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2013届高中数学竞赛教案讲义(15)复数


第十五章
一、基础知识

复数

1.复数的定义:设 i 为方程 x =-1 的根,i 称为虚数单位,由 i 与实数进行加、减、乘、除 等运算。便产生形如 a+bi(a,b∈R)的数,称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常 用 C 来表示。 2 复数的几种形式。 对任意复数 z=a+bi (a,b∈R) a 称实部记作 Re(

z),b 称虚部记作 Im(z). ,

2

z=ai 称为代数形式,它由实部、虚部两部分构成;若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标,那么 z 与坐标平面唯一一个点相对应, 从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间 的一一映射。因此复数可以用点来表示,表示复数的平面称为复平面,x 轴称为实轴,y 轴去 掉原点称为虚轴,点称为复数的几何形式;如果将(a,b)作为向量的坐标,复数 z 又对应唯一 一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式,称为向量形式;另外设 z 对应 复平面内的点 Z, 见图 15-1, 连接 OZ, 设∠xOZ=θ ,|OZ|=r, a=rcosθ ,b=rsinθ ,所以 z=r(cos 则 θ +isinθ ),这种形式叫做三角形式。若 z=r(cosθ +isinθ ),则θ 称为 z 的辐角。若 0≤θ <2π ,则θ 称为 z 的辐角主值,记作θ =Arg(z). r 称为 z 的模,也记作|z|,由勾股定理知 |z|= a ? b .如果用 e 表示 cosθ +isinθ ,则 z=re ,称为复数的指数形式。
2 2
iθ iθ

3.共轭与模,若 z=a+bi, (a,b∈R),则 z ? a-bi 称为 z 的共轭复数。模与共轭的性质有: (1)

?z z1 ? z 2 ? z1 ? z 2 ; 2 ) z1 ? z 2 ? z1 ? z 2 ; 3 ) z ? z ?| z | 2 ; 4 ) ? 1 ( ( ( ?z ? 2
| z1 ? z 2 |?| z1 | ? | z 2 | ; 6 ) | (
2 2 2 2

? z1 ?? ; 5) ( ? ? z2

z1 |z | |? 1 ; 7) ||z1|-|z2|| ≤ |z1 ± z2|≤ |z1|+|z2|; 8 ) ( ( z2 | z2 |

|z1+z2| +|z1-z2| =2|z1| +2|z2| ; (9)若|z|=1,则 z ?

1 。 z

4.复数的运算法则: (1)按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致,运算 结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数; (2)按向量形式,加、减法满足平行四边形和 三角形法则; (3)按三角形式,若 z1=r1(cosθ 1+isinθ 1), z2=r2(cosθ 2+isinθ 2),则 z1? ? z2=r1r2[cos(θ 1+θ 2)+isin(θ 1+θ 2)];若 z 2 ? 0,

z1 r1 ? [cos(θ 1-θ 2)+isin(θ 1-θ 2)],用 z 2 r2

指数形式记为 z1z2=r1r2e

i(θ 1+θ 2)

,

z1 r1 i (?1 ?? 2 ) ? e . z 2 r2

-1-

5.棣莫弗定理:[r(cosθ +isinθ )] =r (cosnθ +isinnθ ). 6. 开 方 : 若 w ? r(cos θ +isin θ ) , 则 w ? n r ( c o s
n

n

n

? ? 2k?
n

? is i n

? ? 2k?
n

) ,

k=0,1,2,?,n-1。 7.单位根:若 w =1,则称 w 为 1 的一个 n 次单位根,简称单位根,记 Z1= cos 则全部 单位根可表示 为 1, Z 1 , Z1 , ?, Z1
2 n ?1
n

2? 2? , ? i sin n n
k

.单位根的 基本性质有(这 里记 Z k ? Z 1 ,

k=1,2,?,n-1)(1)对任意整数 k,若 k=nq+r,q∈Z,0≤r≤n-1,有 Znq+r=Zr; : (2)对任意整 数 m,当 n≥2 时,有 1 ? Z 1 ? Z 2 ? ? ? Z n ?1 = ?
m m m
n-1 n-2

