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2015年江苏高考南通密卷八(南通市数学学科基地命题)


2015 年高考模拟试卷(8)
南通市数学学科基地命题
第Ⅰ卷(必做题,共 160 分) 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分 . 1.若复数 z 满足(1+i)z=2 (i 为虚数单位),则 z= . 2.已知集合 A={0,1,2},则满足 A∪ B={0,1,2}的集合 B 的个数为 . 3.某时段内共有 100 辆汽车经过某一

雷达测速区域,将测得的汽车时速绘制成如图所示 的频率分布直方图.根据图形推断,该时段时速超过 50km/h 的汽车辆数为 开始 4.右图是一个算法流程图,若输入的 x 的值为 1,则输出 S 的 值为 . 输入 x
频率 组距



S ?0

0.039 0.028 0.018 0.010 0.005

S ? S ? x3

x? x?2

S≥30





输出 S
30 40 50 60 70 80
时速(km/h)

(第3题图)

结束

(第 4 题图) 5.设函数 f ( x) ? log 2 (5 ? x) (0 ? x ? 5) ,则 f ( x) ? 1 的概率为 . uur uu u r 6.在 OA 为边, OB 为对角线的矩形中, OA ? ? ?3,1? , OB ? ? ?2, k ? ,则实数 k ?
2



7.等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,双曲线 C 与抛物线 y ? 16 x 的准线交于
A, B 两点, AB ? 4 3 ,则双曲线 C 的实轴长为 . π 8.已知函数 y=sinωx(ω>0)在区间[0, ]上为增函数,且图象关于点(3π,0)对称,则 ω 的 2 取值集合为 . 2 ? a10 ,且 3S1 、 2 S 2 、 S 3 9.已知数列 ?an ? 为等比数列,前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? a2 , a5

成等差数列,则数列 ?an ? 的通项公式 an ?
2

. .

10.若函数 f ( x) ? x ? a x ? 2 在 (0, ??) 上单调递增,则实数 a 的取值范围是 11.已知棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 , F 是棱 BC 的中点, M 是线段 A1 F 上的 动点,则△ MDD1 与△ MCC1 的面积和的最小值是

. 1 12.函数 f ? x ? 是定义域为 R 的奇函数,且 x≤0 时, f ? x ? ? 2x ? x ? a ,则函数 f ? x ? 的 2 零点个数是 . x ? 4y 13.设正实数 x , y 满足 xy ? ,则 y 的最大值是 . x? y 14.在直角坐标中 xOy ,圆 C1 : x2 ? y 2 ? 4 ,圆 C2 : x 2 ? y 2 ? 16 ,点 M ?1,0 ? ,动点 P、Q 分别在圆 C1 和圆 C2 上,满足 MP ? MQ ,则线段 PQ 的取值范围是 第 1 页,共 16 页 .

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 15. (本小题满分 14 分)已知△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2acos B =ccos B+bcos C. (1)求角 B 的大小; (2)设向量 m = (cos A,cos 2A), n = (12,-5),求当 m ? n 取最大值时,tan C 的值.

16. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形, AD // BC , ?ADC ? 90°, 1 BC ? AD , PA ? PD , M , N 分别为 AD 和 PC 的中点. 2 P (1)求证: PA // 平面 MNB ; (2)求证:平面 PAD ? 平面 PMB . N

D M
A B
(第 16 题图)

C

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17. (本小题满分 14 分)轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动.如图, 助跑道 ABC 是一段抛物线,某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面 高为 1 m 的平台上 E 处,飞行的轨迹是一段抛物线 CDE(抛物线 CDE 与抛物线 ABC 在同一平 面内),D 为这段抛物线的最高点.现在运动员的滑行轮迹所在平面上建立如图所示的直角 坐标系,x 轴在地面上,助跑道一端点 A(0,4),另一端点 C(3,1),点 B(2,0),单位:m. (1)求助跑道所在的抛物线方程; (2)若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点 C 处有相同的切线,为使运动员安全和 空中姿态优美,要求运动员的飞行距离在 4 m 到 6 m 之间(包括 4 m 和 6 m),试求运动员飞 行过程中距离平台最大高度的取值范围. (注:飞行距离指点 C 与点 E 的水平距离,即这两点横坐标差的绝对值)

18. (本小题满分 16 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0? 与直线 a 2 b2 y ? kx ? k ? 0? 相交于 A, B 两点(从左至右) ,过点 B 作 x 轴的垂线,垂足为 C ,直线 AC 交
(1)若椭圆的离心率为
2 ,点 B 的坐标为 2,1 ,求椭圆的方程; 2 (2)若以 AD 为直径的圆恰好经过点 B ,求椭圆的离心率.

