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2013年浙江省高中数学竞赛


3 6  

中 等 数 学 

2 0 1 3年浙江 省高中数学竞赛 
中 图分 类 号 : G 4 2 4 . 7 9   文 献标 识 码 :A   文章编号 : 1 0 0 5—6 4 1 6 ( 2 0 1 4 ) 0 1— 0 0 3 6一 o 4  




r />选择题 ( 每小题 5分 , 共5 0分 )  

1 . 已知集合 
P={  I  E   R, l  一1   I <1 } ,  

Q={  I  E   R, I  一 口 l ≤1 } ,   且 Pn   Q:  . 则实数 口 取值范 围为 (  
( A ) 口 >3 I   ( B ) 口 ≤一 1  

) .  

( C ) 口 ≤ 一1 或0 >3 i   ( D) 一1 ≤口 ≤3  

2 . 若 、 卢E   R, 贝 0   O t + / 3 = 9 0 。 _ 黾s i n   0 c + s i n   J B > 1   的(   ) 条件.  
图 1  

( A ) 充分而不必要 
( B ) 必要而不充分 

( C ) 充分必要 ‘   ( D ) 既不充分也不 必要 

( A) 2 0  

( B ) 2 2  

( C ) 2 4   ) .  

( D) 2 5  

8 . 已知一个立体 图形 的 三视 图如 图 2所 示.   则该立体 的体积为 (   ) .  

3 . 已知等 比数列 { 0   } : 口   = 3 , 且第 一项 至第 
八项的几何平 均数为 9 . 则第 三项是 (  

( A ) 3 海
则z =(   ) .  

( B ) 3  

( c )  

( D ) 3  

1  

4 . 已知复数 z =  + Y   i (  、 Y   E   R) . 且z   =8   i .  
( A) 2 + 2   i   ( B ) 一 2 + 2   i 或 2— 2   i  

( C )一 2— 2   i  

( D) 2+ 2   i 或一 2— 2   i  

2  

5 . 已知直线 A B与抛物线 Y   = 4 x 交于 A 、  两 

点,   为A B 的中点 , c为抛 物 线上 一个 动点. 若 
点C 。 满 足 

正视 图: 上 下  两 个 正 方 形 

C 0 A? C 0 B= m i n { C A ? C B} ,   则下列一定成立的是 (   ( A ) C 0 M上 A B   ( B ) C 。  上f ( f 是抛物线 过点 C 。 的切 线)   ( C ) C o A上 C o B  
1  

) .  

俯 视图: 边长为2 的正三角形 
图2  

( A ) 3 , / 3 - ( B ) 学( c ) 学( D )  
9 . 设 函数  ) = x ( x一1 )   (  一 2 )   (  一 3 )   .  

( D) c 0  =   B  
厶  

6 . 若 三位数a b c 被 7整除 , 且0 、 b 、 C 成 公差 非  零的等差数列 , 则这样 的整数共有 (  
( A) 4   出的 后 =(   ( B ) 6   ) .   ( C ) 7  

则函数 y =   ) 的极大值点为 (  
( A )  = 0   ( C )  = 2   ( B )  = 1   ( D )  = 3  

) .  

) 个.  

( D ) 8  

7 . 程序框 图如 图 1 所示. 当 E= 0 . 9 6时 , 则输 

1 0 . 已知  ) 、 g (  ) 、 h (  ) 均为 一次 函数. 若 

对实数 满足 

2 0 1 4年第 1 期 

3 7  

i f (  ) I —I g (  ) I + h (   )  
f—l ,  


b 2   o 1 3 是公 比为L  首 项为 (  +1 )  。 ’   的等 比数 


< 一1;  

{ 3 x+ 2 ,  

【 一 2   + 2 ,  I > 0 ,  
) .  

一 1 ≤  < 0 ;  

列. 证 明:  
b l <01 <b 2< … <n 2   0 l 2< b 2   o l 3 .  

则 (  ) =(  

四、 附加题 ( 每小题 2 5分 , 共5 0分 )  

( A ) x 一 ÷ 

( B ) 一  一 ÷ 

2 1 . 设 口 、 b 、 c   E   R+ , 满足 0 6+6 c+C a≥3 .   证明 :  

( c ) 一  + — = }   ( D )  + ÷ 
二、 填空 题( 每小题 7分 , 共4 9 分)  

∑口   + ∑0   ( 6   + c   ) > 1 9 ,  
其中, “ ∑” 表示轮换对称和.  
2 2 . 从0 , 1 , …, l 0中挑选若 干个不 同 的数字  段相连的两个 圆圈内的数字之差的绝对值各不相 

1 1 . 若t a n  ? t a n   Y = 2 , s i n  ? s i n   Y = ÷, 则  — Y   填满 图中每一个 圆圈称为一种 “ 填法 ” . 若各条线 

— —

?  

