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高中数学必修4 课件第三章 3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(新人教A版)


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3.1.2两角和与差的正弦、余弦、 3.1.2两角和与差的正弦、余弦、 两角和与差的正弦 正切公式

一、复习:

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cos(α ? β ) = cosα cosβ + sinα sinβ
简记: (α ? β ) C

两角差的余弦公式

同名积,符号反。 同名积,符号反。

cos( + β) = ? α

二、公式的推导

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cos( + β ) = cos[α ? (? β )] α = cos α cos(? β ) + sinα sin( β) ?

用? β代 β

= cos cos ?sin sinβ α β α

两角和的余弦公式

cos(α + β ) = cosα cos β ? sin α sin β
简记:C( α + β )

二、公式的推导

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sin (α ? β )
= cos[

π
2

? (α ? β )]

?? π ? ? = cos ?? ? α ? + β ? ? ?? 2 ?

?π ? π = cos? ? α ? cos β ? sin( ?α)sin β ?2 ? 2

= sin α cos β ? cos α sin β

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sin(α ?β) =sinαcosβ ?cosαsinβ
用? β代β

sin(+β)=sin[?(?β)]=sin cos(β)?cos sin(β) α α α ? α ?

sin(α + β) = sinα cos β + cosα sin β

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两角和与差的正弦公式
1、两角和的正弦公式 、

sin(α + β ) = sin α cos β + cos α sin β
简记: 简记:S(α +β ) 2、两角差的正弦公式 、

sin(α ? β ) = sin α cos β ? cos α sin β
简记: 简记:S(α ?β )

异名积,符号同。 异名积,符号同。

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两角和的正切公式:

tan(α

sin(α+β) sin(α+β) +β + β) = cos(α+β +β) cos(α+β)
sinαcosβ+ cosαsinβ sinαcosβ+ cosαsinβ cosβ = cosαcosβ sinαsinβ cosβcosαcosβ- sinαsinβ

分子分母同时除以 cos α cos β 当 cos α cos β ≠ 0时,
+tanβ tanα +β)= tan(α )= +β 记:T(α + β ) 1-tanαtanβ 1-tanαtanβ

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tanα+ tanα+ tanβ tan(α+β +β)= tan(α+β)= tanαtanβ 1 - tanαtanβ
上式中以?β代β得 上式中以?β代 ?β
tan α + tan(? β ) tanαtanα- tanβ tan[α + (? β )] = = 1 ? tan α tan(? β ) 1+ tanαtanβ tanαtanβ

-tanβ tanα -β)= ∴tan(α )= -β 记T(α - β ) 1+tanαtanβ 1+tanαtanβ

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两角和与差的正切公式
tanα+ tanβ tan(α+β )= 1 - tan α tanβ
t a n α- t a n β t a n ( α -β ) = 1+ tanα tanβ

记 : T(α + β )
记 : T( α - β )

注意:1°必须在定义域范围内使用上述公式。
即:tanα,tanβ,tan(α±β)只要有一个不存 在就不能使用这个公式,只能(也只需)用诱 π 导公式来解。如:已知tan α =2,求 tan( ? α ) 不 2 能用 T 2°注意公式的结构,尤其是符号。
(α ? β )

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cos(α ? β ) = cosα cos β +sin α sin β + cos(α +β) = cosα cos β ? sin α sin β +

sin(α + β) = sinα cos β + cosα sin β sin(α ? β) = sinα cos β ?cosα sin β
同名积,符号反。 同名积,符号反。 异名积,符号同。 异名积,符号同。

tanα- tanβ tan(α-β )= 1 + tan α tanβ

+ tanα tanβ tan(α β)= + 1- tanαtanβ

三、公式应用

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3 π 例1:已知sin a = ? ,α是第四象限的角,求sin( ?α), 5 4 cos( +α),tan(α ? )的值。 4 4
变式 cos( 1 :已知 sin α = ?

π

π

π
4

+ α ) 、tan( α ?

π
4

3 ,求 5 ) 的值

sin(

π
4

? α )、

12 π π 变式2:已知cos(α ? ) = , < α < ,求 sin α的值 4 13 4 2

π

练习: 3 π 1,已知cosθ= ? 5 ,θ ∈( 2,π), 4 ? 3 3 cosθ π 10 sin(θ+ 3 )的值。 的值。 的值 求 12 ,θ是第三象限角, 2,已知sinθ=? 13 是第三象限角, sinθ 12 ? 5 3 π +θ)的值。 求cos( 6 的值。 的值
π 3,已知tan =3,求tan( + 4 α 3,求 α

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26

)的值。 )的值。 -2 的值

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转化贯穿始终,换元灵活运用 1.公式推导(转化贯穿始终 换元灵活运用 公式推导 转化贯穿始终 换元灵活运用)



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C

S (α-β)

诱导 公式

C (α+β)
弦切关系

换元

诱导 (α-β) 公式

S (α+β)

弦切关系

T (α-β) 2. 余弦: 同名积 余弦:

T (α+β)

符号反 正弦: 正弦: 异名积 符号同 正切: 符号上同 下不同 正切: 3. 公式应用: 公式应用:

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作 业
课本P137 习题3.1
5,6,7,8,9,10

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4 3 例2:已知α、β是锐角,且 sin α = , 7 11 cos(α + β ) = ? ,求 sin β的值 14

二、公式的推导

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sin (α + β )
?π ? = cos ? ? (α + β ) ? ?2 ?

?? π ? ? = cos?? ? α ? ? β ? ? ?? 2 ?

?π ? ?π ? = cos? ? α ? cos β + sin ? ? α ? sin β ?2 ? ?2 ?

= sin α cos β + cos α sin β

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?π ? = cos ? ? (α + β )? ?2 ?

sin (α + β )

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?π ? ?π ? = cos? ? α ? cos β + sin ? ? α ? sin β ?2 ? ?2 ?

?? π ? ? = co s?? ? α ? ? β ? ? ?? 2 ?

= sin α cos β + cos α sin β

用 ? β 代β
sin(α ? β ) = sin α cos β ? cos α sin β
sin(α ? β) = sin[α ? (?β)] = sinα cos(?β) + cosα sin(?β)

三、公式应用

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3 π 例1:已知 sin a = ? , α 是第四象限的角,求 sin( ? α ), 5 4

3 解 : 由 sin α =- , α 是 第 四 象 限 的 角 得 5 4 2 3 2 cos α = 1 ? sin α = 1 ? (? 5 ) = 5 sin α 3 所 以 tan α = = ? co s α 4
于是有 sin(

cos( + α ), tan(α ? )的值。 4 4

π

π

π
4

? α ) = sin

π
4

co s α ? co s

π
4

sin α

2 4 2 3 7 2 = × ? × (? ) = 2 5 2 5 10

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cos(

π
4

+ α ) = cos

π
4

cos α ? sin

π
4

sin α

2 4 2 3 7 2 = × ? × (? ) = ; 2 5 2 5 10 π ta n α ? ta n π 4 = ta n α ? 1 t a n (α ? ) = π 4 1 + ta n α 1 + ta n α ta n
4
3 ? ? 1 4 = = ? 7 3 1 + (? ) 4


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