椭圆于另一点 D .

?

?

y
B
O C

D
x

A

(第 18 题图)

第 3 页,共 16 页

19. (本小题满分 16 分)数列 {an } 的首项为 a ( a ? 0 ) ,前 n 项和为 Sn ,且 Sn?1 ? t ? Sn ? a (t ? 0 ) . 设 bn ? Sn ? 1 , cn ? k ? b1 ? b2 ? ? bn ( k ? 0 ) . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)当 t ? 1 时,若对任意 n ? N , | bn | ≥ | b3 | 恒成立,求 a 的取值范围; (3)当 t ? 1 时,试求三个正数 a , t , k 的一组值,使得 {cn } 为等比数列,且 a , t , k 成等差数列.
*

20. (本小题满分 16 分)已知函数 f ? x ? ? 2ln x ? x ? ax2 , g ? x ? ? x ? ln x ? 3? ? ?1 ? a ? x2 . (1)若函数 f ? x ? 在区间 ?1, 4? 上单调递增,求实数 a 的取值范围; (2)若曲线 g ? x ? 在 x ? e 处的切线平行于直线 x ? y ? 0 ,求证: 对 ?x ? ? 0, ?? ? , g ? x ? ? x ?

e4 ? 0; 4x (3)设函数 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? ? x ? ,试讨论函数 y ? h ? x ? , x ? ?1, 4? 的零点个数.

第 4 页,共 16 页

第Ⅱ卷(附加题,共 40 分) 21.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,每小题 10 分;请选定其中两题,并在相应的答 .............. 题区域内作答 . ...... A. (选修4-1:几何证明选讲)如图,设 AB 、CD 是圆 O 的两条弦,直线 AB 是线段 CD 的垂直平分线.已知 AB ? 6, CD ? 2 5 ,求线段 AC 的长度.
C B

D A

? ? B. (选修4-2:矩阵与变换)已知点 P(a,b),先对它作矩阵 M ? ? ? ? ?

1 2 3 2

? ? 3? 2 ? 对应的变 1 ? ? 2 ?

?2 0? 换,再作 N ? ? ? 对应的变换,得到的点的坐标为 (8, 4 3 ),求实数 a,b 的值. ?0 2?

C. (选修4-4:坐标系与参数方程)

? x ? 3 cos ? , ? 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的参数方程为 ? 其中 ? 为参数.以 O 为 ? ? y ? sin ? , π 极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ? cos(? ? ) ? 2 .求 3 椭圆 C 上的点到直线 l 距离的最大值和最小值.

? a, a ≤ b b? ? ? D. (选修4-5:不等式选讲)定义 min ?a, ,设 h ? min a, 2 2b 2 ,其中 a, b , a ? b a ?b ? b 均为正实数,证明:h ≤1 .

?

?

第 5 页,共 16 页

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 22. (本小题满分 10 分)已知(1+x)2n=a0+a1x+a2x2+?+a2nx2n. (1)求 a1+a2+a3+?+a2n 的值; 1 1 1 1 1 1 (2)求 - + - +?+ - 的值. a1 a2 a3 a4 a2n-1 a2n

23. (本小题满分 10 分)设数列{an},{bn}满足 a1=b1,且对任意正整数 n,{an}中小于等于 n 的项数恰为 bn;{bn}中小于等于 n 的项数恰为 an. (1)求 a1; (2)求数列{an}的通项公式.

第 6 页,共 16 页

2015 年高考模拟试卷(8)参考答案
南通市数学学科基地命题
第Ⅰ卷(必做题,共 160 分) 一、填空题 1.1 ? i ; 2.8 ; 3.77 ; 4.153; 1 2 8.{ , ,1}. 【解 3 3

2 5. ; 6.4 ; 5

7.4 ;

? ? ? π ≥π, ?0<ω≤1 1 2 k ,其中 k∈Z,则 k= 或 k= 或 k=1. 析】 ?2ω 2 即? 3 3 ?3ωπ=kπ, ? ? ω=3 ?
9. 3 n ; 10. [?4, 0] ; 11.
65 ; 10

12.3 . 【解析】 f (0) ? 1 ? a ? 0 ,所以 a ? ?1 .所以

? x 1 2 ? x ? 1, x ≤ 0 ? 1 ? 2 f ? x? ? ? ,可以数形结合,先研究 x ? 0 时, y ? 2x 与y ? x ? 1 的交点只 2 ??( 1 ) x ? 1 x ? 1, x ? 0 ? ? 2 2

有 1 个,可以通过比较 y ? 2 x 在 (0,1) 处的斜率与 导数研究每一段的图象) 13. 5 ? 2 . 【解析】由 xy ? 解得 0 ? y ≤ 5 ? 2 .

