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四平市第一高级中学2015-2016学年度上学期第二次月考高三数学(理)试卷




















四平市第一高级中学 2015-2016 学年度上学期第二次月考
高三数学试卷(理科)
考生注意: 1、本试卷分选择题和非选择题两

部分,共 150 分,共 4 页,考试时间 120 分钟,考试结束后,只交答题卡。 2、 客观题请用 2B 铅笔填涂在答题卡上, 主观题用黑色碳素笔写在答题卡上。

第Ⅰ卷

(选择题,满分 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1、已知集合 A ? 1{x | ( ) ? 1} , B ? {x | x ? 6 x ? 8 ? 0} ,则 A ? ( ?R B) ?
x

1 2

2





A. {x | x ? 0} C. {x | 0 ? x ? 2或x ? 4} 2、已知命题 p : ?x ? R, sin x ? 1 ,则 A. p : ?x0 ? R, sin x0 ? 1 C. p : ?x0 ? R, sin x0 ? 1 3、已知 f ( x) ? ? A. 3 4、曲线 y ?
? ?

B. {x | 2 ? x ? 4} D. {x | 0 ? x ? 2或x ? 4} ( B. p : ?x ? R, sin x ? 1 D. p : ?x ? R, sin x ? 1
? ?



?1 ? log 2 (2 ? x) , x ? 1 ,则 f ( ?2) ? f (log 2 12) ? x ?1 , x ?1 ?2
B. 6 C. 9 D. 12





x 在点 ( ?1,?1) 处的切线方程为 x?2
B. y ? 2 x ? 1 D. y ? ?2 x ? 2





A. y ? 2 x ? 1 C. y ? ?2 x ? 3

5、已知 f ( x) ? ln(1 ? x) ? ln(1 ? x) ,则 f ( x) 是 A.奇函数,且在 (0,1) 上是增函数 C.偶函数,且在 (0,1) 上是增函数 正直简朴尚礼扬善。





B.奇函数,且在 (0,1) 上是减函数 D.偶函数,且在 (0,1) 上是减函数
1



















6、已 知 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f ( x) 满 足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) , 若 f ( ?1) ? ?2 ,

f (?7) ?
A. ( ?

a ?1 , 则实数 a 的取值范围是 3 ? 2a
B.( ?2,1) C.(1, )
x





3 ,?1) 2

3 2

D.( ??,1) ? ( ,??)

3 2

7、设函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 ? x ? 3 ,则 f ( x) 的零点 个数为 A. 1 B. 2 C. 3 ( D. 4 ( ) )

8、下列函数中,图象的一部分如右图所示的是 A. y ? sin( x ?

?
6

) )

B. y ? sin( 2 x ?

?
6

) )

C. y ? cos(4 x ?

?
3

D. y ? cos(2 x ?

?
6

9、已知 ?

?
2

? ? ? 0 ?? ?

?
2

, cos(

?
4

??) ?

1 ? ? ? 3 , cos( ? ) ? ,则 cos(? ? ) ? 3 2 4 2 3
( )

A.

3 3

B. ?

3 3

C.

5 3 9

D. ?

6 9


10、由曲线 y ? A.

x ,直线 y ? x ? 2 及 y 轴所围成的图形的面积为
B. 4 C.

( D. 6

10 3

16 3

11、已知定义在 R 上的可导函数 f ( x) 的导函数为 f ?( x) ,满足 f ?( x) ? f ( x) 且 f ( x ? 2) 为 偶函数, f ( 4) ? 1 ,则不等式 f ( x) ? e 的解集为
x

( D. ( 4,??)



A. ( ?2,??) 12、设 函 数 f ( x) ?

B. (0,??)

C. (1,??)

e x ? x ? a (a ? R, e为自然对数的底数) , 若 曲 线 y ? sin x 上 存 在
( D. [ e
?1

点 ( x0 , y0 ) ,使得 f ( f ( y0 )) ? y0 ,则 a 的取值范围是 A. [1, e] B. [e
?1



? 1,1]

C. [1, e ? 1]

? 1, e ? 1]

正直简朴尚礼扬善。

2



















第Ⅱ卷
?
4

(非选择题,满分 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。将答案填在答题卡相应的位置上) 13、设 ? 为第二象限角,若 tan(? ?
2

)?

1 ,则 sin ? ? cos ? ? ________。 2 1 9 ? 的最小值_________。 c a

14、已知二次函数 f ( x) ? ax ? 4 x ? c 的值域为 [0,??) ,则 15、若函数 f ( x) ? ? 是________。

1 3 1 2 2 x ? x ? 2ax 在 [ ,??) 上存在单调递增区间,则 a 的取值范围 3 2 3
2

16、若不等式 2 x ln x ? ? x ? ax ? 3 对 x ? (0,??) 恒成立,则实数 a 的取值范围是_______。 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17、(本小题 12 分) 已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? (1)求 a, b 的值; (2)若对于任意 t ? R ,不等式 f (t ? 2t ) ? f ( 2t ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围。
2 2

b ? 2x 是奇函数。 2x ? a

18、(本小题 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin x ? sin ( x ?
2 2

?
6

), x?R。

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期; (2)求 f ( x) 在区间 [ ?

