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导函数(基础)大专题


导函数
一.导数的意义: 1. 几何意义: 函数 f ?x ? 在 x 0 处的导数就是曲线 y ? f ?x ? 在点 p?x0 , f ?x0 ?? 处的切线的斜率, 即斜率为 f ' ?x0 ? , 过点 p 的切线方程为: 物理意义:函数 s ? f ?t ? 在 t 0 处的导数就是曲线 S ? f ?t ? 在 t 0 时刻的速度 例: 1.曲线 y ? x ? 2 x ? 4 x ? 2 在 x ? 1 处的切线方程是
3 2

2 2.一个物体的运动方程为 S ? 1 ? t ? t ,则该物体在 3 秒末的瞬时速度是

3.若函数 y ? f ( x) 在区间 ( a, b) 内可导,且 x0 ? (a, b) 则 lim
h ?0

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) 的值为 h
D. 0





A. f ( x0 )

'

B. 2 f ( x0 )

'

C. ?2 f ( x0 )
'

2.几种常见函数的导数:

f ?x? ? c, f ' ?x? ?
f ?x ? ? cos x

f ?x ? ? x n
f ?x ? ? ln x

f ?x ? ? sin x

f ?x? ? loga x
f ?x ? ? 1 x

f ?x ? ? e x
3.导数的四则运算法则:

f ?x ? ? a x

h?x ? ? f ?x ? ? g ?x ?, h' ?x ? ?
h?x ? ? f ?x? ? g ?x ?, h' ?x? ?
例:求下列函数的导数: 1. y ? x
12

, h?x ? ? c ? f ?x ?, h' ?x ? ? , h? x ? ?

f ?x ? , h' ? x ? ? g ?x ?

2. y ?

2 x

3. y ? ?3 sin x ? e

x

4. f ?x ? ? x ? ln x

5. f ?x ? =

cos x sin x

1

4.复合函数的导数:设函数 t ? ? ?x ? 在点 x 处有导数 t ' x ? ? ?x ? ,函数 y ? f ?t ? 在点 x 的对应点 t 处 有导数 y 't ? f ?t ? ,则复合函数 y ? f ?? ? x ??在点 x 处也有导数,即 y ' x ? y ' t ?t ' x (理科)

6. f ?x ? ? esinx

7. y ? ln 3x 2 ? 2 x

?

?

8. f ? x ? ?

ex ?1 ex ?1

练习: 1. 函数 f ( x) ?

1 3 x ? 2x ?1 ,则 f ?(?1) = 3

2.曲线 y ? x ? 4 x 在点 (1, ?3) 处的切线倾斜角为_______
3

3. f ( x) ? ax ? 3x ? 2 ,若 f (?1) ? 4 , 则 a =
3 2 '

4.已知曲线 y ?

1 x2 的一条切线的斜率为 ,求切点的坐标及在该点处的切线方程 2 4

5.求垂直于直线 2 x ? 6 y ? 1 ? 0 并且与曲线 y ? x ? 3x ? 5 相切的直线方程
3 2

,f ?1?? 处的切线在 x 轴上的截距 6.函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 5 的图像在 ?1
3

2

7.曲线 y ?

1 3 ? 4? x ? x 在点 ?1, ? 处的切线与坐标轴围成的三角形面积 3 ? 3?

2 8.曲线 y ? e 在点 (2,e ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积
x

9.已知 f ?x ? ? f ' ?

?? ? ?? ? ? sin x ? cos x ,则 f ' ? ? ? ?4? ?2?

10.已知点 P 在曲线 y ?

4 上, ? 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 ? 的取值范围是 e ?1
x

2 11.若 f ( x ) 在 R 上可导, f ( x) ? x ? 2 f ' (2) x ? 3 ,则 f ?x ? ? _______

' 12.已知函数 y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? (??,0) 时不等式 f ( x) ? xf ( x) ? 0 成立, 若

a ? 30.3 ? f 30.3 , b ? log? 3 ? f ?log? 3?, c ? log3
A.

? ?

1 ? 9

1? ? f ? log3 ? ,则 a, b, c 的大小关系是 ( 9? ?
D.



a?b?c

B.

c?b?a

C. c ? a ? b

a?c?b

13.定义在 ? 0, ? 上的函数 f ?x ?, f ' ?x ? 是导函数,满足 f ?x ? ? f ' ?x ? ? tan x ,则下列表达式正确的是(

? ?? ? 2?



A. 3 ? f ?

?? ? ?? ? ?? 2? f? ? ?4? ?3?
?? ? f? ? ?4?

B. f ?1? ? 2 ? f ?

?? ? ? ? sin 1 ?6? ?? ? f? ? ?3?

C.

?? ? 2? f? ?? ?6?

D.

