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直线与方程习题课


1.直线 3 x-y+1=0的倾斜角等于( B )
2π A. 3 C. 5π 6

π 斜率k= 3 ,倾斜 ? ? , 角选B. 3

π B. 3 π D. 6

2. 已知 α ∈ R ,直线 x sin α - y +1=0 的斜率 的取值范围是( C ) A.(-∞,+∞) C.[-1,1] B

.(0,1] D.(0,+∞)

直线 xsin α-y +1=0的斜率是 k=sinα, 又因为-1≤sinα≤1,所以-1≤k≤1,选C.

4.直线ax+y-1=0与直线y=-2x+1互相垂
1 直,则a= ? . 2

由题知(-a)×(-2)=-1,所以 a=- 1 ,填- 1 .
2 2

易错点:两直线互相垂直,若斜率

都存在,可得到斜率之积为-1.

5. 若直线 ax+2y-6=0 与 x+ ( a-1 ) y- ( a2-1 ) =0平行,则点 P( -1,0)到直线 ax+2y-6=0的 距离等于 . 5
因为两直线平行,所以有 a ( a-1 ) =2,即a2-a-2=0, 解得 a=2 或 a=-1 ,但当 a=2 时,两直线重 合,不合题意,故只有a=-1,所以点P到直线 ax+2y-6=0的距离等于5,填5. 易错点:判断两直线平行时要检验是 否重合.

3.若三条直线y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0相 交于同一点,则点(m,n)可能是( A )
A.(1,-3) C.(-3,1) y=2x B.(3,-1) D.(-1,3)

x=1 由 ,得 y=2. x+y=3 所以m+2n+5=0,所以点(m,n)可能 是(1,-3),选A.

1.直线的倾斜角:理解直线的倾斜 角的概念要注意三点: (1)直线向上的方向; (2)与x轴的正方向; (3)所成的最小正角,其范围是 [0,π).

2.直线的斜率: ( 1 )定义:倾斜角不是 90°的直线它 的倾斜角 α 的正切值叫做这条直线的斜率, 常用k表示,即k=tanα.α=90°的直线斜率不 存在; (2)经过两点 P(x1,y1) ,Q(x2,y2)的 直线的斜率公式 k ? y2 ? y1 (其中x1≠x2).
x2 ? x1

3.直线的方程:由直线的几何要素确定
(1)点斜式:y-y0=k(x-x0),直线的斜 率为k且过点(x0,y0); (2)斜截式:y=kx+b,直线的斜率为k, 在y轴上的截距为b;

y ? y1 x ? x1 , (3)两点式:y ? y ? x ? x 直线过两 2 1 2 1

点(x1,y1),(x2,y2),且x1≠x2,y1≠y2;
x y ( 4 )截距式: ? ? 1, 直线在 x 轴上 a b

的截距为a,在y轴上的截距为b; ( 5 )一般式 Ax+By+C=0 ( A , B 不全 为零).

4.两条直线的平行与垂直:已知直线 l1 : y=k1x+b1;l2 : y=k2x+b2 ,则直线 l1∥l2 k1=k2且b1≠b2;直线l1⊥l2 k1· k2=-1.

5.求两条相交直线的交点坐标,一般 通过联立方程组求解. 6.点到直线的距离:
点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的
Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

距离 d ?



特别地,点 P ( x0,y0 )到直线 x=a 的距离 d=x0-a;

点P(x0,y0)到直线y=b的距离d=y0-b;
两条平行线l1:Ax+By+C1=0与l2:
C 2 ? C1 A2 ? B 2

Ax+By+C2=0的距离 d ?

.

7.若P(x1,y1),Q(x2,y2),则 PQ ?
2 2 (x1 ? x2 ) ? (y1 ? y2 ); 线段PQ的中点是 x1 ? x2 y1 ? y2 ( , ) . 2 2

重点突破:直线的倾斜角与斜率
例1 已知点 A ( -3 , 4 ), B ( 3 , 2 ),过

点P(2,-1)的直线l与线段AB有公共点,求直 线l的斜率k的取值范围. 从直线l的极端位置PA,PB入手, 分别求出其斜率,再考虑变化过程斜率的变化 情况.

直线PA的斜率k1=-1,直线PB的 斜率 k 2=3,所以要使 l与线段 AB有公共点, 直线l的斜率k的取值范围应是k≤-1或k≥3.

直线的倾斜角和斜率的对应关 系是一个比较难的知识点,建议通过正切函 π π 数 y =tanx 在[ 0, ) ∪ ( ,π)上的图象变 2 2 化来理解它.

变式练习1 已知点 A ( -3 , 4 ),

B ( 3 , 2 ),过点 P( 2 , -1 )的直线 l 与线段 AB 没有公共点,则直线 l 的斜 率k的取值范围为 -1<k<3 .
可用补集思想求得-1<k<3.

