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第8讲 指数与指数函数


第8讲 │ 指数与指数函数

第8讲

指数与指数函数

第8讲 │ 知识梳理 知识梳理
1.指数幂 (1)指数幂的推广 1 ①零指数幂:a0=____(a≠0). 1 -n ②负指数幂:a =______(a≠0,n∈N*). an m n m a ③分数指数幂:a =______(a>0,m、n∈N*,且 n>1). 1 n m 1 n m a- = =________(a>0,m、n∈N*,n>1). a n m a n ④0 的正指数幂是 0,0 的负指数幂无意义. ? n a?n为奇数?, ? (2)根式及性质 ? ①xn=a(n∈N,n>1)?x=____________. ?±n a?n为偶数? ? ?a?n为奇数?, ? n ? ② an=__________. ? ?|a|?n为偶数? n a ③( a)n=____. (3)有理指数幂的运算性质 ar+s ①aras=______(a>0,r、s∈Q). ars ②(ar)s=______(a>0,r、s∈Q).

arbr ③(ab)r=______(a>0,b>0,r∈Q).

第8讲 │ 知识梳理

第8讲 │ 要点探究 要点探究
? 探究点1 指数幂的化简与求值
1 ? 1?-2 例1 化简:(1)(0.027)- -?-6? +2560.75-|-3|-1+(-5.55)0-10(2- 3)-1 ? 3 ? ? ?

[思路]

将负指数化为正指数

1 ? 1?-2 [解答] (0.027)- -?-6? +2560.75-|-3|-1+(-5.55)0-10(2- 3)-1 ? 3 ? ? ? 1 3 10 =[(0.3)3]- -(-1)-2(6-1)-2+(44) -3-1+1- 3 4 2- 3 ?3? 10?2+ 3? 1 =?10?-1-36+43- +1- ? ? 3 4-3 ? ? = 10 1 - +29-20-10 3=12-10 3 3 3

第8讲 │ 要点探究
4 1 a -8a b 3 3
? 3 b? 3 ? ? ÷ 1-2 ? ?· a. a? 2 ?

(2)

2 3 4b +2 ab+a 3 3

[思路]

把根式化为分数指数幂进行运算
1 a ?a-8b? 3

1 1 a -2b 3 3 1 [解答] 原式= ÷ · a 1 3 3 2 2 a a +2 ab+4b 3 3 3 1 1 a ?a-8b? a 3 3 1 = · · a 1 3 3 2 2 1 a +2 ab+4b a3-2b3 3 3 = a?a-8b? =a. a-8b

第8讲 │ 要点探究

[点评] 分数指数幂的定义揭示了分数指数幂与根式的 关系,因此,根式的运算可以转化为分数指数幂的运算. 对指数幂的运算:①要熟练掌握根式与分数指数幂的转换 关系;②要熟练掌握指数幂的运算法则和乘法公式;③运 算程序化,即先把根式化为分数指数幂并尽量化简,再应 用指数幂的运算法则和乘法公式.

第8讲 │ 要点探究

3 计算:(1)

9 a · a-3÷ 2

3

a · a13

-7

3

9 -31 -7 131 [解答]原式=a · a ÷ a · a 2 2 3 3 32 1 1 =(a3) ÷ 2) (a 3 2 =a÷ a=1

第8讲 │ 要点探究

6 6 3 3 3 计算:(2)( 32· 3+ 243· 2)( 4- 6+ 9)

5 1 5 1? 2 1 1 2? 3 [解答] 原式=2 · +3 · ?23-23·3+33? 3 2 ? 6 2 6 2? ? ? 1 1 1 1 2 1 1 2 =3 · 2 +3 2 -2 · +3 2 3 2 2 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 =3 · 2 3+3 3=5 6. 2 2 2 3 3

第8讲 │ 要点探究
? 探究点2 指数函数的图像与应用
?1? 已知函数y=?3?|x+1|. ? ? ? ?

例2

(1)作出图像; (2)由图像指出其单调区间; (3)由图像指出当x取什么值时y有最值,并写出值域; ?1? (4)若关于x的方程?3?|x+1|=m有正根,求m的取值范围 ? ? ? ?

[思路]

函数解析式转化为分段函数,作出图像,利用图像求解

第8讲 │ 要点探究
?1? ??3?x+1 ?1? x+1 ?? ? ,x≥-1, [解答] (1)方法一:由函数解析式可得y=?3?| |=? ? ? x+ 1

?3 ?

其图

,x<-1,

?1? 像由两部分组成:一部分是由指数函数y= ?3? x (x≥0) 向左平移1个单位而得; ? ?

另一部分是由y=3x(x<0)向左平移一个单位而得.如图

?1? ?1? 方法二:函数y= ?3? |x| 为偶函数,关于y轴对称,做出y= ?3? x (x≥0) 的图 ? ? ? ? ?1? ?1? 像,当x<0时,将图像关于y轴的对称图像得到y= ?3? |x| 的图像,将y= ?3? |x| 的图 ? ? ? ? ?1 ? 像向左平移1个单位,即可知y=?3 ?|x+1|的图像. ? ?

