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山东省各市2015届高三一模数学理试题分类汇编:立体几何


山东省各市 2015 届高三第一次模拟数学理试题分类汇编 立体几何
一、选择题 1、(德州市 2015 届高三)棱长为 2 的正方体被一平面截得的几何体的三视图如图所示,那么被截 去的几何体的体积是 A、

14 3

B、

10 3

C、4

D、3

r />2、(临沂市 2015 届高三)已知某几何体的三视图,则该几何体的体积是 A.12 B.24 C.36 D.48

3、(青岛市 2015 届高三)某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 3 ,则 正视图中的 x 的值是 A. 2 B.

9 2

C.

3 2

D. 3
[来

4、 (日照市 2015 届高三)一个简单几何体的正视图、侧视图如右图所示,则其俯视图不可能 为 ... . ①长方形;②正方形;③圆;④椭圆. 中的 A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 5、(潍坊市 2015 届高三)某几何体的三视图如图所示,其中左视 图为半圆, 则该几何体的体积是 A.

2 ? 3 2 2 ? 3

B.

? 2

C.

D. ?

6、(淄博市 2015 届高三)某几何体的三视图如图所示,图中的四边形都是边长为 1 的 正方形,其中正视图、侧视图中的两条虚线互相垂直,则该几何体的体积是

A.

5 6

B.

3 4

C.

1 2

D.

1 6

7、(枣庄市 2015 届高三)

参考答案
1、C 2、A 3、D 4、B 5、A 6、A 7、B

二、填空题 1、(菏泽市 2015 届高三)如图,正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱长为 1,E 为棱 DD 1 上的点,

F 为 AB 的中点,则三棱锥 B1 ? BFE学科网 的体积为

2、(济宁市 2015 届高三)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为



3、(烟台市 2015 届高三)若某四面体的三视图如右图所示,则这个四面体四个面的面积

中最大值的是



4、(泰安市 2015 届高三)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S1、S2 ,体积分别为 ?1,?2 ,若它们 的侧面积相等,且

S1 16 ? ? ,则 1 学科网 的值为 S2 9 ?2



.

参考答案
1、

1 12

2、8 3、10 4、

4 3

三、解答题 1、 (德州市 2015 届高三)如图所示,正三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长都是 2,D 为 CC1 的中点。 (I)求证:AB1⊥平面 A1BD; (II)求锐二面角 A1-BD-A 的余弦。

2、(菏泽市 2015 届高三) 如图,将边长为 2 的正六边形 ABCDEF 沿对角线 BE 翻折,连接 AC、FD,形成如图所示的多面体, 且 AC ? 6 (1)证明:平面 ABEF ? 平面 BCDE; (2)求平面 ABC 与平面 DEF 所成的二面角(锐 角)的余弦值。

3、(济宁市 2015 届高三)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是菱形, ?ADC ? 60 ,
o

侧面 PDC 是正三角形,平面 PDC ? 平面 ABCD,CD=2,M 为 PB 的中点. (I)求证: PA ? 平面 CDM; (II)求二面角 D ? MC ? B 的余弦值.

4、(临沂市 2015 届高三)如图,在多面体 ABC ? A1B1C1 中,四边形 ABB1 A 1CB 是 1 是正方形, ?A 等边三角形, AC ? AB ? 1, B1C1 / / BC, BC ? 2B1C1 . (I)求证: AB1 / /平面AC 1 1C ; (II)若点 M 是边 AB 上的一个动点(包括 A,B 两端点),试确定点 M 的位置,使得平面 CAC 1 1和

平面 MAC 1 1 所成的角(锐角)的余弦值是

3 . 3

5、 (青岛市 2015 届高三) 如图, 在四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, 侧棱 AA1 ? 底面 ABCD , 底面 ABCD 是直角梯形, AD / / BC , ?BAD ? 90? , AD ? AA1 ? 3 , BC ? 1 , E1 为 A1 B1 中点. (Ⅰ)证明: B1 D / / 平面 AD1E1 ; (Ⅱ)若 AC ? BD ,求平面 ACD1 和平面 CDD1C1 所成角(锐角)的余弦值.

6、 (日照市 2015 届高三)在如图所示的空间几何体中,平面 ACD ? 平面 ABC, ?ACD与?ACB 是 边长为 2 的等边三角形,BE=2,BE 和平面 ABC 所成的角为 60°,且点 E 在平面 ABC 上的射影落在 ?ABC 的平分线上. (I)求证:DE//平面 ABC; (II)求二面角 E ? BC ? A 的余弦值.

