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广西桂林市第十八中学2017届高三上学期第一次月考数学(文)试题


桂林市第十八中学 14 级高三第一次月考试卷

Z-XK] 网 科 :学 源 [来

文科数学
注意:1、本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分.考试时间:120 分钟. 答卷前,考生务必将条形码、姓名和考号张贴和填写答题卷指定的位置. 2、选择题答案用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案;不能答在试题卷上. 3、 主观题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卷上作答, 答案必须写在答题卷各题目指定 区域内的相应位置上,超出指定区域的答案无效;如需改动,先划掉原来的答案,然后再 写上新的答案.

第Ⅰ卷
一、 选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目

要求的. 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? x | x 2 ? 2 x ? 0 , B ? ?x | y ? lg( x ? 1)? 则集合 (CU A) ? B ? A. C.

?

?

?x | x ? 0, 或x ? 2?
?x |1 ? x ? 2?

B. D.

?x |1 ? x ? 2? ?x |1 ? x ? 2?

3 5 2.已知复数 z 满足 ? z ? 3i ? 2 ? i ? 10i ,则复数 z 在复平面上对应的点在

?

?

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

?2x , x ? 0, 3.已知函数 f ( x) ? ? 若 f (a) ? f (1) ? 0 ,则实数 a ? ? x ? 1, x ? 0,
A. -3 B. -1 C. 1 D. 3

4.设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,则“ a2 ? 0 且 a1 ? 0 ”是“数列 ?Sn ? 单调递增”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件
] 网 *科 :学 源 [来

2

D.既不充分也不必要条件
2 正视图
ZXK] 网 +科 :学 源 [来

5.某几何体的三视图如图所示(单位: cm ) ,则该几何体的体积是 A. 4cm3 B. 6cm3

侧视图

2 2 俯视图

C.

16 3 cm 3

D.

20 3 cm 3

6.设点 F 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点,点 F 到渐 a 2 b2

: 6 ,则双曲线的 近线的距离与双曲线的两焦点间的距离的比值为 1
渐近线方程为 A. 2 2 x ? y ? 0 B. x ? 2 2 y ? 0 D. 3 2 x ? y ? 0 C.

x ? 3 2y ? 0

7.如图(1)是某高三学生进入高中三年来的数学考试成 绩茎叶图,第 1 次到第 14 次的考试成绩依次记为 A1,A2,…,A14.图(2)的程序框图给出了茎叶图中成 绩在一定范围内的考试次数.执行该程序框图,则输 出的结果是 A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 8.平面向量 a 与 b 的夹角为 60°, a ? ? 2, 0 ? , b ? 1 , 则 a ? 2b = A. 2 3 C. 12 9.将函数 y ? sin ? x ? 则? 的 取值不可能是 A. ? B. 4 D. 16

?

?

?

?

?

?

? ?

??

? ?? ? ? cos ? x ? ? 的图象向右平移 8 个单位长度后,得到一个偶函数的图象, 2? 2? ?

5? 4

B. ?

? 4
1 4

C.

? 4

D.

3? 4

10.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an ? an?1 ? ( )n (n ? N * ) ,设 Sn ? a1 ? 4a2 ? 42 a3 ? ? ? 4n?1 an ,则

5S6 ? 46 a6 ?

A. 5

B. 6

C. 10

D. 12

11.已知点 M , N 是抛物线 y ? 4 x 2 上不同的两点, F 为抛物线的焦点,且满足 ?MFN ? 135? ,弦

MN 的中点 P 到直线 l : y ? ?
A.

1 的距离记为 d ,若 | MN |2 ? ? ? d 2 ,则 ? 的最小值为 16
C. 1 ?

2 2

B. 1 ?

2 2

2 2

D.

2+2

?1 2 x ? 1, x ? 0 ? 12.已知函数 f ? x ? ? ? 2 ,若函数 F ? x ? ? f ? x ? ? kx 有且只有两个零点,则实数 k ?? ln ?1 ? x ? , x ? 0 ?
的取值范围为 A. (0,1) B. (0, )

1 2

C. ( ,1)

1 2

D. (1, ??)

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 ? 21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答.第 22 ? 24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分.

? x ? 5 ? 0, ? 13.若 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ? 0, 则 z ? 2 x ? y 的最小值为 ? 2 x ? y ? 5 ? 0, ?