?0, 当n | m, 特别 1+Z1+Z2+?+Zn-1=0; (3) ? n, 当 n | m ,
2 n ?1

x +x +?+x+1=(x-Z1)(x-Z2)?(x-Zn-1)=(x-Z1)(x- Z 1 )?(x- Z 1 ). 8.复数相等的充要条件: (1)两个复数实部和虚部分别对应相等; (2)两个复数的模和辐角 主值分别相等。 9.复数 z 是实数的充要条件是 z= z ;z 是纯虚数的充要条件是:z+ z =0(且 z≠0). 10.代数基本定理:在复数范围内,一元 n 次方程至少有一个根。 11.实系数方程虚根成对定理:实系数一元 n 次方程的虚根成对出现,即若 z=a+bi(b≠0)是 方程的一个根,则 z =a-bi 也是一个根。 12 . 若 a,b,c ∈ R,a ≠ 0 , 则 关 于 x 的 方 程 ax +bx+c=0 , 当 Δ =b -4ac<0 时 方 程 的 根 为
2 2

x1, 2 ?

? b ? ? ?i . 2a

二、方法与例题 1.模的应用。 例 1 求证:当 n∈N+时,方程(z+1) +(z-1) =0 只有纯虚根。
2n 2n

例 2 设 f(z)=z +az+b,a,b 为复数,对一切|z|=1,有|f(z)|=1,求 a,b 的值。

2

-2-

2.复数相等。 例 3 设λ ∈R,若二次方程(1-i)x +(λ +i)x+1+λ i=0 有两个虚根,求λ 满足的充要条件。
2

3.三角形式的应用。 例 4 设 n≤2000,n∈N,且存在θ 满足(sinθ +icosθ ) =sinnθ +icosnθ ,那么这样的 n 有多 少个?
n

4.二项式定理的应用。 例 5 计算: (1) C100 ? C100 ? C100 ? ? ? C100 ; (2) C100 ? C100 ? C100 ? ? ? C100
0 2 4 100 1 3 5 99

5.复数乘法的几何意义。 例 6 以定长线段 BC 为一边任作Δ ABC,分别以 AB,AC 为腰,B,C 为直角顶点向外作等腰直 角Δ ABM、等腰直角Δ ACN。求证:MN 的中点为定点。

-3-

例 7 设 A,B,C,D 为平面上任意四点,求证:AB?AD+BC?AD≥AC?BD。

6.复数与轨迹。 例 8 Δ ABC 的顶点 A 表示的复数为 3i,底边 BC 在实轴上滑动,且|BC|=2,求Δ ABC 的外心 轨迹。

7.复数与三角。 例 9 已知 cosα +cosβ +cosγ =sinα +sinβ +sinγ =0,求证:cos2α +cos2β +cos2γ =0。

例 10 求和:S=cos20 +2cos40 +?+18cos18×20 .

0

0

0

-4-

8.复数与多项式。 例 11 已知 f(z)=c0z +c1z +?+cn-1z+cn 是 n 次复系数多项式(c0≠0). 求证:一定存在一个复数 z0,|z0|≤1,并且|f(z0)|≥|c0|+|cn|.
n n-1

9.单位根的应用。 例 12 证明:自⊙O 上任意一点 p 到正多边形 A1A2?An 各个顶点的距离的平方和为定值。

10.复数与几何。 例 13 如图 15-2 所示,在四边形 ABCD 内存在一点 P,使得Δ PAB,Δ PCD 都是以 P 为直角顶 点的等腰直角三角形。求证:必存在另一点 Q,使得Δ QBC,Δ QDA 也都是以 Q 为直角顶点的 等腰直角三角形。

例 14 平面上给定Δ A1A2A3 及点 p0,定义 As=As-3,s≥4,构造点列 p0,p1,p2,?,使得 pk+1 为绕中
-5-

心 Ak+1 顺时针旋转 120 时 pk 所到达的位置,k=0,1,2,?,若 p1986=p0.证明:Δ A1A2A3 为等边三角 形。

0

三、基础训练题 1.满足(2x +5x+2)+(y -y-2)i=0 的有序实数对(x,y)有__________组。 2.若 z∈C 且 z2=8+6i,且 z3-16z2 2

100 =__________。 z

3.复数 z 满足|z|=5,且(3+4i)?z 是纯虚数,则 z ? __________。 4.已知 z ? ?