?? ? 3? f? ? ? ?6?

?1?3.?2? 3? .?3?10 .?4?2 x ? 4 y ? 1 ? 0.?5?3x ? y ? 6 ? 0.?6? ? 3 .?7? 1 .?8? 1 e 2 .?9? ?

? 3? ? 2.?10?? , ? ?. 4 3 7 9 2 ?4 ? ?? ?11?x 2 ? 8x ? 3.?12?C.?13?sin x ? f ' ?x ? ? cos? f ?x ? ? F ?x ? ? f ?x ? ?, F ?1? ? F ? ? ??B sin ?6?
3

函数单调性与最值
1.导数与函数的单调性关系 一般地,设函数 y ? f ( x) 在某个区间可导,则函数: 如果在这个区间内 如果在这个区间内 ,则 y ? f ( x) 为这个区间内的 ,则 y ? f ( x) 为这个区间内的

' 若在某个区间内恒有 f ( x) ? 0 ,则 f ( x ) 为

2.用导数求函数单调区间的步骤: 1.确定函数 f ?x ? 的定义域 2.求函数 f ?x ? 的导数 f ' ? x ? 3.令 f ' ? x ? ? 0 ,解不等式,得 x 的范围就是递增区间 令 f ' ? x ? ? 0 ,解不等式,得 x 的范围就是递减区间 3.讨论 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0) 的单调性(结合二次函数四种情况讨论)
3 2

a ? 0, ? ? 0

a ? 0, ? ? 0

a ? 0, ? ? 0

a ? 0, ? ? 0

f ' ? x ? 图像

f ?x ? 图像

练习: 1.求函数的单调区间: (1) f ?x ? ? x ? 9 x ? 24x
3 2

(2) f ?x ? ? 3x ? x

3

(3) y ? 4 x 2 ?

1 x
3 2

(4) y ? x ? 2 sin x (6) y ? x ? x ? 5x ? 5
3 2

(5) f ?x ? ? 2 x ? 6 x ? 7 2.函数 y ? x ? 2cos x 在区间 ?0,
2

? ?? ? 上的值域 ? 2?

3.若函数 f ?x? ? x?x ? c ? 在 x ? 2 处有极大值,则常数 c 的值为_________ 4

3] 上的最小值 4.函数 f ( x) ? 12 x ? x 在区间 [ ?3,
3

5.函数 y ?

ln x 的最大值 x

6. 求 函 数 f ( x) ? x5 ? 5x4 ? 5x3 ? 1 在 区 间 ?? 2,4? 上 的 最 小 值

2 7.动直线 x ? m 与函数 f ?x ? ? x , g ( x) ? ln x 的图像分别交于点 M 、 N ,则 | MN | 的最小值为

8.已知 f ?x? ? ? x ? f ' ?x?且f ?x ?1? ? ?x ? 1? f x ?1 ,求 x 的取值范围
2

?

?

2 9.函数 f ( x) ? x ? 2ax ? a 在区间 (??,1) 上有最小值,则函数 g ( x ) ?

f ( x) 在区间 (1,??) 上一定( x



A.有最小值
x

B.有最大值

C.是减函数

D.是增函数

10.函数 f ( x) ? e ? mx 的图像不存在与直线 y ? A. m ? ?

1 x 垂直的切线,则实数 m 的取值范围是 2
D. m ? 2

(

)

1 2

B. m ? ?

1 2

C. m ? 2

11.若函数 f ( x) 的导函数在区间 ? a, b ? 上的图像关于直线 x ? 图像可能是

a?b 对称,则函数 y ? f ( x) 在区间 [ a, b] 上的 2
( )

A.①④ 12.函数 f ( x) ? cos x ?

B.②④

C.②③

D.③④

1 ? π 1 ? π x, x ?[ ? , ] , sin x0 ? , x0 ? [? , ] ,下面命题中真命题的序号是 2 2 2 2 2 2
② f ( x) 的最小值为 f ( x0 ) ④ f ( x ) 在 [ x0 , ] 上是增函数

① f ( x) 的最大值为 f ( x0 ) ③ f ( x ) 在 [?

?
2

, x0 ] 上是增函数
x

π 2

13.若函数 y ? e ? mx 有极值,则实数 m 的取值范围是

5

导数恒成立问题
类型 1: (二次函数)设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0)

b ? b ? ? b ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?? (1)当 a ? 0 时, f ( x) ? 0在x ? [? , ? ] 上恒成立 ? ? 2a , 或? 或? 2a 2a ? ? ? ? f (? ) ? 0 ?? ? 0 ? f (? ) ? 0
? f (? ) ? 0 f ( x) ? 0在x ? [? , ? ] 上恒成立 ? ? ? f (? ) ? 0
(2)当 a ? 0 时, f ( x) ? 0在x ? [? , ? ] 上恒成立 ? ?

