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山东省实验中学2015届高考数学三模试卷(理科)


山东省实验中学 2015 届高考数学三模试卷(理科)
一、选择题(本题包括 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题只有一个选项符合题意) 1. (5 分)已知 M={x||x﹣3|<4},N={x| A.? B.{0}
α

<0,x∈Z},则 M∩N=() C.{2} D.{x|2≤x≤7} ,则 k+α=() C. D.2

r />
2. (5 分)幂函数 f(x)=k?x 的图象过点 A. B. 1

3. (5 分)已知向量 A.1 B.﹣1
2 2

,若 C. ﹣

垂直,则 m 的值为() D.

4. (5 分)圆(x﹣1) +y =1 被直线 x﹣y=0 分成两段圆弧,则较短弧长与较长弧长之比为 () A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.1:5 5. (5 分)等比数列{an}中,a3=6,前三项和 S3= A.1 B. ﹣ 4xdx,则公比 q 的值为() D.﹣1 或﹣

C.1 或﹣

6. (5 分)复数 z= A.第一象限

(m∈R,i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于() B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

7. (5 分)直线 y=x﹣1 与双曲线 x ﹣ 的范围是() A.(1, ) +∞)

2

=1(b>0)有两个不同的交点,则此双曲线离心率

B. (

,+∞)

C.(1,+∞)

D.(1,

) ∪ (



8. (5 分)若函数 f(x)=(k﹣1)a ﹣a (a>0,a≠1)在 R 上既是奇函数,又是减函数, 则 g(x)=loga(x+k)的图象是()

x

﹣x

A.

B.

C.

D.

9. (5 分)设偶函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示, △ KLM 为等腰直角三角形,∠KML=90°,|KL|=1,则 f( )的值为()

A.﹣

B.

C.

D.

10. (5 分)已知函数 f(x)=

,把函数 g(x)=f(x)﹣ x 的

偶数零点按从小到大的顺序排列成一个数列,该数列的前 n 项的和 Sn,则 S10=() A.45 B.55 C.90 D.110

二、填空题: (本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答题卡指定横线上.) 11. (5 分)由 y= ,x=1,x=2,y=1 所围成的封闭图形的面积为.

12. (5 分)已知不等式组

表示的平面区域的面积为 9,点 P(x,y)在所给平面

区域内,则 z=3x+y 的最大值为.

13. (5 分)已知离心率为 的焦点重合,则实数 m=.

的双曲线 C:



=1(a>0)的右焦点与抛物线 y =4mx

2

14. (5 分)公差为 d,各项均为正整数的等差数列中,若 a1=1,an=25,则 n+d 的最小值等 于.

15. (5 分) 定义函数 d (x) =

, f (x) =1gx, 那么下列命题中正确的序号是. (把

所有可能的图的序号都填上) . ①函数 d(x)为偶函数;②函数 d(x)为周期函数,且任何非零实数均为其周期; ③方程 d(x)=f(x)有两个不同的根.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16. (12 分)已知向量 =(sin ,cos ) , =(cos , cos ) ,函数 f(x)= ? ,

(1)求函数 f(x)的单调递增区间; 2 (2)如果△ ABC 的三边 a、b、c,满足 b =ac,且边 b 所对的角为 x,试求 x 的范围及此时 函数 f(x)的值域. 17. (12 分)如图所示,四边形 OABP 是平行四边形,过点 P 的直线与射线 OA、OB 分别 相交于点 M、N,若 (1)利用 ∥ =x , =y

,把 y 用 x 表示出来(即求 y=f(x)的解析式) ;

(2)设数列{an}的首项 a1=1,前 n 项和 Sn 满足:Sn=f(Sn﹣1) (n≥2) ,求数列{an}通项公 式.

