: (ⅰ) n ? 2?时, an +1? ? 2? n? ; 当? 有? a (ⅱ) n ? 1? 有?an +1? ??( ) n?an? . 当? 时,

n

(2)若?a1? = 1?,证明:当?n ? 5?时,有?

??a
k?=1?

1?
k?

< n?- 1?.?

1 2 1? 证明: 因为?an +1? - an = an - 2 an + 2 = ( an? - 2) 2? ? 0?, an +1? ? an? , 故? 即数列 {a? }?为 n? 2 2?
递增数列.?

1? 2? an - an? + 2?可求得?a2 = 6, a3? = 14?,于是当?n ? 2?时,? 2? 1 2 1 5? an? ? 6?,于是?an +1? - 2 an = an - 3an + 2 = ( an? - 3) 2? - > 0?,即当?n ? 2?时,?an +1? >?2? n?.? a 2 2 2? n? (ⅱ)由于?n ? 2?时,?an +1? > 2? n?,所以?n ? 2?时,?an?+1 > 2 n - 2 a2? = 6 × 2 n - 2 = 3 ×?2? -1?.? a a? 1? 2? 1 2? 由?an +1? = an - an? + 2?可得? n?+1? = a? + -?1?.? n? 2? an 2? an? 1 3 n? 先用数学归纳法证明下面的不等式成立:? an? > ( ) + 1? (?n ? 3?).? 2 2? 1 3? Ⅰ)当?n = 3?时,? a3? = 7 > ( )3? + 1?,结论成立.? 2 2? 1 3 Ⅱ)假设结论对?n = k ( k ? 3)?成立,即? ak? ? ( ) k? + 1?,则结合(ⅰ)的结论可得? 2 2? 1 3 k 3? k?+1? ak +1? > ak? ? 2( ) + 2 > ( ) + 1?,即当?n = k + 1?时结论也成立.? 2 2 2? 1 3 综合Ⅰ) ,Ⅱ)可知,不等式? an? > ( ) n? + 1?对一切?n ? 3?都成立.? 2 2? a? 1 2 1? 3 3 因此,当?n ? 3?时,? n?+1? = an + - 1 > a? -?1?> ( ) n ,即?an +1? >?( ) n?an? .? n? 2? 2? an 2 an? 2? 3? 3? 3 又?a2 = 6 = ( )1? × a1?,?a3 = 14 > ( ) 2? × a2? = 13.5?,所以当?n ? 1? 时,有?an +1? ??( ) n?an? .? 2? 2? 2? (2)由于?a1? = 1?,而数列 {a? }?为递增数列,故当?n ? 1? 时,有?an? >?1? .? n?
(1) (ⅰ)由?a1? = 4?及?an +1? = 由?an +1? =
n

1? 2? 1 1 1? an - an? + 2?可得? = ,而?a1? = 1?,于是? 2? an an - 2 an?+1? - 2?
n?

1 1 1 1 1? )= = - 1? .? ak +1 - 2 a1 - 2 an +1 - 2 2?- an?+1? k =1 k k?=1? ak - 2 1? 下面先证明:当?n ? 5?时,有?a? < 2?(*) n? n - 1? 1? 2? 3 13 217? Ⅰ)根据?a1? = 1?及?an +1? = an - an? + 2?计算易得?a1 = , a3 = ,?a4? = ,? 2? 2 8 128? 1 217 2? 217 217 1 217? 217 1 217 217 39 1? a5? = ( ) +2 = 2(1 - × )?,而? (1 - × )?= × > , 2 128 128 128 2 128? 128 2 128 128 256 4 1? 故?a5? < 2?- ,即当?n = 5?时,结论成立.? 4? 1? Ⅱ)假设结论对?n = k ( k ? 5)?成立,即?a? < 2?.? k? k -?1? 1 3? 1 3? 2? 2? 因为?an +1? = ( an? - 1)? + ,而函数? f ( x ) = ( x - 1)? + 在?x > 1?时为增函数,所以 2 2? 2 2?

