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大学生物理创新竞赛辅导


2014 年“浙江省大学生物理创新竞赛”辅导 —— 电磁学(静电场)

电磁学复习 —— 静电场
01 库仑定律、电场强度、电场强度叠加原理及其应用
1) 库仑定律 真空中两个静止点电荷之间的作用力: F ?

?

1 q1q2 ? 0 r —— 库仑定律 4?? 0 r 2

电场力的叠加原理: F ? 2) 电场强度

?

? 4??
i ?1

n

1 q0 qi ? 0 r0i 2 0 r 0i

? ? F 电场强度: E ? —— 单位电荷所受到的电场力,方向为正电荷在该点受力的方向 q0
3) 电场强度叠加原理及其应用

电场强度叠加原理: E ?

?

?q E
i ?1 0

n

?

i

q0

n ? ? ? Ei i ?1

点电荷 q 的电场: E ?

?

q ?0 r 4?? 0 r 2
1

? n 1 qi ? 0 点电荷系的电场: E ? ? r 2 i i ?1 4?? 0 r i
电荷连续分布的带电体的电场: E ?

?

?

V

1 dq ? 0 1 ? dV ? 0 r ?? r 2 V 4?? r2 4?? 0 r 0

02 静电场的高斯定理
1) 高斯定理的表述 真空中的任何静电场中,穿过任一闭合曲面的电通量等于闭合曲面所包围的电量代数和乘以 2) 高斯定理的数学表达式 ? 对于点电荷体系: ? e ?

1

?0

? E ? dS ? ? ? q ?
S
0

?

?

1

i

i

? 对于电荷连续分布体系: ? e ?

? E ? dS ? ? ? ? ?
S
0

?

?

1

V

? dV

REVISED TIME: 14-11-29

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3) 高斯定理的应用 ? 分析电荷分布对称性 球对称性 —— 点电荷、电荷均匀分布的球面、均匀带电球体 轴对称性 —— 无限长均匀带电棒、无限长均匀带电圆柱面、圆柱体、无限大带电平面 ? 分析电场强度分布对称性 球对称性 —— 电场强度方向沿半径方向 轴对称性 —— 电场强度方向沿垂直于轴线方向,或者沿垂直于面的方向 ? 高斯面选取 球对称性 —— 高斯面为球面 轴对称性 —— 高斯面为圆柱面 ? 应用真空中的高斯定理:

? E ? dS ? ? ?
S

?

?

q
0

求解电场强度

? 电荷分布、电场强度不对称的情况: 先根据高斯定理求解对称电荷分布的电场,再根据电场叠加原理进行计算

03 电势 电势叠加原理
1) 静电场是保守力场 如图 XCH003_037 所示,点电荷 q 固定在原点 O 处,试验电荷 q0 在 q 的电场力作用下从 A 点沿 路径 L 运动到 B 点。电场力做功:

Aab ?

qq0 1 1 ( ? ) —— 静电力做的功与路径无关 4?? 0 r1 r2

2) 电势 是将单位正电荷沿任意路径, 从 P 点移动到电势零参考点 P0 , 电场力做的功。 空间 P 点的电势, 也可以表述为 P 点的电势就是单位正电荷在 P 的电势能,如图 XCH003_037_04 所示。

P 点的电势:

? P ? ? E ? dr
P

P0

?

?

给定的电荷分布和零电势参考点,函数 ? ? ? ( x, y , z ) 唯一确 定。对于电荷在有限空间分布的情况下,选取无限远为零电势参考 点。

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AB 两点的电势差: U AB ? ? A ? ? B
P0 ? P0 ? B ? ? ? ? U AB ? ? E ? dr ? ? E ? dr ? ? E ? dr A B A

3) 点电荷的电势 选取无限远为零电势参考点: r0 ? ?

??

q 4?? 0 r

4) 点电荷系的电势: ? ?