? ?

, ] 上的最大值和最小值。 3 4

19、(本小题 12 分) 设 ?ABC 的 内 角 A , B , C 的 对 边 分 别 为 a , b , c , 且 满 足 :

2a sin A ? (2b ? 3c) sin B ? (2c ? 3b) sin C 。
(1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 2 , b ? 2 3 ,求 ?ABC 的面积。

正直简朴尚礼扬善。

3



















20、(本小题 12 分) 已知函数 f ( x) ?

3 x 2 ? ax (a ? R) 。 ex

(1)若 f ( x) 在 x ? 0 处取得极值,求 a 的值,并求此曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 出的 切线方程; (2)若 f ( x) 在 [3,??) 上为减函数,求 a 的取值范围。

21、(本小题 12 分) 已知函数 f ( x) ? e ? ax ? 2 。
x

(1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)若 a ? 1 , k 为整数,且当 x ? 0 时, ( x ? k ) f ?( x) ? x ? 1 ? 0 恒成立,求 k 的最大 值。

22、(本小题 10 分) 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。圆 C1 与直 线 C2 的极坐标方程分别为 ? ? 4 sin ? , ? cos(? ? (1)求曲线 C1 与 C2 交点的极坐标; (2)设 P 为圆 C1 的圆心, Q 为曲线 C1 与 C2 交点连线的中点。已知直线 PQ 的参数方

?
4

)?2 2。

?x ? t 3 ? a ? 程为 ? b 3 (t ? R为参数) ,求 a, b 的值。 ?y ? t ?1 2 ?

正直简朴尚礼扬善。

4



















四平一中 2015-2016 学年度上学期第二次月考
高三数学(理科)试卷参考答案
一、选择题 题号 答案 1 C 2 C 3 C 4 A 5 A 6 D 7 C 8 D 9 C 10 C 11 B 12 A

二、填空题 13. ? 三、解答题 17、【解】 (1)因为 f ( x) 是奇函数,所以 f (0) ? 0 ,即

10 5

14. 3

15. ( ? ,??)

1 9

16. ( ??,4]

b ?1 ? 0 ,解得 b ? 1 。………… 3? 1? a 1? 2x 1 ? 2? x 1? 2x 从而 f ( x) ? x ,又由 f ( ? x) ? ? f ( x) 知 ? x ,得 a ? 1 。 ?? x 2 ?a 2 ?a 2 ?a 所以 a ? 1, b ? 1 。……………………………………………………………… 6?

(2)由(1)知 f ( x) ?

1? 2x 2 ? ?1 ? x ,易知 f ( x) 在 R 上为减函数。 x 2 ?1 2 ?1 2 2 又 因 f ( x) 为 奇 函 数 , 从 而 不 等 式 f (t ? 2t ) ? f ( 2t ? k ) ? 0 等 价 于 f (t 2 ? 2t ) ? ? f (2t 2 ? k ) ? f (k ? 2t 2 ) 。 2 2 因为 f ( x) 是减函数,由上式推得 t ? 2t ? k ? 2t 。 2 对一切 t ? R 有 3t ? 2t ? k ? 0 ,从而判别式 ? ? 4 ? 12k ? 0 。 1 解得 k ? ? 。………………………………………………………………… 12? 3

18、【解】 (1)化简得 f ( x) ? sin x ? sin ( x ?
2 2

1 1 ? (1 ? cos 2 x) ? [1 ? cos(2 x ? )] 6 2 2 3 1 1 3 1 1 3 ? (1 ? cos 2 x ? 1 ? cos 2 x ? sin 2 x) ? (? cos 2 x ? sin 2 x) 2 2 2 2 2 2 1 ? ? sin( 2 x ? ) 。 2 6 2? ? ? 。…………………………………… 6? 所以 f ( x) 的最小正周期 T ? 2 ? ? ? 5? ? (2)因为 x ? [ ? , ] ,所以 2 x ? ? [ ? , ]。 3 4 6 6 3 ? ? ? 1 所以当 2 x ? ? ? ,即 x ? ? 时, f ( x) 有最小值 f min ( x) ? ? 。 6 2 6 2 3 ? ? ? 当 2 x ? ? ,即 x ? 时, f ( x) 有最大值 f max ( x) ? 。…… 12? 6 3 4 4 )?
5

?

正直简朴尚礼扬善。



















19、【解】 (1)由已知及正弦定理可得 2a ? ( 2b ? 3c)b ? ( 2c ? 3b)c ,
2

整理得 b ? c ? a ?
2 2 2

3bc ,所以 cos A ?