14. 对具有线性相关关系的变量 x , y 有一组观测数据 ? xi , yi ? ?i ? 1,2,?,8? ,其回归直线方程是

1 ? ? x?a ?, y 3
且 x1 ? x2 ? x3 ? ?? x8 ? 2 ? y1 ? y2 ? y3 ? ?? y8 ? ? 8 ,请估算 x ? 3 时, y ? 15.函数 f ( x) ? e x ? x ? 1 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 . . .

16. 若实数a, b 分别满足a3 ? 3a2 ? 5a? 1 ? 0, b3 ? 3b2 ? 5b ? 5 ? 0, 则a ? b ?

三、 解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)

?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 2c cos B ? 2a ? 3b .
(Ⅰ)求 C ; (Ⅱ)若 a ? 2 , ?ABC 的面积为 3 ,求 c .

18. (本小题满分 12 分) 体育课上,某老师对高一(1)班 50 名学生进行跳绳测试, 现测得他们的成绩(单位:个)全部介于 20 与 70 之间, 将这些成绩数据进行分组(第一组: ? 20,30? ,第二组: ,并绘制成如右图所 ?30,40? ,??,第五组: ?60,70? ) 示的频率分布直方图. (Ⅰ)求成绩在第四组的人数和这 50 名同学跳绳成绩的中位数; (Ⅱ)从成绩在第一组和第五组的同学中随机取出 2 名同学进行搭档 ,求至少有一名同学在 第一组的概率.

P
19. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD , PA ? 6 , 四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形, ?ABC ? 60 , M , N
?

N A M C

B

D

分别为 BC 和 PB 的中点.. (Ⅰ)求证:平面 PBC ? 平面 PMA ; (Ⅱ)求四面体 M ? AND 的体积.

20. (本小题满分 12 分) 已知两点 F1 (? 3,0)和F2 ( 3,0) ,动点 P 满足 | OF1 ? OP | ? | OF2 ? OP |? 4. (Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ) 设曲线 C 上的两点 M , N 在 x 轴上方, 且 F1M // F2 N , 若以 MN 为直径的圆恒过点 (0, 2), 求

???? ??? ?

???? ? ??? ?

F1M 的方程.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x-x2 (a ? R) . (Ⅰ)讨论 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)对于 (0,1) 内的任意两个相异实数 p、q, 恒有

f ( p ? 1) ? f (q ? 1) ? 1, 求 a 的取值范围. p?q

请考生在 22、23、24 题中任选一题作答.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题号后的方框涂 黑. 如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知 AB 是 ? O 的弦, P 是 AB 上一点. (Ⅰ)若 AB ? 6 2 , PA ? 4 2 , OP ? 3 ,求圆 O 的半径; (Ⅱ)点 C , E 在 ? O 上,且 CA ? CB ,线段 CE 交 AB 于 D . 证明: ?CAD ? ?CEA .

C

O A D E P B

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ?

? ? x ? 3 3 cos ? ? ? y ? 3 sin ?

( ? 为参数),以原点 O 为极点,

x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,已知点 P 的极坐标为 (2, ? ? ) ,直线 ? 的极坐标方程为 3

? ? cos( ? ? ) ? 6 .
3
(Ⅰ)求点 P 到直线 ? 的距离; (Ⅱ)设点 Q 在曲线 C 上,求点 Q 到直线 ? 的距离的最大值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ? a | ? | x ? 1| . (Ⅰ)当 a ? ? 时,求不等式 f ( x) ? 2a 的解集; (Ⅱ)当 x ? R 时, f ( x) ? 2a ,求实数 a 的最小值.

1 2

桂林十八中 14 级高三第一次月考文科数学参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 题号 答案 1 C 2 A 3 A 4 C 5 C 6 B 7 D 8 A 9 C 10 B 11 D 12 C

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 7 14.

7 6

15.

y ? (e ? 1) x ? 1

16. 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 17. 【解析】 (Ⅰ)由正弦定理得 2sin C cos B ? 2sin A ? 3 sin B???2分 即: 2sin C cos B ? 2sin(C ? B) ? 3sin B???3分

? 2sin C cos B ? 2sin C cos B ? 2 cos C sin B ? 3 sin B ? cos C ? ?0 ? C ? ? , ? C ?