18. (12 分)已知直线 l:y=x+m,m∈R. (1)若以点 M(2,﹣1)为圆心的圆与直线 l 相切与点 P,且点 P 在 x 轴上,求该圆的方 程; (2) 若直线 l 关于 x 轴对称的直线 l′与抛物线 的方程. 相切, 求直线 l 的方程和抛物线 C

19. (12 分)已知等差数列{an}的公差 d≠0,它的前 n 项和为 Sn,若 S5=70,且 a2,a7,a22 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{ }的前 n 项和为 Tn,求证: ≤Tn< .

20. (13 分)已知函数 f(x)= (I)求函数 f(x)的单调区间;



(II)若函数 f(x)在区间(t,t+ ) (t>0)上不是单调函数,求实数 t 的取值范围; (III)如果当 x≥1 时,不等式 f(x)≥ 恒成立,求实数 a 的取值范围.

21. (14 分)定义:若两个椭圆的离心率相等,则称两个椭圆是“相似”的. 如图,椭圆 C 1 与椭圆 C2 是相似的两个椭圆, 并且相交于上下两个顶点. 椭圆 C1:

的长轴长是 4,椭圆 C2: 左焦点与右焦点,

短轴长是 1,点 F1,F2 分别是椭圆 C1 的

(Ⅰ)求椭圆 C1,C2 的方程; (Ⅱ)过 F1 的直线交椭圆 C2 于点 M,N,求△ F2MN 面积的最大值.

山东省实验中学 2015 届高考数学三模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本题包括 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题只有一个选项符合题意) 1. (5 分)已知 M={x||x﹣3|<4},N={x| A.? B.{0} <0,x∈Z},则 M∩N=() C.{2} D.{x|2≤x≤7}

考点: 交集及其运算. 专题: 计算题.

分析: 利用绝对值不等式及分式不等式的解法,我们易求出集合 M,N,再根据集合交集 运算法则,即可求出答案. 解答: 解:∵M={x||x﹣3|<4}=(﹣1,7) , N={x| <0,x∈Z}={x|﹣2<x<1,x∈Z}={﹣1,0},

∴M∩N={0} 故选 B 点评: 本题考查的知识点是交集及其运算,其中根据绝对值不等式及分式不等式的解法, 求出集合 M,N,是解答本题的关键.
α

2. (5 分)幂函数 f(x)=k?x 的图象过点 A. B. 1 C.

,则 k+α=() D.2

考点: 幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由函数 f(x)=k?x 是幂函数,根据幂函数的定义可知,其系数 k=1,再将点 的坐标代入可得 α 值,从而得到幂函数的解析式. 解答: 解:∵函数 f(x)=k?x 是幂函数, ∴k=1, ∵幂函数 f(x)=x 的图象过点 ∴( ) =
α α α α



,得 α= ,

则 k+α=1+ = . 故选 C. 点评: 本题考查幂函数的性 质及其应用,解题时要认真审题,注意熟练掌握基本概念.

3. (5 分)已知向量 A.1 B.﹣1 C. ﹣

,若

垂直,则 m 的值为() D.

考点: 数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题: 计算题. 分析: 根据向量坐标运算的公式,求出向量 的坐标.再利用向量 与 互相垂

直,得到它们的数量积等于 0,利用两个向量数量积的坐标表达式列方程,可求解 m 的值. 解答: 解∵ ∴向量 =(1﹣4,3+2m)=(﹣3,3+2m)

又∵向量 与 ∴ ?(

互相垂直, )=1×(﹣3)+3(3+2m)=0

∴﹣3+9+6m=0?m=﹣1 故选 B. 点评: 本题根据两个向量垂直,求参数 m 的值,考查了向量坐标的线性运算、向量数量 积的坐标公式 和两个向量垂直的充要条件等知识点,属于基础题. 4. (5 分)圆(x﹣1) +y =1 被直线 x﹣y=0 分成两段圆弧,则较短弧长与较长弧长之比为 () A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.1:5 考点: 直线与圆相交的性质. 专题: 计算题. 分析: 根据圆的方程求得圆心坐标和半径, 进而根据点到直线的距离求得圆心到直线的距 离,利用勾股定理求得直线被圆截的弦长,进而可利用勾股定理推断出弦所对的角为直角, 进而分别求得较短的弧长和较长的弧长,答案可得. 解答: 解:圆的圆心为(1,0)到直线 x﹣y=0 的距离为 ∴弦长为 2× = =
2 2

