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江苏省连云港市东海二中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年江苏省连云港市东海二中高二(上)期中数学试 卷
一、填空题(共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.过点(﹣2,3)且与直线 x﹣2y+1=0 垂直的直线的方程为 2.过三点 A(﹣4,0) ,B(0,2)和原点 O(0,0)的圆的标准方程为 3. 已知△ABC 中, A (2, 4) , B (1, ﹣3) , C (﹣2, 1)

, 则 BC 边上的高 AD 的长为

. . .

4.已知两条直线 l1: (3+m)x+4y=5﹣3m,l2:2x+(5+m)y=8.若直线 l1 与直线 l2 平行, 则实数 m= . 5.已知 l,m 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题: ①若 l∥α,m? α,则 l∥m; ②若 l? α,l∥β,α∩β=m,则 l∥m; ③若 l∥m,m? α,则 l∥α; ④若 l⊥α,m∥α,则 l⊥m. 其中真命题是 (写出所有真命题的序号) . 6.若圆 x +y =4 与圆 x +y ﹣2mx+m ﹣1=0 相外切,则实数 m=
2 2 2 2 2



7.若 x,y 满足约束条件

,则 z=x﹣y 的最小值是



8.过平面区域

内一点 P 作圆 O:x +y =1 的两条切线,切点分别为 A,B,记∠

2

2

APB=α,当α最小时,此时点 P 坐标为



9.如图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米.水位下降 1 米后, 水面宽为 米.

10.已知双曲线 离心率的值为
2

的一条渐近线经过点(1,2) ,则该双曲线的 .

11.已知点 P 在抛物线 x =4y 上运动,F 为抛物线的焦点,点 A 的坐标为(2,3) ,若 PA+PF 的最小值为 M,此时点 P 的纵坐标的值为 n,则 M+n= . 12.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为(x﹣4) +y =1,若直线 y=kx﹣3 上至少存在 一点,使得以该点为圆心,2 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是 . 13.已知等腰三角形腰上的中线长为 2,则该三角形的面积的最大值是 .
2 2

14.已知椭圆

,F1,F2 是左右焦点,l 是右准线,若椭圆上存在点 .

P,使|PF1|是 P 到直线 l 的距离的 2 倍,则椭圆离心率的取值范围是

二、解答题(共 6 题,90 分,请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.如图,已知斜三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=AC,D 为 BC 的中点. (1)若 AA1⊥AD,求证:AD⊥DC1; (2)求证:A1B∥平面 ADC1.

16.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,AB∥DC,DC=2AB,AP=AD,PB⊥AC,BD⊥AC,E 为 PD 的中 点.求证: (1)AE∥平面 PBC; (2)PD⊥平面 ACE.

17. (1)已知椭圆的焦点在 x 轴上,长轴长为 4,焦距为 2,求椭圆的标准方程; (2)已知双曲线的渐近线方程为 y=± x,准线方程为 x=± ,求该双曲线的标准方程.

18.已知△ABC 三个顶点坐标分别为:A(1,0) ,B(1,4) ,C(3,2) ,直线 l 经过点(0, 4) . (1)求△ABC 外接圆⊙M 的方程; (2)若直线 l 与⊙M 相切,求直线 l 的方程; (3)若直线 l 与⊙M 相交于 A,B 两点,且 AB=2 ,求直线 l 的方程. 19.已知直线 l 与圆 C:x +y +2x﹣4y+a=0 相交于 A,B 两点,弦 AB 的中点为 M(0,1) , (1)求实数 a 的取值范围以及直线 l 的方程; (2)若圆 C 上存在四个点到直线 l 的距离为 ,求实数 a 的取值范围; (3)已知 N(0,﹣3) ,若圆 C 上存在两个不同的点 P,使 PM= PN,求实数 a 的取值范围.
2 2

20.在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C: 圆 C 上的点到点 Q(0,2)的距离的最大值为 3. (1)求椭圆 C 的方程;

=1(a>b>0)的离心率 e=

,且椭

(2)在椭圆 C 上,是否存在点 M(m,n) ,使得直线 l:mx+ny=1 与圆 O:x +y =1 相交于不 同的两点 A,B,且△OAB 的面积最大?若存在,求出点 M 的坐标及对应的△OAB 的面积;若 不存在,请说明理由.

