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等比数列求和课件1重点:等比数列前n项和公式、推导及应用难点:等比数列前n项和公式推导思路的获得采用方


人教A版普通高中课程标准实验教科书《数学》(必修5)

等比数列前N项和
福州铜盘中学

教材分析 学情分析

教学目标 教法学法 教学过程 评价分析
教材分析 目标分析 过程分析 教法分析 评价分析

教材分析
教材的地位和作用 本节课是人教版/普通高中课程标准/实验教科书 必修5/第二章第5节第一课时。
数列是刻画离散现象的函数,是一种重要的数学模型。它有 着广泛实际的应用,如产品规格设计的某些问题要用到等比数列 的原理,再如储蓄、分期付款的有关计算也要用到等比数列的一 些知识。 本节课是在学生掌握了等比数列极其通项公式的基础上进一步研 究等比数列的性质及前n项和公式的推导以及应用,同时,进一步 培养学生观察、分析和归纳问题的能力和解决实际问题的能力, 具有重要的意义。

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教材分析
教材的地位和作用 教学重、难点

重点:等比数列前n项和公式、推导及应用

难点:等比数列前n项和公式推导思路的获得

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教材分析
突破重难点1 采用方法:开篇变“棋盘上麦粒历史典故”成“数学 游戏问题”

原因:①更加有趣又贴近生活 ②蕴涵两个等比数列,公比分别为q=1与q ≠1,开门见山,体现分类讨论思想,直击学生易错点

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教材分析
突破重难点2

采用方法:一改直接先采用错位相消给出一般 公式,而是从先故事入手,用具体的例子让学 生去发现错位相消法。 原 因 : ①注重了知识的再创造过程,有效克服了技巧 性强,学生被动接受的困难。 ②使用数学一通法(从特殊到一般,从具体到 抽象),重视了数学思想方法的渗透。
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教材分析
突破重难点3

采用方法:引出错位相消法之后,进一步深化 思维目标,和式两边同乘以q-1,q2是否也 可以起到化简的目的?择优选取。 原 因 : ①有利于理解错位相消法的本质。 ②有利于发展学生思维批判性、灵活性。

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学情分析
从学生认知角度看:
从学生的思维特点看,很容易把本节内容与等差数列前 n项和从公式的形成、特点等方面进行类比,这是积极 因素,应因势利导.不利因素是:本节公式的推导与等 差数列前n项和公式的推导有着本质的不同,这对学生 的思维是一个突破,另外,对于q = 1这一特殊情况, 学生往往容易忽视,尤其是在后面使用的过程中容易出 错.

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学情分析
学生情况分析
教学对象是刚进入高中的学生,虽然具有一定的分析问 题和解决问题的能力,逻辑思维能力也初步形成,但由 于年龄的原因,思维尽管活跃、敏捷,却缺乏冷静、深 刻,因此片面、不严谨.

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教学目标
(一)知识与技能

使学生掌握等比数列前n项和公式及归纳、 猜想、证明法,理解错位相消法,并能灵 活运用公式

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过程分析

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教学目标
(一)知识与技能 (二)过程与方法

通过公式的推导过程,培养学生类比、归纳、 猜想 、分析、综合等方面的能力,善于运用特 殊与一般、分类与整合、方程的数学思想思考 和解题,提升学生的逻辑思维能力

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教学目标
(一)知识与技能 (二)过程与方法 (三)情感与价值

通过公式的探索发现过程,学生亲历结论的 “再创造”过程,体验成功与快乐,感悟数学 美

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教法、学法分析
教法选择:
采用多媒体技术,体现直观性,激发学习兴趣、 激活学生思维,在解决重、难点等方面起到辅助 作用

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教法、学法分析
学法指导:

―治学之道” 求知之法

改变学生被动 的学习状态

新课标理念倡导“以人为本”,强调“以学生发展为核 心” ,指导学生学会“探究式发现法”的学习方法,从 类比猜想中探索研究从而找到问题的思路和方法
教材分析 目标分析 过程分析 教法分析 评价分析

教学程序及设想
一:创设情境,铺垫导入 二:合作学习,探索新知 三:鼓励拓展,飞跃点睛 四:课堂练习,反馈回授 五:归纳总结,强化认识 六:分层作业,发展深化

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程序一 :创设情境,铺垫导入

数学游戏问题: 甲、乙二人约定在一个月(按30天)内甲每天给乙 100元钱,而乙则第一天给甲一分,第二天给甲二分, 即后一天返还的钱是前一天的二倍。问谁赢谁亏?

设计意图

设计这个情境目的是在引入课题的同时激发学生的兴趣, 调动学习的积极性.故事内容紧扣本节课的主题与重点.