??
k ?1

n

k

—— 电势叠加原理

如果选取无限远为零电势参考点: ? ?

? 4?? r
k ?1

n

qk

0 k

5) 电荷连续的带电体在空间产生的电势

带电体在空间 P 点的电势: ? ?

?

V

?? dl ? —— dq ? ?? dS 4?? 0 r ? ? dV ?

dq

—— 带电体的电荷分布为线分布、

面分布和体分布时的电荷元

04 电场强度和电势的关系 静电场的环路定理
1) 电场强度与电势的关系 电场强度等于电势梯度的负值: E ? ??? 物理意义:电场强度的大小为电势沿法线方向上的空间变化率,方向沿负法线方向 2) 静电场环路定理

?

? E ? dl ? 0 ?
L

?

?

—— 在静电场中,电场强度沿任意路径的线积分等于零,静电场的电力线不是闭合

的,静电场为无旋场

05 导体的静电平衡
导体内部场强处处为零 —— 导体是等势体,导体表面是等势面 电荷只分布在导体表面,内部各处没有净余电荷 导体表面紧邻处的电场强度与导体表面垂直: ES ? Surface of conductor 导体表面任一点的电荷面密度与该点导体外紧邻的电场强度成正比: ? ? ? 0 E

?

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06 有介质存在时的电场

? ? ? E ? E0 ? E ? ? E0 —— 原来外电场 ? E ? —— 电介质束缚电荷产生的电场
介质面上极化电荷面密度: ? ? ? (1 ?

1

?r

)? 0

电位移矢量: D ? ? 0? r E —— D ? ? E

?

?

?

?

? ?

S

? ? D ? dS ? q0,int —— 通过任意闭合曲面的电位移通量等于该闭合曲面包围的自由电荷的代数和

07 电容
1 孤立导体的电容: C ? 2 电容器 1) 平行板电容器: C ?

q

?

q ?0S ? U d

2) 球形电容器: C ?

Q 4?? 0 R1R2 ? U R2 ? R1 q 2?? 0 L ? U ln( R2 / R1 )

3) 圆柱形电容器: C ?

4) 电介质电容器 实验得出: ? r ?

C —— C0 是真空中的电容, ? r 是相对介电常数(相对电容率) C0

平行板电容器: C ? ? r C0 ? ? r 5) 电容器的串连和并联 串连电容器:

?0S
d

??

S —— ? ? ? r? 0 是绝对介电常数(电容率) d

1 U 1 1 1 1 ? ? ? ? ? C Q C1 C2 C3 C4

并联电容器: C ?

Q ? C1 ? C2 ? C3 ? C4 U

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08 电场能量
1) n 个点电荷系的静电能

W?

1 ( q1?1 ? q2? 2 ? ? ? qi?i ? qn? n ) —— ?i 是除 qi 以外所有其它电荷在 qi 处产生的电势 2 1 n ? qi?i 2 i ?1

电荷系的静电能: W ? 2) 带电体的静电能

W?

1 ? dq —— ? 是带电体在 dq 处产生的电势 2 ?q

3) 电容器的静电能 平行板电容器的静电能: W ? 4) 静电场的能量 静电场的能量密度: we ?

1 CU 2 2

W 1 ? ?0E 2 V 2

空间某一区域的电场能量: W ?

?

1 ? 0 E 2 dV V 2

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? 问题讨论
001 如图 XCH_E_001 所示,半径分别为 R1 和 R2 的两个同心均匀带电半球面相对放置,两个球面上 的电荷面密度 ? 1 和 ? 2 满足关系: ? 1R1 ? ?? 2 R2 1) 求证小球面所对的圆截面 S 为一个等势面; 2) 求等势面 S 上的电势值。

? 1) 在 S 面上任选一点 P ,如图 XCH_E_001_01 所示。 一个电荷面密度为 ? 2 、半径为 R2 的带电球面内是一个等势空间,球面内的电势:

U2 ?