?a

1

= ?? (

1 1 3 1 1 1? a? +1? < (2 - 1) 2? + = 2 + < 2?- , k? 2? 2 k -1 2 k - 1 2(k - 1)? k 即当?n = k + 1?时结论也成立.? 1? 综合Ⅰ) ,Ⅱ)可知,不等式?a? < 2?对一切?n ? 5?都成立.? n? n - 1? n 1? 1? 1 1? 于是当?n ? 5?时,?a? +1? < 2?- ,故? < n?,所以??? = - 1 < n?- 1?.? n? n 2?- an?+1? 2?- an?+1? k?=1? ak 16. 求所有的正整数 n ,使得?n + 36?是一个完全平方数,且除了?2?或?3?以外,n 没有其
他的质因数.? 解 设?n + 36 = ( x + 6)? ,其中 x ? N + ,则?n = x( x +?12)?.?
1? ì x?= 2a1 × 3b? ,? ? 其中?a1 , a2 , b1 ,?b? 均为非负整数,于是? 2? a b? ? x + 12 = 2 2 × 3 2? ,? ?

2?

依题意,可设?í

2a2 × 3b2 - 2a1 × 3b1? = 12? (1) b2 b1? 如果?a1 = a2? = 0?,则?3 - 3 = 12?,这是不可能的.所以?a1 ,?a? 中至少有一个大于 0,于 2?
是 x 和?x + 12?均为偶数,从而?a1 ,?a? 均为正整数.? 2?
b 若?a2? = 1? ,则?2 × 3b2 = 12 + 2a1 × 3?1? ,显然只可能?a1? = 1?(否则左右两边被?4?除的余数不

相同) ,此时?3 2 = 6 + 3?1? ,显然只能是?b2 = 2, b1? = 1? ,此时?x = 6, n =?108?.? 若?a2? ? 2?,则?x + 12?是?4?的倍数,从而 x 也是?4?的倍数,故?a1? ? 2?,此时?

b

b

2a2 - 2 × 3b2 - 2a1 -2? × 3b1? = 3? (2) 显然?a1 - 2, a2? - 2?中至少有一个应为?0(否则(2)式左右两边奇偶性不相同).?
1)当?a2? - 2 = 0?,即?a2? = 2?时,? 3b2 - 2a1 -2? × 3b1? = 3? 此时?a1? - 2 > 0?(否则等式左右两边奇偶性不相同) ,故?b2 >?b1?.? 若?b1? ? 2?,则(3)式左边是?9 的倍数,而右边为?3,矛盾,故只可能?b1? = 1?,从而(3) (3)

ì a? - 2 = 1,? ì a? - 2 = 3,? ì a? = 3,? ì a? = 5,? 1? 1? 1? 1? 和?í 即?í 和?í 此时, b2? - 1 = 1,? ?b2? - 1 = 2,? ?b2? = 2,? ?b2? = 3,? ? 对应的 x 值分别为?24 和?96,相应的 n 值分别为?864 和?10368.? 2)当?a1? - 2 = 0?,即?a1? = 2?时,? 2a2 - 2? × 3b2 - 3b1? = 3? (4)
式即?3b2 -1 - 2a1?- 2? = 1? ,它只有两组解?í 此时显然?a2? - 2 > 0?(否则等式左右两边奇偶性不相同) ,故?b2 ??b1?.? 若?b2? ? 2?,则(4)式左边是?9?的倍数,而右边是?3,无解.故?b2? ??1?.? 若?b2? = 0?,则?2a2 - 2? - 3b1? = 3?,只可能?b1? = 0?,此时?a2? = 4, x = 4, n =?64?.? 若?b2? = 1?,则(4)式即?2
a2 - 2

ì a? - 2 = 1,? ì a? - 2 = 2,? 2? - 3b1?-1? = 1?,它只有两组解?í 2? 和?í 即? ?b1? - 1 = 0,? ?b1? - 1 = 1,?

ì a? = 3, ì a? = 4, 2? 2? 和?í 此时,对应的 x 值分别为?12 和?36,相应的 n 值分别为 288?和?1728.? í ?b1? = 1,? ?b1? = 2,? 因此,符合条件的 n 值有?6?个,分别为?64,108,288,864,1728,10368.


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