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程序一 :创设情境,铺垫导入
分析:数学建模 {an}:100 ,100 ,100……100 {bn}: 1 , 2 , 22 …… 229 q=1 q=2

S30 = 100+100+……+100 与 T30 = 1+2+ 22 +…… +229 比较大小 ,求和问题如何化简? {an} : q=1,等比数列求和问题化归成等差数列求和问题 {bn} : q=2,学生陷入沉思中

应用问题数学化,具体问题一般化

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程序一 :创设情境,铺垫导入
探讨1:

设T30 = 1+ 2 + 22 + 23 + ??? + 229 ,记为(1)式,

注意观察每一项的特征,有何联系?(学生会发现,后一项都是前一项的2倍)

探讨2: 如果我们把每一项都乘以2,就变成了它的后一项,(1)式两边 同乘以2则有

2T30 = 2 + 22 + 23 + ??? + 229 + 230 ,记为(2)

式.比较(1)(2)两式,你有什么发现? 设计意图

留出时间让学生充分地比较,等比数列前n项和的公式推导关键是变“加”为“减”, 在教师看来这是“天经地义”的,但在学生看来却是“不可思议”的,因此教学中应 着力在这儿做文章,从而抓住培养学生的辩证思维能力的良好契机.

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程序二:合作学习,探索新知
问题二:写出 T30 和 2T30,观察它们的关系,并把它们相加和 相减,看看有何结果?

设计意图
在实际教学中,由于受课堂时间限制,教师舍不得花时间让学生去 做所谓的“无用功”,急急忙忙地抛出“错位相减法”,这样做有 悖学生的认知规律:求和就想到相加,这是合乎逻辑顺理成章的事, 教师为什么不相加而马上相减呢?在整个教学关键处学生难以转过 弯来,因而在教学中应舍得花时间营造知识形成过程的氛围,突破 学生学习的障碍.同时,形成繁难的情境激起了学生的求知欲,迫 使学生急于寻求解决问题的新方法,为后面的教学埋下伏笔.

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程序二:合作学习,探索新知
学生通过计算可以得到

T30 ? 1 ? 2 ? 4 ? 8 ? ? ? 229 ? 2 29
28

① 30 2T30 ? 2 ? 4 ? 8 ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ② ②—① ,得
29

T30 ? ?1 ? 0 ? 0 ? ? ? 0 ? 2
中间各 数均为0

30

数学游戏问题答案:

230–1 (分)=10737418. 23 (元) 远大于3000元

程序三:鼓励拓展 ,飞跃点睛
设等比数列?a n ?, 首项为a1 , 公比为q, 如何求前n项和sn?
由 Sn=a1+ a1q+ a1q2+ a1q3+……+a1qn-2+ a1qn-1 ①

qSn=

a1q+ a1q2+ a1q3+……+a1qn-2+ a1qn-1 + a1qn ②

① —②得: Sn (1—q)= a1—a1qn 故: 等比数列{an}前n项和
? na1 ? S n ? ? a1 (1 ? q n ) ? 1? q ? q ?1 q ?1

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程序三:鼓励拓展 ,飞跃点睛 第一方面 :探求公式其它推导方法
由前面证明过程的分析Sn—qSn这一思路正是用等比 数列的重要性质,出现众多公共项,我们把这种方法叫 错位相消法. 那么
1 Sn ? Sn与 Sn ? q 2 Sn 是否可以起到同 q

样的化简效果?体现思维的批判性,择优选取,揭示化 简本质.为学生熟练掌握错位相差起到了重要作用。

程序三:鼓励拓展 ,飞跃点睛

Sn= qSn=

a1+a1q+a1q2+a1q3+……+a1qn-2+a1qn-1 a1q+a1q2+a1q3+……+a1qn-2+a1qn-1+a1qn

(1) (2) (3)

1 S n =a1q-1+ a1+a1q+a1q2+a1q3+……+a1qn-2 q
q2Sn= a1q2+a1q3+……+a1qn-2+a1qn-1+a1qn+a1qn+1

(4)

(1)–(2)

(1) –(3)

(1) –(4)

效果如何 有何启发

算法案例(二)--------秦九韶算法

程序四:课堂练习, 反馈回授
等比数列{ an}中 ① a1= 8,n=6, q=0.5 ,求Sn; ② a1= 2,S3= 26 , 求a3 , q; ③ a1=2 , S3=6 , 求q.
设计意图

巩固新知识,由易到难,循序渐进, ①②考察公式灵活 应用③针对易错点考察分类讨论思想的应用

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程序五:归纳总结, 强化认识

由学生从知识、思想方法、解决问题的办法 等方面进行小结,老师适时补充,以推动学 生建立完整的知识框架结构.

设计意图:让学生对本节所学知识得以深刻认识。

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程序六:分层作业,发展深化
作业: A.研读课文、整理笔记、课后习题2.5 1,2,3 B.思考题(投影给出)

设计意图: 使学生再次巩固本节课所学内容.

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板书设计
§2.5等比数列的前n项和
例1

: ********* ********* ********* ********* ********* 解: ********* ********* ********* *********

公式的发现过程

公式的推导证明过程

********* ********* ********* ********* ********* ********* ********* *********

********** ********** ********** ********** ********** ********** ********** **********

********* ********* ********* ********* ********* ********* ********* ********* *********
练习

评价分析
一. 本节课的设计试图以教学大纲为依据,在教法设计上遵 循以教师为主导,学生为主体,思维训练为主线,能力发展 为主攻的原则,采用启发引导探究发现法,注重知识的再创 造过程,重视数学思想方法的渗透,培养学生的思维能力和 创新意识.

二. 本节课涉及多种思想方法,是数学教学走向本质的一大 尝试,也是在实际教学中需要不断思考的一个课题.

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