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河南省信阳高级中学2015-2016学年高一数学12月月考试题


2018 届高一第三次大考数学试题
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。本试卷共 150 分, 考试时间 120 分钟。答卷前,考生务必将自己的班级、学号、姓名、考场、座位号填写 在答题卷上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3

.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.设集合 M ? {x | x2 ? x} , N ? {x | lg x ? 0} ,则 M ? N ? A. [0,1] B. (0,1] C. [0,1) D. (??,1]

2.如表显示出函数值 y 随自变量 x 变化的一组数据,判断它最可能的函数模型是 x y 4 15 5 17 6 19 7 21 8 23 9 25 10 27

A.一次函数模型

B.二次函数模型

C.指数函数模型

D.对数函数模型

3.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是 A. y ?

1 x

B. y ? e ? x

C. y ? ? x 2 ? 1

D. y ? lg | x |

4.用到球心距离为 2 的平面去截球,所得的截面面积为 ? ,则球的体积为 A.

20? 3

B.

20 5? 3

C. 20 5?

D.

100 ? 3

5.已知函数 f ( x) 的定义域为 [ 0,2 ] ,则 A. { x 0 ? x ? 4}

f (2 x) 的定义域为 x
C. { x 0 ? x ? 1} D. { x 0 ? x ? 1}

B. { x 0 ? x ? 4}

6.函数 f(x)=log3x-8+2x 的零点一定位于区间 A. (5,6) B. (3,4) C. (2,3) D. (1,2)

7.若某几何体的三视图如图所示,则此几何体的表面积为 A. (4 ? 2 13)? C. ( 13 ? 2)? B. 6 ? (2 ? 13)? D. 8 ? 2 13?

1

8.函数 f ? x ? ?

ax ? b

? x ? c?

2

的图象如图所示,则下列结论成立的是

A. a ? 0 , b ? 0 , c ? 0 B. a ? 0 , b ? 0 , c ? 0 C. a ? 0 , b ? 0 , c ? 0 D. a ? 0 , b ? 0 , c ? 0 9.如图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中 ①BM 与 ED 成 45 ? 角 ②NF 与 BM 是异面直线 ③CN 与 BM 成 60? 角 ④DM 与 BN 是异面直线 以上四个结论中,正确结论的个数是 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 10. 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f ? x? ? 2
x ?m

N D C M

E

A

B F

?1 ( m 为 实 数 ) 为 偶 函 数 , 记

a ? f (log0.5 3), b ? f ?log2 5? , c ? f ? 2m? ,则 a, b, c 的大小关系为
A. a ? b ? c B. a ? c ? b C. c ? a ? b D. c ? b ? a 11.已知偶函数 y=f(x)在区间[-1,0]上单调递增,且满足 f(1-x)+f(1+x) =0,给出下列判断:①f(5)=0;②f(x)在[1,2]上是减函数;③f(x)的图象关 于直线 x=1 对称;④f(x)在 x=0 处取得最大值;⑤f(x)没有最小值.其中正确判 断的序号是 A.①② B. ①③ C.②③ D.①②④

?1, x ? 0, ? 12.已知符号函数 sgn x ? ?0, x ? 0, f ( x) 是 R 上的增函数,g ( x) ? f ( x) ? f (ax) (a ? 1) , ? ?1, x ? 0. ?
则 A. sgn[ g ( x)] ? sgn x C. sgn[ g ( x)] ? sgn[ f ( x)] B. sgn[ g ( x)] ? ? sgn x D. sgn[ g ( x)] ? ? sgn[ f ( x)]

第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卷中的横线上. 13.一个长方体的表面积为 11,所有棱的长度之和为 24,则长方体的一条对角线长 为 . 14. 已知函数 f ?x ? ? a ln x ? b lg x ? 2 , 且 f?

? 1 ? 0 0 9 则 f ?2 ? ? 4, 0 0 9 ? ?2

? 的值为



15.若函数 f ? x ? ? ? 数 a 的取值范围是

?? x ? 6, x ? 2, ( a ? 0 且 a ? 1 )的值域是 ? 4, ?? ? ,则实 3 ? log x , x ? 2, a ?


16.已知 f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数,且当 x ? 0 时, f ? x ? ?

x?2 ,若对任意实数 x ?1


?1 ? 都有 f ?t ? a ? ? f ?t ?1? ? 0 恒成立, 则实数 a 的取值范围是 t ? ? , 2? , ?2 ?

2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 函数 f ?x ? ?

2?

x?3 的定义域为 A, g ?x ? ? lg??x ? a ? 1??2a ? x ?? ?其中a ? 1? 定义 x ?1

域为 B. (Ⅰ)求 A; (Ⅱ)若 B ? A , 求实数 a 的取值范围.