(2)由图像可知函数的递增区间为(-∞,-1),递减区间为(-1,+∞). ?1 ? (3)当x=-1时,ymax=?3 ?0=1,值域为(0,1]. ? ?
? 1? 1 (4)由图像,令x=0,得y= ,则m的取值范围是?0,3?. 3 ? ?

第8讲 │ 要点探究

[点评] (1)与指数函数有关的函数的图像问题的研究,往 往利用相应指数函数的图像,通过平移、对称变换得到其 图像;(2)一些指数方程、不等式问题的求解,往往结合相 应的指数型函数图像利用数形结合求解.

第8讲 │ 要点探究
? 探究点3 指数函数的性质
10x-10 x 例3 已知f(x)= x - . 10 +10 x (1)判断函数f(x)的奇偶性; (2)求证:f(x)是定义域内的增函数; (3)求f(x)的值域.


[思路]

利用定义法判断函数的奇偶性和单调性,并结合单调性

求函数的值域

第8讲 │ 要点探究
[解答] (1)函数的定义域是R,关于原点对称,又f(-x)= x x 10 -10 10 -10-x =- -x =-f(x),∴f(x)为奇函数; 10-x+10x 10 +10x 10x-10-x 102x-1 2 (2)证明:f(x)= x =1- 2x , -x= 2x 10 +10 10 +1 10 +1
-x

令x2>x1,则f(x2)-f(x1)= 2×

? ? 2 ?1- ? ? 102x2+1? ? ?



? ? 2 ?1- ? ? 102x1+1? ? ?



102x2-102x1 ,∵函数y=10x为增函数,x2>x1,∴ ?102x2+1??102x1+1? 102x2>102x1,∴102x2-102x1>0,又∵102x1+1>0,102x2+1>0,∴ 102x2-102x1 2× >0,故当x2>x1时,f(x2)-f(x1)>0,即 ?102x2+1??102x1+1? f(x2)>f(x1),∴函数f(x)为R上增函数; 10x-10-x 2 (3)f(x)= x ,∵102x>0,∴102x+1>1,∴ -x =1- 2x 10 +10 10 +1 1 2 2 0< 2x <1,∴0< 2x <2,∴-2<- 2x <0,∴-1<1- 10 +1 10 +1 10 +1 2 <1,即函数的值域为(-1,1). 2x 10 +1

第8讲 │ 要点探究
? 探究点4 指数函数的性质的综合应用
? ? ? ? ? ? ? ?

1? x 例4 [2010· 潍坊模拟] 已知函数f x = 3? ,x∈[- ? ? 1,1],函数g?x?=f2?x?-2af?x?+3的最小值为h?a?. ? ? ? ? ? ? ? ? (1)求h?a?; ? ? (2)是否存在实数m,n同时满足以下条件:① 2 2 m>n>3;②当h?a?的定义域为?n,m?时,值域为?n ,m ?. ? ? ? ? ? ? 若存在,求出m,n的值;若不存在,说明理由.

[思路] (1)利用换元法把问题转化为求二次函数在闭区间上的 最值问题;(2)确定函数在给定区间内的单调性,利用单调性 得到m,n所满足的条件,然后求解.

第8讲 │ 要点探究
?1? ?1 ? ?1 ? ?1 ? [解答] (1)因为x∈ [-1,1] ,所以 ?3? x∈ ?3,3? .设 ?3 ? x=t,t∈ ?3,3? ,则 ? ? ? ? ? ? ? ?

g(x)=φ(t)=t -2at+3=(t-a) +3-a . ?1? 28 2a 1 当a< 时,h(a)=φ?3?= - ; 3 3 ? ? 9 1 当 ≤a≤3时,h(a)=φ(a)=3-a2; 3 当a>3时,h(a)=φ(3)=12-6a,

2

2

2

?28-2a???a<1???, ?9 3 3 ?1 ? 综上:h(a)=? 3-a ?3≤a≤3?, ? ? a>3 ? ?12-6a( ).
2

(2)因为m>n>3,a∈ [n,m],所以h(a)=12-6a.因为h(a)的定义域为[n,m],
?12-6m=n2, ? 值域为 [n ,m ] ,且h (a) 为减函数,所以 ? 两式相减得6 (m-n) 2 ?12-6n=m , ?
2 2

= (m-n) (m+n) ,因为m>n,所以m-n≠0,得m+n=6,但这与“m>n>3”矛 盾,故满足条件的实数m,n不存在.

[点评]

利用换元法求函数最值时,切记不要忽略新元的取值范围.

第8讲 │ 规律总结 规律总结

1.利用分数指数幂进行根式的运算,其顺序是先把根式转化为分 数指数幂,再根据分数指数幂运算性质进行计算.

2.指数函数型的解题方法及一般规律
(1)指数函数的底数a>0且a≠1,这是隐含条件. (2)指数函数y=ax的单调性与底数a与1的大小有关,当底数a与1

的大小关系不确定时应注意分类讨论.

第8讲 │ 规律总结

(3)比较两个指数幂大小时,尽量化同底或同指,当底数相同、指 数不同时,构造同一指数函数,然后比较大小;当指数相同、底数不 同时,构造两个指数函数,利用图像比较大小;如果底数和指数都不 同,利用中间变量0或1比较大小. (4)解简单的指数不等式时,当底数含参数,且底数与1的大小不确 定时,注意分类讨论.



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