根据勾股定理可知弦与两半径构成的三角形为直角三角形, 较短弧长为 ×2π×1= ,较长的弧长为 2π﹣ =

∴较短弧长与较长弧长之比为 1:3 故选 B 点评: 本题主要考查了直线与圆相交的性质. 一般采用数形结合的方法, 在弦与半径构成 的三角形中,通过解三角形求得问题的答案. 5. (5 分)等比数列{an}中,a3=6,前三项和 S3= A.1 B. ﹣ 4xdx,则公比 q 的值为() D.﹣1 或﹣

C.1 或﹣

考点: 定积分;等比数列的前 n 项和. 专题: 计算题. 分析: 根据题意, 直接找出被积函数 4x 的原函数, 直接计算在区间上的定积分即可得 S3, 再结合等比数列的性质求得公比 q 的值即可. 3 解答: 解:∵S3=∫0 4xdx=18, ∴ ?2q ﹣q﹣1=0
2

?q=1 或



故选 C. 点评: 本题考查等比数列的前 n 项和、 定积分的基本运算, 求定积分关键是找出被积函数 的原函数,本题属于基础题. (m∈R,i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于() B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

6. (5 分)复数 z= A.第一象限

考点: 复数代数形式的乘除运算;复数的基本概念. 专题: 计算题. 分析: 利用复数的除法运算法则:分子、分母同乘以分母的共轭复数,化简复数 z;令复 数的实部、虚部大于 0,得到不等式无解,即对应的点不在第一象限. 解答: 解:由已知 z= =

在复平面对应点如果在第一象限,则 而此不等式组无解. 即在复平面上对应的点不可能位于第一象限. 故选 A 点评: 本题考查复数的除法运算法则:分子、分母同乘以分母的共轭复数;考查复数的几 何意义:复数与复平面内的以实部为横坐标,虚部为纵坐标的点一一对应.

7. (5 分)直线 y=x﹣1 与双曲线 x ﹣ 的范围是() A.(1, ) +∞)

2

=1(b>0)有两个不同的交点,则此双曲线离心率

B. (

,+∞)

C.(1,+∞)

D.(1,

) ∪ (



考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 直线 y=x﹣1 与双曲线 x ﹣
2

=1(b>0)有两个不同的交点,可得 1>b>0 或 b

>1.利用 e= =

即可得出.
2

解答: 解:∵直线 y=x﹣1 与双曲线 x ﹣ ∴1>b>0 或 b>1.

=1(b>0)有两个不同的交点,

∴e= = 故选:D.

>1 且 e≠



点评: 本题考查了双曲线与直线相交问题、 离心率计算公式, 考查了数形结合的思想方法, 属于基础题. 8. (5 分)若函数 f(x)=(k﹣1)a ﹣a (a>0,a≠1)在 R 上既是奇函数,又是减函数, 则 g(x)=loga(x+k)的图象是()
x
﹣x

A.

B.

C.

D.

考点: 奇偶性与单调性的综合;对数函数的图像与性质. 专题: 数形结合. 分析: 根据函数是一个奇函数,函数在原点出有定义,得到函数的图象一定过原点,求出 k 的值,根据函数是一个减函数,看出底数的范围,得到结果. 解答: 解:∵函数 f(x)=(k﹣1)a ﹣a (a>0,a≠1)在 R 上是奇函数 , ∴f(0)=0 ∴k=2, 又∵f(x)=a ﹣a 为减函数, 所以 1>a>0, 所以 g(x)=loga(x+2) 定义域为 x>﹣2,且递减,
x
﹣x

x

﹣x

故选:A 点评: 本题考查函数奇偶性和单调性, 即对数函数的性质, 本题解题的关键是看出题目中 所出现的两个函数性质的应用. 9. (5 分)设偶函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示, △ KLM 为等腰直角三角形,∠KML=90°,|KL|=1,则 f( )的值为()

A.﹣

B.

