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《高中竞赛教程》教案:第05讲 子集(学生)


第 5 讲 子集
本讲内容有子集、子集的个数、集合的划分及子集的应用。 设 a 表示任意元素, A ,

B 表示两个集合。若 a ? A ? a ? B

,则 A ?

B

,即集合 A

是集合 B 的子集。规定空集是任何集合的子集。 子集是由原集合中的部分元素构

成。 对于由 n 个元素组成的集合, 它的每一个子集中元素的构 成, 都是对这 n 个元素进行选择的结果。由于对每一个元素的选择都有两种可能(选上或不选) ,因此, 对这 n 个元素共有 2 种不同选择结果,即由 n 个元素组成的集合共有 2 个不同子集。其中,不同 的非空子集有 2

n

n

n

? 1 个,不同的真子集有 2 n 个。

A 类例题
例1 求集合 M

? {x ? R | x 2 ? ax ? a ? 3 ? 0} 的子集的个数。

例2

求满足{a, b} ?

P ? {a, b, c, d , e}的集合 P 的个数。

例 3

已知集合 A ? {2,3,4,5,6,7},对 X

? A ,定义 S ( X ) 为 X 中所有元素之和。求

全体 S ( X ) 的总和 S 。

情景再现
1.设集合 A ? {( x,

y) | y ? x 2 ? 4 x ? 1} , B ? {( x, y) | y ? 2x ? 1} 。

求集合 A ? B 的子集的个数。 2.若数集{

a , 1} ? {1, 2 , a} ? {1, 2 , 4 , a 2 } ,则 a 的值是_____。
-1-

3.设非空集合 A ? { 1,2,3,4,5,6,7},且当 a ? 问:这样的 A 共有多少个?

A 时,必有 8 ? a ? A ,

B 类例题
例4 在某次竞选中,各个政党共作出

p 种不同的诺言 ( p ? 0 ) ,任何两个政党都至少有一
p ?1
个。

种公共诺言,但没有两党作出完全相同的诺言。试证明,政党的数目不多于 2

例 5 证明:任意一个有限集的全部子集可以这样排列顺序,使得任何两个相邻的子集仅相差 一个元素。 (1972 年波兰数学奥林匹克)

例6设 M 的最大值。

15 x ? A 。 且当 x ? A 时, 求| A | ? {n | 1 ? n ? 1995 , n ? N} , A ? M ,
(1995 年全国高中数学联赛)

情景再现
4.在一次 IMO 竞赛中,k 个领队共使用 n 种不同语言。如果任何两个领队至少使用一种共同 语 言,但没有任何两个领队使用的语言完全相同。求证: k 5.已知 A ? B

? 2n ?1



? {a1, a2 , a3} ,当 A ? B 时, ( A , B) 与 ( B , A) 视为不同的对,则这样

的 ( A , B) 对的个数有____________个。 (1993 年全国高中数学联赛) 6.设集合 A 是整数集 Z 的子集,其中的元素有正整数,也有负整数,且若 a , b ? A (允许

a ? b) ,则 a ? b ? A ,求证:若 a , b ? A ,则 a ? b ? A 。

-2-

C 类例题
例 7 对{ :对每一个子集 1,2,?, n} 及其每一个非空子集,定义一个唯一确定的“交替和”

按照递减的次序重新排列,然后从最大的数开始交替的减或加后继的数(例如, { 1, “交替和”是 9 ? 6 ? 4 ? 2 ? 1 ? 6

2, 4, 6, 9} 的

。对 n ? 7 ,求所有这些“交替 ; {5}的“交替和 ”是 5)

和”的总和。 (第 1 届美国数学邀请赛)

例 8 已知集合 S 中有 10 个元素,每个元素都是两位数。求证:一定可以从 S 中取出两个无公 共元素的子集,使 两个子集的元素和相等。 (1972 年 14 届 IMO)

情景再现
7.设集合 M

? {n | 1 ? n ? 10 , n ? N}。现对 M

的任意一个非空子集 X ,令 a X 表示

X 中最大数与最小数之和,那么,所有这样的 a X 的算术平均值为___________。
8. 由前 2 n 个正整数组成的集合 M 元素组成 从中任取 n ? 1 个 ? {m ? N | 1 ? m ? 2n , n ? N ?} ,

M

的子集

A , 求 证 : 集 合 A 中 必 有 两 个 数 ai , a j , 使 得 ai ? a j ? A , 或 者

a j ? 2 ai 。
[来源:学*科*网]

习题 5
1. 若{2, | a ? 1 |} ? {2,3, a

2

? 2a ? 1} ,试确定 a 的值。
-3-

2 .已知集合

A ? {n | 1 ? n ? 10 , n ? N} , B ? {1,2,3,4,5} ,若 C 是 A 的子集,且

B ? C ? ? ,则子集 C 有多少个?
3.若 A ? {n ? N 证:这样的子集共有 2 4.已知集合 X

| 1 ? n ? 2m ? 1 , m ? N},且 a ? A 时,必有 2m ? a ? A ,求

m

? 1个。
k , n ? N} ,对 A ? X ,
将 A 中所有元素的和记

? {n | 1 ? n ? k ,

为 S ( A) ,将 X 分为互不相交的两个子集 A, B 且 A ? B 有值。

? X ,若 S ( A) ? 2S ( B) ,求 k 的所
n 条。一位妇女住在城市

5.矩形城市的道路非常规则,恰好东西向、南北向的道路分别有 m ,

的西南角,工作在东北角。她每天步行去工作。如果每个交叉路口不得经过两次,证明她所能选取的 路线数目

f (m , n) 不大于 2mn 。

(第 9 届加拿大数学竞赛)

6.已知集合{n | 1 ? n ? 10 ,

n ? N} ,求满足至少含有两个元素且任意两个元素的差的绝

对值大于 1 的子集的个数。 (1996 年上海爱朋思杯赛)

7. 设集合 A ? {x | 1 ?

x ? 100 , x ? N} 且对任意的 x, y ? A ,必有 2 x ? y ,则子

集 A 所含元素个数的最大值为___________________.(1991 年河南省集训题)

8.已知集合 S

? { n ? N | 1 ? n ? 1997 }. A ? { a1, a2 , ?, ak }是 S 的子集,且具

有下述性质: “ A 中任意两个不同元素的和不能被 117 整除。 ”试确定 k 的最大值并证明你的结论。 (1997 年全国高中数学联赛)

-4-


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