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高中数学抛物线


1 抛物线的定义:平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点 F 叫做抛物线的焦点,定直 线 l 叫做抛物线的准线. 2 抛物线的图形和性质: ①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。
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②焦准距: FK ? p ③通径:过焦点垂直于轴的弦长为 2 p 。 ④顶点平分焦点到准线的垂线段: OF ? OK ?

p 。 2

M2

P

C ⑤焦半径为半径的圆:以 P 为圆心、FP 为半径的圆必与准线相切。所有这样的圆过定点 F、 N 准线是公切线。 K o F ⑥焦半径为直径的圆:以焦半径 FP 为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。所有这样 M1 Q 的圆过定点 F、过顶点垂直于轴的直线是公切线。 ⑦焦点弦为直径的圆:以焦点弦 PQ 为直径的圆必与准线相切。所有这样的圆的公切线是准 线。 3 抛物线标准方程的四种形式:
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y 2 ? 2 px,y 2 ? ?2 px, x 2 ? 2 py,x 2 ? ?2 py。
4 抛物线 y 2 ? 2 px 的图像和性质:
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y
①焦点坐标是: ?

?p ? , 0? , ?2 ?
p 。 2

M2

P

②准线方程是: x ? ?

K
M1

o

F Q

x

③焦半径公式:若点 P( x0 , y0 ) 是抛物线 y 2 ? 2 px 上一点,则该点到抛物线的焦点的距离(称为 焦半径)是: PF ? x0 ?

p , 2 p p ? x2 ? ? x1 ? x2 ? p 2 2
2

④焦点弦长公式:过焦点弦长 PQ ? x1 ?
2

y 2 2 ⑤抛物线 y ? 2 px 上的动点可设为 P ( ? , y? ) 或 P(2 pt , 2 pt ) 或 P ( x? , y? )其中y? ? 2 px? 2p
5 一般情况归纳:
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方程

图象 k>0 时开口向右

焦点

准线

定义特征 到焦点(k/4,0)的距离等于 到准线 x= ─k/4 的距离 到焦点(0,k/4)的距离等于 到准线 y= ─k/4 的距离

y2=kx k<0 时开口向左 x2=ky k>0 时开口向上

(k/4,0)

x= ─k/4

(0,k/4) k<0 时开口向下

y= ─k/4

抛物线的定义:
例 1:点 M 与点 F (-4,0)的距离比它到直线 l:x-6=0 的距离 4.2,求点 M 的轨迹方 分析:点 M 到点 F 的距离与到直线 x=4 的距离恰好相等,符合抛物线定义. 2 答案:y =-16x 2 例 2:斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y =4x 的焦点,与抛物线相交于点 A、B,求线段 A、 长. 程.

B的

分析:这是灵活运用抛物线定义的题目.基本思路是:把求弦长 AB 转化为求 A、B 两点到准线距离的和. 2 解:如图 8-3-1,y =4x 的焦点为 F (1,0),则 l 的方程为 y=x-1. 由?

? y 2 ? 4x ?y ? x ?1

消去 y 得 x -6x+1=0.

2

设 A (x1,y1),B (x2,y2) 则 x1+x2=6. 又 A、B 两点到准线的距离为 A? , B? ,则

AA? ? BB? ? ?x1 ? 1? ? ?x2 ? 1? ? ?x1 ? x2 ? ? 2 ? 6 ? 2 ? 8
点评:抛物线的定义本身也是抛物线最本质的性质,在解题中起到至关重要的作用。 2 例 3:(1) 已知抛物线的标准方程是 y =10x,求它的焦点坐标和准线方程; (2) 已知抛物线的焦点是 F (0,3)求它的标准方程; 2 (3) 已知抛物线方程为 y=-mx (m>0)求它的焦点坐标和准线方程; (4) 求经过 P (-4,-2)点的抛物线的标准方程; 分析:这是为掌握抛物线四类标准方程而设计的基础题,解题时首先分清属哪类标准型,再录求 P 值(注意 p>0).特别
2 是(3)题,要先化为标准形式: x ? ?

1 1 y ,则 2 p ? .(4)题满足条件的抛物线有向左和向下开口的两条,因此有两解. m m

答案:(1) F ? ,0 ? , x ? ?

?5 ?2

? ?

5 1 1 ? ? 2 2 2 .(2) x =12y (3) F ? 0,? ;(4) y =-x 或 x =-8y. ?,y? 2 4 m 4 m ? ?

例 4 求满足下列条件的抛物线的标准方程,并求对应抛物线的准线方程: (1)过点(-3,2) ; (2)焦点在直线 x-2y-4=0 上 分析:从方程形式看,求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数 p;从实际分析,一般需确定 p 和确定开口方向两个 条件,否则,应展开相应的讨论 解: (1)设所求的抛物线方程为 y2=-2px 或 x2=2py(p>0) , ∵过点(-3,2) , ∴4=-2p(-3)或 9=2p·2
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∴p=

2 9 或 p= 3 4

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∴所求的抛物线方程为 y2=-

4 9 1 9 x 或 x2= y,前者的准线方程是 x= ,后者的准线方程是 y=- 3 2 3 8
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(2)令 x=0 得 y=-2,令 y=0 得 x=4, ∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2) 当焦点为(4,0)时,

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p =4, 2 p =2, 2
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∴p=8,此时抛物线方程 y2=16x; 焦点为(0,-2)时,