2

2

2014-2015 学年江苏省连云港市东海二中高二 (上) 期中 数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题(共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.过点(﹣2,3)且与直线 x﹣2y+1=0 垂直的直线的方程为 2x+y+1=0 . 考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题: 直线与圆. 分析: 根据与已知直线垂直的直线系方程可设与直线 x﹣2y+1=0 垂直的直线方程为 2x+y+c=0,再把点(﹣2,3)代入,即可求出 c 值,得到所求方程. 解答: 解:∵所求直线方程与直线 x﹣2y+1=0 垂直,∴设方程为 2x+y+c=0 ∵直线过点(﹣2,3) ,∴﹣4+3+c=0,∴c=1 ∴所求直线方程为 2x+y+1=0. 故答案为:2x+y+1=0. 点评: 本题主要考查了互相垂直的两直线方程之间的关系,以及待定系数法求直线方程, 属于常规题. 2.过三点 A(﹣4,0) ,B(0,2)和原点 O(0,0)的圆的标准方程为 (x+2) +(y﹣1) 2 =5 . 考点: 圆的标准方程. 专题: 直线与圆. 分析: 由条件利用圆的弦的性质求出圆心的坐标,可得圆的半径,从而求得圆的标准方程. 解答: 解:由于所求的圆经过三点 A(﹣4,0) ,B(0,2)和原点 O(0,0) , 故圆心在直线 x=﹣2 上,又在 y=1 上,故圆心的坐标为 M(﹣2,1) , 半径为 MO= ,故要求的圆的标准方程为(x+2) +(y﹣1) =5, 2 2 故答案: (x+2) +(y﹣1) =5. 点评: 本题主要考查求圆的标准方程,关键在于利用圆的弦的性质求出圆心的坐标,属于 基础题. 3.已知△ABC 中,A(2,4) ,B(1,﹣3) ,C(﹣2,1) ,则 BC 边上的高 AD 的长为 5 . 考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题: 直线与圆. 分析: 由已知条件分别求出直线 BC 和直线 AD 所在的方程,联立方程组,求出点 D,由此 能求出高 AD 的长. 解答: 解:∵△ABC 中,A(2,4) ,B(1,﹣3) ,C(﹣2,1) , ∴BC 边的斜率 kBC= =﹣ ,
2 2 2

∴BC 边上的高 AD 的斜率 kAD= , ∴直线 AD:y﹣4= 整理,得 3x﹣4y+10=0, 直线 BC: 整理,得 4x+3y+5=0, 联立 ,得 D(﹣2,1) , , ,

∴|AD|=

=5.

故答案为:5. 点评: 本题考查三角形的高的求法,是基础题,解题时要注意直线方程和两点间距离公式 的合理运用. 4.已知两条直线 l1: (3+m)x+4y=5﹣3m,l2:2x+(5+m)y=8.若直线 l1 与直线 l2 平行, 则实数 m= ﹣7 . 考点: 直线的一般式方程与直线的平行关系. 专题: 直线与圆. 分析: 对 x,y 的系数分类讨论,利用两条直线平行的充要条件即可判断出. 解答: 解:当 m=﹣3 时,两条直线分别化为:2y=7,x+y=4,此时两条直线不平行; 当 m=﹣5 时,两条直线分别化为:x﹣2y=10,x=4,此时两条直线不平行; 当 m≠﹣3,﹣5 时,两条直线分别化为:y= ∵两条直线平行,∴ , ≠ x+ ,y= + ,

,解得 m=﹣7.