1 的大小可得.故共有 3 个零点. (或直接 2

x ? 4y 1 4 x ? 4y ,得 x ? y ? ? ? ,所以 1 ? y ? x ? 4 ≥4 , y x xy y x x? y

? 14. ? ? 19 ? 1, 19 ? 1? .

?x 2 ? y 2 ? 4 ? 【解析】设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则 ? 1 2 1 2 . ? ? x2 ? y2 ? 16

又 PQ 的中点 N ( x, y ) ,即 N ( 则有 x 2 ? y 2 ?

x1 ? x2 y1 ? y2 , ), 2 2

( x12 ? y12 ) ? ( x2 2 ? y2 2 ) ? 2( x1 x2 ? y1 y2 ) 1 ? 5 ? ( x1 x2 ? y1 y2 ) , 4 2

由条件, MP ? MQ ,得 x1 x2 ? y1 y2 ? x1 ? x2 ? 1 ? 2 x ? 1 , 所以 x2 ? y 2 ? 5 ? x ?

? 19 ? 1 19 ? 1? 1 1 19 ,即 ( x ? )2 ? y 2 ? ,由于 PQ ? 2MN , MN ? ? , ?, 2 ? 2 2 4 ? 2

? 所以 PQ ? ? ? 19 ? 1, 19 ? 1? .

第 7 页,共 16 页

二、解答题 15. (1)由题意, 2sin Acos B=sin Ccos B+cos Csin B, 所以 2sin Acos B=sin(B+C)=sin(π-A)=sin A. 因为 0<A<π,所以 sin A≠0.所以 cos B= (2)因为 m· n=12cos A-5cos 2A, 3?2 43 所以 m· n=-10cos2A+12cosA+5=-10? ?cos A-5? + 5 . 3 4 π 4 所以当 cos A= 时,m· n 取最大值.此时 sin A= (0<A< ),于是 tan A= . 5 5 2 3 所以 tan C=-tan(A+B)=- tan A+tan B =7. 1-tan Atan B 2 π .因为 0<B<π,所以 B= . 2 4

P
N

15. (1)连接 AC 交 MB 于 Q ,连接 NQ , MC .

1 因为 AM // BC , AM ? AD ? BC , 2
所以四边形 ABCM 是平行四边形, 所以 Q 是 AC 的中点. 又 N 是 PC 的中点,所以 NQ // PA .

D M
A
Q

C

B
(第 16 题图)

因为 NQ ? 平面 MNB , PA ? 平面 MNB ,所以 PA // 平面 MNB . (2)因为 PA ? PD , AM ? MD ,所以 PM ? AD . 因为 MD // BC , MD ? BC , 所以四边形 BCDM 是平行四边形,所以 MB // DC , 因为 ?ADC ? 90°,即 AD ? DC ,所以 AD ? MB . 因为 PM
MB ? M , PM , MB ? 平面平面 PMB ,

所以 AD ? 平面 PMB . 因为 AD ? 平面 PAD 所以平面 PAD ? 平面 PMB . 17.(1)设助跑道所在的抛物线方程为 f(x)=a0x2+b0x+c0,

第 8 页,共 16 页

?c0 ? 4 ? 依题意 ? 4a0 ? 2b0 ? c0 ? 0 , ?9a ? 3b ? c ? 1 0 0 ? 0
解得 a0=1,b0=-4,c0=4, 所以助跑道所在的抛物线方程为 f(x)=x2-4x+4,x∈[0,3]. (2)设飞行轨迹所在抛物线为 g(x)=ax2+bx+c(a<0), 依题意 ?

? ? f ? 3? ? g ? 3? , ? ? f 3 ? g 3 ? ? ? ? ? ?

即?

