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2014届高三数学辅导精讲精练68


2014 届高三数学辅导精讲精练 68
x2 y2 1.已知抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F 与双曲线12- 4 =1 的一个焦点重合,
2

直线 y=x-4 与抛物线交于 A,B 两点,则|AB|等于 A.28 C.20 答案 解析 B 双曲线 B.32 D.40

(

)

/>
x2 y2 - =1 的焦点坐标为(± 4,0),故抛物线的焦点 F 的坐标为 12 4

(4,0), 因此 p=8, 故抛物线方程为 y2=16x, 易知直线 y=x-4 过抛物线的焦点. 设 A,B 两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).
2 ?y =16x, 由? 可得 x2-24x+16=0,故 x1+x2=24. ?y=x-4,

故|AB|=x1+x2+p=24+8=32. 2.已知 AB 为半圆的直径,P 为半圆上一点,以 A、B 为焦点且过点 P 做椭 圆,当点 P 在半圆上移动时,椭圆的离心率有 1 A.最大值2 2 C.最大值 2 答案 解析 ≥ 2 D |AB| 椭圆的离心率 e= |PA|+|PB| |AB| 2 2 2= 2 ,故选 D. |PA| +|PB| 2 1 B.最小值2 2 D.最小值 2 ( )

3.(2012· 武汉调研)设抛物线 y2=4x 的焦点为 F,过点 M(-1,0)的直线在第 → → 一象限交抛物线于 A、B,且满足AF· =0,则直线 AB 的斜率 k= BF A. 2 C. 3 2 B. 2 3 D. 3 ( )

答案 解析

B 依题意,设直线 AB 的方程为 y=k(x+1)(k≠0),代入抛物线方程 y2

=4x 并整理得 k2x2+(2k2-4)x+k2=0,因为直线与抛物线有两个不同的交点, 4-2k2 ? ?x1+x2= 2 , k 所以 Δ=(2k2-4)2-4k4>0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则? ?x x =1. ? 1 2

又因为

→ → AF· =0,所以(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,(x1-1)(x2-1)+k2(x1+1)(x2+1)=0,(1 BF 4-2k2 ? ?x1+x2= 2 k +k2)x1x2+(k2-1)(x1+x2)+k2+1=0, ? 把 ?x x =1 ? 1 2 2 又 k>0,所以 k= 2 ,选 B. 1 , 代入并整理得 k2=2,

4.已知抛物线 y=2x2 上的两点 A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线 y=x+m 对称, 1 且 x1x2=-2,那么 m 的值等于 3 A.2 C.2 答案 解析 A 因为点 A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线 y=2x2 上,所以 y1=2x2,y2= 1 5 B.2 D.3 ( )

2 2x2,两式相减得 y1-y2=2(x1-x2)(x1+x2),不妨设 x1<x2.因为直线 AB 与直线 y

=x+m 互相垂直,所以

y1-y2 1 1 =-1,所以 x1+x2=-2,而 x1x2=-2,解得 x1 x1-x2

x1+x2 y1+y2 1 1 =-1,x2=2,设线段 AB 的中点为 M(x0,y0),则 x0= 2 =-4,y0= 2 = 2x2+2x2 5 5 1 3 1 2 =4.因为中点 M 在直线 y=x+m 上,所以4=-4+m,解得 m=2. 2 y2 5.已知双曲线 x2- 4 =1,过点 A(1,1)的直线 l 与双曲线只有一个公共点,

则 l 的条数为 A.4 C.2 答案 解析 A ①斜率不存在时,方程为 x=1 符合. B.3 D.1

(

)

②设斜率为 k,y-1=k(x-1),kx-y-k+1=0.
2 2 ?4x -y =4, ? ?y=kx-k+1,

(4-k2)x2+(2k2-2k)x-k2+2k-5=0.