综上可得:m=﹣7. 故答案为:﹣7. 点评: 本题考查了分类讨论、两条直线平行的充要条件,属于基础题. 5.已知 l,m 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题: ①若 l∥α,m? α,则 l∥m; ②若 l? α,l∥β,α∩β=m,则 l∥m; ③若 l∥m,m? α,则 l∥α; ④若 l⊥α,m∥α,则 l⊥m. 其中真命题是 ②④ (写出所有真命题的序号) . 考点: 专题: 分析: 解答: 空间中直线与平面之间的位置关系. 空间位置关系与距离. 利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解. 解:①若 l∥α,m? α,则 l 与 m 平行或异面,故①错误;

②若 l? α,l∥β,α∩β=m, 则由直线与平面平行的性质得 l∥m,故②正确; ③若 l∥m,m? α,则 l∥α或 l? α,故③错误; ④若 l⊥α,m∥α,则由直线与平面垂直的性质得 l⊥m,故④正确. 故答案为:②④. 点评: 本题考查命题真假的判断,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培 养. 6.若圆 x +y =4 与圆 x +y ﹣2mx+m ﹣1=0 相外切,则实数 m= ±3 . 考点: 圆与圆的位置关系及其判定. 专题: 直线与圆. 分析: 先求出圆的圆心和半径,根据两圆相外切,可得圆心距等于半径之和,求得 m 的值. 解答: 解: 圆 x +y =4 的圆心为 (0, 0) 、 半径为 2; 圆 x +y ﹣2mx+m ﹣1=0, 即 (x﹣m)+y =1, 表示圆心为(m,0) 、半径等于 1 的圆. 根据两圆相外切,可得圆心距等于半径之和,即|m|=2+1=3,求得 m=±3, 故答案为:±3. 点评: 本题主要考查圆的标准方程,两个圆相外切的性质,属于基础题.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

7.若 x,y 满足约束条件

,则 z=x﹣y 的最小值是 ﹣3 .

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 先根据条件画出可行域,设 z=x﹣y,再利用几何意义求最值,将最小值转化为 y 轴 上的截距最大,只需求出直线 z=x﹣y,过可行域内的点 A(0,3)时的最小值,从而得到 z 最小值即可. 解答: 解:设变量 x、y 满足约束条件 ,在坐标系中画出可行域三角形,

将 z=x﹣y 整理得到 y=x﹣z,要求 z=x﹣y 的最小值即是求直线 y=x﹣z 的纵截距的最大值, 当平移直线 x﹣y=0 经过点 A(0,3)时,x﹣y 最小, 且最小值为:﹣3, 则目标函数 z=x﹣y 的最小值为﹣3. 故答案为:﹣3.

点评: 借助于平面区域特性, 用几何方法处理代数问题, 体现了数形结合思想、 化归思想. 线 性规划中的最优解,通常是利用平移直线法确定.

8.过平面区域

内一点 P 作圆 O:x +y =1 的两条切线,切点分别为 A,B,记∠

2

2

APB=α,当α最小时,此时点 P 坐标为 (﹣4,﹣2) . 考点: 简单线性规划;直线与圆的位置关系. 专题: 数形结合;不等式的解法及应用.

分析: 先依据不等式组

,结合二元一次不等式(组)与平面区域的关系画出

其表示的平面区域,再利用圆的方程画出图形,确定α最小时点 P 的位置即可.

解答: 解:如图阴影部分表示

,确定的平面区域,

当 P 离圆 O 最远时,α最小, 此时点 P 坐标为: (﹣4,﹣2) , 故答案为: : (﹣4,﹣2) .

点评: 本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组,以及简单的转化思想和数形结合的 思想,属中档题.借助于平面区域特性,用几何方法处理代数问题,体现了数形结合思想、 化归思想. 9.如图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米.水位下降 1 米后, 水面宽为 2 米.