2 1 ? 2 (4? R2 ) R2 4?? 0

半个带电球面在 P 点的电势:

U P2 ?

2 1 1 ? 2 (4? R2 ) ? 2 R2 ? ? 2 4?? 0 R2 2? 0

同理电荷面密度为 ? 1 、半径为 R1 的半个带电球面在 P 点的电势:

U P1 ?

? 1R1 2? 0
1 (? 1R1 ? ? 2 R2 ) 2? 0

P 点的电势: U P ? U P1 ? U P 2 ?

因此小球面所对的圆截面 S 是一个等势面,且为常数。 题目给出: ? 1R1 ? ?? 2 R2

P 点的电势: UP ? 1 (? 1R1 ? ? 2 R2 ) ? 0 —— S 面上电势为零 2? 0

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002 厚度为 b 的无限大板内有均匀电荷密度 ( ? ? 0) 的自由电荷,在板外两侧分别充有介电常数为

?1 和 ? 2 的电介质,如图 XCH_E_002 所示。
1) 求板内外的电场分布 2) 板外 A 点和 B 点之间的电势差( A 点和 B 点到板两侧的距离均为 l )

? 在介质和带电板的两个无限大的交界面上,均匀分布着极化电荷。根据自由电荷和极化电荷分布 的对称性,板内存在一点 O (相应的平面为 MM ? ): D ? E ? 0 厚度为 b 的“无限大”带电平板可以看作是“无限多“个均匀带电平面,选取向右为 x 轴正方 向,如图 XCH_E_002_01 所示。 选取圆柱面为高斯面,一个底面在 O 点,一个底面在 P 点,应用介质中的高斯定理:

? ?

S

? ? x D ? dS ? ? ? ( ?S ? dx )
0

D ? ?S ? ? x?S —— D ? ? x
再选取一个高斯面,一个底面在 O 点,一个底面在 ? 2 中

? ?

S

? ? D ? dS ? ??

MM ?

? ? ? d2 0 ? dS ? ?? D ? dS ? ? ? ( ?S ? dx )
?2
0

D ? ?S ? ? ? d 2 ? ?S ?? ? D ? ? d2
同理 ?1 中的电位移矢量大小: D ?

? d1 ?1介质中
板内

? ? ? D1 ? ? ? d1i ? ?? 板内外电位移矢量: ? D ? ? xi ? ? ?D ? 2 ? ? d 2i

? 2介质中 ?1介质中
板内

?? ? d1 ? i ? E1 ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ?x ? 应用 D ? ? E ,板内外电场强度: ? E ? i ?0 ? ?? ? d2 ? i ? E2 ? ?2 ?

? 2介质中

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板外任意一点: E1 ? E2 —— 总的场强为板内自由电荷和两个板面上的极化电荷共同产生

?

?

d2 ? d1 ?? ? ? ? ? ?2 有: ? ?1 ?d ? d ? b ? 1 2 ?? ?b ? i ? E1 ? ? ? ? ? 1 2 ? ? ? ?x ? i 板内外电场强度: ? E ? ?0 ? ?? ?b ? i ? E2 ? ? ? ? ? 1 2 ? ?? ?1 ? bi ? D1 ? ? ?1 ? ? 2 ? ? ? ?x ? i 板内外电位移矢量: ? D ? ?0 ? ?? ? ?2 ? bi ? D2 ? ?1 ? ? 2 ? ? ? 为什么 D1 ? D2 ?


?1介质中
板内

? 2介质中 ?1介质中
板内

? 2介质中

? ?

S

? ? D ? dS ? ? ? ? dV 可以看出,通过闭合曲面的电位移通量之和自由电荷有关系,电位移本
V

身没有具体的物理意义,不可以说电位移是自由电荷产生的!

