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等比数列的前n项和学案


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2.3.2 等比数列的前 n 项和
【导学案使用说明与学法指导】 1、请同学认真阅读课本必修五 p48-p51,划出重要知识,规范完成预习案内容并记熟等比数列前 n 项和公 式内容,用红笔做好重点、疑难点标记。 2、在课堂上联系课本知识和学过的知识,小组

合作、讨论完成探究案内容;组长负责,拿出讨论结果,准备 展示、点评。 3、及时整理展示、点评结果,规范完成探究案内容,改正完善并落实好学案所有内容。 4、把学案中自己的疑难问题和易忘、易出错的知识点以及解题方法规律,及时整理在典型题本上,多复习记 忆。小组长控制预习过程,确保本组成员能够顺利的完成预习,及时上交。鼓励研究检测案。 5、认真完成总结案 即

? (1 ? q)Sn ?
当 q ? 1 时, Sn ? 综上 sn ? 公式的推导方法二: 由等比数列的定义,
a2 a3 ? ? a1 a2 ? an a ? a3 ? ? an S ? a1 ? q ,有 2 ? n ?q, an ?1 a1 ? a2 ? ? an ?1 Sn ? an

① 或 Sn ?

②当 q=1 时, Sn ?

S n ? a1 ? q .∴ (1 ? q)Sn ? a1 ? an q (结论同上) S n ? an

公式的推导方法三: Sn ? a1 ? a2 ? a3 ?

an = a1 ? q(a1 ? a2 ? a3 ?

an?1 ) = a1 ? qSn ?1 = a1 ? q(Sn ? an ) .

【学习目标】 完成本课内容的学习以后,能够
1. 推导等比数列的前 n 项和公式并记住 2. 能用等比数列的前 n 项和公式解决实际问题. 【重、难点】 重点:等比数列的前 n 项和 难点:能用等比数列的前 n 项和公式解决实际问题.

∴ (1 ? q)Sn ? a1 ? an q (结论同上) 1 1 1 试试:求等比数列 , , ,…的前 8 项的和. 2 4 8 解: a1 ?

q =

n?

? S8 =
温馨提示:请同学们后面的题目做的时候也按此步骤进行 探究二 求等比数列的前 n 项和——基本量法 1 例 1 已知 a1=27,a9= ,q<0,求这个等比数列前 5 项的和. 243

学习过程 预习案
一、课前准备 (预习教材 P48 ~ P51,找出疑惑之处) 复习 1:什么是数列前 n 项和?等差数列的数列前 n 项和公式是什么?

复习 2:已知等比数列中, a3 ? 3 , a6 ? 81 ,求 a9 , a10 . 例 2 等比数列 {an } 中, S30 ? 13S10 , S10 ? S30 ? 140 ,求 S20 . 复习 3:对任意数列,通项 an 和前 n 项和 Sn 之间的关系是-----------------------

这个关系适用于所有的数列,当然也适用于等差和等比数列
二、新课导学 探究一: 等比数列的前 n 项和公式的推导 故事:“国王对国际象棋的发明者的奖励”,请同学们根据课本提供的千粒麦子 40g,计算总共多少 kg 的麦
子。链接: 2
64

=18446744073709551616 或 1.844674407 乘以 10 的 19 次方。中国每年需要的粮食按 5 亿吨计

算(网络依据),这些麦子可以让全中国人吃多长时间? 新知:等比数列的前 n 项和公式 设等比数列 a1 , a2 , a3 , an 它的前 n 项和是 Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? 公式。 公式的推导方法一: 2 n?2 n ?1 ? ?S ? a1 ? a1q ? a1q ? a1q ? a1q 则? n ? ?qSn ?

探究三 利用 an 和 Sn 间关系解决问题 例 3、数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? an ? 1 (a≠0,a≠1),试证明数列 {an } 是等比数列.

an ,公比为 q≠0,推导等比数列的前 n 项和

讨论 :等比数列前 n 项,前 2n 项,前 3n 项的和分别是 Sn , S2 n , S3n ,求证: Sn , S2 n ? Sn , S3n ? S2n 也成等

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比.

7. 在等比数列中,若 2S3 ? a3 ? 2S2 ? a4 ,则公比 q= 8. 在等比数列中, a1 ? 1 , an ? ?512 , Sn ? ?341 , 则 q= ,n= .

.

温馨提示:此结论可以作为等比数列的一个性质
用一用:在等比数列中,已知 Sn ? 48, S2n ? 60 ,求 S3n .

9. 等比数列的各项都是正数,若 a1 ? 81, a5 ? 16 ,则它的前 5 项和为 10. 等比数列的前 n 项和 Sn ? 3n ? a ,则 a= .

.

总结案

三、总结提升 学习小结
1. 等比数列的前 n 项和公式是____________________; 2. 等比数列的前 n 项和公式的推导方法; 3. “知三求二”问题,即:已知等比数列之 a1 , an , q, n, Sn 五个量中任意的三个,列方程组可以求出其余的两个. 知识拓展 1. 若 q ? ?1, m ? N * ,则 Sm , S2m ? Sm , S3m ? S2m , ??? 构成新的等比数列,公比为 qm .请将这个性质归到等比数列的 性质中。
a 2. 若三个数成等比数列,且已知积时,可设这三个数为 , a , aq . 若四个同符号的数成等比数列,可设这四个数 q a a 为 3 , , aq, aq 3 . q q 3. 证明等比数列的方法有: a (1)定义法: n ?1 ? q ; (2)中项法: an ?12 ? an an ? 2 . an

11. 等比数列中,已知 a1 ? ?1, a4 ? 64, 求q及S4.

12、在等比数列 ?an ? 中, a1 ? a6 ? 33, a2 a5 ? 32 ,求 S6 .

13、 a1 ? 3 , a5 ? 48 . 求此等比数列的前 5 项和. 检测案 1. 数列 1, a , a 2 , a 3 ,?, a n ?1 ,?的前 n 项和为( ). 1 ? an 1 ? a n ?1 1 ? an? 2 A. B. C. D. 以上都不对 1? a 1? a 1? a 2. 等比数列中,已知 a1 ? a2 ? 20 , a3 ? a4 ? 40 ,则 a5 ? a6 ? ( ). A. 30 B. 60 C. 80 D. 160 4. 等比数列 {an } 中, S3 ? 3 , S6 ? 9 ,则 S9 ? ( ). A. 21 B. 12 C. 18 D. 24 5. 在等比数列中, a1 ? 4 ,q=2,使 Sn ? 4000 的最小 n 值是( ). A. 11 B. 10 C. 12 D. 9 6. 计算机是将信息转换成二进制数进行处理的,二进制即“逢二进一”.如(1101) 2 表示二进制的数, 将它转换 成十进制的形式是 1? 23 ? 1? 22 ? 0 ? 21 ? 1? 20 ? 13 ,那么将二进制数(11111111) 2 转换成十进制的形式是( ). A. 29 ? 2 B. 28 ? 1 C. 28 ? 2 D. 27 ? 1 15、等比数列的前 n 项和 s n ? 2 ? 1 ,求通项 a n .
n


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