∴p=4,此时抛物线方程为 x2=-8y ∴所求的抛物线的方程为 y2=16x 或 x2=-8y, 对应的准线方程分别是 x=-4,y=2
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常用结论 ① 过抛物线 y2=2px 的焦点 F 的弦 AB 长的最小值为 2p ② 设 A(x1,y), 1B(x2,y2)是抛物线 y2=2px 上的两点, 则 AB 过 F 的充要条件是 y1y2=-p2 ③ 设 A, B 是抛物线 y2=2px 上的两点,O 为原点, 则 OA⊥OB 的充要条件是直线 AB 恒过定点(2p,0) 例 5:过抛物线 y =2px (p>0)的顶点 O 作弦 OA⊥OB,与抛物线分别交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,求证:y1y2=-4p . 分析:由 OA⊥OB,得到 OA、OB 斜率之积等于-1,从而得到 x1、x2,y1、y2 之间的关系.又 A、B 是抛物线上的点,故 (x1,y1)、(x2,y2)满足抛物线方程.从这几个关系式可以得到 y1、y2 的值.
2 2

证:由 OA⊥ OB,得 K OA ? K OB

2 2 y1 y 2 y12 y2 y12 y 2 , x2 ? ,所以: x1 x2 ? ,即 ? ? ? ?1 ,即 y1y2=-x1x2,又 x1 ? x1 x2 2p 2p 4 p2

y1 y 2 ? ?

2 y12 y 2 2 . 而 y1y2≠0.所以 y1y2=-4p . 2 4p

弦的问题 例 1 A,B 是抛物线 y2=2px(p>0)上的两点,满足 OA?OB(O 为坐标原点) 求证:(1)A,B 两点的横坐标之积,纵坐标之积为定 值; (2)直线 AB 经过一个定点 (3)作 OM?AB 于 M,求点 M 的轨迹方程 解:(1)设 A(x1,y1), B(x2,y2), 则 y12=2px1, y22=2px2, ∴y12y22=4p2x1x2, ∵OA?OB, ∴x1x2+y1y2=0, 由此即可解得:x1x2=4p2, y1y2=─4p2 (定值)
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(2)直线 AB 的斜率 k=

y 2 ? y1 y 2 ? y1 2p = 2 = , 2 x2 ? x1 y 2 y1 y1 ? y 2 ? 2p 2p

y12 2p ∴直线 AB 的方程为 y─y1= (x─ ), y1 ? y 2 2p
即 y(y1+y2)─y1y2=2px, 由(1)可得 y= 直线 AB 过定点 C(2p,0)
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2p (x─2p), y1 ? y 2

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(3)解法 1:设 M(x,y), 由(2)知 y=

2p (x─2p) y1 ? y 2

(i),

又 AB?OM, 故两直线的斜率之积为─1, 即
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y 2p · = ─1 x y1 ? y 2

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(ii)

由(i),(ii)得 x2─2px+y2=0 (x?0) 解法 2: 由 OM?AB 知点 M 的轨迹是以原点和点(2p,0)为直径的圆(除去原点) 立即可求出 例 2 定长为 3 的线段 AB 的两个端点在抛物线 y2=x 上移动,AB 的中点为 M,求点 M 到 y 轴的最短距离,并求此时点 M 的坐标
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解:如图,设 A(x1,y1), B(x2,y2),M(x,y), 则 x=

x1 ? x 2 y ? y2 , y= 1 , 2 2

又设点 A,B,M 在准线 l :x=─1/4 上的射影分别为 A/,B/,M/, MM/与 y 轴的交点为 N, 则|AF|=|AA/|=x1+

1 1 ,|BF|=|BB/|=x2+ , 4 4 1 1 1 1 1 5 ∴x= (x1+x2)= (|AF|+|BF|─ )? (|AB|─ )= 2 2 2 2 2 4

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等号在直线 AB 过焦点时成立,此时直线 AB 的方程为 y=k(x─

1 ) 4

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1 ? ? y ? k(x ? ) 由? 4 得 16k2x2─8(k2+2)x+k2=0 ?y2 ? x ?

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依题意|AB|= 1 ? k 2 |x1─x2|= 1 ? k 2 ×

? 1? k 2 = =3, k2 16k 2

8(k 2 ? 2) 5 1 ∴k =1/2, 此时 x= (x1+x2)= = 2 2 ? 16k 2 4
2

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∴y= ±

5 5 2 2 2 即 M( , ), N( ,─ ) 4 2 4 2 2
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例 3 设一动直线过定点 A(2, 0)且与抛物线 y ? x 2 ? 2 相交于 B、C 两点,点 B、C 在 x 轴上的射影分别为 B1 , C1 , P 是线段 BC
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上的点,且适合

BB1 BP ? ,求 ?POA 的重心 Q 的轨迹方程,并说明该轨迹是什么图形 PC CC1

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解析: 设 B( x1 , y1 ), C( x2 , y2 ), P( x0 , y0 ) , Q( x, y)

?

BB1 y BP ? ? 1 ? ? , ? y0 ? PC CC1 y2

y1 ?

y1 ? y2 y2 2 y1 y 2 ? y y1 ? y 2 1? 1 y2

?y ? x2 ? 2 2 2 2 由? 得 y ? (k ? 4k ) y ? 6k ? 0 ? y ? k ( x ? 2)

2 ? 6k 2 12k ? y0 ? 2 ? k ? 4k k ? 4




y0 ? k 代入①式得 y0 ? 4x0 ? 4 x0 ? 2



x ?2 ? x? 0 ? ? x0 ? 3x ? 2 ? 3 由? 得? 代入②式得: 12x ? 3 y ? 4 ? 0 ? y0 ? 3 y ? y ? y0 ? 3 ?
由 ? ? 0 得 k ? 4 ? 2 6 或 k ? 4 ? 2 6 , 又由①式知 y0 关于 k 是减函数且 y0 ? 12

?12 ? 4 6 ? y0 ? 12 ? 4 6 ,

4?

