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直线与圆复习学案


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高考总复习五-----直线与圆综合
一、疑难知识点导析: 1、定比分点公式:定比分点公式是解决共线三点 A( x 1, y 1),B( x 2, y 2),P( x , y )之间数量关系的一个公 式,其中λ 的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比.这里起点、分点、终点的位置是可以任意选 择的,一旦选定

后λ 的值也就随之确定了.若以 A 为起点,B 为终点,P 为分点,

x ? ?x2 x ? x2 ? ? x? 1 x? 1 ? ? ? ? 1? ? 2 则定比分点公式是 ? ,当 P 点为 AB 的中点时,λ =1,此时中点坐标公式是 ? . y ? ? y y ? y 1 2 1 2 ?y ? ?y ? ? ? 2 ? 1? ? ?
2、

3、确定圆方程需要有三个互相独立的条件。圆的方程有两种形式,要知道两种形式之间的相互转化及相互联系 (1)圆的标准方程: ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 ,其中( a ,b)是圆心坐标, r 是圆的半径;

D E (2)圆的一般方程: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D 2 ? E 2 ? 4F >0) ,圆心坐标为(- ,- ) ,半径 2 2
2 2 为 r = D ? E ? 4F . 2 4、

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二、基本方法引导 1.直线与圆的位置关系的判定方法. (1)方法一 直线: Ax ? By ? C ? 0 ;圆: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 .

?△? 0 ? 相交 ? 判别式 ? Ax ? By ? C ? 0 消元 ? ? ? ? ?△? 0 ? 相切 ? ?? ? 一元二次方程 ? 2 2 2 △?b ? 4 ac x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ?△? 0 ? 相离 ? ?
(2)方法二 直线: Ax ? By ? C ? 0 ;圆:( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 ,圆心( a ,b)到直线的距离为 d=

| Aa ? Bb ? C | A2 ? B 2
2、点 (1) (3)

?d ? r ? 相离 ? ? ?? ?d ? r ? 相切 ?d ? r ? 相交 ?
的关系的判断方法: > < ,点在圆外 (2) ,点在圆内 = ,点在圆上

与圆

3、两圆的位置关系的判定方法. 设两圆圆心分别为 O1、O2,半径分别为 r 1, r 2,|O1O2|为圆心距,则两圆位置关系如下: |O1O2|> r 1+ r 2 ? 两圆外离; |O1O2|= r 1+ r 2 ? 两圆外切; | r 1- r 2|<|O1O2|< r 1+ r 2 ? 两圆相交; | O1O2 |=| r 1- r 2| ? 两圆内切;
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0<| O1O2|<| r 1- r 2| ? 两圆内含. 三、例题选讲 直线相关 (一) 、斜率与含参线性规划问题;

?x ? y ? 1 ? 例 1.若 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,目标函数 z ? ax ? 2 y 仅在点(1,0)处取得最小值,则 a 的取值范 ?2 x ? y ? 2 ?
围是() A (?1, 2) B (?4, 2) C (?4, 0] D (?2, 4)

练习、已知平面区域 D 由以 A(1,3) 、B(5,2) 、C(3,1)为顶点的三角形内部和边界组成。若在区域 D 内 有无穷多个点 ( x, y ) 可使目标函数 z ? x ? my 取得最小值,则 m ? () A. ?2 B. ?1 C.1 D.4

(二) 、对称的一般原理和特殊情况( y ? ? x ? m ) 例 1.求直线 a : 2 x ? y ? 4 ? 0 关于直线 l: 3x ? 4 y ? 1 ? 0 对称的直线 b 的方程.

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练习 1、曲线 C: y ? ( x ? 2) 关于直线 x ? y ? 3 ? 0 对称的曲线 C' 的方程________
2

2 2 练习 2、已知圆 C 与圆 ( x ?1) ? y ? 1 关于直线 y ? ? x 对称,则圆 C 的方程为()

A.

( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 B. x2 ? y 2 ? 1 C. x2 ? ( y ? 1)2 ? 1 D. x2 ? ( y ?1)2 ? 1

例 2.已知点 M (3,5) ,在直线 l : x ? 2 y ? 2 ? 0 和 y 轴上各找一点 P 和 Q,使△MPQ 的周长最小.