18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=lg(1-x)+lg(1+x)+x -2x . (Ⅰ)判断函数 f(x)的奇偶性; (Ⅱ) 设 1-x =t, 把 f(x)表示为关于 t 的函数 g ?t ? 并求其值域.
2 4 2

19.(本小题满分 12 分) 现有 A,B 两个投资项目,投资两项目所获得利润分别是 P 和 Q (万元) ,它们与投 入资金 x (万元)的关系依次是:其中 P 与 x 平方根成正比,且当 x 为 4(万元)时 P 为 1(万元) ,又 Q 与 x 成正比,当 x 为 4(万元)时 Q 也是 1(万元) ;某人甲有 3 万元 资金投资. (Ⅰ)分别求出 P , Q 与 x 的函数关系式; (Ⅱ)请帮甲设计一个合理的投资方案,使其获利最大,并求出最大利润是多少?

3

20.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? log4 (4x ? 1) ? kx ( k ? R )是偶函数. (Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)若函数 h( x) ? 4
f ( x )? 1 x 2

? m ? 2 x ? 1 , x ??0,log2 3? ,是否存在实数 m 使得 h( x) 最

小值为 0 ,若存在,求出 m 的值; 若不存在,请说明理由.

21. (本小题满分 12 分) 已知定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ? x ? 4? ? f ? x ? ,当 x ? ?0, 4? 时,

f ? x? ? 2

x ?m

? n ,且 f ? 2? ? 6 .
x

(Ⅰ)求 m, n 的值; (Ⅱ)当 x ? ?0, 4? 时,关于 x 的方程 f ? x ? ? a ? 2 ? 0 有解,求 a 的取值范围.

22.(本小题满分 12 分) 设 f ( x) ? x ? bx ? c(b 、 c ? R) .
2

(Ⅰ)若 f ( x ) 在 [?2, 2] 上单调,求 b 的取值范围;
2 (Ⅱ)若 f ( x) ?| x | 对一切 x ? R 恒成立,求证: b ? 1 ? 4c ;

2 x2 ? 3 ) 的最大值为 1, (Ⅲ)若对一切满足 | x |? 2 的实数 x ,都有 f ( x) ? 0 ,且 f ( 2 x ?1
求证: b 、 c 满足的条件是 3b ? c ? 8 ? 0 且 ?5 ? b ? ?4.

2018 届高一第三次大考数学参考答案
4

一.选择题 1A 2A 3C 二.填空题 13.5 14.0

4B 5D

6B

7B 8C 9C

10C

11D 12B

15. (1,2]

16. (??,?3) ? (0,??)

三.解答题 17.解(Ⅰ)由 (Ⅱ)由 ∵ ∵ ∴ ,∴ , , ,∴ 得 得 , ,∴ , ;

即 ∴ 18.解(Ⅰ)由 ?

,而 .



?1-x ? 0, 得-1<x<1,所以函数 f(x)的定义域为(-1,1). 1 + x ? 0 , ?
4 2 4 2

由 f(-x)=lg(1+x)+lg(1-x)+(-x) -2(-x) =lg(1-x)+lg(1+x)+x -2x = f(x), 所以函数 f(x)是偶函数. 4 2 2 4 2 (Ⅱ)f(x)=lg(1-x)+lg(1+x)+x -2x =lg(1-x )+x -2x , 2 设 t=1-x ,由 x∈(-1,1),得 t∈(0,1]. 2 所以 g(t)=lgt+(t -1),t∈(0,1], 2 y=lgt 与 y=(t -1)在 t∈(0,1]均是增函数, 2 所以函数 g(t)=lgt+(t -1)在 t∈(0,1]上为增函数, 所以函数 f(x)的值域为(-∞,0]. 19.解: (Ⅰ)设 P,Q 与 x 的的比例系数分别是 k1 , k2

P ? k1 x , Q ? k2 x 且都过(4,1)
所以: P ?

x ( x ? 0) 2

2 分, Q ?

x ( x ? 0) 4

6分

(Ⅱ)设甲投资到 A,B 两项目的资金分别为 x (万元) , (3? x ) (万元) (0 ? x ? 3) , 获得利润为 y 万元 由题意知: y ?

1 x 3? x ? ? ( x ? 1) 2 ? 1 ? 4 2 4

所以当 x =1,即 x =1 时, ymax ? 1 答:甲在 A,B 两项上分别投入为 1 万元和 2 万元,此时利润最大,最大利润为 1 万元

5

20.解(Ⅰ)? f (? x) ? f (? x) ,
?x x 即 log4 (4 ? 1) ? kx ? log4 (4 ? 1) ? kx 对于 任意x ? R 恒成立.
-x ? 2kx ? log 4 (4? x ? 1) ? log 4 (4 x ? 1) ? log 4 4 x ? 1 4 +1 ? 2kx ? ? x

?

k ??1 2
x x

x ??0,log2 3? (Ⅱ)由题意 h( x) ? 4 ? m ? 2 ,


t ? 2x ??1,3?