4 6 4 6 ? y ? 4? 且y?4 3 3

所以 Q 点轨迹为一线段(抠去一点): (4?

12x ? 3 y ? 4 ? 0

4 6 4 6 ? y ? 4? 且y?4) 3 3
2

例 4 已知抛物线 y ? 2 px,( p ? 0) ,焦点为 F,一直线 l 与抛物线交于 A、 B 两点,且 AF ? BF ? 8 ,且 AB 的垂直平分线恒过定 点 S(6, 0) ①求抛物线方程; ②求 ?ABS 面积的最大值
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解: ①设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) , AB 中点 M ( x0 , y0 )

由 AF ? BF ? 8 得 x1 ? x 2 ? p ? 8,? x0 ? 4 ? 又?

p 2

2 ? p ? y1 ? 2 px1 2 2 得 y1 ? y 2 ? 2 p ( x1 ? x 2 ),? y 0 ? 2 k ? ? y 2 ? 2 px2

p p 所以 M ( 4 ? , ) 依题意 2 k
抛物线方程为 y 2 ? 8x ②由 M (2, y0 ) 及 k l ? 令 y ? 0 得 xK ? 2 ?

p k ? k ? ?1 , ? p ? 4 p 4? ?6 2

4 4 , l AB : y ? y 0 ? ( x ? 2) y0 y0

1 2 y0 4

又由 y 2 ? 8x 和 l AB : y ? y 0 ?

4 2 ( x ? 2) 得: y 2 ? 2 y0 y ? 2 y0 ? 16 ? 0 y0

? S ?ABS ?

1 1 1 2 2 2 ? KS ? y 2 ? y1 ? (4 ? y 0 ) 4 y0 ? 4(2 y 0 ? 16) 2 2 4

? S ?ABS ?

1 4 2

2 2 (16 ? y0 )(32 ? 2 y0 )?

2 64 3 64 ( ) ? 6 8 3 9

例 5 定长为 3 的线段 AB 的两个端点在抛物线 y2=x 上移动,AB 的中点为 M,求点 M 到 y 轴的最短距离,并求此时点 M 的坐标
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解:如图,设 A(x1,y1), B(x2,y2),M(x,y), 则 x=

x1 ? x 2 y ? y2 , y= 1 , 2 2

又设点 A,B,M 在准线 l :x=─1/4 上的射影分别为 A/,B/,M/, MM/与 y 轴的交点为 N, 则|AF|=|AA/|=x1+

1 1 ,|BF|=|BB/|=x2+ , 4 4 1 1 1 1 1 5 ∴x= (x1+x2)= (|AF|+|BF|─ )? (|AB|─ )= 2 2 2 2 2 4

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1 ) 4

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1 ? ? y ? k(x ? ) 由? 4 得 16k2x2─8(k2+2)x+k2=0 ?y2 ? x ?
依题意|AB|= 1 ? k |x1─x2|= 1 ? k ×
2 2

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? 1? k 2 = =3, k2 16k 2

8(k 2 ? 2) 5 1 ∴k =1/2, 此时 x= (x1+x2)= = 2 2 ? 16k 2 4
2

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∴y= ±

5 5 2 2 2 即 M( , ), N( ,─ ) 4 2 4 2 2
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综合类(几何)
例 1 过抛物线焦点的一条直线与它交于两点 P、Q,通过点 P 和抛物线顶点的直线交准线于点 M,如何证明直线 MQ 平行于抛物线的对称轴?
2 解:思路一:求出 M、Q 的纵坐标并进行比较,如果相等,则 MQ//x 轴,为此,将方程 y ? 2 px , y ? k ( x ?

p ) 联立, 2

解出

p( k 2 ? 1 ? 1) 2 p(1 ? k 2 ? 1) p( k 2 ? 1 ? 1) 2 p(1 ? k 2 ? 1) P( , ), Q( , ) k k 2k 2 2k 2
直线 OP 的方程为 y ?

2k (1 ? k 2 ? 1) ( k 2 ? 1 ? 1) 2

? 2(1 ? k 2 ? 1) x, 即 y ? x. k

令x??

p(1 ? k 2 ? 1) p ,得 M 点纵坐标 yM ? ? yQ 得证. 2 k

由此可见,按这一思路去证,运算较为繁琐. 思路二:利用命题“如果过抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点的一条直线和这条抛物线相交,两上交点的纵坐标为 y1 、 y2 ,那 么 y1 y2 ? ? p 2 ”来证. 设 P( x1 , y1 ) 、 Q( x2 , y2 ) 、 M ( x3 , y3 ) ,并从 y 2 ? 2 px 及 y ? k ( x ?

p ) 中消去 x,得到 ky2 ? 2 py ? kp2 ? 0 ,则有结论 2

y1 y2 ? ? p 2 ,即 y2 ?

? p2 . y1

又直线 OP 的方程为 y ?