7、(潍坊市 2015 届高三)

如图,已知平行四边形 ABCD 与直角梯形 ABEF 所在的平面互相垂直,其中 BE ∥ AF , AB ⊥ AF , AB=BE=

1 ? AF,BC= 2 AB,∠CBA= ,P 为 DF 的中点。 2 4

(Ⅰ)求证:PE∥平面 ABCD; (Ⅱ)求平面 DEF 与平面 ABCD 所成角(锐角)的余弦值

8、(烟台市 2015 届高三)

如图, 在四棱锥 ? ? ??CD 中,?D//?C ,?? ? ?D ,?? ? ?? ,?C ? 2?? ? 2?D ? 4?? , 平面 ??? ? 平面 ?? CD . ?1? 求证:平面 ??D ? 平面 ??C ;

? 2 ? 若直线 ?? 与平面 ??C 所成的角的正弦值为
? ? ?C ? D 的余弦值.

5 ,求二面角 5

9、(淄博市 2015 届高三) 如图,在四棱锥 E ? ABCD 中,平面 EAD ? 平面 ABCD , DC//AB , BC ? CD , EA ? ED , AB=4,BC=CD=EA=ED=2,F 是线段 EB 的中点. (I)证明: BD ? AE ; (II)求平面 ADE 和平面 CDE 所成角(锐角)的余弦值.

10、(滨州市 2015 届高三)如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D,E 分别是 AB,BB1 的中点,AA1=AC =CB=

2 AB。 2

(I)证明:BC1∥平面 A1CD; (II)求二面角 A1-EC-C1 的余弦值。

11、(泰安市 2015 届高三) 如图正方形 ABCD 的边长为 2 2 ,四边形 BDEF 是平行四边形,BD 与 AC 交于点 G, O 为 GC 的 中点, FO ? 3,且FO ? 平面 ABCD. (I)求证:AE//平面 BCF; (II)求证: CF ? 平面 AEF; (III)求二面角 A ? CF ? B 余弦值的大小.

参考答案
1、

2、(1)证明:正六边形 ABCDEF 中,连接 AC、BE,交点

为 G,易知 AC ? BE ,且 AG ? CG ? 3 , 在多面体中,由 AC = 6 ,知 AG 2 ? CG 2 ? AC 2 , 故 AG ? GC , …………………………………………2 分 又 GC
BE ? G , GC , BE ? 平面 BCDE ,故 AG ? 平面 BCDE ,………………..5 分

又 AG ? 平面 ABEF,所以平面 ABEF ? 平面 BCDE.…………6 分 (2)以 G 为坐标原点,分别以 GC,GE,GA 所在的直线为 x 轴, z 轴建立如图所示的坐标系. 由 AG ? CG ? 3 , BG ? 1 , GE ? 3, , 则 A 0,0, 3 , B ? 0, ?1,0 ? , C
D

y 轴,

?

?

?

3,0,0 ,

?

?

3, 2,0 , E ? 0,3,0 ? , F 0, 2, 3 .

?

?

?

AB ? 0, ?1, ? 3 , AC ?

?

?

?

3,0, ? 3 , FE ? 0, ?1, 3 , FD ? AC ?

?

?

?

?

3,0, ? 3 ...8 分

?

设平面 ABC 的法向量为 n1 = ? x, y, z ? ,
? ?y ? z 3 ? 0 ? n1 ? AB ? 0 则? ,即 ? ,令 ? ? n ? AC ? 0 x 3 ? z 3 ? 0 ? ? ? 1 ?

z ? 1 ,得 n1 = 1, ? 3,1 ,

?

?

同理,可得平面 DEF 的一个法向量为 n2 ? 1, 3,1 ,………………….10 分 所以 cos n , n ? n1 ? n2 ? ? 1 , 1 2 5 n1 n2
1 所以平面 ABC 与平面 DEF 所成二面角(锐角)的余弦值为 .……….12 分 5

?

?

3、

4、

5、证明:(Ⅰ)连结 A1D 交 AD1 于 G , 因为 ABCD ? A1B1C1D1 为四棱柱, 所以四边形 ADD1 A1 为平行四边形, 所以 G 为 A1D 的中点, 又 E1 为 A1B1 中点,所以 E1G 为 ?A 1B 1D 的中位线, 从而 B1D / / E1G ……………………………………4 分

z
B1 E1 A1 C1
G

D1

又因为 B1D ? 平面 AD1E1 , E1G ? 平面 AD1E1 , 所以 B1D / / 平面 AD1E1 . …………………………5 分

B

A H

D

y

x

C

(Ⅱ)因为 AA1 ? 底面 ABCD , AB ? 面 ABCD , AD ? 面 ABCD ,
0 所以 AA 1 ? AB, AA 1 ? AD, 又 ?BAD ? 90 ,所以 AB, AD, AA 1 两两垂直. ……………6 分

如图,以 A 为坐标原点, AB, AD, AA1 所在直线分别为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系. 设

AB ? t ,则 A? 0,0,0? , B ? t ,0,0 ? , C ? t ,1,0? , D ? 0,3,0? , C1 ?t,1,3? , D1 ? 0,3,3? .