考点: 抛物线的应用. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先建立直角坐标系,将 A 点代入抛物线方程求得 m,得到抛物线方程,再把 y=﹣3 代入抛物线方程求得 x0 进而得到答案. 2 解答: 解:如图建立直角坐标系,设抛物线方程为 x =my, 2 将 A(2,﹣2)代入 x =my, 得 m=﹣2 ∴x =﹣2y,代入 B(x0,﹣3)得 x0= 故水面宽为 2 m. 故答案为:2 .
2



点评: 本题主要考查抛物线的应用.考查了学生利用抛物线解决实际问题 的能力.

10.已知双曲线 离心率的值为 .

的一条渐近线经过点(1,2) ,则该双曲线的

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由题意可得渐近线 y= x 经过点(1,2) ,可得 b=2a,代入可得离心率

e= =

=

,化简即可.

解答: 解:双曲线

的渐近线方程为 y=

x,

故 y= x 经过点(1,2) ,可得 b=2a,

故双曲线的离心率 e= =

=

=

故答案为: 点评: 本题考查双曲线的离心率,涉及渐近线的方程,属中档题. 11.已知点 P 在抛物线 x =4y 上运动,F 为抛物线的焦点,点 A 的坐标为(2,3) ,若 PA+PF 的最小值为 M,此时点 P 的纵坐标的值为 n,则 M+n= 5 . 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据抛物线的标准方程 求出焦点坐标和准线方程,利用抛物线的定义可得 |PA|+|PF|=|PA|+|PN|=M,由此可得. 解答: 解:抛物线标准方程 x =4y,p=2,焦点 F(0,1) ,准线方程为 y=﹣1. 设 p 到准线的距离为 PN, (即 PN 垂直于准线,N 为垂足) , 则 M=|PA|+|PF|=|PA|+|PN|=4, 此时 P(2,1) , ∴n=1, 则 M+n═5 故答案为:5. 点评: 本题考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,是解题的关键. 12.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为(x﹣4) +y =1,若直线 y=kx﹣3 上至少存在 一点,使得以该点为圆心,2 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是 .
2 2 2 2

考点: 直线与圆的位置关系.

专题: 计算题;直线与圆. 分析: 圆 C 的方程表示以 C(4,0)为圆心,半径等于 1 的圆.由题意可得,直线 y=kx﹣3 和圆 C′:即(x﹣4) +y =9 有公共点,由点 C′到直线 y=kx﹣3 的距离为 d≤3,求得实数 k 的最大值. 解答: 解:圆 C 的方程为: (x﹣4) +y =1,即圆 C 是以(4,0)为圆心,1 为半径的圆; 又直线 y=kx﹣3 上至少存在一点,使得以该点为圆心,2 为半径的圆与圆 C 有公共点, ∴只需圆 C′: (x﹣4) +y =9 与直线 y=kx﹣3 有公共点即可. 设圆心 C(4,0)到直线 y=kx﹣3 的距离为 d, 则 d= ≤3,即 7k ﹣24k≤0,
2 2 2 2 2 2 2

∴0≤k≤

, .

∴k 的最大值是 故答案为: .

点评: 本题主要考查直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式,体现了等价转化的数学 思想,属于中档题.

13.已知等腰三角形腰上的中线长为 2,则该三角形的面积的最大值是



考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 建系,设 C(m,0) ,B(﹣m,0) ,A(0,n) ,可得 D( , ) ,进而由题意可得 BD =
2



) +( ) =4,故三角形的面积 S=mn= ?

2

2

?

≤ ?

= ,注意

等号成立的条件即可. 解答: 解:以等腰三角形底边 BC 的中点为原点,建立如图所示的坐标系, 设 C(m,0) ,则 B(﹣m,0) ,A(0,n) , 由中点坐标公式可得 D( , ) , 由题意可得 BD =(
2

) +( ) =4,

2

2

∴三角形的面积 S=mn= ? 当且仅当

?

≤ ?