1 2 . 设  ) =   一( k+1 )  + 2 . 若 当 > o  ̄ - , t ,   ) 恒 大于零 , 则k 的取 值范围为一 项 的值为一   1 4 . 若 、 Y   E   R满足 
2  一2 x   Y   一2 y ( x+   )一   = 5,  

 

同, 则称这样 的填法为“ 完美 填法 ” . 问: 图 3和图  4是否存 在完 美填 法?若存 在 , 请 给 出一 种完美 

1 3 . 已知数列 {   } ( n   E   Z+ ) . 则数列 中最大 

填法 ; 若不存 在 , 请说 明理 由.  

则(  , Y )= — — .   1 5 . 设直线 f 与 曲线 Y=   +  + 1 有三个不 同   的交点 A 、 8、   c , 且l A BI -l B C I -   . 则直线 l 的  方程为— — .   1 6 . 若 口> 0 , b> 0 , 则 
mi n  

图3  



图4  

1 ,


+ 

.  

1 7 . 某动 点在平面 直角坐标 系第 一象 限的整  点上运动 ( 含第 一象限 轴 、 Y轴上 的整点 ) , 其运  动规律 为 ( r a , n )   ( m+1 ,   +1 ) 或( m, n )   ( m+1 , n一1 ) . 若该 动点从 原点出发 , 经 过 6步运  动到点 ( 6 , 2 ) , 则有— — 种不 同的运动轨迹 .  

参 考 答 案 
— —



1 ? C?  

由题设知  P={  1 0<  < 2 } , Q={  1   0 —1 <  < 0+ 1 } .   若使 P O   Q=   , 贝 0 口 一1   >2或 口+ I 1 ≤ O .   解得 o ≤一 1 或0 ≥3 .  
2 . D.  

三、 解答 题 ( 每小题 l 7 分, 共5 1 分)   1 8 . 已知抛物线 Y   = 4 x , 过 轴上点 K的直线  与抛物线交 于点 P、 Q . 证明: 存 在 唯一一 点 K, 使 
得  +   为常数 , 并确定点 K的坐标.  

当  = 0 , 卢= 9 0 。 时, s i n   a+s i n 卢=1 .   当  =  = 6 0 。 时,  

1 9 . 设二 次函数 

s i n  + s i n 卢= √  >1 , 但  + 卢 ≠9 0 。 .  
3 . B.  

) = a  +( 2 6+ 1 )  一 口一 2 ( a , b   E   R, 口 ≠ 0 )   在[ 3 , 4 ] 上 至少有 一个零 点. 求0   + b 。 的最小值.  
2 O . 设 (  E   N) 满足 
, 1+   。   2   01 4  

计算得 q : 3 丁 , 从而, 0 , = 3 7 g r.  
4 . D.  

I   J <  西’  
已知数列 口 1 , 口 2 , …,  ̄ 2   0 1 3 是公差为  叭 。 、 首项  为(  +1 )   m  一1的 等差 数列 ; 数列 b 。 , b   , …,  

由题意知  + 2 x y   i — y 2 = 8   i  
5 . B.  

= ) , =± 2 .  

注意到 ,  
- - -



?—--…

 

C A? C B=( C M —A M、 } ? ( C M —n n)  

3 8  


中 等 数 学 



I   1   一   . (   +   ) +   .   I   I  一I   l   z  

1 3.  

,  

设I 厂 (  ) = 戈 i= e 了 l  . 则 
/   (  ) :   - 5 - ( 1 一 I n  ) .  

铺 C M上 f .  
6 . D.  

设满足题意的三位数为  ( b — d ) b ( b + d )= 1 1 l b 一 9 9 d ,  

解得 : e 为极大值点.  

其中, 0 ≤6 < 9 , 一 9 < d< 9 , d # 0 .  
由7   I ( 1 1 l b 一 9 9 d )j  7   I ( b + d )  

于是 , 数列最大项为第 三项 , 其值 为  .  
1 4.  

( b , d ) =( 1 , 一 1 ) , ( 2 , 一 2 ) , ( 3 , 一 3 ) ,  
( 4 , 3 ) , ( 4 , 一 4 ) , ( 5 , 2 ) , ( 6 , 1 ) ,   ( 8 , 一 1 ) .   故所有 的三位数为 
21 0   4 2 0   6 3 0  1 4 7、 8 4 0 、 3 5 7、 5 6 7、 9 8 7 .  
7. C.  

将题 中方程视为关 于 戈的一元 二次方程 , 则 
△= 4 ( ) , 一1 )  一 2 0 ( 2 y   + 2 y +1 ) ≥0   ( 3 y + 2 )   ≤0  
j  Y= 一   ,   =3 .  

1 5 . Y=2 x+ 1 .  

由题意知 
1   1   1  

注意到 , 曲线关于点 ( 0 , 1 ) 对称.   设直线方程为 ) , =   + 1 , 点A ( x , Y ) . 则 
r y=  + 1,  


= 1一  

+ 丽   一+  
≥0 . 9 6  
+l  

J   Y   +   + 1 ,   【   可 =  
( k 一 2 ) ( k   + k + 3 ) = 0  
k:2 .  

j  k ≤2 4 .   8 . D.  

从图 2 知立体 图形是 由两个 三棱柱组成.  
9 . B.  

故所求直线方程为 Y = 2 x+ 1 .  
1 6 .   .  