? B ? A 点和 B 点间的电势差: U AB ? ? E ? dl
A

—— 板外电场大小相等、方向相反,积分相互抵消

U AB ? ?

d2

? d1

?x ? ? b2 ? 2 ? ?1 2 dx ? ? d12 ) ? (d 2 ( ) 2? 0 2? 0 ? 2 ? ?1 ?0

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003 一个同轴圆柱形电容器,外筒的内半径为 b ? 2 cm ,内筒的外半径可以自由选择,两筒之间充 满各向同性均匀电介质,电介质的击穿场强为 Emax ? 2.0 ? 10 V ? m 。试计算该电容器所能承受的
7

?1

最大电压。 ? 设内筒的外半径为 x ,电容器单位长度的电荷为 ? 。 同轴圆柱形电容器之间的电场分布:

E?

? 2?? r ? ?? ? ? ? 2?? xEmax 2?? x

电场和距离 r 成反比,内桶表面处的场强最大,最大场强:

Emax ?

两筒之间的电压: ?U ?

?

b x

? ? b dr ? ln 2?? r 2?? x

将 ? ? 2?? xEmax 带入上式得到:

?U ? xEmax ln


b x

d ( ?U ) b ? 0 —— x ? dx e
b b Emax ln e ( b / e) b ? Emax e ? 1.47 ? 105 V

( ?U ) max ?

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004 一直流电源与平行电容器相连,其中相对介电常数 ? r 的固态介质的厚度为极板间距的一半,两 个极板处于水平位置,假设此时图 XCH_E_004 中的带电小球 P 恰能处于静止状态。现将固态介质 板抽出,稳定后试求小球 P 在竖直方向上运动的加速度方向和大小。 ? 带电小球平衡: qE1 ? mg

E1 ?

mg —— 上极板带正电,小球带负电 q

极板之间各点的电位移矢量相同,小球 P 所在位置和电介质中的电场强度大小分别为:

D ? ? E1 ? ? ? 0 ? ? E ? D ? E1 2 ? ? r? 0 ? r ?
极板之间的电压: U ? E1 ( ) ?

d 2

E1 d ( ) ?r 2

U?

mg d 1 ( )(1 ? ) ?r q 2 mg d 1 ( )(1 ? ) —— E0 抽出介质板后的电场强度 ?r q 2

固态介质板抽出前后,极板电压保持不变,因此有:

E0 d ? E0 ?

mg 1 (1 ? ) 2q ?r mg 1 1 1 (1 ? )q ? mg ( ? ) —— 方向向上 ?r 2q 2 2? r

固态介质板抽出后,小球受到的电场力:

F ? qE0 ?

因为 ? r ? 1 ,所以 F ? mg ,小球向下运动,加速度方向向下 小球的加速度大小: a ?

mg ? F m

a?

g (? r ? 1) 2? r

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005 如图 XCH_E_005 所示,两个固定的、半径分别为 RA 和 RB 的均匀带电球面 A 和 B 。两个球心 的间距 d ?? RA , RB , A 球面带电 QA ? 4Q (Q ? 0) ,B 球面带电 QB ? Q 。 两个球心的连线 MN , 随小孔挖去的电荷量可忽略不计。 将带电为 ? q 在 MN 的连线与球面相交处均开出一个足够小的空, 的质点 m 静止地放在 A 球面左侧 P 点,假定 m 被释放后恰能穿过三个小孔越过 B 球面的球心,试 确定开始时 P 点与 A 球面中心 M 的距离 x 。

? 两个球面均带正电, P 点大于 M 点的电势,因此,质点沿连线向球心 M 点运动。

MN 连线必存在一点 S ,其电场强度为零,如图 XCH_E_005_01 所示。两个球面带正电,因此 S 点 的电势具有极小值,带负电的质点在 S 点电势能最高。
带电球面 A 和 B 在 S 点的场强大小相等,方向相反:

1 4Q 1 Q ? 2 4?? 0 r1 4?? 0 ( d ? r1 )2
质点在 S 点的电势能:

2 ?? ? r1 ? d 3

WS ?