当 4-k2=0,k=± 时符合; 2 当 4-k2≠0,Δ=0,亦有一个答案,∴共 4 条. x2 y2 6.已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆a2+b2=1(a>b>0)的焦点与顶点,若 双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形, 则椭圆的离心率为 ( 1 A.3 C. 3 3 D x2 y2 根据题意可知双曲线的方程为 2 - 2=1.因为双曲线的两条渐近 a -b2 b 1 B.2 D. 2 2 )

答案 解析

线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形,所以双曲线为等轴双曲线,所以 a2 a2-b2 b b 2 -b =b ,即 a= 2b,故椭圆的离心率 e= a =a= = 2 ,故选 D. 2b
2 2

7.已知两点 A(1,0),B(b,0),若抛物线 y2=4x 上存在点 C 使△ABC 为等边 三角形,则 b=________. 答案 解析 1 5 或-3 ?b+1 ? 3 A(1,0),B(b,0),且△ABC 为等边三角形,则 C? ,± 2 ?b-1??, ? 2 ?

1 1 代入抛物线方程求得 b=5 或-3,故填 5 或-3. 8.抛物线 y=x2 与直线 x-y-2=0 的最短距离________.

答案 解析

7 2 8 设与抛物线相切且与直线 x-y-2=0 平行的直线为 x-y+t=0, 消 y 得 x2-x-t=0.

2 ?y=x , ∴? ?y=x+t,

1 Δ=1+4t=0,∴t=-4. 1 ∴问题转化为 x-y-2=0 与 x-y-4=0 的距离. ? 1? |-2-?-4?| ? ? 7 2 ∴d= = 8 . 2 9.椭圆 ax2+by2=1 与直线 x+y=1 相交于 A,B 两点,C 是 AB 的中点,O 2 b 为坐标原点,OC 的斜率为 2 ,则a=________. 答案 解析 2 2 (点差法)令 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x0,y0), 作差有

2 2 ?ax1+by1=1, ? 2 2 ?ax2+by2=1,

a(x1-x2)(x1+x2)=-b(y1-y2)(y1+y2), kAB= y1-y2 a?x1+x2? = =-1. x1-x2 -b?y1+y2?
0

y0 又 x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,kOC=x , ax0 a y0 2 ∴by =1,∴b=x = 2 . 0 0 10.若抛物线 y=ax2-1 上恒有关于直线 x+y=0 对称的相异两点 A、B,则 a 的取值范围是________. 答案 解析 3 (4,+∞) 设抛物线上的两点为 A(x1,y1)、B(x2,y2),直线 AB 的方程为 y=x+

b,代入抛物线方程 y=ax2-1,得

1 ax2-x-(b+1)=0,设直线 AB 的中点为 M(x0,y0),则 x0=2a,y0=x0+b 1 1 =2a+b.由于 M(x0,y0)在直线 x+y=0 上,故 x0+y0=0,由此解得 b=-a,此 1 1 时 ax2-x-(b+1)=0 可变形为 ax2-x-(-a+1)=0,由 Δ=1+4a(-a+1)>0, 3 解得 a>4. 11.如图所示,已知点 H(-3,0),点 P 在 y 轴上,点 Q 在 x 轴的正半轴上, → → → 3→ 点 M 在直线 PQ 上,且满足HP· =0,PM=- MQ. PM 2

(1)求点 P 在 y 轴上移动时,求点 M 的轨迹 F; (2)已知圆 E:x2+y2=2x,过圆心 E 作直线 l,此直线与圆 E 和(1)中的轨迹 F 共有四个交点,自上而下依次记为 A、B、C、D,如果线段 AB、BC、CD 的 长按此顺序构成一个等差数列,求直线 l 的方程. 解析 (1)设 M(x,y),P(0,y′),Q(x′,0),

→ 3→ → → ∵PM=-2MQ,HP· =0, PM 3 ∴(x,y-y′)=-2(x′-x,-y),(3,y′)· (x,y-y′)=0. 1 1 ∴x′=3x,y′=-2y,3x+yy′-y′2=0. 1 又∵点 Q 在 x 轴的正半轴上, ∴x′>0, x>0.将 y′=-2y 代入 3x+yy′-y′2 =0,得 y2=4x(x>0). ∴动点 M 的轨迹 F 是以 O(0,0)为顶点,以(1,0)为焦点的抛物线(除去原点). (2)由题知,圆 E 的方程为(x-1)2+y2=1,则其直径为 2,圆心为 E(1,0),如 图所示.