2 1 ? 3i

,则 1+z+z +?+z

2

1992

=__________。

5.设复数 z 使得

z ?1 ? 的一个辐角的绝对值为 ,则 z 辐角主值的取值范围是__________。 z?2 6

6.设 z,w,λ ∈C,|λ |≠1,则关于 z 的方程 z -Λ z=w 的解为 z=__________。 7.设 0<x<1,则 2arctan

1? x 1? x2 ? arcsin ? __________。 1? x 1? x2

8.若α ,β 是方程 ax +bx+c=0(a,b,c∈R)的两个虚根且
2 2 2 2 2 2

2

?2 ? ? R ,则 ? __________。 ? ?

9.若 a,b,c∈C,则 a +b >c 是 a +b -c >0 成立的__________条件。 10.已知关于 x 的实系数方程 x -2x+2=0 和 x +2mx+1=0 的四个不同的根在复平面上对应的点 共圆,则 m 取值的集合是__________。 11.二次方程 ax +x+1=0 的两根的模都小于 2,求实数 a 的取值范围。 12.复平面上定点 Z0,动点 Z1 对应的复数分别为 z0,z1,其中 z0≠0,且满足方程|z1-z0|=|z1|, ①另一个动点 Z 对应的复数 z 满足 z1?z=-1,②求点 Z 的轨迹,并指出它在复平面上的形状和 位置。 13. 个复数 z1,z2,?,zn 成等比数列, N 其中|z1|≠1, 公比为 q,|q|=1 且 q≠±1,复数 w1,w2,?,wn
2 2 2

-6-

满足条件:wk=zk+

1 +h,其中 k=1,2,?,n,h 为已知实数,求证:复平面内表示 w1,w2,?,wn zk

的点 p1,p2,?,pn 都在一个焦距为 4 的椭圆上。 四、高考水平训练题 1.复数 z 和 cosθ +isinθ 对应的点关于直线|iz+1|=|z+i|对称,则 z=__________。 2.设复数 z 满足 z+|z|=2+i,那么 z=__________。 3.有一个人在草原上漫步,开始时从 O 出发,向东行走,每走 1 千米后,便向左转 他走过 n 千米后,首次回到原出发点,则 n=__________。 4.若 z ?

? 角度, 6

(4 ? 3i ) 2 (?1 ? 3i )10 ,则|z|=__________。 (1 ? i )12

5.若 ak≥0,k=1,2,?,n,并规定 an+1=a1,使不等式 实数λ 的最大值为__________。 6.已知点 P 为椭圆

?
k ?1

n

a ? a k a k ?1 ? a
2 k

2 k ?1

? ? ? a k 恒成立的
k ?1

n

x2 y2 ? ? 1 上任意一点,以 OP 为边逆时针作正方形 OPQR,则动点 R 的 9 5

轨迹方程为__________。 7.已知 P 为直线 x-y+1=0 上的动点,以 OP 为边作正Δ OPQ(O,P,Q 按顺时针方向排列)。则 点 Q 的轨迹方程为__________。

z2 8.已知 z∈C,则命题“z 是纯虚数”是命题“ ? R ”的__________条件。 1? z2
9.若 n∈N,且 n≥3,则方程 z +z -1=0 的模为 1 的虚根的个数为__________。 10 . 设 (x
2006 n+1 n

+x

2008

+3)

2007

=a0+a1x+a2x + ? +anx , 则 a0 ?
2 n

a a1 a 2 a ? ? a3 ? 4 ? 5 + ? 2 2 2 2

+a3k-

a3k ?1 a3k ? 2 ? ? ? ? a n ? __________。 2 2

11.设复数 z1,z2 满足 z1? z 2 ? Az1 ? Az 2 ? 0 ,其中 A≠0,A∈C。证明: (1)|z1+A|?|z2+A|=|A| ;
4 3 2

(2)
2

z1 ? A z1 ? A ? . z2 ? A z2 ? A

12.若 z∈C,且|z|=1,u=z -z -3z i-z+1.求|u|的最大值和最小值,并求取得最大值、最小值
-7-

时的复数 z.