从而 AC ? (t ,1,0) , BD ? (?t , 3,0) .
2 因为 AC ? BD ,所以 AC ? BD ? ?t ? 3 ? 0 ? 0 ,解得 t ? 3 .

……………………8 分

所以 AD1 ? (0,3,3) , AC ? ( 3,1,0) . 设 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) 是平面 ACD1 的一个法向量,则 ? 令 x1 ? 1 ,则 n1 ? (1, ? 3, 3) .

? ? AC ? n1 ? 0, ? ? AD1 ? n1 ? 0.

即?

? ? 3 x1 ? y1 ? 0 ? ? 3 y1 ? 3 z1 ? 0

…………………………………………………………9 分

又 CC1 ? (0,0,3) , CD ? (? 3, 2,0) . 设 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) 是平面 CDD1C1 的一个法向量,则 ? 令 x2 ? 1 ,则 n2 ? (1,

? ?CC1 ? n2 ? 0, ? ?CD ? n2 ? 0.

即?

? ?

z2 ? 0

? ? ? 3 x2 ? 2 y2 ? 0

3 , 0) . 2

………………………………………………………10 分

3 ? (? 3) ? 3 ? 0 | 1 2 ? ? ? cos ? n1 , n2 ?? 7 3 n1 ? n2 1? 3 ? 3 ? 1? ? 0 4 1 ? 平面 ACD1 和平面 CDD1C1 所成角(锐角)的余弦值 . ……………………………12 分 7 6、解析: (Ⅰ )证明:由题意知, ?ABC , ?ACD 都是边长为 2 的等边三角形,取 AC 中点 O ,连 n1 ? n2 |1?1 ?
接 BO, DO ,则 BO ? AC , DO ? AC ,

DO ⊥ 又∵ 平面 ACD ⊥ 平面 ABC ,∴ 平面 ABC ,作 EF ⊥ 平面 ABC , 那么 EF / / DO ,根据题意,点 F 落在 BO 上,

?EBF ? 60? ,易求得 EF ? DO ? 3 , ∴
DE / / OF ,∴ DE / / 平面 ∴ 四边形 DEFO 是平行四边形,∴ ABC …………6 分
(Ⅱ )建立如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz ,可知平面 ABC 的一 个法向量为 n1 ? (0, 0,1) , B (0, 3,0) , C ( ?1,0,0) , E (0, 3 ? 1, 3) , 设平面 BCE 的一个法向量为 n2 ? ( x, y, z ) , 则, ?

? ?n2 ? BC ? 0 ? ?n2 ? BE ? 0

可求得 n2 ? (?3, 3,1) .………………9 分

所以 cos ? n1 , n2 ??

n1 ? n2 13 ? , | n1 | ? | n2 | 13

又由图知,所求二面角的平面角是锐角,

所以二面角 E ? BC ? A 的余弦值为 7、

13 .……12 分 13

8、解:(1)∵平面 学科网PAB ? 平面 ABCD , 平面 PAB 平面 ABCD ? AB , AB ? PA , ………………2 分 示, ∴ PA ? 平面 ABCD ,

又∵ AB ? AD ,故可建立空间直角坐标系 o ? xyz 如图所 不妨设 BC ? 4, AP ? ? (? ? 0) , 则有 D (0, 2, 0), E (2,1, 0), C (2, 4, 0), P(0, 0, ? ) ,

∴ AC ? (2, 4, 0), AP ? (0, 0, ? ), DE ? (2, ?1, 0) , ∴ DE AC ? 4 ? 4 ? 0 ? 0, DE AP ? 0 , ∴ DE ? AC , DE ? AP , ∴ DE ? 平面 PAC . 又 DE ? 平面 PED ∴平面 PED ? 平面 PAC ………………4 分

………………6 分

(2)由(1),平面 PAC 的一个法向量是 DE ? (2, ?1, 0) , PE ? (2,1, ?? ) , 设直线 PE 与平面 PAC 所成的角为 ? ,

? sin ? ?| cos ? PE , DE ?|?|
∵? ? 0 ∴ ? ? 2 ,即 P (0, 0, 2)

4 ?1 5 5 ? ?2

|?

5 学科网 ,解得 ? ? ?2 , 5

………………8 分

设平面 PCD 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) , DC ? (2, 2, 0), DP ? (0, ?2, 2) , 由 n ? DC , n ? DP , ∴?

? 2x ? 2 y ? 0 ,不妨令 x ? 1 ,则 n ? (1, ?1, ?1) … ??2 y ? 2 z ? 0 2 ?1 15 , ? 5 3 5

……………10 分

∴ cos ? n, DE ??

显然二面角 A ? PC ? D 的平面角是锐角, ∴二面角 A ? PC ? D 的余弦值为 9、

15 . 5

……………12 分

10、

11、


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