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1.1.2弧度制


1,下面四个命题中正确的是( B )

A.第一象限角必是锐角
B.锐角必是第一象限的角 C.终边相同的角必相等

D.第二象限的角必大于第一象限角

2、给出下列四个命题


② ③ ④

-75
225 475


/>0 0

是第四象限的角
是第三象限的角 是第二象限的角


-315

是第一象限的角

其中正确的有(

A. 1

B. 2

D

)个

C. 3

D. 4

3、下列角中与 – 1200 终边相同的角是(



A. 1200

B. 2400

C. 4200

D. 600 )象

4、若α是第四象限的角,则 1800 – α 是第( 限的角 A.一 B. 二 C. 三 D. 四

5、集合 A = {x| - 3600 ·k – 900 < x < 3600 · k ,k∈Z}
中的角是第( )象限的角

A. 一

B. 二

C. 三

D. 四

1.1.2弧度制

?度量长度:

米、英尺、码
?度量重量:

千克、磅

?度量角度:
1 规定周角的 360 为1度的角. 记作1°

角度制

周角等于 360o 平角等于 180o 直角等于 90o

? 度量角度:弧度制
? 问题1:1弧度是如何定义的?

r
l

?长度等于半径长的圆弧所对的圆心 角叫做1弧度的角. 记作1 rad 类似地有: ?长度为2r的弧长所对的圆心角 的弧度数就是 2 rad ?长度为l的弧长所对的圆心角 α

2r

l 的弧度数就是 ? = rad r

问题2:弧度制与角所在圆的半径的大小是否有关?

α

在同一个圆中, 圆心角α的大小与 它所对的弧长l一 一对应.当半径r不 同时,同样大的 圆心角所对的弧 长l不相等.
0.80 0.93 0.86 1.00 1.21 1.40 2.35 2.71

弧长/cm 半径/cm

弧长与半径之比

0.86

0.86

0.86

0.86

? 问题3:

1周角=

?

rad

? 问题4:角度制与弧度制如何换算?

r

角度制与弧度制的换算:
360o=2πrad 180o=πrad 1o = ? rad≈0.01745 rad
180

? 180? ? ? 1 rad = ? ? ?

0

≈57.30o = 57°18′

例题(1)把67°30′化成弧度。
? 1? 解: 67 30' ? ? 67 ? ? 2?
? ?

1 3 67 30 ' ? rad ? 67 ? ?rad 180 2 8 3 (2)把 ? 弧度化成度。 5
?

?

解:

3 3 ? ? ?rad ? ? 180 ? 108 5 5

写出一些特殊角的弧度数


0

角 度 弧 度

?

实数
0
? 6

30? 45? 60? 90? 120? 135? 150?180? 270? 360?

? 4

? ? 3 2

2 ? 3? 5 ? 3 4 6

?

3? 2? 2

1、对于一些特殊角的度数与弧度数之间的换算要熟记。 2、用弧度为单位表示角的大小时,“弧度”二字通常省 略不写,但用“度”(°)为单位不能省略。

3、用弧度为单位表示角时,通常写 成“多少π”的形式。 如无特别要求,不用将π化成小数。

用弧度来度量角,实现角的集合 与实数集R之间建立一一对应的关系:
正角 零角

正实数

对应角的 弧度数


负实数

负角

角的集合

实数集R

问题4:为什么要引入弧度制?好处是什么? 弧度制是十进制,而角度制是六十进制

练习:P9,1,2,3 注:(1)关键抓住 180 ? ?
o

(2)弧度制与角度数是不可以混合写 ? o o 如: k ? 360 ? 或2k? ? 60 3

×

作业:P9,习题1.1A组,4,7, 8

练习2:请用弧度制表示下列角度的范围。
锐角:{θ|0°<θ<90°}, 直角: {θ|θ=90°} 钝角: {θ|90°<θ<180°} 平角: {θ|θ=180°} 周角: {θ|θ=360°} 0°到90°的角:{θ|0°≤θ<90°}; 小于90°角:{θ|θ<90°} 0°到180°的角:{θ|0°≤θ<180°} 0°到360°的角:{θ|0°≤θ<360°}
? ?? ? 0,
?

? ?
? 2?

? ?
? ?? ?

?
?
2

? ,? ? ?2 ?

? ??
? ? 2?
? ? [0, ?
2 )

? ? ( ?? ,

?