? py1 p y1 . x , x ? ? ,得 y3 ? 2 2 x1 x1
y1 . p
2

因为 P( x1 , y1 ) 在抛物线上,所以 2 x1 ?

从而 y3 ?

py1 p p2 ? (? py1 ) ? 2 ? ? ? y2 . 2 x1 y1 y1
2

这一证法运算较小. 思路三:直线 MQ 的方程为 y ? yo 的充要条件是 M (?

y p , y0 ),Q( 0 , y0 ) . 2 2p

将直线 MO 的方程 y ? ?

2 py 2 y0 p 和直线 QF 的方程 y ? 2 0 2 ( x ? ) 联立, 它的解 (x ,y) 就是点 P 的坐标, 消去 yo 的 p 2 yo ? p

充要条件是点 P 在抛物线上,得证.这一证法巧用了充要条件来进行逆向思维,运算量也较小. 说明:本题中过抛物线焦点的直线与 x 轴垂直时(即斜率不存在) ,容易证明成立. 例 2 已知过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两点,点 R 是含抛物线顶点 O 的弧 AB
2

上一点,求△RAB 的最大面积. 分析:求 RAB 的最大面积,因过焦点且斜率为 1 的弦长为定值,故可以 AB 为三角形的底,只要确定高的最大值即可. 解:设 AB 所在的直线方程为 y ? x ?

p . 2

将其代入抛物线方程 y 2 ? 2 px ,消去 x 得 y 2 ? 2 py ? p 2 ? 0

? AB ? 2 y1 ? y2 ? 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ? 4 p
当过 R 的直线 l 平行于 AB 且与抛物线相切时,△RAB 的面积有最大值. 设直线 l 方程为 y ? x ? b .代入抛物线方程得 y 2 ? 2 py ? 2 pb ? 0 由 ? ? 4 p 2 ? 8 pb ? 0, 得 b ? ∴△RAB 的最大面积为

p p 2 ,这时 R ( , p ) .它到 AB 的距离为 h ? p 2 2 2

1 AB ? h ? 2 p 2 . 2

例 3 直线 l1 过点 M (?1,0) ,与抛物线 y2 ? 4 x 交于 P 1、P 2 两点,P 是线段 P 1 P 2 的中点,直线 l 2 过 P 和抛物线的焦点 F,设直线 l1 的斜率为 k. (1)将直线 l 2 的斜率与直线 l1 的斜率之比表示为 k 的函数 f ( k ) ; (2)求出 f ( k ) 的定义域及单调区间. 分析: l 2 过点 P 及 F,利用两点的斜率公式,可将 l 2 的斜率用 k 表示出来,从而写出 f ( k ) ,由函数 f ( k ) 的特点求得其 定义域及单调区间. 解: (1)设 l1 的方程为: y ? k ( x ? 1) ,将它代入方程 y 2 ? 4 x ,得

k 2 x 2 ? (2k 2 ? 4) x ? k 2 ? 0
设P 1 ( x1 , y1 )、P 2 ( x2 , y2 )、P( x, y) ,则 x1 ? x2 ?

4 ? 2k 2 2? k2 , x ? k2 k2

将x?

2? k2 2? k2 2 2 y ? ( , ). 代入 得: ,即 P 点坐标为 y ? k ( x ? 1 ) k k2 k2 k

2 k 2 k 由 y ? 4 x ,知焦点 F (1,0) ,∴直线 l 2 的斜率 k 2 ? ? 2 2?k 1? k 2 ?1 k2
∴函数 f ( k ) ?

1 . 1? k 2

2 2 4 (2)∵ l 2 与抛物线有两上交点,∴ k ? 0 且 ? ? (2k ? 4) ? 4k ? 0

解得 ? 1 ? k ? 0 或 0 ? k ? 1 ∴函数 f ? (k ) 的定义域为 k ?1 ? k ? 0或0 ? k ? 1 当 k ? (?1,0) 时, f ( k ) 为增函数. 例 4 如图所示:直线 l 过抛物线 y ? 2 px 的焦点,并且与这抛物线相交于 A、B 两点,求证:
2

?

?

对于这抛物线的任何给定的一条弦 CD,直线 l 不是 CD 的垂直平分线. 分析:本题所要证的命题结论是否定形式,一方面可根据垂直且平分列方程得矛盾结论; 别一方面也可以根据 l 上任一点到 C、D 距离相等来得矛盾结论.

证法一:假设直线 l 是抛物线的弦 CD 的垂直平方线,因为直线 l 与抛物线交于 A、B 两点,所以直线 l 的斜率存在,且 不为零;直线 CD 的斜率存在,且不为 0.
2 设 C、D 的坐标分别为 (2 pt12 ,2 pt1 ) 与 (2 pt2 ,2 pt2 ) .则 kCD ?