? f (? ) ? 0 ? f (? ) ? 0

b ? b ? ? b ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?? f ( x) ? 0在x ? [? , ? ] 上恒成立 ? ? 2a 或? 或? 2a 2a ? ? ? f (? ) ? 0 ? ?? ? 0 ? f (? ) ? 0
1.(1)已知函数 f ? x ? ? ?

1 3 x ? bx 2 ? bx ? 2 x 在区间 ?0, 1? 上是增函数,求 b 的取值范围 3
2

(2)已知函数 f ?x? ? x ? ax ? a ?1 x 在区间 ?? ?,0? 上是增函数,求 a 的取值范围
3 2

?

?

2 2.设函数 f ?x ? 是定义在 R 上的增函数,如果不等式 f (1 ? ax ? x ) ? f (2 ? a) 对于任意 x ? [0,1]

恒成立,求实数 a 的取值范围

类型 2: (分离参数法) 已知 y ? f ? x ? 值域为 ?a, b? ,则 (1)当 m ? f ?x ? 恒成立时, m 取值范围是 (2)当 m ? f ?x ? 恒成立时, m 取值范围是 3. x ? 3x ? a ? 0 在 x ? ?? 2,3? 恒成立,求 a 的取值范围
2

4.向量 a ? ( x2 , x ? 1), b ? (1 ? x, t ), 若 f ?x ? ? a ? b 在区间 ? ?1,1? 上是增函数, t 的取值范围 若 f ?x ? ? a ? b 在区间 ? ?1,1? 上是减函数, t 的取值范围

?

?

? ?

? ?

6

3? 上单调递增, a 的取值范围 5.函数 f ?x ? ? a ln x ? x 在区间 ?2, 3? 上单调递减, a 的取值范围 函数 f ?x ? ? a ln x ? x 在区间 ?2,

6.已知函数 f ? x ? ? x ?
2

a ?x ? 0, a ? R ? 在区间 ?2, ? ? ? 上单调递增,求实数 a 的取值范围 x

类型 3:
f ?m? ? g ?n?恒成立 ? f ?m?min ? g ?n?或f ?m? ? g ?n?max

7. x ? 1 ? x ? 3 ? a ? 3a 对于 x ? R 恒成立,求 a 的取值范围
2

8.设奇函数 f ? x ? 在? ?1,1? 上是增函数,且 f ? ?1? ? ?1,若函数, f ? x ? ? t ? 2at ? 1 对所有的 x ? ? ?1,1? 都
2

成立,则当 a ? ? ?1,1? 时求 t 的取值范围

9.已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? 9 x ? 2, 若x ?
3 2

1 是f ( x) 的一个极值点,且 f ( x) 的图像在 x ? 1 处的切线与 2

直线 3x ? y ? 1 ? 0 平行 (Ⅰ)求 f ( x) 的解析式及单调区间 (Ⅱ)若对任意的 x ? ? ,2? 都有 f ( x) ? t ? 2t ? 1 成立,求函数 g (t ) ? t ? t ? 2 的最值 4
2 2

?1 ? ? ?

7

导数测试题(一)
一.选择题: 1.若 f ' ( x0 ) ? ?3 ,则 lim A. ?3

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? 3h) ? h ?0 h B. ?6 C. ?9 D. ?12





2.函数 f ?x? ? x 3 ? 3x 2 ? 9x, ?? 2 ? x ? 2? 有 A.极大值 5 ,极小值 ?27 C.极大值 5 ,无极小值 B.极大值 5 ,极小值 ?11 D.极小值 ?27 ,无极大值





3.函数 f ( x ) 的定义域为开区间 ( a, b) ,导函数 f ?( x ) 在 ( a, b) 内的图像如图所示,则函数 f ( x ) 在开区间 ( a, b) 内 有极小值点
y


y ? f ?( x)



b

a

O

x

A. 1 个

B. 2 个

C. 3 个

D. 4 个 处的切线与直线 ax ? 2 y ? 1 ? 0 互相垂直,则实数 a 的值为( D.2 ( ) )

4.若曲线 f ?x ? ? x ? sin x ? 1 在 x ? A. ? 2 B. ?1

?
2

C.1

5.函数 y ? f ( x) 的导函数 在区间 [ a, b] 上是增函数,则 y ? f ( x) 在区间 [ a, b] 上的图像可能是 ... y y y y

o

a
A

b x

o

a
B

b x

o

a
C

b x

o

a
D

b x

6.设 f ( x) ? x ? 2 x ? 4 ln x ,则 f ( x) ? 0 的解集为
2 '

( D. ( ?1,0) (



A. (0,??)

B. (?1,0) ? (2,??)

C. (2,??)

7.下列函数中,在 (0,??) 上为增函数的是 A. y ? sin x
2



B. y ? xe
x

x

C. y ? x ? x
3

D. y ? ln(1 ? x) ? x ( D. (2,??) 8 )

8.函数 f ( x) ? ( x ? 3)e 的单调递增区间是 A. (??,2) B. ?0,3? C. ?1,4 ?