(三)直线系问题:过两交点的直线系;平行直线系;垂直直线系. 设直线 l1 : A 1x ? B 1 y ? C1 ? 0 , l2 : A 2 x ? B2 y ? C2 ? 0 ,经过 l1 , l2 的交点的直线方程为

A1x ? B1 y ? C1 ? ? ( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 (除去 l2 ) ;
注意:可以推广到过曲线 f1 ( x, y) ? 0 与 f 2 ( x, y) ? 0 的交点的方程为: f1 ( x) ? ? f 2 ( x) ? 0 。 例1、 求过直线: x ? 2 y ? 1 ? 0 与直线: 2 x ? y ? 1 ? 0 的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.

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例 2、已知圆 C: ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 4 及直线 l : (m ? 2) x ? (2m ? 1) y ? 7m ? 8
2 2

求证:无论 m 为任何实数,直线 l 恒与圆 C 相交。

练习、求证:无论 ? 为何值,直线 (2 ? ? ) x ? (1 ? ? ) y ? 2 ? (3 ? 2? ) ? 0 与点 P (?2, 2) 的距离都小于 4 2

圆 相 关 (一)圆的方程 例 1、求与 x 轴相切,圆心在直线 3x ? y ? 0 上,且被直线 y ? x 截得的弦长等于 2 7 的圆的方程。

2 2 练习 1、求经过两已知圆 C1 :x ? y ? 4 x ? 2 y ? 0 和 C2:x ? y ? 2 y ? 4 ? 0 的交点,且圆心在直线 l :
2 2

2 x ? 4 y ? 1 ? 0 上的圆的方程。

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练习 2、已知△ABC 的三个项点坐标分别是 A (4,1) ,B (6, ?3) ,C (?3, 0) ,求△ABC 外接圆的方程。

例 2.在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆 C1 : ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 4 和圆 C2 : ( x ? 4) ? ( y ? 5) ? 4.
2 2 2 2

(1)若直线 l 过点 A(4, 0) ,且被圆 C1 截得的弦长为 2 3 ,求直线 l 的方程; (2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 l 2 ,它们分别与圆 C1 和圆 C2 相交, 且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l 2 被圆 C2 截得的弦长相等,试求所有满足条件的点 P 的坐标.

练习、已知动圆过定点 (

p p , 0) ,且与直线 x ? ? 相切,其中 p ? 0 . 2 2

(I)求动圆圆心 C 的轨迹的方程; (II)设 A、B 是轨迹 C 上异于原点 O 的两个不同点,直线 OA 和 OB 的倾斜角分别为 ? 和 ? ,当 ? , ? 变化且

? ? ? 为定值 ? (0 ? ? ? ? ) 时,证明直线 AB 恒过定点,并求出该定点的坐标
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王新敞
奎屯

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例 3、若直线 y ? x ? b 与曲线 y ? 3 ? 4 x ? x 2 有公共点,则 b 的取值范围是( ) A. ? ?1,1 ? 2 2 ?

?

?

B. ?1 ? 2 2,1 ? 2 2 ?

?

?

C. ?1 ? 2 2,3?

?

?

D. ?1 ? 2,3?

?

?

例 4.已知直线 2 x ? y ? 6 ? 0,x ? 2 y ? 8 ? 0 及 x ? y ? 0 ,求它们所围成的三角形的外接圆方程。

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例 5.在直角坐标系 xOy 中,以 O 为圆心的圆与直线 x ? 3 y ? 4 相切. (1)求圆 O 的方程;

PO , PB 成等比数列,求 PA ? PB 的取值范围. (2)圆 O 与 x 轴相交于 A,B 两点,圆内的动点 P 使 PA ,

??? ? ??? ?