1 t1 ? t 2

∴l 的方程为 y ? ?(t1 ? t 2 ) ? ( x ? ∵直线 l 平分弦 CD

p ) 2

2 2 ∴CD 的中点 ( p(t1 ? t2 ), p(t1 ? t 2 )) 在直线 l 上,
2 2 即 p (t1 ? t 2 ) ? ?(t1 ? t 2 )[ p (t1 ? t 2 ) ? 2 2 由 p(t1 ? t2 ) ? 0 知 t1 ? t 2 ?

p 1 2 ] ,化简得: p (t1 ? t 2 )( t12 ? t 2 ? )?0 2 2

1 ? 0 得到矛盾,所以直线 l 不可能是抛物线的弦 CD 的垂直平分线. 2

证法二:假设直线 l 是弦 CD 的垂直平分线 ∵焦点 F 在直线 l 上,∴ CF ? DF 由抛物线定义, C ( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ) 到抛物线的准线 x ? ? ∵ x1 ? x2 , y1 ? ? y2 , ∴CD 的垂直平分线 l: y ? 0 与直线 l 和抛物线有两上交点矛盾,下略. 例 5 设过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的顶点 O 的两弦 OA、OB 互相垂直,求抛物线顶点 O 在 AB 上射影 N 的轨迹方程. 分析:求与抛物线有关的轨迹方程,可先把 N 看成定点 ( x0 , y0 ) ;待求得 x0、y0 的关系后再用动点坐标 ( x,y ) 来表示, 也可结合几何知识,通过巧妙替换,简化运算. 解法一:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), N ( x0 , y0 ), 则: y1 ? 2 px1 , y2 ? 2 px2 ,? x1 x2 ?
2 2

p 的距离相等. 2

2 y12 ? y2 4 p2

? OA ? OB ,? kOA ? kOB ? ?1 即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0

?

2 y12 y2 ? y1 y2 ? 0 4 p2

? y1 y2 ? 0 ,? y1 y2 ? ?4 p 2
把 N 点看作定点,则 AB 所在的直线方程为: y ? y0 ? ?
2



x0 ( x ? x0 ), 显然 x0 ? 0 y0

y y ? ( x ? y0 ) 2 2 2 代入 y ? 2 px, 化简整理得: x0 y 2 ? 2 py0 y ? 2 p( x0 ? y0 )?0 ?x ? 0 ? x0

? x0 ? 0 ,? y1 y2 ?

2 2 ? 2 p( x0 ? y0 ) x0



由①、②得: ? 4 p ?
2

2 2 ? 2 p( x0 ? y0 ) 2 2 ,化简得 x0 ? y0 ? 2 px0 ? 0( x0 ? 0) x0

用 x、y 分别表示 x0、y0 得: x 2 ? y 2 ? 2 px ? 0( x ? 0) 解法二:点 N 在以 OA、OB 为直径的两圆的交点(非原点)的轨迹上,设 A(2 pt2 ,2 pt) ,则以 OA 为直径的圆方程为:

( x ? pt2 )2 ? ( y ? pt)2 ? p 2 (t 4 ? t 2 ) x 2 ? y 2 ? 2 pt2 ? 2 pty ? 0
2



设 B(2 pt1 ,2 pt1 ) ,OA⊥OB,则 t1t ? ?1 ? t1 ? ? 在求以 OB 为直径的圆方程时以 ? 代 t1 ,可得

1 t

1 t

t 2 ( x 2 ? y 2 ) ? 2 px ? 2 pty ? 0
由①+②得: (1 ? t 2 )(x 2 ? y 2 ? 2 px) ? 0



? x 2 ? y 2 ? 2 px ? 0( x ? 0)
例 6 如图所示,直线 l1 和 l 2 相交于点 M, l1 ⊥ l 2 ,点 N ? l1 ,以 A、B 为端点的曲线段 C 上的任一点到 l 2 的距离与到点 N 的距离相等,若△AMN 为锐角三角形, AM ?

7 , AN ? 3 ,且 BN ? 6 ,建立适当的坐标系,求曲线段 C 的方程.

分析:因为曲线段 C 上的任一点是以点 N 为焦点,以 l 2 为准线的抛物线的一段,所以本题关键是建立适当坐标系,确 定 C 所满足的抛物线方程. 解:以 l1 为 x 轴,MN 的中点为坐标原点 O,建立直角坐标 系.

由题意,曲线段 C 是 N 为焦点,以 l 2 为准线的抛物线的一 的两端点. ∴ 设 曲 线 段 C 满 足 的 抛 物 线 方 程 为 :

段,其中 A、B 分别为曲线段

y 2 ? 2 px( p ? 0)(xA ? x ? xB , y ? 0), 其中 x A 、 xB 为 A、B 的横坐标
令 MN ? p, 则 M ( ?

p p ,0), N ( ,0) ,? AM ? 17, AN ? 3 2 2

? (x ? ? ? A ∴由两点间的距离公式,得方程组: ? ?( x ? A ? ?
?p ? 4 ?p ? 2 或? ? xA ? 1 ?xA ? 2

p 2 ) ? 2 pxA ? 17 2 p 2 ) ? 2 pxA ? 9 2

解得 ?

∵△AMN 为锐角三角形,∴

p ? x A ,则 p ? 4 , xA ? 1 2

又 B 在曲线段 C 上,? xB ? BN ?

p ? 6?2 ? 4 2

则曲线段 C 的方程为 y 2 ? 8x(1 ? x ? 4, y ? 0).

例 7 如图所示, 设抛物线 y 2 ? 2 px(0 ? p ? 1) 与圆 ( x ? 5) 2 ? y 2 ? 9 在 x 轴上方的交点为 A、 B, 与圆 ( x ? 6) 2 ? y 2 ? 27 在 x 由上方的交点为 C、D,P 为 AB 中点,Q 为 CD 的中点. (1)求 PQ . (2)求△ABQ 面积的最大值.

分析:由于 P、Q 均为弦 AB、CD 的中点,故可用韦达定理表示出 P、Q 两点坐标,由两点距离公式即可求出 PQ .