?
6

3 2

.???????????????? 6分
1 1 1 ab sin C ? 3 ? ? 2 ? b ? ? 3 ? b ? 2 3 2 2 2

(Ⅱ)由 ?ABC 的面积为 3 ,得

..................................................... 9 分

由余弦定理得:c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C ? (2 3)2 ? 22 ? 2 ? 2 3 ? 2 ?

3 2 ? c ? 2????????????????12分


18. 【解析】 (Ⅰ)第四组的人数为 ? ?1 ? ? 0.004 ? 0.008 ? 0.016 ? 0.04 ? ?10 ? ? ? 50 ? 16

中位数为 40 ? ? ?0.5 ? ? 0.004 ? 0.016 ? ? 10? ? ? 0.04 ? 47.5 .?????????4分 (Ⅱ)据题意,第一组有 0.004 ?10 ? 50=2 人,第五组有 0.008 ?10 ? 50=4 人,记第一组成绩 为 A, B ,第五组成绩为 a, b, c, d ,则可能构成的基本事件有

? A, a? , ? A, b? , ? A, c ? , ? A, d ? , ? B, a ? , ? B, b? , ? B, c ? , ? B, d ? , ? A, B ? , ? a, b? , ? a, c? , ? a, d ? , ?b, c ? , ?b, d ? , ?c, d ? 共 15 种,???????????????????
8分 其中至少有一名是第一组的有

? A, a? , ? A, b? , ? A, c ? , ? A, d ? , ? B, a ? , ? B, b? , ? B, c ? , ? B, d ? , ? A, B ? , 共 9 种,???????10


? 概率 P ?

9 3 ? . 15 5

??????????????????????12 分

19.【解析】 (Ⅰ)连结 A C ,∵四边形 A BCD 是菱形,∴ AB ? BC , 又∵ ? ABC

60? ,∴ D A BC 是等边三角形,∵ M 是 B C 中点, ∴ AM ^ BC ,

∵ PA ^ 平面 A BCD , BC ? 平面 ABCD , ∴ PA ? BC ,在平面 PMA 中 AM ? PA ? A ∴ BC ^ 平面 PMA ∴平面 PBC ^ 平面 PMA ; (Ⅱ) VM ?6 分

AND

= VN -

AMD

=

1 1 SD AMD ? PA 3 2

1 1 创 2 创AB sin 60° 3 2

6 = 2

2. (12 分)

20.【解析】 (Ⅰ)设 P ( x, y ) ,则 OF1 ? OP ? ( x ? 3, y), OF2 ? OP ? ( x ? 3, y).

???? ??? ?

???? ? ??? ?

???? ??? ? ???? ? ??? ? | OF1 ? OP | ? | OF2 ? OP |? 4 ? ( x ? 3) 2 ? y 2 ? ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 4
由椭圆的定义知:动点 P 的轨迹 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. ..... 4 分 4

(Ⅱ)设直线 F1M : x ? my ? 3, 且与曲线C的另一个交点为N ?,??5 分

设M ( x1 , y1 ), N ?( x2 , y2 ),由F1M // F2 N 及椭圆的对称性知:N (? x2 , ? y2 )??6 分
? ? x ? my ? 3 ? (m2 ? 4) y 2 ? 2 3my ? 1 ? 0, ? ? 16(m2 ? 1) ? 0,??7分 ? 2 2 ? ?x ? 4 y ? 4 ? y1 ? y2 ? 2 3m 1 4 m2 ? 1 , y y ? ? , y ? y ? | y ? y | ? ??8分 1 2 1 2 1 2 m2 ? 4 m2 ? 4 m2 ? 4

???? ? ???? 设R(0, 2),? RM ? (my1 ? 3, y1 ? 2), RN ? (?my2 ? 3, ? y2 ? 2), ???? ? ???? ? RM ?RN ? (my1 ? 3)(?my2 ? 3) ? ( y1 ? 2)(? y2 ? 2) ? ?(m 2 ? 1) y1 y2 ? 3m( y1 ? y2 ) ? 2( y1 ? y2 ) ? 1 ? 0??10分 ? m 2 ? 1 ? 6m 2 ? 8 m 2 ? 1 ? m 2 ? 4 ? 0 ? m ? ? ? 直线F1M 的方程是x ? ? 4 10 ? 2 ,???11分 4

4 10 ? 2 y ? 3.?????????12分 4

21.【解析】 (Ⅰ) f ( x) 的定义域为 (0, ??) . ········· 1 分 所以 f ?( x) ?