9.曲线 y ?

x 在点 ?1,1? 处的切线方程为 2x ?1
B. x ? y ? 2 ? 0 C. x ? 4 y ? 5 ? 0 D. x ? 4 y ? 5 ? 0

(

)

A. x ? y ? 2 ? 0

10.设函数 y ? f ( x ) 在 R 内有定义,对于给定的正数 K ,定义函数 f k ( x) ? ? 取函数 f ( x) = 2 ? x ? e A. K 的最大值为 2 二.填空题: 11.已知 f ( x) ? x 2 ? 2 xf ' (1) ,则 f ' (0) ? __________.
?x

? f ( x), f ( x) ? K ? K , f ( x) ? K
( )

,若对任意的 x ? R ,恒有 f k ( x) = f ( x) ,则 B. K 的最小值为 2 C. K 的最大值为 1

D. K 的最小值为 1

12.已知偶函数 f ( x) 在 R 上的任一取值都有导数,且 f ' (1) ? 1, f ( x ? 2) ? f ( x ? 2), 则曲线 y ? f ( x) 在

x ? ?5 处的切线的斜率为
13.若 f ( x) ? ?

1 2 ( ? 1, ? ?) 上是减函数,则 b 的取值范围是 x ? b ln( x ? 2) 在 2

? ? ?, f '( x ) 为 f ( x) 的导函数,且满足 f ( x) ? ? xf '( x) ,则不等式 14.已知 f ( x) 定义域为 ?0,

f ( x ? 1) ? ( x ?1) f ( x2 ?1) 的解集是
15. 若函数 f ( x) ? x 3 ? 3 x ? a 有三个不同的零点,则实数 a 的取值范围是____________. 三.解答题:
4 2 16.已知 f ( x) ? ax ? bx ? c 的图像经过点 (0,1) ,且在 x ? 1 处的切线方程是 y ? x ? 2

(Ⅰ)求 f ( x) 的解析式 (Ⅱ)求 f ( x) 的单调递增区间

9

17.已知函数 y ? ax ? bx ,当 x ? 1 时,有极大值 3
3 2

(Ⅰ)求 a , b 的值 (Ⅱ)求函数 y 的极小值

18.设函数 f ( x) ? 2 x ? 3ax ? 3bx ? 8c 在 x ? 1 及 x ? 2 时取得极值.
3 2

(Ⅰ)求 a , b 的值

3] ,都有 f ( x) ? c 成立,求 c 的取值范围 (Ⅱ)若对于任意的 x ? [0,
2

19.设函数 f ( x) ? x ? 3ax ? b(a ? 0) .
3

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f ( x)) 处与直线 y ? 8 相切,求 a , b 的值 (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间与极值点

10

20.某型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y(升) 关于行驶速度 x(千米/小时) 的函数解析式可以表示为:

y?

1 3 x 3 ? x ? 8(0 ? x ? 120) .已知甲、乙两地相距 100千米 128000 80

(Ⅰ)当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (Ⅱ)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?

21.已知函数 f ( x) ? (ax ? x ? 1)e
2

x

(Ⅰ)若 a ? 1 ,求曲线 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程 (Ⅱ)若 a ? 0 ,求 f ( x) 的单调区间 (Ⅲ)若 a ? ?1 ,函数 f ( x) 与 g ( x) ?

1 3 1 2 x ? x ? m 的图象有 3 个不同的交点,求实数 m 的取值范围 3 2

11

导数测试题(二)
一.选择题: 1.设函数 f ( x ) 在 R 上可导,其导函数为 f ?( x ) ,且函数 y ? (1 ? x) f ?( x) 的图像如图所示,则下列结论中一定 成立的是 A.函数 f ( x ) 有极大值 f (2) 和极小值 f (1) B.函数 f ( x ) 有极大值 f ( ?2) 和极小值 f (1) C.函数 f ( x ) 有极大值 f (2) 和极小值 f ( ?2) D.函数 f ( x ) 有极大值 f ( ?2) 和极小值 f (2) 2.函数 f ( x) 的定义域为 R , f ( ?1) ? 2 ,对任意 x ? R , f ?( x) ? 2 ,则 f ( x) ? 2 x ? 4 的解集为 A. ?? 1,1? 3.曲线 y ? e A.
?2 x









B. ?? 1,???

C. ?? ?,?1?

D. R ( )

? 1 在点 ?0,2? 处的切线与直线 y ? 0 和 y ? x 围成的三角形的面积为
B.