?9a ? 3b ? c ? 1 ?b ? 2 ? 6a ,解得 ? ?6a ? b ? 2 ?c ? 9a ? 5
2

所以 g(x)=ax +(2-6a)x+9a-5 =a ? x ?

? ?

1 3a ? 1 ? 2 ? +1- a . a ?

令 g(x)=1,得 ? x ? 因为 a<0,所以 x= 当 x=

? ?

3a ? 1 ? 2 1 ?= . a ? a2

3a ? 1 1 时,g(x)有最大值,为 1- , a a 2 2 -3=- , a a

3a ? 1 1 2 - =3- . a a a

则运动员的飞行距离 d=3-

飞行过程中距离平台最大高度

1 1 -1=- , a a 2 1 依题意,4≤- ≤6,即 2≤- ≤3, a a
h=1- 即飞行过程中距离平台最大高度的取值范围为在 2 m 到 3 m 之间.

第 9 页,共 16 页

?c 2 ? ? 2 ?a ?a 2 ? 4 1 ?2 x2 y 2 ? 18. (1)由题意, ? 2 ? 2 ? 1 ,解得 ? 2 ,所以椭圆的方程为 ? ?1. b 4 2 ? ?a ?b ? 2 ?a 2 ? b2 ? c 2 ? ?

(2)方法一:设 B ? x1 , y1 ? , D ? x2 , y2 ? ,则 A ? ? x1 , ? y1 ? , C ? x1 ,0 ? . 因为 A, C , D 三点共线,所以 AC // AD , 由 AC ? ? 2x1 , y1 ? , AD ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? , 得 2 x1 ? y1 ? y2 ? ? ? x1 ? x2 ? y1 ,即 又 B, D 均在椭圆上,
? x12 y12 ? ?1 ① ? ? a 2 b2 有? 2 , 2 ? x2 ? y2 ? 1 ② ? ? a 2 b2 ? x ? x ?? x ? x2 ? ? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ?? ①—②,得 1 2 2 1 , a b2 y ? y2 b 2 x ? x2 2 b2 ?? 2 ? 1 ?? ? 2 , 所以直线 BD 的斜率 k ? ? 1 x1 ? x2 a y1 ? y2 k a
y1 ? y2 y k ? 1 ? . x1 ? x2 2 x1 2

由于以 AD 为直径的圆恰好经过点 B , 所以 AB ? BD ,即 k ? k ? ? ?1 ,所以 a2 ? 2b2 , 所以椭圆的离心率 e ?
c 2 ? . a 2

方法二:设 B ? t , kt ? ,则 A? ?t , ?kt ? , C ?t ,0? , 所以直线 AD 的方程为 y ?

k ?x ? t? . 2

? x2 y 2 ? ?1 ? a2 k 2 2 ? 2 b2 由 ?a ,消 y ,得 b2 x2 ? ? x ? t ? ? a 2 b2 , 4 ?y ? k ?x ? t? ? ? 2

即 4b2 ? a2 k 2 x2 ? 2a2 k 2tx ? a2k 2t 2 ? 4a2b2 ? 0 , 第 10 页,共 16 页

?

?

所以 xA ? xD ? 从而 xD ?

2a2 k 2t , 4b2 ? a2 k 2

2a2 k 2t 3a2 k 2 ? 4b2 a2 k 3 ,即 ? t D ( t , t) , 4b2 ? a2 k 2 4b2 ? a2 k 2 4b2 ? a2 k 2

a2k 3 t ? kt 2 2b 2 a2k 2 ? ? 所以直线 BD 的斜率 k ? ? 4b2 ? , 3a k 2 ? 4b 2 a2k t ?t 4b 2 ? a 2 k 2

由于以 AD 为直径的圆恰好经过点 B , 所以 AB ? BD ,即 k ? k ? ? ?1 ,所以 a2 ? 2b2 , 所以椭圆的离心率 e ?
c 2 ? . a 2

19. (1)因为 Sn?1 ? t ? Sn ? a 当 n≥2 时, Sn ? t ? Sn?1 ? a

① ②,

①—②得, an?1 ? t ? an ( n≥2 ) , 又由 S 2 ? t ? S1 ? a ,得 a 2 ? t ? a1 , 所以, {an } 是首项为 a ,公比为 t 的等比数列,所以 an ? a ? t n?1 ( n ? N ) .
*

(2)当 t ? 1 时, a n ? a , S n ? na , bn ? na ? 1 , 由 | bn | ≥ | b3 | ,得 | na ? 1| ≥ | 3a ? 1| , (n ? 3)a[(n ? 3)a ? 2]≥0 当 a ? 0 时, n ? 3 时, (*)不成立; 当 a ? 0 时, (*)等价于 (n ? 3)[(n ? 3)a ? 2] ≤ 0 (**) (*)

n ? 3 时, (**)成立.
n≥4 时,有 (n ? 3)a ? 2 ≤ 0 ,即 a ≤ ?

