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必修2红对勾4-2-34


红对勾系列丛书

第四章 圆与方程

第四章 圆与方程

红对勾系列丛书

4.2

直线、圆的位置关系 直线与圆的位置关系

第34课时

4.2 第34课时

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1.会用代数方法

和几何方法讨论直线与 圆的三种位置关系.

2.掌握求圆的切线的方法.

4.2 第34课时

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4.2 第34课时

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一、选择题(每小题5分,共30分) 1 .直线 3x + 4y - 5 = 0 与圆 2x2 + 2y2 - 4x - 2y + 1 =0的位置关系是( )

A.相离
C.相交但不过圆心 答案:D

B.相切
D.相交且过圆心

4.2 第34课时

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2.直线 y= kx 被圆 x2+ y2= 2 截得的弦长 等于 ( A. 4 C. 2 2
答案:C

) B. 2 D. 2

4.2 第34课时

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3.若直线 x+ y+ m= 0 与圆 x2+ y2= m 相 切,则 m 为 ( A. 0 或 2 C. 2
答案:B

) B. 2 D.无解

4.2 第34课时

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4.直线 x= 2 被圆(x- a)2+ y2=4 所截得 的弦长等于 2 3,则 a 的值为( A.-1 或- 3 C. 1 或 3 )

B. 2或- 2 D. 3

4.2 第34课时

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解析: 设圆心(a,0)到直线 x= 2 的距离为 d, 则由题意 d2= r2- ( 3)2= 4- 3= 1,∴ d= 1. 又∵ d= |2- a|,∴ |2- a|=1, ∴ a=1 或 a= 3.
答案:C

4.2 第34课时

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5. (2010· 江西高考 )直线 y= kx+ 3 与圆 (x-3)2+(y-2)2 = 4 相交于 M,N 两点,若 |MN|≥ 2 3,则 k 的取值范围是 ( ) 3 A. [- ,0] 4 3 B. (-∞,- ]∪[0,+∞) 4 3 3 C. [- , ] 3 3 2 D. [- ,0] 3
4.2 第34课时

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解析:圆心 (3,2)到直线 y=kx+3 的距离 d |3k+ 1| = 2 . k +1 |MN|= 2 ? 3k+ 1?2 4- 2 ≥ 2 3, k +1

3 ∴- ≤ k≤ 0. 4
答案:A

4.2 第34课时

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6.已知圆C:x2+y2-4x-2y+1=0,直线l:3x - 4y + k = 0 ,圆上存在两点到直线 l 的距离为 1 ,则 k 的取值范围是( )

A.(-17,-7)
B.(3,13) C.(-17,-7)∪(3,13) D.[-17,-7]∪[3,13]

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解析:结合圆的几何性质,得圆心 C 到直 线 l 的 距 离 d 满 足 1 < d < 3. 所 以 1 < |3× 2- 4×1+ k| < 3. 9+ 16 解得- 17< k<- 7 或 3< k< 13.
答案:C

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二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 7.已知 P={(x,y)|x+y=2}, Q={(x,y)|x2+y2=2},那么 P∩Q 为________.

?x2+y2=2, 解析:解方程组? 得 x=y=1. ?x+y=2,
答案:{(1,1)}

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8.已知点A(-2,0),B(0,2),点C是圆x2+y2-2x =0上任意一点,则△ABC面积的最大值是

________.

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x y 解析:直线 AB 的方程是 + = 1,|AB|= 2 2, -2 2 则当△ ABC 面积取最大值时,边 AB 上的高即点 C 到 直线 AB 的距离 d 取最大值.又圆心 M(1,0),半径 r= x y 3 2 1,点 M 到直线 + =1 的距离是 ,由圆的几何 2 -2 2 3 2 性质得 d 的最大值是 +1,所以△ABC 面积的最大 2 1 3 2 值是 × 2 2( + 1)= 3+ 2. 2 2

答案:3+ 2
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9.已知曲线 C:y= -x2- 2x与直线 l:x+ y- m = 0 有两个交点,则 m 的取值范围是 ________.

解析: 曲线 C 是圆 x2+ y2+ 2x= 0 位于 x 轴上方的 半圆,m 是直线 l:x+ y- m= 0 在 y 轴上的截距,利用 数形结合可得 m 的取值范围是[0, 2- 1).
答案:[0, 2- 1)

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三、解答题(共 45 分) 10.(本小题 15 分)过点 P(- 2,0)向圆 x2+ y2=1 引 切线,求切线的方程.

解:解法 1:设所求切线的斜率为 k,则切线方程 为 y= k(x+ 2).
?y= k? x+ 2?, ? 由方程组? 2 2 ? ?x + y = 1,

得 x2+ k2(x+ 2)2= 1.

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即 (1+ k2)x2+ 4k2x+4k2-1= 0. 上述一元二次方程有一个实根, Δ= 16k4-4(k2+1)(4k2-1) =- 12k2+4= 0.k 3 =± . 3 3 所以所求切线的方程为 y=± (x+ 2). 3

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解法 2:设所求切线的斜率为 k,则切线方程为 y = k(x+ 2),由于圆心到切线的距离等于圆的半径, |2k | 3 所以 d= 2= 1,解得 k= ± 3 . 1+ k 3 所以所求切线的方程为 y=± (x+ 2). 3

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11.(本小题15分)自点A(-3,3)发出的光线l射到x 轴上,被x轴反射,其反射光线所在直线与圆x2+y2-

4x-4y+7=0相切,求光线l所在的直线方程.

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解:圆x2+y2-4x-4y+7=0可化为:

(x-2)2+(y-2)2=1,
其关于x轴的对称圆为:

(x-2)2+(y+2)2=1.
过A点向圆(x-2)2+(y+2)2=1作切线,则切线方 程即为l的方程. 设kl=k,则l的方程为y-3=k(x+3), 即为kx-y+3k+3=0.
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|2k+ 2+ 3k+3| 由题意, = 1, 2 1+ k ∴ 25(k+ 1)2= 1+k2, ∴ 24k2+ 50k+ 24= 0, ∴ 12k2+ 25k+ 12= 0, 4 3 ∴ k=- 或 k=- . 3 4 ∴所求直线 l 的方程为 3x+4y-3=0 或 4x+3y+ 3= 0.
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12 . ( 本小题 15 分 ) 已知圆心为 C 的圆经过点 A( - 1,1)和B(-2,-2),且圆心在直线l:x+y-1=0上, (1)求圆C的标准方程;

(2) 设点 P 在圆上,点 Q 在直线 x - y + 5 = 0 上,求
|PQ|的最小值; (3)若直线kx-y+5=0被圆C截得的弦长为8,求k 的取值.

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3 1 解: (1)AB 中点 M(- ,- ),kAB=3, 2 2 1 ∴ AB 垂直平分线 l′的方程为 y=- x- 1, 3 ∴ l′ 与 l 的交点即为圆心,由直线 l 及 l′的方程 求得圆心 C(3,- 2), ∴半径 r2=|AC|2= 25, ∴圆 C 的标准方程为(x- 3)2+(y+ 2)2=25.

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(2)∵圆心到直线 x-y+5= 0 的距离 |3+ 2+5| d= 2 2 = 5 2>r, 1 +?- 1? ∴直线与圆相离,则 |PQ|的最小值为 d-r= 5 2- 5.

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(3)直线被圆 C 截得的弦长的一半为 4,圆 C 半径 为 5, ∴圆心 C 到直线的距离为 3, |3k+2+5| 20 ∴ =3,解得 k=- . 2 21 k +1

4.2 第34课时


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