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2.2 直线的参数方程 课件 (北师大选修4-4)


一、课题引入

我们学过的直线的普通方程都有哪些? 点斜式: y ? y0 ? k ( x ? x0 )
y ? y1 x ? x1 ? 两点式: y2 ? y1 x2 ? x1

y ? kx ? b
x y ? ?1 a b

一般式: Ax ? By ? C ? 0

y2 ? y1 k? x2 ? x1

? tan ?

二、新课讲授

问题:已知一条直线过点M 0(x0 ,y0 ),倾斜角?, 求这条直线的方程. 解: 直线的普通方程为y ? y0 ? tan ? ( x ? x0 ) sin ? 要注意:? 把它变成y ? y0 ? ( x ? x0 ) x 0, y0 都是常 cos ? y ? y0 x ? x0 进一步整理,得: 数,t才是参 sin ? ? cos ? 数 y ? y0 x ? x0 ? ?t 令该比例式的比值为t ,即 sin ? cos ? ?x=x0 ? t cos ? 整理,得到 ? (t是参数) ? y ? y0 ? t sin ?

M ?M (x, y) ? ( x0 ? y0 ) ? ( x ? x0 , y ? y0 ) ? 0 y 设e是直线l的单位方向向量,则 ? M(x,y) e ? (cos ? ,sin ? ) ?????? ? ? 因为M 0 M // e, 所以存在实数t ? R, ?????? ? ? M0(x0,y0) 使M 0 M ? te,即 ? ( x ? x0 , y ? y0 ) ? t (cos ? ,sin ? ) e x 所以 ? x0 ? t cos ? , y ? y0 ? t sin ? 即,x ? x0 ? t cos ? , y ? y0 ? t sin ? ? (cos ? ,sin ? ) 所以,该直线的参数方程为 O
? x ? x0 ? t cos ? (t为参数) ? ? y ? y0 ? t sin ?

问题:已知一条直线过点M 0(x0 ,y0 ),倾斜角?, 求这条直线的方程. 解:? ?????? 在直线上任取一点M(x,y),则

x

? x ? 3 ? t sin 200 ()直线? 1 (t为参数)的倾斜角是( ) B 0 ? y ? t cos 20 A.200 B .700 C .1100 D.1600

? 2 t ?x ? 1? ? 2 (t为参数) ? ?y? 2t (2 )直线x ? y ? 1 ? 0的一个参数方程是 。 ? 2 ?

?????? ? ? 思考: 由M 0 M ? te, 你能得到直线l的参数方
? ? ?????? ? ?????? ? 解: ? M M ? te ? M 0 M ? te 0

程中参数t的几何意义吗?
y M M0

? ? 又? e是单位向量, e ? 1 ? ?????? ? ? 这就是t的几何 ? M 0M ? t e ? t 意义,要牢记
所以,直线参数方程中 参数t的绝对值等于直 线上动点M到定点M0的 距离. |t|=|M0M|

? e
O
x

?????? ? 我们是否可以根据t的值来确定向量 M 0 M

我们知道e是直线l的单位方向向量,那 么它的方向应该是向上还是向下的?还
?????? ? M 0M

的方向呢? ?

是有时向上有时向下呢? 分析: 此时,若t>0,则 ?????? ? ? ?? 是直线的倾斜角, 当0<? <? 时, sin? >0 ? M ? ? 0 M 的方向向上; 又 ? sin? 表示e 的纵坐标, 若t<0,则 ?e 的纵坐标都大于0 ?????? ? ? ? M 0 M的点方向向下; 那么e 的终点就会都在第一,二象限, e ? 的方向 若t=0,则M与点 就总会向上。 M0重合.

三、例题讲解 例1 已知直线l : x ? y ? 1 ? 0与抛物线y ? x 2交于 例1.

A,B两点,求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B 两点的距离之积。
分析: 1.用普通方程去解还 是用参数方程去解; 2.分别如何解. 3.点M是否在直线上 A
y

M(-1,2)

O

B

x

三、例题讲解
?x ? y ?1 ? 0 解:由? y ? x2 ? 得:2 ? x ? 1 ? 0 x

(*)

?由韦达定理得:1 ? x2 ? ?1,x1 ? x2 ? ?1 x
? AB ? 1 ? k 2 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? 2 ? 5 ? 10

3? 5 3? 5 ?1? 5 ?1? 5 ? y1 ? ,y2 ? 由(*)解得:x1 ? ,x 2 ? 2 2 2 2 ?1? 5 3? 5 ?1? 5 3? 5 记直线与抛物线的交点 A( 坐标 , ),B( , ) 2 2 2 2
则 MA ? MB ? ( ?1 ? ?1? 5 2 3? 5 2 ?1? 5 2 3? 5 2 ) ? (2 ? ) ? ( ?1 ? ) ? (2 ? ) 2 2 2 2

? 3? 5 ? 3? 5 ? 4 ? 2

()如何写出直线的参数方程? 1 l



()如何求出交点 ,B所对应的参数1,t 2 ? 2 A t


( ) AB 、 ? MB 与t1,t 2有什么关系? 3 MA

探究
直线与曲线y ? f ( x)交于M 1 , M 2两点,对应的参数 分别为t1 , t2 . (1)曲线的弦M 1M 2的长是多少?

(2)线段M 1M 2的中点M 对应的参数t的值是多少?

(1) M 1M 2 ? t1 ? t2 t1 ? t2 (2)t ? 2

课堂练习
1 ? ?x ? 1? 2 t ? 1.一条直线的参数方程是 ? (t为参数), ? y ? ?5 ? 3 t ? ? 2 另一条直线的方程是x-y-2 3 ? 0, 则两直线的交点 与点(1,-5)间的距离是

4 3

课堂练习

四、课堂小结
1.直线参数方程

2.利用直线参数方程中参数t的几何意义, 简化求直线上两点间的距离.? 1时, 2 2 当a ? b

?x=x0 ? t cos ? ? ? y ? y0 ? t sin ?

探究:直线的 参数方程形 (t是参数) 式是不是唯 一的

3.注意向量工具的使用.

? x ? x0 ? at |t|=|M t 才具有此几何意义 (t为参数) 0M| ? ? y ? y0 ? bt 其它情况不能用。

P41习题2.3 ? ?1、 3

在例3中,海滨城市O受台风侵袭大概持续多长 时间?如果台风侵袭的半径也发生变化(比如: 当前半径为250KM,并以10KM/h的速度不 断增大),那么问题又该如何解决?

3 5.已知经过A(5,?3)且倾斜角的余弦是 ? 的 5 2 2 直线与圆x ? y ? 25交于B、C两点, (1)求BC中点坐标; (2)求过点A的切线方程及切点坐标。 44 6 (1)( , ); 25 25 (2)过点A的切线为x ? 5,切点为(5, 0)

130 ? 27 和8 x ? 15 y ? 85 ? 0, 切点为( , ) 17 17

练习: 1、直线{ x ? ?2 ? 2t y ? 3 ? 2t (t为参数)上与点P(?2,3)
(

距离等于 2的点的坐标是
A(-4,5) C(-3,4)或(-1,2)

C

)

B(-3,4) D(-4,5)(0,1)

2、设直线的参数方程为 {

x ? ?1 ? t y ? 2 ? 4t

(t为参数)

则点(3,6)到直线的距离是 __________ 20 17 _____

17
3、直线{ x ? ?2 ? t cos 30 y ? 3 ? t sin 60
)
0 0

(t为参数)的倾斜角?

等于( D

A.30

0

B.60

0

C. ? 45

0

D.135

0



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