1 4Q ( ? q) 1 Q (? q) Qq 1 ? ?? ?9? 4?? 0 (2d / 3) 4?? 0 ( d / 3) 4?? 0 d 1 4Q ( ? q) 1 Q(?q) Qq d 1 ? ?? ? (4 ? ) ? 4?? 0 d 4?? 0 RB 4?? 0 RB d d )?9 RB

质点在 N 点的电势能:

WN ?

d ?? RB ?? ? (4 ?

因此: WS ? WN —— 质点只要到达 S 点,必能到达 N 点,并且越过 N 点 质点在 P 点释放后恰能到达 S 点,要求带电质点在 P 点和 S 点的电势能相等。

1 4Q ( ? q) 1 Q( ? q) Qq 9 ? ?? x 4?? 0 4?? 0 d ? x 4?? 0 d P 点与 A 球面中心的距离: 2 x ? ( 10 ? 1)d 9

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006 如图 XCH_E_006 所示,边长为 a 的六边形,六个顶点处有固定的点电荷,它们的电量相间地为

?Q 或 ?Q 。
1) 试求系统的电势能; 2) 若用外力将其中相邻的两个点电荷一起(始终保持间距不变)缓慢地移动到无穷远处,其余的电 荷固定不动,试求外力做的功。 ? 1) 任一正电荷所在位置的电势为其它 5 个电荷共同产生的:

?? ?

1 ?Q 1 ?Q 1 ?Q ?2 ?2 4?? 0 2a 4?? 0 a 4?? 0 3a Q 2 5 ? ( ? ) 4?? 0 a 3 2 1 ?Q 1 ?Q 1 ?Q ?2 ?2 4?? 0 2a 4?? 0 a 4?? 0 3a Q 2 5 ?? ( ? ) 4?? 0 a 3 2 1 1 qi?i ? [3Q? ? ? 3( ?Q )? ? ] ? 2 2

任一负电荷所在位置的电势:

?? ?

系统的电势能: W ?

W?

3Q 2 2 5 ( ? ) 4?? 0 a 3 2

2) 将相邻的两个点电荷一起缓慢地移动到无穷远处,此时系统的电势能为 4 个点电荷之间的相互作 用电势能和无限远处 2 个点电荷之间的相互作用电势能之和。 如果将位置 3 和位置 4 的电荷移动到无限远处, 其余 4 个点电荷(位置 1,2,5,6)之间的相互作用电势能: 距离为 a 的电荷之间相互作用电势能: 3 ?

?1 Q 2 —— 3 对 4?? 0 a 1

Q2 —— 2 对 距离为 3a 的电荷之间相互作用电势能: 2 ? 4?? 0 3a
距离为 2a 的电荷之间相互作用电势能:

?1 Q 2 —— 1 对 4?? 0 2a

?1 Q 2 1 Q2 ?1 Q 2 Q2 2 7 W1 ? [3 ? ] ? [2 ? ]?[ ]? ( ? ) 4?? 0 a 4?? 0 3a 4?? 0 2a 4?? 0 a 3 2
无限远处 2 个正负电荷之间的电势能: W2 ? 外力作功: A ? (W1 ? W2 ) ? W —— A ?

?1 Q 2 4?? 0 a

Q2 4?? 0 a

(3 ?