C.

D.

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式; 正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 通过函数的图象, 利用 KL 以及∠KML=90°求出求出 A, 然后函数的周期, 确定 ω, 利用函数是偶函数求出 φ,即可求解. 解答: 解:因为 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示, △ KLM 为等腰直角三角形,∠KML=90°,KL=1, 所以 A= ,T=2,因为 T= ,所以 ω=π, , ) ,

函数是偶函数,0<φ<π,所以 φ=

∴函数的解析式为:f(x)= sin(πx+ 所以 .

故选:C. 点评: 本题主要考查了由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,正弦函数的图象和 性质,属于基础题.

10. (5 分)已知函数 f(x)=

,把函数 g(x)=f(x)﹣ x 的

偶数零点按从小到大的顺序排列成一个数列,该数列的前 n 项的和 Sn,则 S10=() A.45 B.55 C.90 D.110 考点: 数列的求和;分段函数的应用. 专题: 函数的性质及应用;等差数列与等比数列. 分析: 由分段函数解析式得到函数 f(x)在 x>0 时的分段解析式,首先求得函数 g(x) =f(x)﹣ x 在(﹣2,0]上的零点,然后根据函数的图象平移得到函数 g(x)=f(x)﹣ x

在(0,2], (2,4], (4,6],…, (2n,2n+2]上的零点,得到偶数零点按从小到大的顺序排 列的数列,利用等差数列的前 n 项和得答案. 解答: 解:当 0<x≤2 时,有﹣2<x﹣2≤0,则 f(x)=f(x﹣2)+1=2 , x﹣4 当 2<x≤4 时,有 0<x﹣2≤2,则 f(x)=f(x﹣2)+1=2 +1, x﹣6 当 4<x≤6 时,有 2<x﹣2≤4,则 f(x)=f(x﹣2)+1=2 +2, x﹣8 当 6<x≤8 时,有 4<x﹣1≤6,则 f(x)=f(x﹣2)+1=2 +3, x﹣2n﹣2 以此类推,当 2n<x≤2n+2(其中 n∈N)时,则 f(x)=f(x﹣2)+1=2 +n, ∴函数 f(x)=2 的图象与直线 y= x+1 的交点为: (0,1)和(﹣1, ) , 由于指数函数 f(x)=2 为增函数且图象下凸,故它们只有这两个交点. 将函数 f(x)=2 和 y= x+1 的图象同时向下平移一个单位,即得到函数 f(x)=2 ﹣1 和 y= x 的图象, 取 x≤0 的部分,可见它们有两个交点(0,0) , (﹣1, 即当 x≤0 时,方程 f(x)﹣ x=0 有两个根 x=﹣1,x=0; 当 0<x≤2 时,由函数图象平移可得 g(x)=f(x)﹣ x 的零点为 1,2; 以此类推,函数 y=f(x)与 y= x 在(2,4], (4,6],…, (2n,2n+2]上的零点分别为: 3,4;5,6;…;2n+1,2n+2; 综上所述函数 g(x)=f(x)﹣ x 的偶数零点按从小到大的顺序排列所得数列为: 0,2,4,…, 其通项公式为:an=2(n﹣1) ,前 10 项的和为 S10= . ) .
x x x x x﹣2

故选:C. 点评: 本题考查了分段函数的应用, 考查了函数零点的判断方法, 考查了等差数列的和的 求法,是中档题. 二、填空题: (本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答题卡指定横线上.) 11. (5 分)由 y= ,x=1,x=2,y=1 所围成的封闭图形的面积为 1﹣ln2.