1 3

1 2

C.

2 3

D. 1 ( )

' 4.函数 f ( x) 的图像如图, f ( x) 是 f ( x) 的导函数,则下列数值排列正确的是

A. 0 ? f (2) ? f (3) ? f (3) ? f (2)
' '

B. 0 ? f (3) ? f (3) ? f (2) ? f (2)
' '

C. 0 ? f (3) ? f (2) ? f (3) ? f (2)
' '

D. 0 ? f (3) ? f (2) ? f (2) ? f (3)
' '
3 5.设动直线 x ? m 与函数 f ?x ? ? x , g ( x) ? ln x 的图像分别交于点 M 、 N ,则 | MN | 的最小值为 (

)

A. (1 ? ln 3)
x

1 3

B. ln 3
?x

1 3

C. (1 ? ln 3)

1 3

D. ln3 ?1

6.设 a ? R ,函数 f ( x) ? e ? ae 则切点的横坐标为 A.

的导函数 y ? f '( x ) 是奇函数,若曲线 y ? f ( x) 的一条切线的斜率为 (

3 , 2


ln 2 2

B. ?

ln 2 2

C. ln 2

D. ? ln 2 ( )

2 7. f ( x ) 在 R 上满足 f ( x) ? 2 f (2 ? x) ? x ? 8x ? 8 ,则曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程

A. y ? 2 x ? 1

B. y ? x

C. y ? 3x ? 2

D. y ? ?2 x ? 3

8. 如图,一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,记 t 时刻五角星露出水面部分

12

的图形面积为 S ?t ? ,则导函数 y ? S ?t ? 的图像大致为
'





9.函数 f ? x ? ? x3 ? ax2 ? bx ? c 在 x1 处取得极大值,在 x2 处取得极小值,满足 x1 ? (?1,0) , x2 ? (0,1) , ( C. [0, 3] D. [1,3] ( ) )

1 1 3 2 a ? 2b ? 4 则 的取值范围是 a?2
A. (0, 2)

B. (1,3)

? x 2 ( x ? 0) ? 10. f ( x) ? ? 3 在 R 上是增函数,则实数 a 的取值范围是 2 ? ? x ? (a ? 1) x ? a ? 3a ? 4( x ? 0)
A. ? ??,1? 二.填空题: 11.向量 a ? (? 12.曲线 y ? x 值为 13.若曲线 f ( x) ? ax ? ln x 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 取值范围是____________
3

B. [ ?1,1]

C. (??,1)

D. ?? 1,4?

? 1 cos x,? x) , b ? (1, t ) ,函数 f ( x ) ? a ? b 在 (0, ) 上存在增区间,则 t 取值范围 2 2
(n ? N * ) 在点 ?1,1? 处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 x n ,令 an ? lg xn ,则 a1 ? a2 ? ? ? a99 的

n ?1

14.设曲线 y ? (1 ? x) ? x n 在 x ? 2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 a n ,则数列 ? 15.设 f ( x) ? x ?
3

? an ? ? 的前 n 项和 S n ? ? n ? 1?

1 2 x ? 2 x ? 5 ,当 x ? [?1,2] 时, f ( x) ? m 恒成立,则实数 m 的取值范围 2

三.解答题: 16.平面向量 a ? ( 3, ?1), b ? ( ,

?

?

? ? 1 3 ? ? ? ? ) ,若存在不同时为 0 的实数 k 和 t , x ? a ? (t 2 ? 3)b , y ? ?ka ? tb , 2 2

且 x ? y ,确定函数 k ? f (t ) 的单调区间

?

?

13

17.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? x ? 1
3 2

(Ⅰ)讨论函数 f ( x) 的单调区间

? ? 内是减函数,求 a 的取值范围 (Ⅱ)设函数 f ( x) 在区间 ? ? , ? ? 内是增函数,求 a 的取值范围 (Ⅲ)设函数 f ( x) 在区间 ? ? , ? 2 ? 3 1? 3?

? 2 ? 3

1? 3?

18.已知函数 f ( x) ? x ? 3ax ? (3 ? 6a) x ? 12a ? 4(a ? R)
3 2

2? (Ⅰ)证明:曲线 f ?x ? 在 x ? 0 的切线过点 ?2,
(Ⅱ)若 f ?x ? 在 x ? x 0 处取得极小值, x0 ? ?1,3? ,求 a 的取值范围

19.关于 x 函数 g ( x) ?

2 ? a ln x , f ( x) ? x 2 ? g ( x) , x

(Ⅰ)试讨论函数 g ( x) 的单调区间 (Ⅱ)若 a ? 0 ,求证 f ( x ) 在区间 (0,1) 内有极值

14

20.已知函数 f ? x ? ? ax3 ?