练习、已知点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ( x1 x2 ? 0) 是抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 上的两个动点, O 是坐标原点,向量
2

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 2 OA , OB 满足 OA ? OB ? OA ? OB .设圆 C 的方程为 x ? y ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0
(I)证明线段 AB 是圆 C 的直径 (II)当圆 C 的圆心到直线 x ? 2 y ? 0 距离的最小值为

2 5 时,求 P 的值. 5

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(二)点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系 点与圆的位置关系主要是判断点在圆上,圆内还是圆外;直线与圆基本上是考虑圆心到直线的距离与半径大小 的比较;两圆相交,两圆作差即交线所在的直线方程,由圆心距来判断圆与圆的位置关系. 例 1.设直线 3x ? 4 y ? m ? 0 与圆 x ? y ? x ? 2 y ? 0 相交于 P、Q 两点,O 为坐标原点,若 OP?OQ ,求 m
2 2

的值。

练习、已知圆 C : ( x ? a) ? ( x ? 2) ? 4(a ? 0) 及直线 l : x ? y ? 3 ? 0 .当直线 l 被 C 截得的弦长为 2 3 时,则
2 2

a ?( )
A. 2 B. 2 ? 2 C. 2 ? 1 D. 2 ? 1

2 2 例 2、已知 AC、BD 为圆 O : x ? y ? 4 的两条相互垂直的弦,垂足为 M (1, 2) ,则四边形 ABCD 的面积的最

大值为

5) 的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD ,则四边 练习、已知圆的方程为 x ? y ? 6x ? 8 y ? 0 .设该圆过点 (3,
2 2

形 ABCD 的面积为( A. 10 6 B. 20 6

) C. 30 6 D. 40 6

例 3.点 A 是圆 C: x ? y ? ax ? 4 y ? 5 ? 0 上任意一点,A 关于直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 的对称点也在圆 C 上,则实数 a
2 2

的值为___

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练习、已知直线

x y ? ? 1 ( a, b 是非零常数)与圆 x2 ? y 2 ? 100 有公共点,且公共点的横坐标和纵坐标均为 a b

整数,那么这样的直线共有( ) A60 条 B66 条 C 72 条 D78 条

2 例 4.在平面直角坐标系 xOy 中,过定点 C (0,p) 作直线与抛物线 x ? 2 py ( p ? 0 )相交于 A,B 两点.

(1)若点 N 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点,求 △ ANB 面积的最小值; (2) 是否存在垂直于 y 轴的直线 l , 使得 l 被以 AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存在, 求出 l 的方程; 若不存在,说明理由.

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(三)圆的性质:单位圆,切线方程,圆系;
2 2 2 (1)若点 P( x0 , y0 ) 在圆 x ? y ? r 上,则过点 P 点的切线方程为: xx0 ? yy0 ? r ;
2

若点 P( x0 , y0 ) 在圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 上,则过点 P 点的切线方程为: ( x ? a)( x0 ? a) ? ( y ? b)( y0 ? b) ? r 若点 P( x0 , y0 ) 在圆 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 在上,则过点 P 点的切线方程为:
2 2

2

xx0 ? yy0 ? D

x ? x0 y ? y0 ?E ?F ?0; 2 2
2 2 2 2

(2)经过两个圆 x ? y ? D1x ? E1 y ? F 2 ? 0 的交点的圆系方程是 1 ? 0 与 x ? y ? D2 x ? E2 y ? F

x2 ? y2 ? D1x ? E1 y ? F1 ? ? ( x2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ) ? 0 ,当 ? ? ?1 时,表示过两个圆交点的直线,换句
话说,两相交圆作差得到相交直线的方程; (3)经过直线 l:Ax ? By ? C ? 0 与圆 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 的交点的圆系方程是
2 2

x2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F ? ? ( Ax ? By ? C) ? 0 ;
(4)圆系:设⊙O1: x ? y ? D1x ? E1 y ? F 2 ?0 1 ? 0 ,⊙O2: x ? y ? D2 x ? E2 y ? F
2 2 2 2

①两圆相交于 A、B 两点,两圆作差即公共弦所在直线方程。 ②经过两圆的交点的圆系方程为 x ? y ? D1x ? E1 y ? F (不包括⊙O2 方程) 1 ? ? ( x ? y ? D2 x ? E2 y ? F2 ) ? 0
2 2 2 2

A、圆的切线问题 1.直线与圆相切的判定以及与切线有关的参数问题都可以利用圆心到切线距离等于半径列方程判断或求解;涉 及切线长的问题,可以利用勾股定理求. 2.对于圆的切线问题,尤其是圆外一点引圆的切线,易忽视切线斜率 k 不存在情形.21 世纪教育网 3.圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题. 例 1.若圆 C:x2+y2+2x-4y+3=0 关于直线 2ax+by+6=0 对称,则由点 M(a,b)向圆所作的切线长的最小值 是( ) A.2 B.3 C.4 D.6

例 2.如图,圆 ⑴求与直线 ⑵设点

与坐标轴交于点 垂直的圆的切线方程;

.