?| z1 |?| z 2 |?| z 3 |? 1, ? z z ?z 13.给定实数 a,b,c,已知复数 z1,z2,z3 满足 ? 1 ? 2 ? 3 ? 1, 求 ? z 2 z 3 z1
|az1+bz2+cz3|的值。 三、联赛一试水平训练题 1.已知复数 z 满足 | 2 z ?

1 |? 1. 则 z 的辐角主值的取值范围是__________。 z

2.设复数 z=cosθ +isinθ (0≤θ ≤π ),复数 z,(1+i)z,2 z 在复平面上对应的三个点分别是 P,Q,R,当 P,Q,R 不共线时,以 PQ,PR 为两边的平行四边形第四个顶点为 S,则 S 到原点 距离的最大值为__________。 3.设复平面上单位圆内接正 20 边形的 20 个顶点所对应的复数依次为 z1,z2,?,z20,则复数
1995 z1 , z 1995 ,?, z 1995 所对应的不同点的个数是__________。 2 20

4.已知复数 z 满足|z|=1,则|z+iz+1|的最小值为__________。 5.设 w ? ?

1 3 ? i ,z1=w-z,z2=w+z,z1,z2 对应复平面上的点 A,B,点 O 为原点,∠AOB=900, 2 2

|AO|=|BO|,则Δ OAB 面积是__________。 6.设 w ? cos

?
5

? i sin
m

?
5
n

,则(x-w)(x-w )(x-w )(x-w )的展开式为__________。

3

7

9

7.已知( 3 ? i ) =(1+i) (m,n∈N+),则 mn 的最小值是__________。 8.复平面上,非零复数 z1,z2 在以 i 为圆心,1 为半径的圆上, z1 ?z2 的实部为零,z1 的辐角 主值为

? ,则 z2=__________。 6
3?i 7 ) ? 1] n 的值中有实数__________个。 2

9.当 n∈N,且 1≤n≤100 时, [(

10. 已知复数 z1,z2 满足 的值是__________。

z 2 z1 ? , A 且 g r z z1 z2

1

?

?
3

, Argz2 ?

?
6

, Argz3 ?

7 r 则 g ?, A 8

z1 ? z 2 z3

11.集合 A={z|z =1},B={w|w =1},C={zw|z∈A,w∈B},问:集合 C 中有多少个不同的元素? 12. 证明: 如果复数 A 的模为 1, 那么方程 (

18

48

1 ? ix n (n∈N+) . ) ? A 的所有根都是不相等的实根 1 ? ix
-8-

13.对于适合|z|≤1 的每一个复数 z,要使 0<|α z+β |<2 总能成立,试问:复数α ,β 应满 足什么条件? 六、联赛二试水平训练题 1.设非零复数 a1,a2,a3,a4,a5 满足

? a 2 a3 a 4 a5 ? ? ? ? ? a1 a 2 a3 a 4 ? ?a ? a ? a ? a ? a ? 1 ( a ? a ? a ? a ? a ) ? S , 2 3 4 5 1 2 3 4 5 ? 1 4 ?
其中 S 为实数且|S|≤2,求证:复数 a1,a2,a3,a4,a5 在复平面上所对应的点位于同一圆周上。 2.求证: sin

?
n
n

? sin

2? (n ? 1)? n ? ? ? sin ? n?1 (n ? 2) 。 n n 2
n-2 2 2 2 2

3.已知 p(z)=z +c1z +c2z +?+cn 是复变量 z 的实系数多项式,且|p(i)|<1,求证:存在实 数 a,b,使得 p(a+bi)=0 且(a +b +1) <4b +1. 4.运用复数证明:任给 8 个非零实数 a1,a2,?,a8,证明六个数 a1a3+a2a4, a1a5+a2a6, a1a7+a2a8, a3a5+a4a6, a3a7+a4a8,a5a7+a6a8 中至少有一个是非负数。 5.已知复数 z 满足 11z +10iz +10iz-11=0,求证:|z|=1. 6.设 z1,z2,z3 为复数,求证: |z1|+|z2|+|z3|+|z1+z2+z3|≥|z1+z2|+|z2+z3|+|z3+z1|。
10 9

n-1

-9-


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