=

= 即 n=3m 时取等号,

∴三角形的面积的最大值为

故答案为:

点评: 本题考查基本不等式求最值,建立坐标系是解决问题的关键,属中档题.

14.已知椭圆

,F1,F2 是左右焦点,l 是右准线,若椭圆上存在点

P, 使|PF1|是 P 到直线 l 的距离的 2 倍, 则椭圆离心率的取值范围是



考点: 椭圆的简单性质. 专题: 综合题;压轴题. 分析: 设点 P 到直线 l 的距离为 d,根据椭圆的定义可知|PF2|比 d 的值等于 c 比 a 的值, 由题意知|PF1|等于 2d,且|PF1|+|PF2|=2a,联立化简得到:|PF1|等于一个关于 a 与 c 的关 系式,又|PF1|大于等于 a﹣c,小于等于 a+c,列出关于 a 与 c 的不等式,求出不等式的解 集即可得到 的范围,即为离心率 e 的范围,同时考虑 e 小于 1,从而得到此椭圆离心率的 范围. 解答: 解:设 P 到直线 l 的距离为 d, 根据椭圆的第二定义得 则|PF1|=2a﹣|PF2|=2a﹣ =e= ,|PF1|=2d,且|PF1|+|PF2|=2a, =2d,即 d= , ,

而|PF1|∈(a﹣c,a+c],即 2d=

所以得到

,由①得:

+ +2≥0, 为任意实数;

由②得:

+3 ﹣2≥0,解得 ≥

或 ≤

(舍去) ,

所以不等式的解集为: ≥ 所以椭圆离心率的取值范围是[ 故答案为:[ ,1)

,即离心率 e≥ ,1) .

,又 e<1,

点评: 此题考查学生掌握椭圆的定义及椭圆简单性质的运用,是一道中档题. 二、解答题(共 6 题,90 分,请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.如图,已知斜三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=AC,D 为 BC 的中点. (1)若 AA1⊥AD,求证:AD⊥DC1; (2)求证:A1B∥平面 ADC1.

考点: 直线与平面平行的判定;空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 证明题;空间位置关系与距离. 分析: (1)证明 AD⊥BC,AD⊥CC1,利用线面垂直的判定定理,可得 AD⊥平面 BCC1B1,即 可证明 AD⊥DC1; (2)连结 A1C,交 AC1 于点 O,连结 OD,则 O 为 A1C 的中点,证明 OD∥A1B,可得 A1B∥平面 ADC1. 解答: 证明: (1)因为 AB=AC,D 为 BC 的中点,所以 AD⊥BC.…(2 分) 因为 AA1⊥AD,AA1∥CC1,所以 AD⊥CC1,…(4 分) 因为 CC1∩BC=C,所以 AD⊥平面 BCC1B1,…(6 分) 因为 DC1? 平面 BCC1B1,所以 AD⊥DC1 …(7 分) (2)连结 A1C,交 AC1 于点 O,连结 OD,则 O 为 A1C 的中点. 因为 D 为 BC 的中点,所以 OD∥A1B …(9 分) 因为 OD? 平面 ADC1,A1B? 平面 ADC1,…(12 分) 所以 A1B∥平面 ADC1 …(14 分)

点评: 本题考查直线与平面平行的判定、考查线面垂直的判定定理与性质,考查学生分析 解决问题的能力,属于中档题. 16.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,AB∥DC,DC=2AB,AP=AD,PB⊥AC,BD⊥AC,E 为 PD 的中 点.求证: (1)AE∥平面 PBC; (2)PD⊥平面 ACE.

