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江苏省江阴市澄西中学2013届高三数学模拟考试试题(二)(无答案)苏教版


澄西中学 2013 届高三高考模拟考试数学试题(二)
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.已知集合 A ? 0,3, a , B ? ? , a? ,若 A ? B ? ?0,1,2,3,4?,则实数 a 的值为 1
2

?

?

2.设复数 z 满足 z(2+3

i)=6-4i(其中 i 为虚数单位) ,则 z 的模为 3. 已 知 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f ( x) 满 足 f ( x ? 1)? ?

1 ,当 f ( x)

开始 P ← 0 n← 1
1 n(n ? 1)

0? x?

1 x 时, f ( x) ? 4 ,则 f (? 11 ) = 2 4
3

4.设点 P 是曲线 y ? x ? 3x ? 为 ? ,则角 ? 的取值范围是
?

2 上的任意一点, P 点处切线倾斜角 3

P ←P? . .

5.函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2 2 cos( ? x) ? 3 的最小值是
4

6.右图是一个算法的流程图,最后输出的 n=

n ← n+1 P<0.99 N 输出 n 结束 (第 6 题) Y

7.连掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n ,记向量 a = (m,n) 与向 量 b ? (1 ? 1) 的夹角为 ? ,则 ? ? ? 0, ? 的概率是_ , 8.已知 F1 、 F2 是椭圆 C :

? ?

?? ??

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点, a 2 b2 2 2 2 点 P 在椭圆 C 上,线段 PF2 与圆 x ? y ? b 相切于点 Q ,且点 Q
为线段 PF2 的中点,则椭圆 C 的离心率为
3

. .

9.已知 f(x)=x -3x, A(1, )可作曲线 y=f(x)的三条切线, m 的取值范围是___ 过 m 则

10.已知正项等比数列 ?a n ?满足 a6 ? a7 ? 2a5 ,若存在两项 a m , a n 使得 a m a n ? 2a 2 ,则

1 4 ? 的最小值为___ _____. m n
7 ? cos 2? ? ? 11.已知两个向量集合 M ? {a | a ? (cos ? , ), ? ? R} 2

? N ? ? ,则 ? 的取值范围是___ ____ ???? ? ???? ??? ? ???? ? 12 设 e1,e2 是夹角为 60°的两个单位向量,已知 OM =e1, ON =e2, OP =x· OM + ???? y· ON (x,y 为实数).若△PMN 是以 M 为直角顶点的直角三角形,则 x-y 取值的集合为
________. 13.从等腰直角三角形纸片 ABC 上,按图示方式剪下两个正方形,其中

? ? N ? {b | b ? (cos ? , ? ? sin ? ), ? ? R} ,若 M

BC ? 2 , ?A ? 90o ,则这两个正方形的面积之和的最小值为 _

_

14. 设函数 f(x)的定义域为 D,如果存在正实数 k,使对任意 x∈D,都 有 x+k∈D,且 f(x+k)>f(x)恒成立,则称函数 f(x)为 D 上的“k 型增函
1

数” 已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数, . 且当 x>0 时, (x)=|x-a|-2a, f(x)为 R 上的 f 若 “2011 型增函数” ,则实数 a 的取值范围是 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分)
1 15. (本小题满分 14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 P ( , cos2 ? ) 在角 ? 的终边上,点 2 ??? ???? ? 1 Q (sin 2 ? , ? 1) 在角 ? 的终边上,且 OP ? OQ ? ? . 2 (1)求 cos 2? 的值; (2)求 sin(? ? ? ) 的值.

16. (本小题满分 14 分)如图已知在三棱柱 ABC——A1B1C1 中,AA1⊥面 ABC,AC=BC,M、N、 P、Q 分别是 AA1、BB1、AB、B1C1 的中点. (1)求证:面 PCC1⊥面 MNQ; (2)求证:PC1∥面 MNQ; (3)若 AA1 ? AB ?

2 AC ? 2a , 求三棱锥 P ? MNQ 的体积.

2

17. (本小题满分 14 分)某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距 m 米,余下工程 只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩,经预测,一个桥墩的工程费用为 256 万元,距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为 (2 ?

x ) x 万元。假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视

为点,且不考虑其他因素,记余下工程的费用为 y 万元。 (Ⅰ)试写出 y 关于 x 的函数关系式; (Ⅱ)当 m =640 米时,需新建多少个桥墩才能使 y 最小?

] 18. (本小题满分 16 分) 已知 A(?2,0), B(2,0), 点C、D 依次满足 AC ? 2, AD ? (1)求证: D 点一定在以原点为圆心的单位圆 E 上; (2)过点 A 作直线 l 交以 A、B 为焦点的椭圆于 M、N 两点,线段 MN 的中点到 y 轴的 距离为

????

????

? 1 ??? ???? ( AB ? AC ). 2

4 ,且直线 l 与圆 E 相切,求该椭圆的方程; 5

(3)经过(2)中椭圆的上顶点 K 作直线 m,n,使 m⊥n,直线 m,n 分别交椭圆于 P,Q, 连接 PQ,求证:PQ 必过 y 轴上一定点.