是圆上任意一点(不在坐标轴上) ,直线

交 轴于点
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,直线

交直线

于点



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点坐标为

,求弦

的长;②求证:

为定值.

B、弦长问题 求圆的弦长的常用方法

(1)几何法:设圆的半径为 ,弦心距为

,弦长为 l,则

. .

(2)代数方法:运用根与系数的关系及弦长公式: 注意:常用几何法研究圆的弦的有关问题. 规律方法技巧 处理直线与圆的弦长问题时多用几何法,即弦长一半、弦心距、半径构成直角三角形. 例 1.已知直线 则实数 _________. 与圆心为 的圆 相交于 两点, 且

为等边三角形,

例 2.直线

与圆

相交于 M,N 两点,若

,则 k 取值范围是()

A.

B.

C.

D.

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C、与圆有关的最值问题 数形结合法求解与圆有关的最值问题: y-b (1)形如 t=x-a形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题; (2)形如 t=ax+by 形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题; (3)形如 t=(x-a)2+(y-b)2 形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的最值问题. 例 1. 已知点 P(3,4)和圆 C:(x 2)2+y2=4,A,B 是圆 C 上两个动点,且|AB|= 值范围是( ) ,则 (O 为坐标原点)的取

A.[3,9] B.[1,11] C.[6,18] D.[2,22]

例 2.如果直线

和函数

的图象恒过同一个定点,

且该定点始终落在圆

的内部或圆上,那么

的取值范围是()

A.

B.

C.

D.

D、与圆有关的轨迹问题 求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常采用以下做法 (1)直接法:直接根据题目提供的条件列出方程. (2)定义法:根据圆、直线等定义列方程. (3)几何法:利用圆与圆的几何性质列方程. (4)代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式等.
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例 1.设 A 为圆 A. C.

上的动点,PA 是圆的切线且|PA|=1,则 P 点的轨迹方程是() B. D.

例 2.已知直线 的方程是 是( A. ) B.

, 若点

在直线 上的射影为

,点

,则

的最大值

C.

D.

课后训练: 1.在平面直角坐标系 2.设点 M( 3.设 中,直线 被 圆截得的弦长为. 的取值范围是________. 交于点 ,则

,1) ,若在圆 O: ,过定点 A 的动直线 的最大值是.

上存在点 N,使得∠OMN=45°,则 和过定点 B 的动直线

4. 已知直线 则实数 5.直线 _________. 和

与圆心为

的圆

相交于

两点, 且

为等边三角形,

将单位圆

分成长度相等的四段弧,则

.

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6.直线 和 是圆

的两条切线,若 与 的交点为

,则 与 的夹角的正切值等于.

7.过点 (

, 0) 引直线ι 与曲线 )

交于 A,B 两点 , O 为坐标原点, 当△AOB 的面积取最大值时,

直线ι 的斜率等于(

A. 8. 设 (A) (C) 9.已知圆 (A) 与 相交 ,

B., 若直线 (B) (D) , 过点 (B) 与 相切

C. 与圆

D相切, 则 的取值范围是( )

的直线,则( (C) 与



相离 (D) 以上三个选项均有可能 的位置关系一定是( )

10.对任意的实数 k,直线 y=kx+1 与圆 A.相离 B.相切 C.相交但直线不过圆心 中,圆 C 的方程为

D.相交且直线过圆心 ,若直线 上至少存在一点,使得以该点

11.在平面直角坐标系

为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是. 12.定义:曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值称为曲线 C 到直线 l 的距离.已知曲线 C1:y=x +a 到直线
2

l:y=x 的距离等于 C2:x 2+(y+4) 2 =2 到直线 l:y=x 的距离,则实数 a=______________.

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