4 ) 3

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007 半径为 R1 的均匀带电球体,电荷体密度为 ? ,球内有一个半径为 R2 的球形空腔,空腔中心 O ? 到球心距离为 a 。如图 XCH_E_007 所示。 1) 求空腔内任一点 P 的电场强度; 2) 画出空腔内电场线的分布; 3) 求空腔中心 O ? 处的电势。

? 1) 空腔任意一点的电场可以看作是两个带电球体产生的。一个带电球体的半径为 R1 、电荷体密 度为 ? ,另一个带电球体的半径为 R2 、电荷体密度为 ? ? 。如图 XCH_E_007_01 所示。 任意一点 P 的电场强度:

? ? ? E ? E1 ? E2 ——如图 XCH_E_007_02 所示

应用高斯定理可以得到 R1 球体和 R2 球体产生的电场分别为:

? ? ? ?r ? ? ? r?? E1 ? 和 E2 ? ? 3? 0 3? 0 ? ? ? ?r ? ? r?? ? E? 3? 0 3? 0 ? ? ? 应用矢量关系: r ? ? r ? r?? ? ? ? ? ? (r ? r??) ? r?? E? ? 3? 0 3? 0 ? ? ?r ?a ? ? ? ? ? —— 空腔内部为均匀电场,与 r ? and r?? 均无关,方向沿 r 的方向 ? E? r 3? 0 3? 0 ? 2) 空腔中的电场线沿 r 方向
3) O ? 点电势的计算

?r ? ? E ? 3? ? 0 一个均匀带电球体在空间激发的电场: ? 3 ?E ? ? R ? 3? 0 r 2 ?

r?R r?R

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3 ? ?R ?r 1 dr ? ? dr R 3? r 2 3? 0 0
1

半径为 R1 、电荷体密度为 ? 球体在 O ? 点的电势: ?1O ? ?

?

R1

a

半径为 R2 、电荷体密度为 ? ? 球体在 O ? 点的电势: ? 2O ? ?

?

R2

0

3 ? ?? R ??r 2 dr ? ? dr R2 3? r 2 3? 0 0

? 根据电势叠加原理: ?O ? ? ?1O ? ? ? 2O ? ??

?O ? ?

? 2 (3R12 ? 3R2 ? a2 ) 6? 0

008 平行板电容器的极板是边长为 a 的正方形,极板间距为 d ,分别带电量 ?Q 。如图 XCH_E_009 所示,将电容器垂直侵入相对介电常数为 ? r 、密度为 ? 的介质液中。当电容器极板内有液体部分的 高度为 x 时,计算: 1) 电容器的电容值; 2) 电容器插入前后,电容器内部储存能量的变化; 3) 简要说明电容器内部液面高于外侧液面 h 的原因。(浙江省 2010 年大学生物理竞赛题) ? 1) 电容器可以看作是两部分的并联。

a(a ? x ) ? C1 ? ? 0 ? ? d C ? C1 ? C2 —— ? ?C ? ? ? ax r 0 2 ? d ? C ? ?0 a [a ? (? r ? 1) x ] d

2) 插入前后电容器极板的电量不变,插入前后的能量分别为:

? 1 Q2 ?W1 ? 2 C ? 0 ? 2 ?W ? 1 Q 2 ? 2 C ? ? a2 ? C ? 0 ? 1 1 1 ? 0 d ?W ? W2 ? W1 ? Q 2 ( ? ) —— ? 2 C C0 ?C ? ? a [a ? (? ? 1) x ] r 0 ? d ?
1 1 1 ?W ? Q 2 { ? } 2 a a 2 ? 0 [a ? (? r ? 1) x ] ? 0 d d

?W ? ?

Q 2 (? r ? 1)d x 2? 0 a 2 [a ? (? r ? 1) x ]

3) 电容器内与电极接触处的介质液表面有极化电荷,其极性与电极上的电荷相反,在电场力的作用 下,液体被拉上去。

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009 电容法测液面高度。常用的电容法测液面高度如图 XCH_E_010 所示,将圆柱形电容器放入待 测介质中。 圆柱形电容器高度为 H , 外桶半径 R , 内桶半径 r 。 圆柱形电容器的电容随液面高度 h 变 化,写出电容与液面高度 h 的关系式。(浙江省 2009 年大学生物理竞赛题) ? 真空中圆柱形电容器之间的电场:

E?