?(t ) ? t 2 ? mt

t ??1.3?
t?? m 2

? 开口向上,对称轴
?

m ? 1, 即m ? ?2 当 2 ,

? (t )min ? ? (1) ? 1 ? m ? 0 , m ? ?1
1? ?


m ? 3, 即 ?6 ? m ? ?2 2 ,

? (t )min ? ? (? ) ? ?
?

m 2

m2 ?0 4 , m ? 0 (舍去)

m ?3 当 2 , 即m ? ?6 ,

? (t )min ? ? (3) ? 9 ? 3m ? 0, m ? ?3 (舍去)
? 存在 m ? ?1 得 h( x) 最小值为 0

21.解: (Ⅰ)由已知 f ? 0? ? f ? 4? ,可得 2 ? n ? 2
m

4?m

? n? m ? 4 ? m ,?m ? 2
5分

又由 f ? 2? ? 6 可知 2 (Ⅱ)方程即为 2
x ?2

2? 2

? n ? 6,? n ? 5 .

? 5 ? a ? 2x 在 ?0, 4? 有解.

当 x ? ?0, 2? 时, 22? x ? 5 ? a ? 2 x ? a ?

?2 ?

4

x 2

?

5 ?1? ?1 ? ,令 ? ? ? t ? ? ,1? , x 2 ?2? ?4 ?

x

6

则 a ? 4t ? 5t 在 ? ,1? 单增,? a ? ? ,9 ? 4 2
2

?1 ? ? ?
x?2

?3 ?

? ?
x

当 x ? ? 2, 4? 时, 2

? 5 ? a ? 2x ? a ?

1 1 ?1? ? 1 1? ? 5 ? x ,令 ? ? ? t ? ? , ? , 4 2 ?2? ?16 4 ?

则a ?

1 ? 9 3? ? 5t ,? a ? ? , ? , 4 ?16 2 ?
?9 ? ,9 ?16 ? ?
. 14 分

综上: a ? ?

22.【解析】 (Ⅰ)由题意得 b ? ?4 或 b ? 4 ;

?(b ? 1 2 )? c 4? ? x x ? bx ? c ? ? x 同 时 成 立 , 即 ? ( Ⅱ ) 须 x ? b x? c? 与 2 4? ? ?(b ? 1 ) ? c
2 2

0

0



? b2 +1 ? 4c ;
( Ⅲ ) ① 当 f ( x) ? 0 有 实 根 时 , f ( x )? 0的 实 根 在 区 间 [?2, 2] 内 , 设

f ( x) ? x ? bx ? c , 所 以
2

? ? f (? 2 ? ) 0 ? ? ) 0, 即 ?f( 2 ? b ? ?2 ? ? ? 2 ? 2

? 4 ? b2? c ? ? ? 4 ? b2? c ? ? ?4 ? b ? 4 ?

0 0 又 ,

2 x2 ? 3 1 2 x2 ? 3 3 b ? c1 ? , , 于是, 即9 ? ? 2 ? ? (2,3] f ( ) 的最大值为 f (3) ? 1 , x2 ? 1 x2 ? 1 x2 ? 1

4 ? b?? ? ? 4 ? 2b ? 3b ? 8 ? 0 5 ? ? 从而 c ? ?3b ? 8 .故 ? 4 ? 2b ? 3b ? 8 ? 0 ,即 ?b ? ?4 ,解得 b ? ?4, c ? 4 . ? ?4 ? b ? 4 ??4 ? b ? 4 ? ? ?
②当 f ( x) ? 0 无实根时, ? ? b ? 4c ? 0 ,由二次函数性质知, f ( x) ? x ? bx ? c 在
2

2

(2,3] 上的最大值只能在区间的端点处取得,所以,当 f (2) ? f (3) 时, f (

2 x2 ? 3 )无 x2 ? 1

2 x2 ? 3 最大值.于是, f( 2 ) 存 在 最 大 值 的 等 价 条 件 是 f (2) ? f (3) , 即 x ?1

4? 2 b ?c ? 9 ?3 b ?, c 所 以 , b ? ?5 . 又 f (

2 x2 ? 3 ) 的 最 大 值 为 f (3) ? 1 , 即 x2 ? 1

7

9 ? 3b ? c ? 1 , 从 而 c ? ?3b ? 8 . 由 ? ? b2 ? 4c ? 0 , 得 b2 ? 1 2 b? 32 ? 0 ,即

?8 ? b ? ?4 . 所 以 b 、 c 满 足 的 条 件 为 3b ? c ? 8 ? 0 且 ?5 ? b ? ?4 . 综 上 : 3b ? c ? 8 ? 0 且 ?5 ? b ? ?4.

8


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