3

1 2 1 19. (本小题满分 16 分)各项均为正数的数列 ?a n ? 的前 n 项和为 Sn ? an ? an ? n ? N * ? ; 4 2
?an ? (1)求 an ; (2)令 bn ? ?b ? n ? 2
n

n为奇数

* n n为偶数 , cn ? b2n ? 4 ? n ? N ? ;求 ?cn ? 的前 项和 Tn

(3)令 bn ? ? q a ? ? ( ?,q 为常数, q ? 0 且 q ? 1 ) cn ? 3 ? n ? (b1 ? b2 ? ??? ? bn ) ,[是否存在 , 实数对( ?,q ) ,使得数列 ?cn ? 成等比数列?若存在,求出实数对( ?,q ) 及数列 ?cn ? 的通项公式,若不存在,请说明理由。

20.(本小题满分 16 分)已知函数 ? ( x) ? ⑴若 f ( x) ? ln x ? ? ( x) ,且 a ?

a ,a 为正常数. x ?1

9 ,求函数 f (x) 的单调增区间; 2 ⑵在⑴中当 a ? 0 时, 函数 y ? f (x) 的图象上任意不同的两点 A?x1 , y1 ? ,B?x 2 , y 2 ? , 线段 AB 的中点为 C ( x0 , y 0 ) ,记直线 AB 的斜率为 k ,试证明: k ? f ?( x0 ) . g ( x 2 ) ? g ( x1 ) ⑶若 g ( x) ? ln x ? ? ( x) ,且对任意的 x1 , x 2 ? ?0,2? , x1 ? x2 ,都有 ? ?1 ,求 x 2 ? x1 a 的取值范围.

4

数学Ⅱ(附加题) 1.设 M 是把坐标平面上点的横坐标不变、 纵坐标沿 y 轴方向伸长为原来5倍的伸压变换. (1)求直线 4 x ? 10 y ? 1 在 M 作用下的方程; (2)求 M 的特征值与特征向量.

2.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与 x 轴的正半轴重合.若曲线 C1 的

? x ? 2 2 cos ? , ? 方程为 ρ2 = 8 ρsinθ ? 15 ,曲线 C2 的方程为 ? ( ? 为参数) . ? y ? 2 sin ? ?
(1)将 C1 的方程化为直角坐标方程; (2)若 C2 上的点 Q 对应的参数为 ? ?

3? , P 为 C1 上的动点,求 PQ 的最小值. 4

5

3.甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏,按照规则,甲先从 6 道备选题中一次性抽 取 3 道题独立作答, 然后由乙回答剩余 3 题, 每人答对其中 2 题就停止答题, 即闯关成功. 已 知在 6 道备选题中,甲能答对其中的 4 道题,乙答对每道题的概率都是 (Ⅰ)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率; (Ⅱ)设甲答对题目的个数为 ξ ,求 ξ 的分布列及数学期望.

2 . 3

4.把所有正整数按上小下大,左小右大的原则排成如图所示的数表,其中第 i 行共有 2 正整数,设 aij ? i, j ? N *? 表示位于这个数表中从上往下数第 i 行,从左往右第 j 个数. (1)求 a69 的值; (2)用 i, j 表示 aij ;
3 (3)记 An ? a11 ? a22 ? a33 ? ? ? ann ?n ? N *? ,求证:当 n ? 4 时, An ? n ? Cn .

i?1



6

【解析】 (1) a69 ? 25 ? (9 ? 1) ? 40 (2)因为数表中前 i ?1 行共有 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
2 i ?2 i ?1

????2 分

? 2 ?1 个数,则第 i 行的第一
????5 分 ????6 分
n ? n ? 1? 2 n ? n ? 1? 2

个数是 2

i?1

,所以 aij ? 2

i ?1

? j ?1

(3)因为 aij ? 2i ?1 ? j ? 1 ,则 ann ? 2n ?1 ? n ? 1? n ? N *? , 所以 An ? ?1 ? 2 ? 22 ? ? ? 2n ?1 ? ? ?0 ? 1 ? 2 ? ? ? ? n ? 1? ? ? 2n ? 1 ? ? ? 当 n ? 4 时, An ? ?1 ? 1? ? 1 ?
n

??8 分

n ? n ? 1? 2

0 1 2 3 ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? 1 ?

3 ? n 2 ? Cn .

????10 分

23.解: (Ⅰ)设甲、乙闯关成功分别为事件 A、B ,则

P( A) ?

1 2 C4 ? C2 4 1 ? ? ,?????????????????????2 分 3 20 5 C6

2 2 2 1 2 7 , ????????????4 分 P( B) ? (1 ? )3 ? C32 (1 ? )2 ? ? ? 3 3 3 27 9 27
所以,甲、乙至少有一人闯关成功的概率是:

1 7 128 1 ? P( A ? B) ? 1 ? P( A) ? P( B) ? 1 ? ? ? . ????????????6 分 5 27 135 (Ⅱ)由题意,知 ξ 的可能取值是1 、 2 .

P (? ? 1) ?

1 2 C 3 ? C1C 2 4 C4 C2 1 C 2C1 ? C 3 4 ? , P (? ? 2) ? 6 3 4 2 ? (或P (? ? 2) ? 4 2 3 4 ? ) 3 5 5 5 C6 C6 C6

7

则 ? 的分布列为

?
P

1
1 5

2
4 5

???????????????????????8 分 ∴

1 4 9 E? ? 1? ? 2 ? ? .????????????????10 分 5 5 5

8


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