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2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题(高二年级)


2012 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题
(高二年级)
说明:评阅试卷时,请依据本评分标准。填空题只设 8 分和 0 分两档;解答题的评阅,只要思路合理、 步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。 一、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分。直接将答案写在横线上。 ) 1.函数
f (x) ? x x ?1
2

? 4x ? 7
2

的值域为________________.
2 2

2. 已知 3 sin 2 ?

? 2 sin

? ? 1 ,3 (sin ? ? cos ? ) ? 2 (sin ? ? cos ? )

? 1, c s 则o

2 (? ? ? ) ?

_______________.

3.已知数列
a1 ?

{a n }

满足:

a1

为正整数,

?an ? , a n ?1 ? ? 2 ? 3 a n ? 1, ?

a n 为偶数 , a n 为奇数 ,

如果

a 1 ? a 2 ? a 3 ? 29

,则

. 4.设集合 S
? {1, 2 ,3 , ? ,12 } , A ? { a 1 , a 2 , a 3 }

是 S 的子集,且满足 a 1

? a2 ? a3 ,a3 ? a2 ? 5

,那么满足条

件的子集 A 的个数为


x a
2 2

5.过原点 O 的直线 l 与椭圆 C : 一点.若直线 PM
, PN

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

交于 M , N 两点, P 是椭圆 C 上异于 M , N 的任

的斜率之积为 ?
? BC ? 2

1 3

,则椭圆 C 的离心率为_______________.
?3

6.在△ ABC 中, AB _______________. 7.在长方体

, AC

.设 O 是△ ABC 的内心,若 AO

? p AB ? q AC

,则

p q

的值为

ABCD ? A1 B 1 C 1 D 1

中,已知

AC ? 1, B 1 C ?

2 , AB 1 ? p

,则长方体的体积最大时,

p



_______________. 8.设 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数,则 ? [
k ?0 2012

2012 ? 2 2
k ?1

k

]?



二、解答题(本大题满分 56 分,第 9 题 16 分,第 10 题 20 分,第 11 题 20 分) 9.已知正项数列 { a n } 满足 a n a n ? 1 ? a n a n ? 2 ? 4 a n a n ? 1 ? a n ? 1 ? 3 a n a n ? 1 且 a1 ? 1 , a 2 ? 8 ,求 { a n }
2

的通项公式.

10.已知正实数 a , b 满足 a 2

?b

2

? 1 ,且 a ? b ? 1 ? m ( a ? b ? 1)
3 3

3

,求 m 的取值范围.

11.已知点 E ( m , n ) 为抛物线 y 2

? 2 px ( p ? 0 )

内一定点,过 E 作斜率分别为 k 1 , k 2 的两条直线交抛物线

于 A , B , C , D ,且 M , N 分别是线段 AB , CD 的中点. (1)当 n ? 0 且 k 1 ? k 2 ? ? 1 时,求△ EMN 的面积的最小值; (2)若 k 1 ? k 2 ? ? ( ? ? 0 , ? 为常数) ,证明:直线 MN 过定点.

2012 年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案
(高二年级)
说明:评阅试卷时,请依据本评分标准。填空题只设 8 分和 0 分两档;解答题的评阅,只要思路合理、 步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。 一、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分。直接将答案写在横线上。 ) 1.函数
f (x) ? x x ?1
2

? 4x ? 7

的值域为 [0,

6 6

].

2.已知 3 sin 2 ?

? 2 sin

2

? ? 1 , 3 (sin ? ? cos ? ) ? 2 (sin ? ? cos ? )
2

2

? 1 ,则 cos 2 (? ? ? ) ? ?

1 3



3.已知数列 { a n } 满足: a 1 为正整数,
?an ? , a n ?1 ? ? 2 ? 3 a n ? 1, ? a n 为偶数 , a n 为奇数 ,

如果 a 1 ? a 2 ? a 3 ? 29 ,则 a 1 ? 5 . 4.设集合 S ? {1, 2 ,3 , ? ,12 } , A ? { a 1 , a 2 , a 3 } 是 S 的子集,且满足 a 1 件的子集 A 的个数为 185 .
x a
2 2

? a2 ? a3 ,a3 ? a2 ? 5

,那么满足条

5.过原点 O 的直线 l 与椭圆 C :

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

交于 M , N 两点, P 是椭圆 C 上异于 M , N 的任
6 3
p q

一点.若直线 PM

, PN

的斜率之积为 ?

1 3

,则椭圆 C 的离心率为



6.在△ ABC 中, AB

? BC ? 2

, AC

?3

.设 O 是△ ABC 的内心,若 AO

? p AB ? q AC

,则

的值为

3 2



7.在长方体
2 3 3

ABCD ? A1 B 1 C 1 D 1

中,已知

AC ? 1, B 1 C ?

2 , AB 1 ? p

,则长方体的体积最大时,

p



1?



8.设 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数,则 ? [
k ?0

2012

2012 ? 2 2
k ?1

k

]?

2012



二、解答题(本大题满分 56 分,第 9 题 16 分,第 10 题 20 分,第 11 题 20 分) 9.已知正项数列 { a n } 满足 a n a n ? 1 ? a n a n ? 2 ? 4 a n a n ? 1 ? a n ? 1 ? 3 a n a n ? 1 且 a1 ? 1 , a 2 ? 8 ,求 { a n }
2

的通项公式. 解 在已知等式两边同时除以
a n a n ?1

,得

1?

a n?2 a n ?1

? 4 1?

a n ?1 an

?3



所以

1?

an?2 a n ?1

? 1 ? 4( 1 ?

a n ?1 an

? 1) .

------------------------------------------4 分

令 bn
b n ? b1 ? 4

?