重点突破:直线方程的求法 例2 (Ⅰ)求经过点A(-5,2)且在x轴上的截 距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程; (Ⅱ)若一直线被直线4x+y+6=0和3x-5y-6=0 截得的线段的中点恰好在坐标原点,求这条直 线方程. (Ⅰ) 讨论截距为零和不为零两种 情况,分别设出直线方程,代入求解.(Ⅱ)设所 求直线与已知一直线的交点坐标 A(a,b),与另 一直线的交点B,因为原点为AB的中点,所以 点B(-a,-b)在相应的直线上,联立方程组求解.

( Ⅰ ) ①当横截距、纵截距均为零时,
设所求的直线方程为 y = kx ,将 (-5 , 2) 代入得 k=2 ,此时直线方程y=5 2 x,即2x+5y=0; 5

②当横截距、纵截距都不是零时,设所
x y 求的直线方程为 ? ? 1,将 (-5 , 2) 代入得 2 a a 1 a=- ,此时直线方程为x+2y+1=0. 2

综上所述,所求直线方程为 2 x +5 y =0 或

x+2y+1=0.

( Ⅱ )设所求直线与直线 4x+y+6=0,3x5y-6=0分别相交于A,B.

设 A ( a,-4a-6 ),则由中点坐标公式知 B
(-a,4a+6),
36 -5(4a+6)-6=0,解得a= ? . 23 36 6 36 6 (? , ) ,B ( , ? ), 从而求得 A 所以所 23 23 23 23 1 求直线方程为 y ? - x . 6

将 B ( -a,4a+6 )代入 3x-5y-6=0 ,得 3 ( -a )

应用直线方程的几种形式 假设直线方程时须注意其应用的适用 条件;选用恰当的参变量,可简化运 算量.

变式练习2 求适合下列条件的直线方程.

( Ⅰ )过点 P ( 3 , 2 ),且在两坐标轴 上的截距相等;

( Ⅱ)过点 Q(0,-4),且倾斜角为直 线 3 x+y+3=0的倾斜角的一半.

(Ⅰ)当直线在两坐标轴上的截距不为
x y 零时,设其方程为 ? ? 1, a a 3 2 所以 ? ? 1, 解得a=5, a a

此时直线方程为x+y-5=0; 当直线在两坐标轴上的截距均为零时,

设其方程为y=kx,
2 所 以 2=3k , 则 k= , 此 时 直 线 方 程 为 3 2 y= x. 3

综上所述,所求的直线方程为 x+y-5=0
2 或 y = x. 3 2 π 倾斜角为 π,所以所求直线的倾斜角为 , 3 3 故斜率为 3 ,

(Ⅱ)易得直线 3x+y+3=0的斜率为- 3,则

由点斜式得所求的直线方程为y= 3 x-4.

重点突破:有关距离 例3 已知直线 l1 : 2x-y+a=0 ( a>0 ),直 线l2:-4x+2y+1=0和直线l3:x+y-1=0,且l1与l2 7 的距离是 5. 10 (Ⅰ)求a的值; ( Ⅱ )能否找到一点 P ,使得 P 点同时满 足下列三个条件:① P 是第一象限的点;② P 点到 l1的距离是 P点到 l2的距离的1 ;③点 P到 2 l1的距离与点P到l3的距离的比为 若能, 2∶ 5. 求出P点坐标;若不能,说明理由.

7 (Ⅰ)利用l1与l2的距离是 10 5.

可求得a的值.(Ⅱ)先假设P点坐标为P (x0,y0),然后借助题设中的 3个条件列方 程组,可求得 P 点坐标,解题时不可忽视 “P是第一象限的点”这一条件.

1 ( Ⅰ)直线 l2:2x-y- =0所以 l1 2 1 a? (? ) 7 2 与l2的距离 d ? ? 5, 2 2 2 ? (? 1 ) 10

所以

1 a? 因为a>0,所以a=3. 7 2 ? 5, 10 5

( Ⅱ )假设存在点 P ,设点 P ( x0,y0 ), 若P点满足条件②,则P点在与l1,l2平行的直
C?3 5

线l′:2x-y+C=0上,且

1 C? 13 11 1 2 解得C= 或 . ? ? , 2 6 2 5 13 11 所以2x0-y0+ =0,或2x0-y0+ =0. 2 6

若P点满足条件③,则由点到直线距离

公式,有 2 x0 ? y0 ? 3 ? 2 x0 ? y0 ? 1 ,
5 5 2 即 2 x0 ? y0 ? 3 ? x0 ? y0 ? 1 ,

所以x0-2y0+4=0或3x0+2=0, 由于 P 点在第一象限,所以 3x0+2=0 是 不可能的.

13 联立方程2x0-y0+ =0和x0-2y0+4=0, 2 1 y0= 2 (不合,舍去) 1 11 x0 ? 2x0-y0+ =0 9 6 由 ,解得 37 y0 ? , x0-2y0+4=0 18 1 37 所以存在点P( , )同时满足三个条件. 9 18

x0=3

解得

利用两平行线间的距离公式时, x,y项对应的系数必须相同;解决存在性 问题,先假设存在,再加以推证.