考点: 定积分在求面积中的应用. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 根据定积分与图形的关系可分割求出面积. 解答: 解:因为函数 在上的积分为 ,

所以围成的封闭图形的面积等于四边形的面积减去曲线与 x 轴围成的面积 1﹣ln2. 故答案为:1﹣ln2

点评: 本题主要考查定积分的应用,在利用定积分求面积时必须要求被积函数 f(x)≥0, 要求熟练掌握常见函数的积分公式.

12. (5 分)已知不等式组

表示的平面区域的面积 为 9,点 P(x,y)在所给平面

区域内,则 z=3x+y 的最大值为 12. 考点: 简单线性规划. 专题: 计算题;作图题;不等式的解法及应用. 分析: 由题意作出其平面区域,先求出 a,再将 z=3x+y 化为 y=﹣3x+z,z 相当于直线 y= ﹣3x+z 的纵截距,由几何意义可得. 解答: 解:由题意作出其平面区域,

故由题意知, ×a×2a=9; 故 a=3; 则 z=3x+y 化为 y=﹣3x+z,z 相当于直线 y=﹣3x+z 的纵截距,

由图可得, 当过点(3,3)时有最大值, 即 z=3×3+3=12. 故答案为:12. 点评: 本题考查了简单线性规划,作图要细致认真,属于中档题.

13. (5 分)已知离心率为 的焦点重合,则实数 m=3.

的双曲线 C:



=1(a>0)的右焦点与抛物线 y =4mx

2

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 2 分析: 先由双曲线的离心率求出 a 的值, 由此得到双曲线的右焦点, 再求出抛物线 y =4mx 的焦点坐标,从而求出实数 m. 解答: 解:∵双曲线 C: ﹣ =1 的离心率为

∵ ∴a =5, ∴
2

,e=

,b =4

2

=3,

∴双曲线 C:
2



=1(a>0)的右焦点(3,0) ,

∵抛物线 y =4mx 的焦点(m,0) , 又双曲线 C: ﹣ =1(a>0)的右焦点与抛物线 y =4mx 的焦点重合,
2

∴m=3 故答案为:3 点评: 本题考查抛物线的简单性质、 双曲线的性质和应用, 考查了学生对基础知识的综合 把握能力,属于基础题. 14. (5 分)公差为 d,各项均为正整数的等差数列中,若 a1=1,an=25,则 n+d 的最小值等 于 11. 考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 由等差数列的首项和公差 d,写出等差数列的通项公式,得到 n 与 d 的关系式,解 出 d,根据等差数列的各项均为正整数,得到 d 也为正整数,即为 24 的约数,进而得到相 应的 n 的值,得到 n 与 d 的六对值,即可得到 n+d 的最小值.

解答: 解:由 a1=1,得到 an=a1+(n﹣1)d=1+(n﹣1)d=25,即(n﹣1)d=24, 解得:d= ,

因为等差数列的各项均为正整数,所以公差 d 也为正整数, 因此 d 只能是 1,2,3,4,6,8,12,24,此时 n 相应取 25,13,9,7,5,4,3,2 则 n+d 的最小值等于 11. 故答案为 11 点评: 此题考查学生掌握等差数列的性质, 灵活运用等差数列的通项公式化简求值, 是一 道基础题.本题的突破点是得到公差 d 只能取 24 的约数.

15. (5 分)定义函数 d(x)=

,f(x)=1gx,那么下列命题中正确的序号是

①. (把所有可能的图的序号都填上) . ①函数 d(x)为偶函数;②函数 d(x)为周期函数,且任何非零实数均为其周期; ③方程 d(x)=f(x)有两个不同的根. 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 函数的性质及应用.

分析: 由已知中函数 d(x)=

,f(x)=1gx,分析 d(x)的奇偶性与周期

性,可判断①②;分析方程 d(x)=f(x)根的个数,可判断③.