考点: 直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 证明题. 分析: (1)要证明线面平行,需要构造线面平行的判定定理的条件﹣﹣在面 PBC 内找到与 AE 平行的直线,取 PC 的中点 F 利用题目中的平行关系,可证得 AE∥BF,即得 AE∥BF. (2) 由 PB⊥AC, BD⊥AC 可得 AC⊥平面 PBD, 利用线面垂直的定义得 AC⊥PD, 然后由 AP=AD, E 为 PD 的中点得到 PD⊥AE,由线面垂直的判定定理可得 PD⊥平面 ACE. 解答: 证明: (1)取 PC 中点 F,连接 EF,BF, ∵E 为 PD 中点, ∴EF∥DC 且 EF= ∵AB∥DC 且 . ,

∴EF∥AB 且 EF=AB. ∴四边形 ABFE 为平行四边形. ∴AE∥BF. ∵AE? 平面 PBC,BF? 平面 PBC, ∴AE∥平面 PBC. (2)∵PB⊥AC,BD⊥AC,PB∩BD=B, ∴AC⊥平面 PBD. ∵PD? 平面 PBD, ∴AC⊥PD. ∵AP=AD,E 为 PD 的中点, ∴PD⊥AE. ∵AE∩AC=A, ∴PD⊥平面 ACE.

点评: 本题考查了线面平行和线面垂直的判断,考查数形结合、化归与转化的数学思想方 法,是个中档题. 17. (1)已知椭圆的焦点在 x 轴上,长轴长为 4,焦距为 2,求椭圆的标准方程; (2)已知双曲线的渐近线方程为 y=± x,准线方程为 x=± ,求该双曲线的标准方程.

考点: 双曲线的简单性质;椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)利用椭圆的标准方程及其性质即可得出; (2)利用双曲线的标准方程及其性质即可得出. 解答: 解: (1)设椭圆的标准方程为: 由题意得 a=2,c=1,? b =3, ∴所求椭圆的标准方程为 .
2



(2)由题意知双曲线标准方程为:

, (a,b>0) .


2


2 2



又 c =a +b ,解得 a=4,b=3, ∴所求双曲线标准方程为 .

点评: 本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质,属于基础题. 18.已知△ABC 三个顶点坐标分别为:A(1,0) ,B(1,4) ,C(3,2) ,直线 l 经过点(0, 4) . (1)求△ABC 外接圆⊙M 的方程; (2)若直线 l 与⊙M 相切,求直线 l 的方程; (3)若直线 l 与⊙M 相交于 A,B 两点,且 AB=2 ,求直线 l 的方程.

考点: 直线和圆的方程的应用;圆的一般方程. 专题: 综合题;直线与圆. 分析: (1)确定△ACB 是等腰直角三角形,因而△ACB 圆心为(1,2) ,半径为 2,即可求 △ABC 外接圆⊙M 的方程; (2)当直线 l 与 x 轴垂直时,显然不合题意,因而直线 l 的斜率存在,设 l:y=kx+4,由 题意知 ,求出 k,即可求直线 l 的方程;

(3)分类讨论,利用勾股定理,可得直线 l 的方程. 解答: 解: (1)∵A(1,0) ,B(1,4) ,C(3,2) , ∴ ∴ =(﹣2,﹣2) , =(﹣2,2) , ,则△ACB 是等腰直角三角形,
2 2

因而△ACB 圆心为(1,2) ,半径为 2,∴⊙M 的方程为(x﹣1) +(y﹣2) =4. (2)当直线 l 与 x 轴垂直时,显然不合题意,因而直线 l 的斜率存在,设 l:y=kx+4, 由题意知 ,解得 k=0 或 ,…(8 分)

故直线 l 的方程为 y=4 或 4x﹣3y+12=0.…(10 分) (3)当直线 l 与 x 轴垂直时,l 方程为 x=0,它截⊙M 得弦长恰为 当直线 l 的斜率存在时,设 l:y=kx+4, ∵圆心到直线 y=kx+4 的距离 ,

;…(12 分)

由勾股定理得

,解得

,…(14 分)