? 3 ,所以 A ? 。……………… 6? 6 2

(2)由正弦定理可知 因为 B ? (0, 若B ? 若B ?

a b ? 3 ? ,又 a ? 2, b ? 2 3 , A ? ,所以 sin B ? 。 sin A sin B 6 2

5? ? 2? ) ,故 B ? 或 B ? 。 6 3 3

?
3

,则 C ?

?
2

,于是 S ?ABC ?

1 ab ? 2 3 , 2

2? ? 1 , 则C ? , 于是 S ?ABC ? ab sin C ? 3 。 ……………………… 12? 3 6 2

20、【解】 (1) f ?( x) ?

(6 x ? a )e x ? (3 x 2 ? ax)e x ? 3 x 2 ? (6 ? a ) x ? a , ? (e x ) 2 ex

因为 f ( x) 在 x ? 0 处取得极值,所以 f ?(0) ? 0 ,计算得出 a ? 0 。 经检验,a ? 0 时 x ? 0 是极值点, 所以 a ? 0 。 …………………………………… 3? 当 a ? 0 时, f ( x) ?

3 3 3x 2 ? 3x 2 ? 6 x ? , 。所以 f (1) ? , f ?(1) ? 。 f ( x ) ? x x e e e e 3 3 ? ( x ? 1) , e e

所 以 曲 线 y ? f ( x) 在 点 (1, f (1)) 处 的 切 线 方 程 为 y ?

化简得 3 x ? ey ? 0 。……………………………………………………………… 6? (2) 由 f ( x) 在 [3,??) 上为减函数, 知 f ?( x) ? 0 在 [3,??) 上恒成立, 即a ?

3x 2 ? 6 x , 1? x

3x 2 ? 6 x ? 3( x 2 ? 2 x ? 2) ? 令 g ( x) ? , g ( x) ? 。当 x ? [3,??) 时 g ?( x) ? 0 。 1? x (1 ? x) 2
所以 g ( x) 在 [3,??) 上为减函数,求得 g ( x) max ? g (3) ? ? 所以 a ? ?

9 , 2

9 。……………………………………………………………………… 12? 2

正直简朴尚礼扬善。

6



















21、【解】 (1) f ?( x) ? e ? a ,
x

①当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 的增区间为 ( ??,??) ; ②当 a ? 0 时, 令 f ?( x) ? 0 得 f ( x) 的增区间为 (ln a,??) , 令 f ?( x) ? 0 得 f ( x) 的减区间为 ( ??, ln a ) 。………………………………… 4? (2)若 a ? 1 ,则 f ( x) ? e ? x ? 2 , f ?( x) ? e ? 1 。
x x

xe x ? 1 所以 x ? 0 时, ( x ? k )(e ? 1) ? x ? 1 ? 0 ,则 k ? x 。 e ?1
x

xe x ? 1 e x (e x ? x ? 2) ? 令 g ( x) ? x , 则 g ( x) ? 。 ………………………………… 6? e ?1 (e x ? 1) 2
令 h( x) ? e ? x ? 2 ,则 h?( x) ? e ? 1 ? 0 ,所以 h( x) 在 (0,??) 上为增函数。
x x

由 h(1) ? e ? 3 ? 0 , h( 2) ? e ? 4 ? 0 ,
2

由零点存在性定理知, ?x0 ? (1,2) ,使得 h( x0 ) ? e

x0

? x0 ? 2 ? 0 ,

所以,当 x ? (0, x0 ) 时, h( x) ? 0 , g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递减, 当 x ? ( x0 ,??) 时, h( x) ? 0 , g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递减。 所以 g ( x) min ? g ( x0 ) ?

x0 e x0 ? 1 x0 ( x0 ? 2) ? 1 ? ? x0 ? 1 ? (2,3) , x0 ? 1 e x0 ? 1

由 k ? g ( x) min , 且 k 为整数得 k ? 2 , 所以 k 的最大值为 2 。 ………………… 12?

22、【解】 (1)圆 C1 的直角方程为 x ? ( y ? 2) ? 4 ,直线 C2 的直角方程为 x ? y ? 4 ? 0 。
2 2

解?

? x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 ? x1 ? 0 ? x2 ? 2 ,得 ? 或? 。 ? y1 ? 4 ? y2 ? 2 ?x ? y ? 4 ? 0

所以 C1 与 C2 交点的极坐标为 ( 4,

?

) ,(2 2 , ) 。……………………………… 5? 2 4

?

(2)由(1)可得,点 P 与点 Q 的直角坐标分别为 (0,2) , (1,3) 。 故直线 PQ 的直角坐标方程为 x ? y ? 2 ? 0 ,

?b ?1 ? ?a ? ?1 b ab ?2 由参数方程可得 y ? x ? ,解得 ? 。…… 10? ? 1 ,所以 ? ab b ? 2 2 2 ? ?? ?1 ? 2 ? ? 2
正直简朴尚礼扬善。
7


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