解答: 解:∵函数 d(x)=

,f(x)=1gx,

对于①,当 x∈Q 时,d(﹣x)=d(x)=1, 当 x?Q 时,d(﹣x)=d(x)=0, 即 d(﹣x)=d(x)恒成立, 函数 d(x)为偶函数,故正确; 对于②,函数 d(x)为周期函数,且任何非零有理数均为其周期,故错误; 对于③,当且仅当 x=10 时,d(x)=f(x) ,故方程 d(x)=f(x)仅有一个根,故错误. 故答案为:① 点评: 本题以命题的真假判断为载体考查了函数的奇偶性, 周期性, 函数零点与方程根的 关系,难度不大,属于基础题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16. (12 分)已知向量 =(sin ,cos ) , =(cos , (1)求函数 f(x)的单调递增区间; cos ) ,函数 f(x)= ? ,

(2)如果△ ABC 的三边 a、b、c,满足 b =ac,且边 b 所对的角为 x,试求 x 的范围及此时 函数 f(x)的值域. 考点: 平面向量数量积的运算;三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的单调性. 专题: 综合题. 分析: (1)利用向量的数量积公式及辅助角公式,化简函数,即 可求得函数 f(x)的单 调递增区间; (2)通过 b =ac,利用余弦定理求出 cosx 的 范围,然后求出 x 的范围,进而可求三角函数 的值域. 解答: 解: (1)∵向量 =(sin ,cos ) =(cos , ∴函数 f(x)= ? =sin( 令 2kπ﹣ ≤ ≤2kπ+ )+ ,解得 . , . cos ) ,
2

2

故函数 f(x)的单调递增区间为

(2)由已知 b =ac,cosx= x≤ ∴ ∴ ∴ <sin( <sin( )≤1, )+ ≤1+ ]

2

=



= ,∴ ≤cosx<1,∴0<

∴f(x)的值域为(

,1+

点评: 本题是中档题,考查三角函数的化简求值,余弦定理的应用,正弦函数的值域的求 法,考查计算能力. 17. (12 分)如图所示,四边形 OABP 是平行四边形,过点 P 的直线与射线 OA、OB 分别 相交于点 M、N,若 (1)利用 ∥ =x , =y

,把 y 用 x 表示出来(即求 y=f(x)的解析式) ;

(2)设数列{an}的首项 a1=1,前 n 项和 Sn 满足:Sn=f(Sn﹣1) (n≥2) ,求数列{an}通项公 式.

考点: 数列递 推式;平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题: 综合题. 分析: (1)用 分别表示 , ,再利用向量共线的条件,即可得到结论;

(2)当 n≥2 时,由 Sn=f(Sn﹣1)=

,则

,可得数列{

}是首项和公

差都为 1 的等差数列,由此即可求得数列的通项. 解答: 解: (1)∵ ∵ ∴x﹣y(1+x)=0, ∴ 即函数的解析式为:f(x)= (0<x<1) ; , ∥ ,∴ ,

(2)当 n≥2 时,由 Sn=f(Sn﹣1)= 又 S1=a1=1,那么数列{ 则 ,即 Sn=

,则

}是首项和公差都为 1 的等差数列,

n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=

;n=1 时,a1=1

故 an=



点评: 本题考查向量知识的运用,考查向量共线的条件,考查等差数列的证明,考查求数 列的通项,属于中档题. 18. (12 分)已知直线 l:y=x+m,m∈R. (1)若以点 M(2,﹣1)为圆心的圆与直线 l 相切与点 P,且点 P 在 x 轴上,求该圆的方 程; (2) 若直线 l 关于 x 轴对称的直线 l′与抛物线 的方程. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;直线与圆的位置关系. 专题: 综合题. 相切, 求直线 l 的方程和抛物线 C