1 ? Q —— ? ? 2?? 0 r H
R

两极板之间的电势差:

U ? ? E ? dr
r

U ??

R

r

Q 1 Q R dr ? ln 2?? 0 r H 2?? 0 H r

1

圆柱形电容器的电容:

C0 ?

Q 2?? 0 H ? U ln R r

插入介质后,电容器可以看作是两部分的并联: C ? C1 ? C2

2?? 0 ? C ? ( H ? h) 1 ? R ln ? ? r ? ?C ? 2?? r? 0 h R ? 2 ln ? ? r C? 2?? 0 2? (? r ? 1)? 0 H? h R R ln ln r r 2?? 0 [ H ? (? r ? 1)h ] R ln r

C?

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2014 年“浙江省大学生物理创新竞赛”辅导 —— 电磁学(静电场)

010 一厚度为 2d 的无限大带电平面板,电荷关于中心平面对称分布, ? ? k x , k 为正常数,如图 XCH_E_011 所示。计算:(浙江省 2009 年大学生物理竞赛题) 1) 中心平面处的电场强度 E1 ; 2) 板内距离中心平面 a 处的电场强度 E2 ; 3) 板外任意一点的电场强度 E3 ; 4) 画出电场强度 E 随坐标 x 的变化曲线。 ? 1) 无限大平板带正电,电荷分布关于中心平面对称,场强方向平行于 x 轴。中心平面电场为上下 两部分平板共同产生,相互抵消。 因此,中心平面处的电场强度: E1 ? 0 2) 在平板内选取如图 XCH_E_011_01 所示的圆柱面为高斯面。 应用高斯定理:

?

?

?

?

? E ? dS ? ? ? ? ?
S 0

?

?

1

V

? dV

E2 ? ?S ? 0 ? ?S ?

1

?0

?

a

0

( kx ) ? ( ?S ? dx )

? ka 2 ? ka 2 ?? ? E2 ? E2 ? i 2? 0 2? 0

3) 在平板外选取如图 XCH_E_011_02 所示的圆柱面为高斯面。 应用高斯定理:

? ?

S

? ? 1 E ? dS ?
1
d

?V ?0 ?

? dV

E3 ? ?S ? 0 ? ?S ? E3 ?

? 0 ?0

( kx ) ? ( ?S ? dx )

? kd 2 ? kd 2 ?? ? E3 ? i 2? 0 2? 0

4) 电场强度关于 x 轴对称, E 随坐标 x 的变化曲线如图 XCH_E_011_03 所示。

REVISED TIME: 14-11-29

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011 一长直带电细线被弯成如图 XCH_E_012 所示的对称形状,试问当 ? 何值时,圆心 O 点处的电场强
度为零?(浙江省 2013 年大学生物理竞赛题)

? 假设细线带正电荷,电荷线密度为 ? ,如图XCH_E_012_01所示,在 cd 段上选取电荷元 dq ? ? dr , 在 O 点的电场: dEab ?

1 ? dr 4?? 0 r 2
?

cd 段在 O 点的电场: Eab ? ?

R

1 ? dr 1 ? ? —— 方向沿 cO 正方向 2 4?? 0 r 4?? 0 R

同理, ab 段在 O 点的电场: Eab ?

?

?

R

1 ? dr 1 ? ? —— 方向沿 aO 正方向 2 4?? 0 r 4?? 0 R 1 ? 1 ? cos ? ) ? ? cos ? —— 方向沿 x 轴负方向 4?? 0 R 2?? 0 R

两段带电直线在 O 的电场: E1 ? 2 ? ( ?

如图 XCH_E_012_02 所示,在大圆弧上选取电荷元 dq ? ? ? Rd ? ,在 O 点的电场:

dE2 ?

1 4?? 0

?

(? Rd? ) 1 ? ? ? d? 2 R 4?? 0 R

根据电荷的对称分布,带电大圆弧在 O 点的电场沿 x 轴正方向,因此,

E2 ? 2 ? [ ? ?
?