1?

a n ?1 an

?1

,则 b1

? 4 , b n ?1 ? 4 b n

,即数列 {b n } 是以 b 1 =4 为首项,4 为公比的等比数列,所以 ------------------------------------------8 分

n ?1

? 4

n

.
?1 ? 4
n

所以

1?

a n ?1 an

,即

a n ? 1 ? [( 4

n

? 1) ? 1 ] a n
2

.

------------------------------------------12 分

于是,当 n
a n ? [( 4
n ?1

? 1 时,
2 n ?1

? 1) ? 1] a n ? 1 ? [( 4

? 1) ? 1] ? [( 4
2

n?2

? 1) ? 1] a n ? 2
2

?? ?

? [( 4
k ?1

n ?1

k ?1

? 1) ? 1] a 1 ?
2

? [( 4
k ?1

n ?1

k ?1

? 1) ? 1]
2



因此, a n

?1, ? n ?1 ? ? k ?1 2 [( 4 ? 1 ) ? 1], ?? ? k ?1

n ? 1, n ? 2.

------------------------------------------16 分

10.已知正实数 a , b 满足 a 2

?b

2

? 1 ,且 a ? b ? 1 ? m ( a ? b ? 1)
3 3

3

,求 m 的取值范围.

解 令 a ? cos ? , b ? sin ? , 0 ? ? ?
m ? cos
3

?
2

,则
2

? ? sin ? ? 1
3 3

(cos ? ? sin ? ? 1)
x ? cos ? ? sin ?

?

(cos ? ? sin ? )(cos

? ? cos ? sin ? ? sin
3

2

?) ?1

(cos ? ? sin ? ? 1)

.----------------------------------------5 分
x
2



,则

x ?

2 sin( ? ?

?
4

) ? (1,

2 ] ,且 cos ? sin ? ?

?1 2

.------------------------------10 分

于是
x (1 ? m ? x
2

?1 2
3

)?1 ?
3

2 ? 3x ? x 2 ( x ? 1)
? 1 2
3

3

( x ? 1)

?

2? x? x 2 ( x ? 1)

2 2

?

2? x 2 ( x ? 1)

?

3 2 ( x ? 1)

?

1 2



------------------------------15 分 .

因为函数 又
f (1) ? 1 4

f (x) ?

2 ( x ? 1)

在 (1,

2 ] 上单调递减,所以 f ( 2 ) ? m ? f (1)

, f ( 2) ?

3 2 ?4 2

,所以 m ? [

3 2 ?4 2

,

1 4

)



--------------------------------------20 分

11.已知点 E ( m , n ) 为抛物线 y 2

? 2 px ( p ? 0 )

内一定点,过 E 作斜率分别为 k 1 , k 2 的两条直线交抛物线

于 A , B , C , D ,且 M , N 分别是线段 AB , CD 的中点. (1)当 n ? 0 且 k 1 ? k 2 ? ? 1 时,求△ EMN 的面积的最小值; (2)若 k 1 ? k 2 ? ? ( ? ? 0 , ? 为常数) ,证明:直线 MN 过定点. 解
2

AB

所在直线的方程为 x

? t1 ( y ? n ) ? m

,其中 t 1

?

1 k1

,代入 y 2

? 2 px

中,得

y ? 2 pt1 y ? 2 pt1 n ? 2 pm ? 0 ,

设 A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,则有 y 1

? y 2 ? 2 pt 1 ,从而

x1 ? x 2 ? t1 ( y1 ? y 2 ? 2 n ) ? 2 m ? t1 (2 pt1 ? 2 n ) ? 2 m .

则 M ( p t 1 ? n t1 ? m , p t 1 ) .
2

CD

所在直线的方程为 x

? t 2 ( y ? n) ? m

,其中 t 2

?

1 k2

,同理可得 N ( p t 2 ? n t 2 ? m , p t 2 ) .
2

------------------------------------------5 分 (1)当
| EN |? | pt 2 |

n ? 0

) 时 , E ( m , 0 , M ( p t1 ? m , p t1 ) , N ( p t 2 ? m , p t 2 ) ,
2 2

| EM |? | pt 1 |

1 ? t1

2



1? t2

2

. 的面积
2

又 k1 ? k 2
S ? 1 2 p
2

? ? 1 ,故 t 1 ? t 2 ? ? 1 ,于是△ EMN

| E M | ? | E N |?

1 2

| p t1t 2 |

2

(1 ? t1 )(1 ? t 2 ) ?
2

p

2

?

2

2 ? t1 ? t 2
2

2

?

?

4 ? p ,
2

2

当且仅当 | t 1

|? | t 2 |? 1

时等号成立.
2

所以,△ EMN 的面积的最小值为 p . (2) k MN
? p (t1 ? t 2 ) p (t 1 ? t 2 ) ? n (t 1 ? t 2 )
2 2

------------------------------------------10 分
1

?

(t 1 ? t 2 ) ? 1

n p



MN

所在直线的方程为 y ?

pt 1 ?

(t 1 ? t 2 ) ?

n p

? [ x ? ( pt 1 ? nt 1 ? m ] ,
2

即 y (t 1

? t2 ?

n p 1

) ? pt 1 t 2 ? x ? m


t1 ? t 2

------------------------------------------15 分
n p t1 ? t 2

又 k1 即

? k2 ?

?

1 t2 p

? ?

t1

,即 t 1 t 2
ny p

?

?

,代入上式,得 y ( t1 ? t 2 ?

)? p?

?

? x?m ,

( t 1 ? t 2 )( y ?

?

)? x?

?m





p ? ?y ? ? ? m ? 0 ,即 ? y? ? 0 时,有 x ? n p ? ?x ? m ? ? ?
p

ny

为方程的一组解,

所以直线 MN 恒过定点 ( m ?

n

?

,

p

?

)



------------------------------------------20 分



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