故直线 l 的方程为 x=0 或 3x+4y﹣16=0. …(16 分) 点评: 本题考查直线和圆的方程的应用,考查直线、圆的方程,考查点到直线的距离公式, 属于中档题. 19.已知直线 l 与圆 C:x +y +2x﹣4y+a=0 相交于 A,B 两点,弦 AB 的中点为 M(0,1) , (1)求实数 a 的取值范围以及直线 l 的方程; (2)若圆 C 上存在四个点到直线 l 的距离为 ,求实数 a 的取值范围; (3)已知 N(0,﹣3) ,若圆 C 上存在两个不同的点 P,使 PM= PN,求实数 a 的取值范围. 考点: 直线和圆的方程的应用. 专题: 综合题;直线与圆. 分析: (1)圆的方程化为标准方程,可得实数 a 的取值范围,利用垂径定理,可求直线 l 的方程; (2)确定与直线 l 平行且距离为 的直线,即可求实数 a 的取值范围; (3)利用 PM= PN,可得圆的方程,结合两个圆相交,求实数 a 的取值范围.
2 2

解答: 解: (1)圆 …(1 分) 据题意: …(2 分)

因为 CM⊥AB,? kCM? kAB=﹣1,kCM=﹣1,? kAB=1 所以直线 l 的方程为 x﹣y+1=0…(4 分) (2)与直线 l 平行且距离为 l2:x﹣y﹣1=0 与圆相交, (3)设 据题意:两个圆相交: …(14 分) 且 ,所以: …(16 分) 点评: 本题考查圆的方程,考查直线和圆的方程的应用,考查学生分析解决问题的能力, 属于中档题. 的直线为:l1:x﹣y+3=0 过圆心,有两个交点,…(6 分) ;…(8 分) …(12 分)

20.在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C: 圆 C 上的点到点 Q(0,2)的距离的最大值为 3. (1)求椭圆 C 的方程;

=1(a>b>0)的离心率 e=

,且椭

(2)在椭圆 C 上,是否存在点 M(m,n) ,使得直线 l:mx+ny=1 与圆 O:x +y =1 相交于不 同的两点 A,B,且△OAB 的面积最大?若存在,求出点 M 的坐标及对应的△OAB 的面积;若 不存在,请说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)由椭圆的离心率得到 a =3b ,设出椭圆上点 P 的坐标,写出点到直线的距离, 然后对 b 分类求出|PQ|的最大值,由最大值等于 3 求解 b 的值,进一步得到 a 的值,则椭圆 方程可求; (2)求出圆心到直线 l 的距离,由勾股定理得到弦长,代入三角形的面积公式,把面积用 含有 d 的代数式表示,配方后求出面积的最大值并求得使面积最大时的 d 值,从而得到 m, n 的值,则点 M 的坐标可求. 解答: 解: (1)∵
2 2 2 2

2

2





,于是 a =3b .

设椭圆 C 上任一点 P(x,y) ,

则 ≤b) . 当 0<b<1 时,|PQ| 在 y=﹣b 时取到最大值,且最大值为 b +4b+4, 2 由 b +4b+4=9 解得 b=1,与假设 0<b<1 不符合,舍去. 2 2 当 b≥1 时,|PQ| 在 y=﹣1 时取到最大值,且最大值为 3b +6, 由 3b +6=9 解得 b =1.于是 a =3,椭圆 C 的方程是 (2)圆心到直线 l 的距离为 ,弦长
2 2 2 2 2

(﹣b≤y

. ,

∴△OAB 的面积为 于是 而 M(m,n)是椭圆上的点, ∴ 于是
2 2

, .

,即 m =3﹣3n , ,而﹣1≤n≤1,

2

2

∴0≤n ≤1,1≤3﹣2n ≤3, ∴ 于是当 此时 , , 时,S 取到最大值 ,此时 S 取到最大值 , . 、 、 、
2

综上所述,椭圆上存在四个点 ,

使得直线与圆相交于不同的两点 A、B,且△OAB 的面积最大,且最大值为 . 点评: 本题考查了椭圆方程的求法,考查了函数取得最值的条件,体现了分类讨论的数学 思想方法,训练了利用配方法求函数的最值,是压轴题.


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