分析: (1)解法 1:确定点 P 的坐标,进而可求圆的半径,从而可求圆的方程; 解法 2:利用待定系数法求本题中圆的方程是解决本题的关键,利用直线与圆相切的数学关 系列出关于圆的半径的方程,通过求解方程确定出所求圆的半径,进而写出所求圆的方程; (2)解法 1:设出直线为 l'的方程利用直线与抛物线的位置关系解决该题,将几何问题转化 为代数方程组问题,注意体现方程有几个解的思想; 解法 2:利用导数求切线,从而可直线 l 的方程和抛物线 C 的方程. 解答: 解: (1)解法 1:依题意得点 P 的坐标为(﹣m,0) .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(1 分) ∵以点 M(2,﹣1)为圆心的圆与直线 l 相切与点 P, ∴MP⊥l. ∴点 P 的坐标为(1,0) . 设所求圆的半径 r,则 r =|PM| =1+1=2,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(5 分) 2 2 ∴所求圆的方程为(x﹣2) +(y+1) =2.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) 2 2 2 解法 2:设所求圆的方程为(x﹣2) +(y+1) =r ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(1 分) 依题意知点 P 的坐标为(﹣m,0) .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2 分) ∵以点 M(2,﹣1)为圆心的圆与直线 l 相切于点 P(﹣m,0) ,
2 2

,解得 m=﹣1.﹣﹣﹣﹣(3 分)



解得

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(5 分) ∴所求的圆的方程为(x﹣2) +(y+1) =2.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) 】 (2)解法 1:将直线方程 y=x+m 中的 y 换成﹣y,可得直线 l'的方程为 y=﹣x﹣m.﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(7 分) 由 得 mx +x+m=0, (m≠0)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
2 2 2

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9 分) 2 △ =1﹣4m ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10 分) ∵直线 l'与抛物线 ∴△=0,解得 相切 .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分) 当 时,直线 l 的方程为 ,抛物线 C 的方程为 x =2y,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
2

﹣(13 分)



时,直线 l 的方程为

,抛物线 C 的方程为 x =﹣2y.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

2

﹣(14 分) 解法 2: 将直线方程 y=x+m 中的 y 换成﹣y, 可得直线 l'的方程为 y=﹣x﹣m. ﹣﹣﹣﹣﹣ (7 分) 设直线 l'与抛物线 相切的切点为(x0,y0) ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8 分) 2 由 y=mx 得 y'=2mx,则 2mx0=﹣1﹣﹣﹣①﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10 分) y0=﹣x0﹣m﹣﹣﹣﹣﹣﹣② ①②③联立得 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分) 当 时,直线 l 的方程为 ,抛物线 C 的方程为 x =2y,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
2

.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣③ ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣(13 分) 当 时,直线 l 的方程为 ,抛物线 C 的方程为 x =﹣2y.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
2

﹣( 14 分) 】

点评: 本题考查直线与圆的位置关系, 直线与抛物线的位置关系, 考查学生对直线与圆相 切,直线与抛物线相切的问题的转化方法,考查学生的方程思想和运算化简能力,属于中档 题. 19. (12 分)已知等差数列{an}的公差 d≠0,它的前 n 项和为 Sn,若 S5=70,且 a2,a7,a22 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{ }的前 n 项和为 Tn,求证: ≤Tn< .

考点: 数列的求和;等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由题意得 ,由此能求出 an=4n+2.

(2)由 a1=6,d=4,得 Sn=2n +4n, Tn= .

2

= = ﹣

=

,从而 < ,由此能证明 ≤Tn<

解答: 解: (1)由题意得 解得 a1=6,d=4, ∴an=6+(n﹣1)×4=4n+2. (2)∵a1=6,d=4, ∴Sn=6n+ = ∴Tn= = = ﹣ (Tn)min=T1= ﹣ 故 ≤Tn< . < , = . = =2n +4n, ,
2



点评: 本题考查数列的通项公式的求法,考查不等式的证明,解题时要认真审题,注意裂 项求和法的合理运用.