3 2 x ? 1,其中 a ? 0 . 2

(Ⅰ)若 a ? 1 ,求曲线 y ? f ? x ? 在点 2, f ? 2 ? 处的切线方程 (Ⅱ)若在区间 ? ?

?

?

? 1 1? , 上, f ? x ? ? 0 恒成立,求 a 的取值范围. ? 2 2? ?

21.已知函数 f ? x ? ? x ln x .
2 (Ⅰ)若函数 g ? x ? ? f ? x ? ? ax 在区间 ? ?e , ?? ? ? 上为增函数,求 a 的取值范围

? x 2 ? mx ? 3 (Ⅱ)若对任意 x ? ? 0, ?? ? , f ? x ? ? 恒成立,求实数 m 的最大值 2

15

导数测试题(三)
一、选择题 1.定义在 R 上的函数 f ( x) ? e x ? x2 ? x ? sin x ,则曲线 f ?x ? 在点 (0, f (0)) 处的切线方程是( A. y ? 2 x ? 1 B. y ? x ? 1 C. y ? 3x ? 2 D. y ? ?2 x ? 3 (
2



2.设 f ( x) ? 3x 2e x ,则 f ?(2) = A. 12e B. 12e C. 24e D. 24e
2



3. y ? f ?x ? 的图像是下列四个图像之一,其导函数 y ? f ' ?x ? 的图像如图所示,则该函数的图像是 (



A

B

C

D

4.曲线 y ? x 2 ? 2 x ? 3 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为 ?0,

? ?? ,则点 P 横坐标的取值范围为 ( ? 4? ?
D. ? ,1? 2 )

)

A. ?? 1,? ? 2

? ?

1? ?
2

B. ?? 1,0?

C. ?0,1?

?1 ? ? ?

5.函数 f ?x ? ? x ? bx ? a 的图像如图所示,则函数 g ?x ? ? ln x ? f ' ?x ? 的零点所在的区间是 ( A. ?

?1 1? , ? ?4 2?

B. ?

?1 ? ,1? ?2 ?

C. ?1,2?

D. ?2,3?

6.设函数 f ( x) 的定义域为 R , x0 ( x0 ? 0) 是 f ( x) 的极大值点,以下结论一定正确的是 A. ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) C. ? x0 是 ? f ( x) 极小值点 B. ? x0 是 f (? x) 的极小值点 D. ? x0 是 ? f (? x) 极小值点





2 x 7. 当 a ? 0 时,函数 f ( x) ? ( x ? ax)e 的图像大致是

(

)

16

8.已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c ,下列结论中错误的是 A. ?x0 ? R , f ( x0 ) ? 0 B.函数 y ? f ( x) 的图像是中心对称图形 C.若 x0 是 f ( x) 的极小值点,则 f ( x) 在区间 (??, x0 ) 单调递减 D.若 x0 是 f ( x) 的极值点,则 f '( x0 ) ? 0 9.函数 f ?x ? ? x3 ? bx2 ? cx ? d 在区间 ?? 1,2? 上是减函数,那么 b ? c 的取值范围是 A. ? ? ?, ?





(

)

? ?

5? 2?

B. ? ? ? , ?

? ?

15 ? ? 2?

C. ? ? ? , ? 2

? ?

5? ?

D. ? ? ?,?

? ?

15? 2? ?
( )

10.函数 f ?x ? ? ln x ? ax 在区间 ?0,3? 上有三个零点,则实数 a 的取值范围是 A. ? 0,

? ?

ln 3 ? ? 3 ?

B. ? 0,

? ?

ln 3 ? 3 ? ?

C. ?

? ln 3 1 ? , ? ? 3 e?

D. ?

? ln 3 1 ? , ? ? 3 e?

二、填空题 11.若曲线 y ? ax ? ln x 在点 (1, a ) 处的切线平行于 x 轴,则 a ? ____________.
2

12.已知 f ( x) ? x 2 ? 2xf ' (1) ,则 f ' (0) ?

.

13. f ( x) 是定义在 R 上奇函数, x ? 0 时, f '( x) ? 0 ,且 f ( ? ) ? 0 ,则不等式 f ( x) ? 0 的解集为______ 14.函数 f ? x ? ? ax ? 3x ? 1 对于 x ?? ?1,1? 总有 f ?x ? ? 0 成立,则 a =
3

1 2



15.函数 f ?x ? ? x

n ?1

, ?n ? N ? ? 的图像与直线 x ? 1 交于点 P ,若图像在点 P 处的切线与 x 轴交点的横坐标为

x n ,则 log2013 x1 ? log2013 x2 ??? log2013 x2012 的值为
三、解答题

? 16.已知函数 f ( x)

1 3 x ? mx 2 ? 3m 2 x ? 1 3

(Ⅰ)当 m ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程 (Ⅱ)若 f ( x) 在区间 (?2,3) 上是减函数,求 m 的取值范围.