由图像 , 知  = 1为函数极 大值点 ,  = 3是极 

小值 点 ,  = 0 , 2不是极 值点.  
1 O . C.  

设 m a x { 口 , 6 ,   1 + 古 ) = m . 则  
口≤ m , 6 ≤m , 1
+   ≤ m 
j   m ≥  m ≥ 

(   ) =   二   一 =  
二 、 1 1 . 2 k   ± 争  

= 一   + 丢 .  

由t a n川 a n  = 2 , s i n … i n  =  
c 。 s… 。 s   y = 

m i n ( m a x   + 堋=   .  
1 7 . 9 .  

c : 一 C   = 9 .  
三、 1 8 . 设 点 K( 口 , 0 ) . 过 K 的 直 线 方 程 为  Y=   (  一 n ) , 与抛物线交于点 P (  , ) ,   ) , Q (  , ) , 2 ) .  

c 。 s ( x- y ) :   1  

将直线方程代人抛物线方程得 
= = 》   一y =2 k T t + _   3 .  

k 2 x   一 2 ( a k 。 + 2 )  + a 2 k   = 0  
= 
.  

1 2 . ( -a o , 2 4 c 2 - 一 1 ) .   由   一( k +1 )  + 2 > 0   k+ 1 <  +   ^   .  

l+  2  

。  

2 ( 口 J j }   + 2 )   — ——  , 9  ̄ 1  ̄2  

O ,? r  

2  

又I P  l  =(   1 一 n )  + Y   ,   I   l  =(   2 —0 )  + Y   ,  

又 +   ≥ 2   , 等号在 :   时取得 , 此时 ,  


k<  

一1 .  

p K I   2 +  

1  

1   1 + 詈 . 1 }  

而  。  

2 0 1 4年第 l 期 

3 9  

令 a = 2 . 则 丽 1+   = 丢 , 点  , 0 ) .  
1 9 . 将题设式视为关于 a 、 b 的直线方程 
(   一1 ) a+ 2 x b+   一2= 0 .  

其次证 明 : 6 …> 口   ( i : 1 , 2 , …, 2   0 1 2 ) .  
注意到 , b , 一 0 , =l > 0 .   假设 I ≤i ≤2   0 1 1 时, 结论成立. 则 
6   + 2一口   + 1  


由直线上一点 ( 口 , 6 ) 到 原点 的距 离大 于或等  于原 点到直线的距离 , 得 

( 6   + 2 一 b   + 1 ) 一( 0   + 1 一 口   ) +( 6   + 1 — 0   )  

≥  

?

① 

(  

一   2   0 1 3 + ( 6 …  ) > 0 .  

设 一 2=   ( t   E[ 1 , 2 ] ) . 则式① 右边 变为 
≥  ’  

综上 , 命题得证.   四、 2 1 . 原命题等价于  ( 0 3+b 3+c   ) ( C t 2 +6 2 +c 2 )I >9 .  

又 ( 。   + 6 , + c   ) 2 > 1 9 f  
口  +6  +C 2   >3 I
.  

) 3 , 故 只 需 证  

故当  = l , 。= 一   2 6 =一   时, 。 。 + 6   取得 


最 小 值 高?  
2 0 . 由题 意知  口   =(  +1 )   0  一 1 +( i 一 1 )   2   o 1 。 ,  

利用已知条件 , 显然.   2 2 . 对 图 3的完美 填法不唯一 , 如图5 所示.  

l   X 2   0 1 3 (   故   =   2   0 j 。 (  
首先 利用数学归纳法证 明 :  
Ⅲ( 1 ≤  

+ 1 ) i   2   0 1 4 ~ .  

0 l 3 ) .  
图5   图6  

由于 o l — b 1 =  叭  +   。 叭   一 1 ≥  叭   , 因此 , 当  i = 1 时结论成立.   假设 1 ≤   ≤2   0 1 2时 , 结论成立. 则  n   + 1 — 6   + l = ( 血   + 1 — 0   ) 一 ( 6 i + 1 — 6   ) +( n   一 6   )  

对 于图 4不 存在完美 填法. 这是 因为 图 4中  共有 l O 条 连线 , 所 以, 各 连线 上两数 之差 的绝对 
值恰为 1 , 2 , …, 1 0 , 其 和 
S= f   0 l一0 2   f +f   0 1 一。 3   I +f   0 2—0 3   f+… +  
l 口 7一口 8   I :5 5  

=   2   一   ㈨ ( l I   — — 卜( , I   十 l    0 0   ’ —     ) ,  
=  

1 一 (  )   叭   ]   _ 6 f )  
≥ 一   ㈣ 十   Ⅲ 

为奇数.   另一方 面 , 图 4中每个 圆圈均有偶数条连线 ,  

2   0 1 4一( i +1 )2   0 1 3  
— ’  

即每个 圆圈内的数在上述 s的表达式 中出现偶数  次. 因此 , 5应为偶 数 , 矛盾.   从而, 图 4中不存 在完美填法.   ( 杨晓呜
提供 )  

2   0 1 3  

故 0   >b   ( i =1 , 2, …, 2   0 1 3 ) .  


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