?2 x 2 ? a , x

当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0, 则 f ( x) 在 (0, ??) 单调递减; ........ 2 分

当 a ? 0 时, f ?( x) ? 知0? x ?

?2 x ? a ? x
2

?2( x ?

a a )( x ? ) 2 2 x

a a 时, f ?( x) ? 0;当x ? 时, f ?( x) ? 0. 2 2

所以 f ( x) 在 (0,

a a ) 上单调递增,在 ( , ?? ) 单调递减. 2 2

5分

(2)设p ? q,由

f ( p ? 1) ? f (q ? 1) ?1 p?q ? f ( p ? 1) ? f (q ? 1) ? p ? q ? f ( p ? 1) ? p ? f (q ? 1) ? q.????? 6分

问题转化为函数g ( x) ? f ( x ? 1) ? x ? a ln( x ? 1) ? ( x ? 1) 2 ? x在(0,1)上 ? , ?????8分 a 即g ?( x) ? ? 2( x ? 1) ? 1 ? 0在(0,1)上恒成立?10分 x ?1 ? a ? 2 x 2 ? 5 x ? 3在(0,1)上恒成立 ? a ? (2 x 2 ? 5 x ? 3) max ? 10.??????12分

22. 证明:(Ⅰ)连接 OA,设 OA=r, 取AB中点F,连接OF,则OF⊥AB,

? AB ? 6 2, PA ? 4 2,? AF ? 3 2
? PB ? 2 2, FP ? 2 . ?????????2分
又 OP ? 3, Rt?OFP 中,

OF 2 ? OP2 ? FP2 ? 9 ? 2 ? 7,

????????4分

Rt?OAF 中, r 2 ? OA2 ? AF 2 ? OF 2 ? (3 2)2 ? 7 ? 25, ? r ? 5 ????????????6分
(Ⅱ)? CA ? CB ??CAD ? ?B

又? ?B ? ?E ??CAD ? ?E
∠ACE为公共角,

???????????????????????8分

? ?CAD ∽ ?CEA
23. 解:(Ⅰ)点 P ? 2, ? 由直线l ? cos ?

?????????????????????????10分

? ?

??

? ? ?? ? ? ?? ? 的直角坐标为 ?2cos ? ? ? , 2sin ? ? ? ? ,即 1, ? 3 3? ? 3? ? 3 ?? ?

?

?

???2分

1 ?? ? ? ? ? ? 6 ,得 ? cos ? ? 3 sin ? ? 6 . 2 ?3 ?

?

?

则l的直角坐标方程为: x ? 3 y ? 12 ? 0 点P到l的距离 d ?

????????????????4分

1 ? 3 ? 12 ?4 2

?????????????????????5分

(Ⅱ)可以判断,直线l与曲线C无公共点, 设 Q(3 3 cos? , 3sin ? ) ????????????????????????6分

则点Q到直线 x ? 3 y ? 12 ? 0 的距离为

d?

3 3 cos ? ? 3sin ? ? 12 2
? ?

?? ? 6cos ? ? ? ? ? 12 6? ? ? 2

?????????????8分

所以当 cos ? ? ? 24. 解:当 a= ?

??

? ? ?1 时, dmax ? 9 ??????????????????10分 6?

1 1 时,不等式化为: x ? ? x ? 1 ? ?1 2 2
1 3 ? x ? x ? 1 ? ? 1 ,得 ? ? 1 , 2 2

(Ⅰ)当x≤-1时, 所以 x ? ? . 当 ?1 ? x ?

?????????????????????????????2分

1 1 1 时, ? x ? x ? 1 ? ?1 ,得 x ? , 2 2 4

所以

1 1 ? x ? 成立. ??????????????????????????4分 4 2
1 1 1 时, x ? ? x ? 1 ? ?1 ,得 ? ≤0, 2 2 2
所以 x ?

当x ?

1 成立. 2

综上,原不等式的解集为 ? x | x ?

? ?

1? ? 4?

???????????????????6分

(Ⅱ)∵ x ? a ? x ? 1 ? (x ? a) ? (x ? 1) ? a ? 1 ∴

f ( x) ? x ? a ? x ? 1 的最大值为 a ? 1 ????????????????8分
1 3

由题意知: a ? 1 ≤2a 解得:a≥

所以实数 a 的最小值为

1 3

???????????????????????10 分



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