2 ? ?[0, ? )

)

? ? [0,2? )

扇形的公式:
① 弧长公式 ② 扇形面积公式

l ?r??
1 S ? lR 2

Why? Why?

l

no

已知圆的半径长度为 r, o ∠AOB= n , ∠AOB所对的弧长为 l ,则 n n?r l ? 2?r ? 360 ? 180 由线段OA,OB与弧AB组成的扇形面积S是多少?
2 n n ? r S ? ?r 2 ? ? 360 360

弧长公式

扇形面积公式

角度制

n?r l ? 180

n?r 2 S ? 360

弧度制





∠AOB=
l
a

a

(单位为弧度),则有

l a ? r
a

即l ? a r

那么由线段OA,OB与弧AB组成的扇形面积

1 1 2 S? ? ?r ? a r ? rl 2? 2 2
2

弧长公式

扇形面积公式

角度制 弧度制

n?r l ? 180

l ? ar

n?r 2 S ? 360 1 S ? rl 2

显然,用弧度 制表示的公式 形式比较简单

? 1.扇形AOB中,弧AB所对的圆心角是60? ,半径是50 米,求弧AB的长l(精确到0.1米).

? 2.已知扇形的周长为8cm,圆心角为2 rad ,求该 扇形的面积.
? 3. 在半径为R的圆中,240?的中心角所对的弧长为 ? ,面积为2R2的扇形的中心角等于 弧度. ? 4. 已知一半径为R的扇形,它的周长等于所在圆的 周长,那么扇形的中心角是多少弧度?合多少度? 扇形的面积是多少?

例1. 扇形AOB中,弧AB所对的圆心角是60? ,半
径是50米,求弧AB的长l(精确到0.1米)。 解:因为60? = l=α· r=
?
3

?

3

,所以

×50≈52.5 .

? 答: AB 的长约为52.5米.

例2

已知扇形的周长为8cm,圆心角为2 rad , 求该扇形的面积。
?2r ? l ? 8 ? ?l ? 2r

解:设扇形的半径为 r , 弧长为 l , 则有 解得

l

?r ? 2 ? ?l ? 4

r r

故扇形的面积为

1 S ? rl ? 4 2

(cm2)

例3. 在半径为R的圆中,240?的中心角所对的弧

长为
等于

,面积为2R2的扇形的中心角
弧度。

4 解:(1)240? = ? ,根据l=αR,得 3
1 1 (2)根据S= lR= αR2,且S=2R2. 2 2

4 l ? ?R 3

所以 α=4.

例4. 已知一半径为R的扇形,它的周长等于所在
圆的周长,那么扇形的中心角是多少弧度?合 多少度?扇形的面积是多少? 解:周长=2πR=2R+l,所以l=2(π-1)R. 所以扇形的中心角是2(π-1) rad. 合(
360(? ? 1)

?

)?
2

扇形面积是 (? ? 1) R

返回

已知角a的终边在如图所示的阴影部分

(1 )

(2 )

(I)使用集合表示出角a的所有可能

(1)①使用角度制表示②使用弧度制表示
(2)①使用角度制表示②使用弧度制表示

(II)指出a/4可能是在第几象限的角,并说明理由。

跟踪练习:
已知半径为10cm的圆上,有一段弧的长 10 度是 3 ? cm,求此弧所对的圆心角的弧 度数和该扇形的面积。

小结 (1)弧度制的概念 (2)
?

180 ? ?rad;
o

n (3)“角化弧” : 即把角从度化为弧度,如果是 就可将 n乘以 ?
180

的角化成弧度,

a ―弧化角”:即把角从弧度化为度,如果是 180 o 就可将 a乘以
?

弧度的角化成度,

l ? ar (4)弧长公式:

s ? rl ? a r 扇形面积公式: r a 所对的弧长, a 为圆心角的弧度数,
1 2 1 2

2

(其中 l 为圆心角 为圆半径.)

作业:
? 书本第10页

3、7、8题

数学史上的巨匠——欧拉
瑞士数学家欧拉的一生,是为数学发展 而奋斗的一生。他在数学上的建树很多。他双 目失明后仍以口述别人记录的方式工作了近17 年 。1783年76岁的欧拉与世长辞。他一生发表 过530多部(篇)著作和论文 。 在数学里有很多以欧拉命名的公式和定理。在我们的数学课本上常见的: sin,cos(三角函数符号),f(x)(函数符号),以及高二要用到的∑(求和符 号),i(即-1的平方根)等都是他创立并推广的。 今天我们要学习的弧度制雏形起源于印度,然而严格的弧度概念却是由欧 拉于1748年引入的。 弧度制的精髓在于把角与弧长的度量统一起来,从而大大简化了有关公式 及运算,尤其是在高等数学中,其优点格外明显。


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