17

17.已知 a ? R ,函数 f ?x? ? 2x 3 ? 3?a ? 1?x 2 ? 6ax (Ⅰ)若 a ? 1 ,求曲线 f ?x ? 在 x ? 2 处的切线方程 (Ⅱ)若 a ? 1 ,求 f ?x ? 在闭区间 0, 2a 上的最小值.

?

?

18.某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料,瓶子的制造成本是 0.8?r 分,其中 r 是瓶子的半径,单位是 cm,
2

已知每出售 1mL 饮料,制造商可获利 0.2 分,且制造商制作的瓶子的最大半径为 6 cm.试求出瓶子的半径多大时, 能使每瓶饮料的利润最大或最小.

19.设函数 f ( x ) ? 2 ln ? x ? 1? ? ? x ? 1? .
2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调递增区间 (Ⅱ)若关于 x 的方程 f ? x ? ? x2 ? 3x ? a ? 0 在区间 ? 2, 4? 内恰有两个相异的实根,求实数 a 的取值范围.

18

20.已知 f ( x) ? x ln x, g( x) ? ?x 2 ? ax ? 3. h?x ? ?

x 2 ? ex e

(Ⅰ)证明:对任意 x1 , x2 ? ?0,???,都有 f ?x1 ? ? h?x2 ? 成立 (Ⅱ)对一切 x ? ?0,???,2 f ?x ? ? g ?x ? 恒成立,求实数 a 的取值范围

21.已知函数 f ( x) ? e ? 2 x ? ax .
x 2

(Ⅰ)函数 f ( x) 在区间 [0,1] 上存在唯一的极值点,求 a 的取值范围 (Ⅱ)若 a ? 3 ,当 x ?

5 2 1 时,关于 x 的不等式 f ? x ? ? x ? ?m ? 3?x ? 1 恒成立,试求实数 m 的取值范围. 2 2

19

导数测试题(四)
一、选择题 1.设曲线 y ?

A.-2
2.若曲线

x ?1 在点 (3, 2) 处的切线与直线 ax ? y ? 1 ? 0 垂直,则 a ? x ?1 1 1 B.2 C. ? D. 2 2





f ? x ? ? a cos x 与曲线 g ? x ? ? x2 ? bx ? 1 在交点 ? 0, m? 处有公切线,则 a ? b ?
B.0 C.1 D.2





A. ?1
3.函数

f ? x ? ? x3 ? 4x ? a ?0 ? a ? 2? 有三个零点 x1 , x2 , x3 x1 且 x1 ? x2 ? x3 , 则下列结论正确的是(
B. x2 ? 0 C. x3 ? 2 D. 0 ? x2 ? 1 若 x1 ? x2 , ( C. f ( x1 ) ? f ( x2 ) D.不确定



A. x1 ? ?1

4.定义在 R 上的函数 f ( x) 的导函数为 f '( x ) ,已知 f ( x ? 1) 是偶函数, ( x ? 1) f '( x) ? 0 . 且 x1 ? x2 ? 2 ,则 f ( x1 ) 与 f ( x2 ) 的大小关系是 A. f ( x1 ) ? f ( x2 ) B. f ( x1 ) ? f ( x2 )



5.已知函数 f ( x ) 对定义域 R 内的任意 x 都有 f ( x ) = f (4 ? x) ,且当 x ? 2 时其导函数 f ?( x ) 满足

xf ?( x) ? 2 f ?( x), 若 2 ? a ? 4 则
A. f (2a ) ? f (3) ? f (log2 a) C. f (log2 a) ? f (3) ? f (2a )
n

( B. f (3) ? f (log2 a) ? f (2a ) D. f (log2 a) ? f (2a ) ? f (3) ( )



6.若直线 l 与幂函数 y ? x 的图像相切于点 A (2,8) ,则直线 l 的方程为

A. 12 x ? y ? 16 ? 0 C. 12 x ? y ? 16 ? 0
7.已知

B. 4 x ? y ? 0 D. 6 x ? y ? 4 ? 0

f ' ? x ? 是函数 f ( x ) 的导函数,如果 f ' ? x ? 是二次函数, f ' ? x ? 的图像开口向上,顶点坐标为 (1, 3) ,
( D. ? , ? ? )

那么曲线 y ? f ( x ) 上任一点处的切线的倾斜角 ? 的取值范围是 A. ? 0, ? 3

? ?

?? ?

B. ? ,

?? ? ? ? ?3 2?