设 l 的方程为 my=x-1, 即 x=my+1, ①

将①式代入抛物线方程 y2=4x,得 y2-4my-4=0. 设 A(x1,y1),D(x2,y2),

?Δ>0, 结合根与系数的关系,得?y1+y2=4m, ?y1y2=-4.
则(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=16(m2+1), y2-y2 2 y1+y2 1 2 |AD| =(y1 -y2) +(x1 -x2) =(y1 -y2) +( 4 ) =(y1 -y2)2[1+( 4 )2]=
2 2 2 2

16(m2+1)2. ∴|AD|=4(m2+1). 又线段 AB、BC、CD 的长成等差数列, ∴2|BC|=|AB|+|CD|=|AD|-|BC|. 2 ∴|AD|=3|BC|=6,∴4(m2+1)=6,m=± 2 , 即直线 l 的方程为 2x-y- 2=0 或 2x+y- 2=0. x2 y2 12.已知直线 x+y-1=0 与椭圆a2+b2=1(a>b>0)相交于 A、B 两点,M 是 → → 1 线段 AB 上的一点,AM=-BM,且点 M 在直线 l:y=2x 上. (1)求椭圆的离心率; (2)若椭圆的焦点关于直线 l 的对称点在单位圆 x2+y2=1 上, 求椭圆的方程. 解析 → → (1)由AM=-BM知 M 是 AB 的中点, A、 两点的坐标分别为 A(x1, 设 B

y1),B(x2,y2).

?x+y-1=0, ? 由?x2 y2 ?a2+b2=1, ? 2a2 x1+x2= 2 , a +b2

得(a2+b2)x2-2a2x+a2-a2b2=0.

2b2 y1+y2=-(x1+x2)+2= 2 . a +b2
2 b2 ? ? a ∴M 点的坐标为?a2+b2,a2+b2?. ? ?

又 M 点在直线 l 上, ∴ a2 2b2 =0. 2- 2 a +b a +b2
2

∴a2=2b2=2(a2-c2),∴a2=2c2. c 2 ∴e=a= 2 . (2)由(1)知 b=c, 不妨设椭圆的一个焦点坐标为 F(b,0), F(b,0)关于直线 l: 设 1 y=2x 的对称点为(x0,y0), y -0 1 ?x0-b·=-1, ?0 2 则有? ?x0+b-2×y0=0, ? 2 2
2 由已知 x0+y2=1. 0

?x0=3b, ? 5 解得? 4 ?y0=5b. ?

?3 ? ?4 ? ∴?5b?2+?5b?2=1,∴b2=1. ? ? ? ? x2 ∴所求的椭圆的方程为 2 +y2=1. y2 13.已知椭圆 C:x2+ 4 =1,过点 M(0,3)的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两 点 A、B. (1)若 l 与 x 轴相交于点 N,且 A 是 MN 的中点,求直线 l 的方程; → → → (2)设 P 为椭圆上一点,且OA+OB=λOP(O 为坐标原点).求当|AB|< 3时, 实数 λ 的取值范围. 解析 (1)设 A(x1,y1),因为 A 是 MN 的中点,且 M 的纵坐标为 3,N 的纵