解: (1)设 A( xA , y A ), B( xB , yB ),C( xC , yC ), D( xD , yD ), P( x1 , y1 ),Q( x2 , y2 )
2 2 ? ?( x ? 5) ? y ? 9 得: x 2 ? 2(5 ? p) x ? 16 ? 0 , 2 ? ? y ? 2 px

由?

? x1 ?

x A ? xB ? 5? P 2

y1 ?

2p y A ? yB ? ( x A ? xB ) 2 2 2p ? x A ? xB ? 2 x A xB 2 2p ? 2(5 ? p ) ? 8 2 ? 9 p ? p2

2 2 ? ?( x ? 6) ? y ? 27 2 由? 2 得 x ? 2(6 ? p) x ? 9 ? 0 , ? ? y ? 2 px

? x2 ?

xC ? xD ? 6? p 2

y2 ?

2p yC ? yD ? ( xC ? xD ) 2 2

2 同 y1 类似, y2 ? 9 p ? p

则 x1 ? x2 ? 1, y1 ? y2 ? 0 ,? PQ ? 1

(2) S ?ABQ ? S ?APQ ? S ?BPQ ?

1 PQ ? y A ? y B ? 2

2P 2

x A ? xB

?

2P 10 ? 2 p ? 8 ? 2

p(1 ? p)

? 0 ? p ? 1 ,∴当 p ?
例 8

1 1 时, S ?ABQ 取最大值 . 2 2

已知直线 l 过原点,抛物线 C 的顶点在原点,焦点在 x 轴的正半轴上,且点 A(?1 , 0) 和点 B(0 , 8) 关于直线 l 的

对称点都在 C 上,求直线 l 和抛物线 C 的方程. 分析:设出直线 l 和抛物线 C 的方程,由点 A 、 B 关于直线 l 对称,求出对称点的坐标,分别代入抛物线方程.或设

?B'Ox ? ? ,利用对称的几何性质和三角函数知识求解.
解法一:设抛物线 C 的方程为 y 2 ? 2 px ( p ? 0) ,直线 l 的方程为 y ? kx (k ? 0) , 则有点 A(?1 , 0) ,点 B(0 , 8) 关于直线 l 的对称点为 A' ( x1 , y1 ) 、 B ' ( x2 , y2 ) ,

x1 ? 1 ? y1 ? k 2 ?1 ? k ? , x ? , ? ? 2 ?2 ? 1 k 2 ?1 则有 ? 解得 ? ? y1 ? k ? ?1, ? y ? ? 2k ; 1 ? ? x ? 1 k 2 ?1 ? ? 1 x2 16k ? y2 ? 8 ? ? k ? , x2 ? 2 , ? ? 2 ? 2 ? k ?1 解得 ? ? y ?8 2 ? 2 ? y ? 8(k ? 1) . ? k ? ?1, ? 2 ? k 2 ?1 ? ? x2
如图, A 、 B 在抛物线上
' '

? 4k 2 k 2 ?1 ? 2p? 2 , ? 2 2 k ?1 ? (k ? 1) ∴? 2 2 ? 64(k ? 1) ? 2 p ? 16k . 2 2 ? k 2 ?1 ? (k ? 1)
2 两式相除,消去 p ,整理,得 k ? k ? 1 ? 0 ,故 k ?

1? 5 , 2

由 p ? 0 , k ? 0 ,得 k ?

1? 5 1? 5 2 5 .把 k ? 代入,得 p ? . 2 2 5

∴直线 l 的方程为 y ?

4 5 1? 5 x. x ,抛物线 C 的方程为 y 2 ? 5 2
' '

解法二:设点 A 、 B 关于 l 的对称点为 A ( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) ,

' ' 又设 ?B 'Ox ? ? ,依题意,有 OA ? OA ? 1 , OB ? OB ? 8 .

故 x2 ? 8 cos? , y2 ? 8 sin ? . 由 ?BOA ? 90? ,知 ?B 'OA' ? 90? . ∴ x1 ? cos(? ? 90?) ? sin ? , y1 ? sin(? ? 90?) ? ? cos? . 又 x1 ? 0 , x2 ? 0 ,故 ? 为第一象限的角. ∴ A' (sin? , ? cos? ) 、 B' (8 cos? , 8 sin ? ) . 将 A 、 B 的坐标代入抛物线方程,得 ?
' '

2 ? ?cos ? ? 2 p sin ? , 2 ? ?64sin ? ? 16 p cos? .

3 3 ∴ 8 sin ? ? cos ? ,即 tan ? ?

1 5 2 5 从而 sin ? ? , cos? ? , 2 5 5

∴p?

4 5 2 5 ,得抛物线 C 的方程为 y 2 ? x. 5 5
90? ? ? ? ? ? 45? . 2 2

' 又直线 l 平分 ?B OB ,得 l 的倾斜角为 ? ?

∴ k ? tan( ? 45?) ?

?

2

sin(? ? 90?) cos? 1? 5 . ? ? 1 ? cos(? ? 90?) 1 ? sin ? 2

∴直线 l 的方程为 y ?