2 2 恒成立,所以 a ≤ ? . n?3 7

1 2 2 2 ? ? 综上, a 的取值范围是 ? ? , ? ? . ? 5 7?

n ? 1 时,有 4a ? 2≥0 , a≥ ? . n ? 2 时,有 5a ? 2≥0 , a≥ ? .

2 5

第 11 页,共 16 页

(3)当 t ? 1 时, S n ?
cn ? k ? n ?

a (1 ? t n ) a(1 ? t n ) a at n , bn ? , ?1 ? 1? ? 1? t 1? t 1? t 1? t

an at (1 ? t n ) at n ?1 1 ? a ? t k (1 ? t )2 ? at ? ? ? ?n? , 2 2 1? t (1 ? t ) (1 ? t ) 1? t (1 ? t ) 2

?1 ? a ? t ?0, ?a ? t ? 1, ? ? ? 1? t 所以,当 ? 时,数列 是等比数列,所以 { c } t ? n 2 k (1 ? t ) ? at k? , ? ? ? 0 t ? 1 ? 2 ? (1 ? t ) ?

又因为 a , t , k 成等差数列,所以 2t ? a ? k ,即 2t ? t ? 1 ? 解得 t ?
5 ?1 . 2

t , t ?1

从而, a ?

5 ?1 5 ?3 ,k ? . 2 2

所以,当 a ?

5 ?1 ,t ? 2

5 ?1 5 ?3 ,k ? 时,数列 {cn } 为等比数列. 2 2

20. (1)由题意, f ? ? x ? ? 即 2a ≤

2 ? 1 ? 2ax≥0 在 x ??1,4? 上恒成立, x

2 1 ? 在 x ??1,4? 上恒成立. x2 x
2 1 1 1 1 ?3 ? ? ? 2( ? )2 ? ? x ? ?1, 4?? ,所以 t ? x ? ? ? ,3? , 2 x x x 4 8 ?8 ?

设 t ? x? ?

3 3 所以 2a ≤ ,即 a ≤ . 8 16
(2)由 g ? x ? ? x ? ln x ? 3? ? ?1 ? a ? x 2 ,得 g ? ? x ? ? ln x ? 2 ?1 ? a ? x ? 2 . 由题意, g ? ? e? ? ?1 ,即 ln e ? 2 ?1 ? a ? e ? 2 ? ?1 ,所以 a ? 1 . 所以 g ? x ? ? x ? ln x ? 3? . 不等式 g ? x ? ? x ?

e4 e4 ? 0 即为 g ? x ? ? ?( x ? ) . 4x 4x

由 g ? ? x ? ? ln x ? 2 ,知函数 g ? x ? 在 x ? e 2 处取最小值为 ? e 2 , 设 ? ? x ? ? ?( x ?
e4 e4 e4 ? ?e 2 , ) ,因为 x ? 0 ,所以 ?( x ? )≤-2 x ? 4x 4x 4x

1 1 当且仅当 x ? e2 时取“=” ,即当 x ? e2 时, ? ? x ? 的最大值为 ? e 2 , 2 2
第 12 页,共 16 页

1 因为 e2 ? e2 ,所以 g ? x ? ? ? ? x ? ,即原不等式成立. 2
(注:不等式 g ? x ? ? x ? 设 ? ? x ? ? ln x ?

e4 e4 ? 0 即为 ln x ? 2 ? 2 ? 0 , 4x x

e4 ? 2 ,证明 ? ? x ? ? 0 对 ?x ? ? 0, ?? ? 成立,证明略) x2

2 (3) h ? x ? ? 2ln x ? x ? ax2 ? ? ?ln x ? 2 ?1 ? a ? x ? 2? ? ? ln x ? ? 2a ? 1? x ? ax ? 2 ,

?

?

h? ? x ? ?