3 坐标为 0,所以 y1=2. 又因为点 A(x1,y1)在椭圆 C 上, 所以
2 2 y1 x1+ =1,即

4

9 7 x2+16=1,解得 x1=± 4 , 1

? 7 3? ? 7 3? 则点 A 的坐标为? , ?或?- , ?. ? 4 2? ? 4 2? 所以直线 l 的方程为 6 7x-7y+21=0 或 6 7x+7y-21=0. (2)设直线 AB 的方程为 y=kx+3 或 x=0, A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3),当 AB 的方程为 x=0 时,|AB|=4> 3,与 题意不符. 当 AB 的方程为 y=kx+3 时, ?y=kx+3, ? 由题设可得 A、B 的坐标是方程组? 2 y2 ?x + 4 =1 ? 消去 y 得(4+k2)x2+6kx+5=0. 所以 Δ=(6k)2-20(4+k2)>0,即 k2>5. -6k 5 则 x1+x2= ,x · = x , 4+k2 1 2 4+k2 y1+y2=(kx1+3)+(kx2+3)= 24 . 4+k2

的解,

因为|AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2< 3, 所以 1+k2· ? -6k ?2 20 ? 2? - 2< 3, ?4+k ? 4+k

16 解得-13<k2<8,所以 5<k2<8. → → → 因为OA+OB=λOP,即(x1,y1)+(x2,y2)=λ(x3,y3), → → 所以当 λ=0 时,由OA+OB=0, -6k 24 得 x1+x2= =0, 2=0,y1+y2= 4+k 4+k2 上述方程无解,所以此时符合条件的直线 l 不存在;

当 λ≠0 时,x3= y3=

x1+x2 -6k λ =λ?4+k2?,

y1+y2 24 λ =λ?4+k2?.

因为点 P(x3,y3)在椭圆上, ? -6k ?2 1? 24 ?2 所以? 2 ? =1, 2 ? + ? ?λ?4+k ?? 4?λ?4+k ?? 化简得 λ2= 36 . 4+k2

因为 5<k2<8,所以 3<λ2<4. 则 λ∈(-2,- 3)∪( 3,2). 综上,实数 λ 的取值范围为(-2,- 3)∪( 3,2).

1.已知抛物线 y=ax2(a≠0)的焦点为 F,准线 l 与对称轴交于 R 点,过已知 抛物线上一点 P(1,2)作 PQ⊥l 于 Q, 则(1)抛物线的焦点坐标是____________; (2) 梯形 PQRF 的面积是____________. 答案 解析 1? ? (1)?0,8? ? ? 19 (2)16

1? ? 抛物线上一点 P(1,2),求得 a=2,焦点坐标为?0,8?;梯形 PQRF 的 ? ?

1? 19 19 ? 面积是16.故填(1)?0,8?;(2)16. ? ? x2 y2 2.AB 弦过椭圆a2+b2=1(a>b>0)的中心,F 为焦点,则 S△ABF 的最大值是 ________.

答案 解析

b a2-b2 如图,S△ABF=S△AOF+S△BOF

1 =2|OF|(|yA|+|yB|)

1 =2|OF||yA-yB| 1 =2 a2-b2|yA-yB|, 而|yA-yB|max=2b, ∴(S△AOF)max=b a2-b2. x2 y2 1 3.已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的离心率为2,以原点为圆心,以椭圆的 短半轴长为半径的圆与直线 x-y+ 6=0 相切. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 P(4,0),A,B 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点,连接 PB 交椭圆 C 于另一点 E,证明:直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q; → → (3)在(2)的条件下,设过点 Q 的直线与椭圆 C 交于 M,N 两点,求OM· 的 ON 取值范围. 解析
2 2 c 1 c2 a -b 1 4 2 (1)由题意知 e=a=2,所以 e =a2= a2 =4,即 a2=3b2.因为以原

点为圆心, 以椭圆的短半轴长为半径的圆 x2+y2=b2, 与直线 x-y+ 6=0 相切, 6 x2 y2 2 3 所以 b= 2 = 3,所以 a =4,b =3,故椭圆 C 的方程为 4 + 3 =1. 1 +?-1?2 (2)由题意知直线 PB 的斜率存在且不为 0,则可设直线 PB 的方程为 y=k(x -4),k≠0. ?y=k?x-4?, ? 由?x2 y2 ? 4 + 3 =1, ? 得(4k2+3)x2-32k2x+64k2-12=0. ①