1? 5 x. 2

说明: (1)本题属于点关于直线的对称问题.解法一是解对称点问题的基本方法,它的思路明确,但运算量大,若不仔细、沉 着,难于解得正确结果.解法二是利用对称图形的性质来解,它的技巧性较强,一时难于想到. (2)本题是用待定系数法求直线的方程和抛物线方程.在已知曲线的类型求曲线方程时,这种方法是最常规方法,需要 重点掌握. 例9 如图, 正方形 ABCD 的边 AB 在直线 l:y ? x ? 4 上,C 、D 两点在抛物线 y ? x 上, 求正方形 ABCD 的面积.
2

分析:本题考查抛物线的概念及其位置关系,方程和方程组的解法和数形结合的思想方法,以及分析问题、解决问题 的能力. 解:∵直线 AB:y ? x ? 4 , AB // CD ,∴设 CD 的方程为 y ? x ? b ,且 C ( x1 , y1 ) 、 D( x2 , y2 ) . 由方程组 ?

?y2 ? x 2 ,消去 x ,得 y ? y ? b ? 0 ,于是 y ? x ? b ?

y1 ? y2 ? 1 , y1 y2 ? b ,∴ CD ? 1 ?
∴ CD ?

1 y1 ? y2 (其中 k ? 1 ) k2

2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ? 2(1 ? 4b) .

由已知, ABCD 为正方形, CD ? AD , ∴ CD 可视为平行直线 AB 与 CD 间的距离,则有

CD ?

4?b 2

,于是得 2(1 ? 4b) ?

4?b 2



两边平方后,整理得, b 2 ? 8b ? 12 ? 0 ,∴ b ? ?6 或 b ? ?2 . 当 b ? ?6 时,正方形 ABCD 的面积 S ? CD ? 2(1 ? 24) ? 50 . 当 b ? ?2 时,正方形 ABCD 的面积 S ? CD ? 2(1 ? 8) ? 18 . ∴正方形 ABCD 的面积为 18 或 50. 说明:运用方程(组)的思想和方法求某些几何量的值是解析几何中最基本的、贯穿始终的方法,本题应充分考虑正 方形这一条件.
4 例 10 设有一颗彗星围绕地球沿一抛物线轨道运行, 地球恰好位于抛物线轨道的焦点处, 当此彗星离地球为 d ?10 km
2 2

时,经过地球与彗星的直线与抛物线的轴的夹角为 30 ? ,求这彗星与地球的最短距离. 分析:利用抛物线有关性质求解. 解:如图,设彗星轨道方程为 y 2 ? 2 px , p ? 0 ,焦点为 F ( 彗星位于点 P( x0 , y0 ) 处.直线 PF 的方程为 y ?

p , 0) , 2

3 p (x ? ) . 3 2

? y 2 ? 2 px, (7 ? 4 3 ) p ? 解方程组 ? , 3 p 得x? 2 ( x ? ), ?y ? 3 2 ?
故 x0 ?

(7 ? 4 3 ) p . 2 2 3 p 2 3 (7 ? 4 3 ) p p | x0 ? |? | ? |? (4 ? 2 3 ) p . 3 2 3 2 2 2? 3 d. 2

PF ?

故 (4 ? 2 3) p ? d ,得 p ?

由于顶点为抛物线上到焦点距离最近的点,所以顶点是抛物线上到焦点距离最近的点.焦点到抛物线顶点的距离为

p 2? 3 2? 3 2? 3 ( P 点在 F 点的左边与右边时,所 ? d ,所以彗星与地球的最短距离为 d ?104 km 或 d ?104 km , 2 4 4 4
求距离取不同的值) . 说明: (1)此题结论有两个,不要漏解; (2) 本题用到抛物线一个重要结论:顶点为抛物线上的点到焦点距离最近的点,其证明如下:设 P( x0 , y0 ) 为抛物线

y 2 ? 2 px 上一点,焦点为 F (

p p p p , 0) ,准线方程为 x ? ? ,依抛物线定义,有 PF ? ? x0 ? ( x0 ? 0) ,当 x0 ? 0 时, 2 2 2 2

PF 最小,故抛物线上到焦点距离最近的点是抛物线的顶点.
例 11 如图,抛物线顶点在原点,圆 x 2 ? y 2 ? 4 x 的圆心是抛物线的焦点,直线 l 过抛物线的焦点,且斜率为 2,直线

l 交抛物线与圆依次为 A 、 B 、 C 、 D 四点,求 AB ? CD 的值.

分析:本题考查抛物线的定义,圆的概念和性质,以及分析问题与解决问题的能力,本题的关键是把 AB ? CD 转化 为直线被圆锥曲线所截得的弦长问题. 解:由圆的方程 x 2 ? y 2 ? 4 x ,即 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 可知,圆心为 F (2 , 0) ,半径为 2,又由抛物线焦点为已知圆的圆 心,得到抛物线焦点为 F (2 , 0) ,设抛物线方程为 y ? 8x ,
2

AB ? CD ? AD ? BC
∵ BC 为已知圆的直径,∴ BC ? 4 ,则 AB ? CD ? AD ? 4 . 设 A( x1 , y1 ) 、 D( x2 , y2 ) ,∵ AD ? AF ? FD ,而 A 、 D 在抛物线上, 由已知可知,直线 l 方程为 y ? 2( x ? 2) ,于是,由方程组

? y 2 ? 8, 2 消去 y ,得 x ? 6 x ? 4 ? 0 ,∴ x1 ? x2 ? 6 . ? y ? 2 ( x ? 2 ). ?
∴ AD ? 6 ? 4 ? 10 ,因此, AB ? CD ? 10 ? 4 ? 6 . 说明:本题如果分别求 AB 与 CD 则很麻烦,因此把 AB ? CD 转化成 AD ? BC ? AD ? 4 是关键所在,在求 AD 时,又巧妙地运用了抛物线的定义,从而避免了一些繁杂的运算. 11.已知抛物线 y2=2px(p>0),过焦点 F 的弦的倾斜角为θ (θ ≠0),且与抛物线相交于 A、B 两点. (1)求证:|AB|=

2p ; sin 2 ? p ,0). 2

(2)求|AB|的最小值. (1)证明:如右图,焦点 F 的坐标为 F(

设过焦点、倾斜角为θ 的直线方程为 y=tanθ · (x-

p ),与抛物线方程联立,消去 y 并整理,得 2

tan2θ ·x2-(2p+ptan2θ )x+

p 2 ? tan2 ? =0. 4 2 p ? p tan2 ? . tan2 ?