?2ax 2 ? ? 2a ? 1? x ? 1 ? x ? 1?? 2ax ? 1? 1 ? ? 2a ? 1? ? 2ax ? ?? . x x x

①当 a ≥ 0 时,由于 x ??1,4? ,所以 h? ? x ?≤0 ,所以 h ? x ? 在 ?1, 4? 上递减, 由 h ?1? ? a ? 1 ? 0 , h ? 4? ? ln 4 ? 8a ? 2 ? 0 ,所以函数 h ? x ? 在 ?1, 4? 上的零点个数 1;

? ? 1 ?? ?2a ? ? x ? 1? ? x ? ? ? ?? ? ? 2a ?? , ②当 a ? 0 时, h? ? x ? ? x
1 当?

1 1 ≤1 ,即 a≤ ? 时,当 x ??1,4? 时, h? ? x ? ≥ 0 ,所以 h ? x ? 在 ?1, 4? 上递增, 2a 2

因为 h ?1? ? a ? 1 , h ? 4? ? ln 4 ? 8a ? 2 ? 0 , 所以当 ?1 ? a≤ ?

1 时,函数 h ? x ? 在 ?1, 4? 上的零点个数 0; 2

当 a≤ ? 1 时,函数 h ? x ? 在 ?1, 4? 上的零点个数 1.
2 当?

1 1 ≥ 4 ,即 ? ≤a ? 0 时, h? ? x ?≤0 ,所以 h ? x ? 在 ?1, 4? 上递减, 2a 8

因为 h ?1? ? a ? 1 ? 0 , h ? 4? ? ln 4 ? 8a ? 2 ,

1 1 所以当 h ? 4? ? 0 ,即 ? ≤a ? ? ln 2 ? 1? 时,函数 h ? x ? 在 ?1, 4? 上的零点个数 0; 8 4
当 h ? 4?≤0 ,即
3 当1 ? ?

1 ? ln 2 ? 1?≤a ? 0 时,函数 h ? x ? 在 ?1, 4? 上的零点个数 1. 4

1 1 1 ? 4 ,即 - ? a ? ? 时, 2a 2 8

1 ? ? ? 1 ? 满足 x ? ?1, ? ? 时, h? ? x ?≤0 ; x ? ? , 4 ? 时, h? ? x ? ≥ 0 , ? 2a ? ? 2a ?

第 13 页,共 16 页

1 ? ? ? 1 ? 即函数 h ? x ? 在 ?1, ? ? 上递减,在 ? , 4 ? 上递增, ? 2a ? ? 2a ?

因为 h ?1? ? a ? 1 ? 0 , h ? 4? ? ln 4 ? 8a ? 2 ? 0 ,
? 1 ? ? 1 ? 1 ? 1, 而 h ? ? ? ? ln ? ? ? ? ? 2a ? ? 2a ? 4a

设t ? ?

1 1 ,则 ? ? t ? ? ln t ? t ? 1 ,且 1 ? t ? 4 , 2a 2

1 1 2?t 由 ?? ?t ? ? ? ? ,知 t ? ?1, 2 ? 时, ? ? ? t ? ? 0 , t ? ? 2,4? 时, ? ? ? t ? ? 0 , t 2 2t
即 ? ? t ? 在 ?1, 2 ? 上为增函数,在 ? 2, 4 ? 上为减函数, 因为 ? ?1? ? ln1 ?

1 1 ? 1 ? ? 0 , ? ? 4? ? ln 4 ? 2 ? 1 ? 0 , 2 2

? 1 ? 所以当 1 ? t ? 4 时, ? ? t ? ? 0 ,即 h ? ? ? ? 0 , ? 2a ?

1 1 所以当 - ? a ? ? 时,函数 h ? x ? 在 ?1, 4? 上的零点个数 0. 2 8
综上所述,当 ?1 ? a ? 当 a≤ ? 1 或 a ≥

1 ? ln 2 ? 1? 时,函数 h ? x ? 在 ?1, 4? 上的零点个数 0; 4

1 ? ln 2 ? 1? 时,函数 h ? x ? 在 ?1, 4? 上的零点个数 1. 4
第Ⅱ 卷(附加题,共 40 分)

21.A.连接 BC, AB , CD 相交于点 E . 因为 AB 是线段 CD 的垂直平分线, 所以 AB 是圆的直径,∠ACB=90° . 设 AE ? x ,则 EB ? 6 ? x ,由射影定理得 CE2=AE·EB,又 CE ? 5 , 即有 x(6 ? x) ? 5 ,解得 x ? 1 (舍)或 x ? 5 . 所以,AC2=AE·AB=5×6=30, AC ? 30 .
A

C B E D

第 14 页,共 16 页

? ?2 0? ? B.依题意,NM ? ? ? ? ?0 2? ? ? ?