设点 B(x1,y1),E(x2,y2),则 A(x1,-y1).由题意知直线 AE 的斜率存在, y2+y1 则直线 AE 的方程为 y-y2= (x-x2). x2-x1 令 y=0,得 x=x2- 2x1x2-4?x1+x2? = . x1+x2-8 ② y2?x2-x1? ,将 y1=k(x1-4),y2=k(x2-4)代入整理得 x y2+y1

64k2-12 32k2 由①式利用根与系数的关系得 x1+x2= 2 ,x x = 2 ,代入②式整 4k +3 1 2 4k +3 理得 x=1. 所以直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q(1,0). (3)当过点 Q 的直线 MN 的斜率存在时, 设直线 MN 的方程为 y=m(x-1),M(xM,yM),N(xN,yN). ?y=m?x-1?, ? 由?x2 y2 ? 4 + 3 =1, ? 得(4m2+3)x2-8m2x+4m2-12=0,易知 Δ=(-8m2)2-

4(4m2+3)(4m2-12)=144(m2+1)>0, 由根与系数的关系知 xM+xN= 4m2-12 8m2 ,xMxN= 2 , 2 4m +3 4m +3
2

9m2 则 yMyN=m(xM-1)· N-1)=m [xMxN-(xM+xN)+1]=- 2 m(x . 4m +3 → → 5m2+12 则OM· =xMxN+yMyN=- 2 ON 4m +3 5 =-4- 33 . 4?4m2+3? 33 <0. 4?4m2+3?

11 因为 m2≥0,所以- 4 ≤- 5 所以-4≤-4-

33 5 <-4. 2 4?4m +3?

→ → 5 所以OM· ∈[-4,-4]. ON 当过点 Q 的直线 MN 的斜率不存在时,其方程为 x=1,代入椭圆方程得 y → → 3 3 3 5 =± ,不妨设 M(1,2),N(1,-2),此时OM· =-4. ON 2 → → 5 综上所述,OM· 的取值范围是[-4,-4]. ON x2 y2 4.已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)与抛物线 y2=4x 有共同的焦点 F,且两曲 5 线在第一象限的交点为 M,满足|MF|=3. (1)求椭圆 C 的方程;

→ 1→ → 2→ (2)设直线 y=kx-2 与椭圆 C 交于 A,B 两点,OP=3OA,ON=3OB,若原 点 O 在以 PN 为直径的圆外,求实数 k 的取值范围. 解析 (1)由题意知,抛物线 y2=4x 的焦点坐标为 F(1,0),准线方程为 x=-

5 1.设 M(xM,yN)(xM>0,yM>0),因为点 M 在抛物线上,且|MF|=3,所以点 M 的 5 2 8 2 横坐标 xM=3-1=3,从而 yM=4xM=3.

?4 8 ?9 3 x y 又点 M 也在椭圆 C:a2+b2=1 上,故有?a2+b2=1, ?c2=a2-b2=1, ?
2 2

解得 a2=4,

b2=3. x2 y2 所以所求椭圆 C 的方程为 4 + 3 =1. ?y=kx-2, ? (2)由?x2 y2 ? 4 + 3 =1, ? 消去 y,得(4k2+3)x2-16kx+4=0.

因为直线与椭圆 C 有两个交点 A,B, 1 所以 Δ=(-16k)2-16(4k2+3)>0,即 k2>4. 16k 4 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2= 2 ,x1x2= 2 . 4k +3 4k +3 因为原点 O 在以 PN 为直径的圆外,所以∠PON 为锐角. → 1→ → 2→ → → 又因为OP=3OA,ON=3OB,所以∠PON 为锐角,所以OA· >0, OB → → 即OA· =x1x2 +y1y2 =x1x2 +(kx1 -2)(kx2 -2)=(k2 +1)·1x2 -2k(x1 +x2)+4 OB x -12k2+16 4 16k =(k2+1)· 2 -2k· 2 +4= >0. 4k +3 4k +3 4k2+3 4 解得 k2<3. 1 1 4 又 k2>4,所以4<k2<3, 2 3 1 1 2 3 即- 3 <k<-2或2<k< 3 .