此方程的两根应为交点 A、B 的横坐标,根据韦达定理,有 x1+x2= 设 A、 B 到抛物线的准线 x=(2)解析:因|AB|= 所以,当θ =

p 2p 的距离分别为|AQ|和|BN|, 根据抛物线的定义, 有|AB|=|AF|+|FB|=|AQ|+|BN|=x1+x2+p= . 2 sin 2 ?

? 时,|AB|有最小值 2p. 2

2p 的定义域是 0<θ <π ,又 sin2θ ≤1, sin 2 ?

12.已知抛物线 y2=2px(p>0)的一条焦点弦 AB 被焦点 F 分成 m、n 两部分,求证: 线,你能得到什么结论? 解析: (1)当 AB⊥x 轴时,m=n=p, ∴

1 1 ? 为定值,本题若推广到椭圆、双曲 m n

1 1 2 ? = . m n p p ), 2

(2)当 AB 不垂直于 x 轴时,设 AB:y=k(xA(x1,y1),B(x2,y2),|AF|=m,|BF|=n, ∴m=

p p +x1,n= +x2. 2 2

将 AB 方程代入抛物线方程,得

k 2 p2 k x -(k p+2p)x+ =0, 4
2 2 2

? k2 p ? 2p x ? x ? , 2 ? 2 ? 1 k ∴? ?x ? x ? p2 . 1 2 ? 4 ?


1 1 m?n ? = m n mn

=

x1 ? x 2 ? p 2 ? . 2 p p p x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 2 4
1 1 2 ? = (e 是椭圆的离心率) ;若推广到双曲线,则要求弦 AB 与双曲线交于同一支,此时, m n ep

本题若推广到椭圆,则有

同样有

1 1 2 ? = (e 为双曲线的离心率). m n ep

14.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点 M(1,-3) 、N(5,1) ,若点 C 满足 OC =? t OM +(1-t) ON (t∈R),点 C 的轨迹与抛物线 y2=4x 交于 A、B 两点. (1)求证: OA ⊥ OB ; (2)在 x 轴上是否存在一点 P(m,0) ,使得过点 P 任作抛物线的一条弦,并以该弦为直径的圆都过原点.若存在,请求出 m 的 值及圆心的轨迹方程;若不存在,请说明理由. (1) 证明: 由 OC =t OM +(1-t) ON (t∈R)知点 C 的轨迹是 M、 N 两点所在的直线, 故点 C 的轨迹方程是: y+3= 即 y=x-4. 由?

1 ? ( ?3) · (x-1), 4

? y ? x ? 4, ? y ? 4 x,
2

? (x-4)2=4x ? x2-12x+16=0.

∴x1x2=16,x1+x2=12, ∴y1y2=(x1-4)(x2-4)=x1x2-4(x1+x2)+16=-16. ∴x1x2+y1y2=0.故 OA ⊥ OB . (2)解析:存在点 P(4,0) ,使得过点 P 任作抛物线的一条弦,以该弦为直径的圆都过原点. 由题意知:弦所在的直线的斜率不为零, 故设弦所在的直线方程为:x=ky+4,代入 y2=x,得 y2-4ky-16=0, ∴y1+y2=4k,y1y2=-16. kOA·kOB=

y1 y 2 y y 16 16 ? ? 12 ? 22 ? ? =-1. x1 x 2 y1 y 2 ? 16 y1 y2 4 4

∴OA⊥OB,故以 AB 为直径的圆都过原点. 设弦 AB 的中点为 M(x,y), 则 x=

1 1 (x1+x2),y= (y1+y2). 2 2

x1+x2=ky1+4+ky2+4=k(y1+y2)+8=k·(4k)+8=4k2+8. ∴弦 AB 的中点 M 的轨迹方程为: ?

? x ? 2k 2 ? 4, 消去 k,得 y2=2x-8. ? y ? 2k ,


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高二数学抛物线复习

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高中数学抛物线最值问题

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抛物线知识点归纳总结

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高中数学必修2-1抛物线教学讲义(精品)

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高中数学选修2-1抛物线练习

高中数学选修2-1抛物线练习_数学_高中教育_教育专区。例 1、(1)抛物线 C:y2=4x 上一点 P 到点 A(3,4 2 )与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为 _...


高中数学-公式-抛物线

高中数学-公式-抛物线_数学_高中教育_教育专区。抛物线 1、抛物线的标准方程的四种形式: p p ,0) 准线方程是 x=2 2 p p y 2 ? ?2 px( p ? 0) 焦点...


抛物线知识点

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高中数学抛物线及其标准方程教学案

(3,2)的抛物线的标准方程 2 剑门关高中高二数学公开课教学案 授课人:白成栋 变式:1、根据下列条件写出抛物线的标准方程: (1) 焦点坐标是(3,0);⑵ 准线...

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