C. ?

? ? 2? ? , ?2 3 ? ?

?? ?3

? ?

8.已知函数 y ? f ( x) 的图像关于 y 轴对称,且当 x ? (??,0), f ( x) ? xf '( x) ? 0 成立 a

? 2 0.2 ? f 2 0.2 ,
( )

? ?

b ? log? 3 ? f ?log? 3?, c ? log 2 2 ? f log 2 2 ,则 a, b, c 的大小关系是
A. b ? a ? c B. c ? a ? b C. c ? b ? a D. a ? c ? b

?

?

20

9.已知函数 y ? x

3

? 3x ? 2c 的图像与 x 轴恰有两个公共点,则 c 的值为
B. ?3 或 1 C. 1 或 ?1 D. 3 或 ?9





A. 2 或 ?2

10.已知 R 上可导函数 f ( x ) 的图像如图所示,则不 等式 ( x 2

? 2 x ? 3) f ?( x) ? 0 的解集为

(

)

A. ?? ?,?1? ? ?? 1,0? ? ?2,??? C. ?? ?,?2? ? ?1,2?

B. ?? ?,?1? ? ?? 1,1? ? ?3,??? D. ?? ?,?2? ? ?1,???

8题
二、填空题

11.在区间 ?? 2,3? 上任取一个数 a ,则函数 f ( x) ?
12.若函数 f ( x) ?
2

1 3 x ? ax 2 ? (a ? 2) x 有极值的概率为 3

.

2x 在点 (2, f (2)) 处的切线为 l ,则直线 l 与 y 轴的交点坐标为_____________. x ?1 1 13.直线 l 过点 ?? 1,3? ,且与曲线 y ? 在点 ?1,?1? 处的切线相互垂直,则直线 l 的方程为 x?2 1 2 14.已知函数 f ( x ) ? 1nx ? ax ? 2 x 在 x ? 2 处取得极值,实数 a 的值为 2 e 15.已知函数 f ( x) ? ln x ? f ?(1) ? x ? ln , f ( x) 的单调递增区间 2
三、解答题 16.已知函 数

f ( x) ? ln(e x ? a ? 1)(a 为常数)是实数集 R 上的奇函数.

(Ⅰ)求实数 a 的值 (Ⅱ)若函数 g ( x) ? ? f ( x) ? sin x 在区间 ? ?1,1? 上是减函数,求实数 ? 的最大值 (Ⅲ)若关于 x 的方程

ln x ? x 2 ? 2ex ? m 有且只有一个实数根,求 m 的值 f ( x)

21

17.设函数 f ? x ? ?

1 3 mx ? ?m ? 4 ?x 2 , g ?x ? ? a ln x ,其中 a ? 0 3

(Ⅰ)若函数 y ? g ( x) 图像恒过定点 P ,且点 P 在 y ? f ( x) 的图像上,求 m 的值 (Ⅱ)当 a ? 8 时,设 F ( x) ? f '( x) ? g ( x) ,讨论 F ( x ) 的单调性

18.已知函数 f ( x) ?

1 3 ax ? (a ? 2) x ? c 的图像如图所示 3

(Ⅰ)求函数 y ? f ( x) 的解析式 (Ⅱ)若 g ? x ? ?

kf ? ? x ? ? 2 ln x 在其定义域内为增函数,求实数 k 的取值范围 x

第 18 题图

19.已知函数 f ( x ) ?

a ( x ? 1) ,其中 a ? 0 x2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间 (Ⅱ)若直线 x ? y ? 1 ? 0 是曲线 y ? f ( x) 的切线,求实数 a 的值 (Ⅲ)设 g ( x) ? x ln x ? x f ( x) ,求 g ( x) 在区间 ?1, e? 上的最小值.
2

22

20.已知函数 g ? x ? ?

x , f ? x ? ? g ? x ? ? ax ? a ? 0 ? . ln x

(Ⅰ)求函数 g ? x ? 的单调区间 (Ⅱ)若函数 f ? x ? 在?1, ??? 上是减函数,求实数 a 的最小值(理科)

21.已知函数 f ? x ? ?

1 3 x ? ax 2 ? bx ? a,b ? R ? . 3

(Ⅰ)若曲线 C : y ? f ? x ? 过点 P ?1, 2 ? ,曲线 C 在点 P 处的切线与直线 x ? 2 y ? 14 ? 0 垂直,求 a,b 的值 (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求函数 g ? x ? ? m ? 1 ? f ? x ? ? x ? ( m 为实常数, m ? ?1 )极大值与极小值之差 3
2

?

?? ?

7 ? ?

(Ⅲ)若 f ? x ? 在区间 ?1, 2 ? 内存在两个不同的极值点,求证: 0 ? a ? b ? 2 .

23



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