2 3 1 1 2 3 故实数 k 的取值范围是(- 3 ,-2)∪(2, 3 ). 5.(2012· 长春调研)已知点 A(-1,0)、B(1,0),动点 M 的轨迹曲线 C 满足∠ → → AMB=2θ,|AM||BM|cos2θ=3,过点 B 的直线交曲线 C 于 P、Q 两点. → → (1)求|AM|+|BM|的值,并写出曲线 C 的方程; (2)求△APQ 的面积和最大值. 解析 → (1)设 M(x,y),在△MAB 中,|AB|=2,∠AMB=2θ,根据余弦定理

→ → → → → 得|AM|2+|BM|2-2|AM|· |cos2θ=|AB|2=4, |BM → → → → 即(|AM|+|BM|)2-2|AM|· |(1+cos2θ)=4. |BM → → → → 所以(|AM|+|BM|)2-4|AM|· |cos2θ=4. |BM → → → → 因为|AM|· |cos2θ=3,所以(|AM|+|BM|)2-4×3=4, |BM → → 所以|AM|+|BM|=4. → → → 又|AM|+|BM|=4>2=|AB|, 因此点 M 的轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆(点 M 在 x 轴上也符合题意). x2 y2 设椭圆的方程为a2+b2=1(a>b>0),则 a=2,c=1,所以 b2=a2-c2=3. x2 y2 所以曲线 C 的方程为 4 + 3 =1. (2)设直线 PQ 的方程为 x=my+1. ?x=my+1, ? 由?x2 y2 ? 4 + 3 =1, ? 消去 x 并整理得(3m2+4)y2+6my-9=0. ①

显然方程①的判别式 Δ=36m2+36(3m2+4)>0. 设 P(x1,y1),Q(x2,y2), 1 则 S△APQ=2×2×|y1-y2|=|y1-y2|.

6m 9 由根与系数的关系得 y1+y2=- 2 ,y1y2=- 2 . 3m +4 3m +4 3m2+3 所以(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=48× . ?3m2+4?2 48 令 t=3m2+3,则 t≥3,(y1-y2)2= 1 , t+ t +2 1 由于函数 φ(t)=t+ t 在[3,+∞)上是增函数, 1 10 所以 t+ t ≥ 3 ,当且仅当 t=3m2+3=3,即 m=0 时取等号. 48 所以(y1-y2)2≤10 =9,即|y1-y2|的最大值为 3. +2 3 所以△APQ 的面积的最大值为 3,此时直线 PQ 的方程为 x=1. 6.设椭圆 ax2+by2=1 与直线 x+y-1=0 相交于 A、B 两点,点 C 是 AB 2 的中点,若|AB|=2 2,OC 的斜率为 2 ,求椭圆的方程. 解析 的解.
2 由 ax1+by2=1,ax2+by2=1,两式相减,得 1 2 2 2 2 ?ax +by =1, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),那么 A、B 的坐标是方程组? ?x+y-1=0

a(x1+x2)(x1-x2)+b(y1+y2)(y1-y2)=0. 因为 y1-y2 y1+y2 a =-1,所以 = , x1-x2 x1+x2 b

2yC a yC a 2 即2x =b,x =b= 2 ,所以 b= 2a.① C C 再由方程组消去 y,得(a+b)x2-2bx+b-1=0. 由|AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2 = 2?x1-x2?2 = 2[?x1+x2?2-4x1x2]=2 2, 得(x1+x2)2-4x1x2=4, b-1 ? 2b ? 即?a+b?2-4· =4.② a+b ? ?

1 2 由①、②解得 a=3,b= 3 . x2 2y2 故所求的椭圆方程为 3 + 3 =1.


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