1 2 3 2

? ? 3 ? ? 1 ? 3? 2 ?, ? ?? 1 ? 1 ? ? ? 3 ? ? 2 ? 3? 4 ? ?, 1 ? 4 ? ?

由逆矩阵公式得, (NM) ? 1

? 1 ? 4 ?? ?? 3 ? ? 4

? 1 ? 4 所以 ? ?? 3 ? ? 4

3? 4 ?? 8 ? ? 5 ? ?? ??? ? ,即有 a ? 5 , b ? ? 3 . 1 ? ?4 3 ? ?? 3 ? 4 ? ?

1 3 π sin ? ) ? 2 , C.由 ? cos(? ? ) ? 2 ,得 ? ( cos ? ? 2 2 3

即 l 的直角坐标方程为 x ? 3 y ? 4 ? 0 .

? x ? 3 cos ? , ? 因为椭圆 C 的参数方程为 ? ? ? y ? sin ? ,
所以椭圆 C 上的点到直线 l 距离
3 cos? ? 3 sin ? ? 4 2 π 6 cos(? ? ) ? 4 4 ? 6 cos(? ? π ) 4 4 , ? 2 2

d?

?

所以 d 的最大值为 2 ?

6 6 ,最小值为 2 ? . 2 2

D.因为 a,b 均为正实数,所以 h2 ≤ 22ab 2 . a ?b 因为 a 2 ? b2≥2ab ,所以 22ab 2 ≤ 1 ,即 h2 ≤1 . a ?b 22. (1)令 x=0 得,a0=1;令 x=1 得,a0+a1+a2+a3+?+a2n=22n. 于是 a1+a2+a3+?+a2n=22n-1. (2)ak=C2kn,k=1,2,3,?,2n, 首先考虑 = k!(2n+1-k)! (k+1)!(2n-k)! k!(2n-k)!(2n+1-k+k+1) 1 1 + = k + k+1 = (2n+1)! (2n+1)! (2n+1)! C2n+1 C2n+1

k!(2n-k)!(2n+2) 2n+2 = , (2n+1)! (2n+1) C2kn 第 15 页,共 16 页



2n+1 1 1 1 ( k= k + +1 ), C2n 2n+2 C2n+1 C2kn +1 2n+1 1 1 1 1 - +1= ( k - +2 ). 2 n + 2 C2kn Ck2 C C2kn +1 2n+1 n

因此

1 1 1 1 1 1 故 - + - +?+ - a1 a2 a3 a4 a2n-1 a2n 2n+1 1 1 1 1 1 1 ( - + - +?+ 2n-1- 2n+1) 2n+2 C2n1 C2n3 C2n3 C2n5 +1 +1 +1 +1 C2n+1 C2n+1 2n+1 1 2n+1 1 1 n = ( - 2n+1)= ( -1)=- . 2n+2 C2n1 2 n + 2 2 n + 1 n + 1 +1 C2n+1 = 23. (1)首先,容易得到一个简单事实:{an}与{bn}均为不减数列且 an∈N,bn∈N. 若 a1=b1=0,故{an}中小于等于 1 的项至少有一项,从而 b1≥1,这与 b1=0 矛盾. 若 a1=b1≥2,则{an}中没有小于或等于 1 的项,从而 b1=0,这与 b1≥2 矛盾. 所以,a1=1. (2)假设当 n=k 时,ak=bk=k,k∈N*. 若 ak+1≥k+2,因{an}为不减数列,故{an}中小于等于 k+1 的项只有 k 项, 于是 bk+1=k,此时{bn}中小于等于 k 的项至少有 k+1 项(b1,b2,?,bk,bk+1), 从而 ak≥k+1,这与假设 ak=k 矛盾. 若 ak+1=k,则{an}中小于等于 k 的项至少有 k+1 项(a1,a2,?,ak,ak+1), 于是 bk≥k+1,这与假设 bk=k 矛盾. 所以,ak+1=k+1. 所以,当 n=k+1 时,猜想也成立. 综上,由(1),(2)可知,an=bn=n 对一切正整数 n 恒成立. 所以,an=n,即为所求的通项公式.

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