20. (13 分)已知函数 f(x)= (I)求函数 f(x)的单调区间;



(II)若函数 f(x)在区间(t,t+ ) (t>0)上不是单调函数,求实数 t 的取值范围; (III)如果当 x≥1 时,不等式 f(x)≥ 恒成立,求实数 a 的取值范围.

考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 计算题;函数的性质及应用;导数的综合应用. 分析: (I)求导 f′(x)=﹣ ,从而由导数的正负确定函数的单调区间;

(II)由 f(x)的单调增区间为(0,1) ,单调减区间为(1,+∞)得 t<1<t+ ,从而解得;

(III)不等式 f(x)≥

可化为 a≤

,令 g(x)=



从而化恒成立为 a≤gmin(x) , (x≥1) ;从而转化为函数的最值问题. 解答: 解: (I)∵f(x)= ,x>0,故 f′(x)=﹣ ,

则当 x∈(0,1)时,f′(x)>0,当 x∈(1,+∞)时,f′(x)<0; 故 f(x)的单调增区间为(0,1) ,单调减区间为(1,+∞) ; (II)∵f(x)的单调增区间为(0,1) ,单调减区间为(1,+∞) ; ∴t<1<t+ , 故 <t<1; 故实数 t 的取值范围为( ,1) ; (III)不等式 f(x)≥ 令 g(x)= 则当 x≥1 时,不等式 f(x)≥ a≤gmin(x) , (x≥1) ; 而 g′(x)= ; 可化为 a≤ , 恒成立可化为 ,

令 h(x)=x﹣lnx;则 h′(x)=1﹣ ≥0; 故 h(x)在. 点评: 本题了函数的综合应用及导数的综合应用,同时考查了恒成立问题,属于中档题. 21. (14 分)定义:若两个椭圆的离心率相等,则称两个椭圆是“相似”的. 如图,椭圆 C1 与椭圆 C2 是相似的两个椭圆, 并且相交于上下两个顶点. 椭圆 C1:

的长轴长是 4,椭圆 C2:

短轴长 是 1,点 F1,F2 分别是椭圆 C1 的

左焦点与右焦点, (Ⅰ)求椭圆 C1,C2 的方程; (Ⅱ)过 F1 的直线交椭圆 C2 于点 M,N,求△ F2MN 面积的最大值.

考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程;椭圆的简单性质. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)设椭圆 C1 的半焦距为 c,椭圆 C2 的半焦距为 c',易知 a=2,b=m,n= ,根 据椭圆 C1 与椭圆 C2 的离心率相等,可得关于 a,b,m,n 的方程,解出即可; (Ⅱ)由题意可设直线的方程为: .与椭圆 C2 的方程联立消掉 x 得 y 的二次方 程,则△ >0,由弦长公式可表示出|MN|,由点到直线的距离公式可表示出△ F2MN 的高 h, 则△ F2MN 的面积 S= ,变形后运用基本不等式即可求得 S 的最大值; .

解答: 解: (Ⅰ) 设椭圆 C1 的半焦距为 c, 椭圆 C2 的半焦距为 c'. 由已知 a=2, b=m, ∵椭圆 C1 与椭圆 C2 的离心率相等,即 ,


2

,即



,即 bm=b =an=1,∴b=m=1, ,椭圆 C2 的方程是 ; . ,

∴椭圆 C1 的方程是

(Ⅱ)显然直线的斜率不为 0,故可设直线的方程为: 联立:
2

,得
2 2

,即

∴△=192m ﹣44(1+4m )=16m ﹣44>0,设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) , 则 , ,∴ ,

△ F2MN 的高即为点 F2 到直线

的距离



∴△F2MN 的面积





,等号成立当且仅当



即 ∴

时, ,即△ F2MN 的面积的最大值为 .

点评: 本题考查椭圆方程及其性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系,考查基本不等式 求函数的最值,考查学生的运算能力、分析解决问题的能力.


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