变式练习3 已知点P(2,-1),过P点

作直线l. (Ⅰ)若原点O到直线l的距离为2,求 l的方程; ( Ⅱ )求原点 O 到直线 l 的距离取最大 值时l的方程,并求原点O到l的最大距离.

(Ⅰ)①当l⊥x轴时,满足题意,所 以所求直线方程为x=2; ②当l不与x轴垂直时,直线方程可设为 y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0.
3 ? 2, 由已知得 解得k= .所以所求 2 4 1? k
1 ? 2k

直线方程为3x-4y-10=0. 综上,所求直线方程为x=2或3x-4y10=0. (Ⅱ)结合几何图形,可知当l⊥直线OP时, 距离最大为5, 此时直线l的方程为2x-y-5=0.

例4 经过点P(2,1)的直线l分别与两

坐标轴的正半轴交于A,B两点. (Ⅰ) 求当△ ABO ( O 为坐标原点)的面 积最小时直线l的方程; (Ⅱ)求当OA+OB最小时直线l的方程; (Ⅲ)当PA· PB最小时直线l的方程;


引入参数表示直线方程,建 立相应的目标函数,确定当目标函数取最 值时的参数,从而求得直线方程. 设直线方程为 y-1=k(x-2),显

然k<0.
1 令x=0,得y=1-2k;令y=0,得x ? 2 ? , k 1

所以A(0,1-2k),B(2- ,0).
k

(Ⅰ)△ABO的面积

1 ( ? )( ? ? 4 k ) 1 1 k S? ( 1 ? 2k)( 2? ) ? 2? 2 k 2

此时直线方程为y-1=- (x-2),
2

1 ? 2 ? (? )(? 4k)? 2 ? 2 ? 4, k 1 1 当且仅当 - =-4k,即k=- 时等号成立, k 2 1

所以当△ ABO 的面积最小时直线 l 的方程 为x+2y-4=0.

1 (Ⅱ)OA+OB=(1-2k)+(2- ) k 1 =3+(- k )+(-2k)≥3+2 (- 1)(- 2k) k ? 3 ? 2 2, 1 2 当且仅当 - =-2k ,即 k=- 时等号成立, k 2 2 此时直线方程为y-1=- (x-2 ), 2 所以当 OA ? OB最小时直线l的方程为
x ? 2 y ? 2 ? 2 ? 0.

(Ⅲ)PA· PB
1 2 2 2 ? ( 2? ? 2 )?1? 2 ? ( 1 ? 2k ? 1 ) k 1 1 2 2 ?2( 1 ? 2)( 1 ? k )? 2 2 ? 2 ? k k k
1 2 ? 2 2 ? 2 2 ? k ? 4, k 1 2 ? k ,即 k=-1 时等号成立, 当且仅当 2 k

此时直线方程为y-1=-(x-2),

所以当 PA · PB 最小时直线 l 的方程 为x+y-3=0. 解决与最值相关的问题,一 般有两种思路,一种是用函数的思想, 建立目标函数求解;另一种是用几何性 质求解.

1.求斜率一般有两种方法,其一,已知
y ? y1 直线上两点,根据k ? 求斜率;其二, x2 ? x1
2

已知倾斜角α或α的三角函数值,根据k=tanα 求斜率.斜率范围与倾斜角范围的转化,要
π 结合y=tanx在[0,)和( 2 π ,π)上的变化 2

规律,借助数形结合解题.

2. 直线方程的各种形式之间存在内在的联 系,它是直线在不同条件下的不同表现形式, 要掌握好它们之间的变化;在解具体问题时, 要根据问题的条件,结论灵活的选用公式,以 便简化运算.一般地,确定直线方程基本可分为 两个类型;一是根据题目条件确定点和斜率或 确定两点,进而利用直线方程的几种形式,写 出直线方程.二是利用直线在题目中具有的某些 性质,先设出方程(含参数或待定系数法), 在确定参数值.切记讨论斜率k的存在与否.

3.求点到直线的距离问题时,直线方程要 化成一般式;利用两平行线间的距离公式时, 要注意x,y项的对应系数必须相同. 4.判断两条直线平行或垂直时,不要忘记 考虑两条直线中一条或两条直线均无斜率的 情况. 5.注意截距不是距离,是一个数值,它可 取正数,负数或零.

1.(2009· 安徽卷)直线l过点(-1,2)且 与直线2x-3y+4=0垂直,则l的方程是( A ) A.3x+2y-1=0 C.2x-3y+5=0 B.3x+2y+7=0 D.2x-3y+8=0

3 3 可得l的斜率k=- ,所以l:y-2=2 2

(x+1),即3x+2y-1=0,选A.

单独考查本章知识的高考试题难
度一般不大,本小题考查直线的斜率和直 线方程的确定方法,考查数形结合的思想.


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