?

1 4?? 0

?

? d?
R

? cos ? ]

E2 ?

? sin ? 2?? 0 R ? ? cos ? ) ? sin ? ? 0 2?? 0 R 2?? 0 R

Eo ? E1 ? E2 ? ( ?

??

?
4

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012 如图XCH_E_013所示,由质量为 m 的金属小球和长为 L 的细导线组成—个单摆,它在均匀磁场
里作小幅度振动,磁感强度为 B ,磁场方向垂直于摆的振动面。摆偏离竖直线的最大角度等于 ? 0 ,当小 球通过平衡位置时,借助软的细导线与电容为 C 的电容器相连,并在很短的接触时间内使电容器完成充 电。求充电完毕后小球继续摆动的最大偏角是多少?(浙江省2013年大学生物理竞赛题)

? 小球通过平衡位置时的动能和速度:

E1 ? mgL(1 ? cos ? 0 )
v ? 2 gL(1 ? cos ? 0 )
此时细导线中的动生电动势:

E ? BLv ? BL 2 gL(1 ? cos ? 0 )
电容器充电获得的能量:

1 EC ? CE 2 ? CB 2 L2 gL(1 ? cos ? 0 ) 2
充电结束后,小球的能量:

E ? E1 ? EC ? mgL(1 ? cos ? 0 ) ? CB 2 L2 gL(1 ? cos ? 0 ) E ? gL(1 ? cos ? 0 )( m ? CB 2 L2 )
充电完毕后小球继续摆动的最大偏角:

mgL(1 ? cos ? max ) ? gL(1 ? cos ? 0 )(m ? CB 2 L2 ) cos ? max ? cos ? 0 ? CB 2 L2 (1 ? cos ? 0 ) m CB 2 L2 (1 ? cos ? 0 )] m

? max ? arccos ?1[cos ? 0 ?

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013 将两只电容器 C1 和 C2 ( C1 ? C2 )分别充电到相同的电势差 U ,接着将一只电容器的正极和另一 只电容器的负极相连。然后将其它两极短路。求:(浙江省 2012 年大学生物理竞赛题) 1) 每一只电容器最终带的电量 2) 上述过程中损失的电场能量 ? 两只电容器之前各自带电:

?Q1 ? UC1 ? ?Q2 ? UC2
电容器反接,两个电容器极板上的电荷重新分布,平衡时,两个电容器的极板电压相同,如图 XCH_E_014 所示。

?, Q2 ? 设反接后两个电容器极板上的电荷为 Q1
?Q1? ? C1U ? ? ? ? C2U ? ?Q2

? ? Q2 ? ? Q1 ? Q2 ?? 电荷守恒: Q1 ?
反接后电容器极板电势差: U ? ?

C1U ? ? C2U ? ? C1U ? C2U

C1 ? C2 U C1 ? C2

? ? C1 ? C2 ?Q1 ? C ? C C1U ? 1 2 两只电容器最终带的电量: ? C ? C2 ?Q2 ?? 1 C2U ? C1 ? C2 ?
连接前总的电场能量:

1 1 1 E1 ? C1U 2 ? C2U 2 ? (C1 ? C2 )U 2 2 2 2
连接后总的电场能量:

1 1 1 E2 ? C1U ?2 ? C2U ?2 ? (C1 ? C2 )U ?2 2 2 2 E2 ? 1 (C1 ? C2 )2 2 U 2 C1 ? C2

1 1 (C1 ? C2 ) 2 2 2 ?E ? E1 ? E2 ? (C1 ? C2 )U ? U 2 2 C1 ? C2 ?E ? 4C1C2 2 U C1 ? C2

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2014 年“浙江省大学生物理创新竞赛”辅导 —— 电磁学(静电场)

014 球心电容器内均匀充满相对介电常数为 ? r 的电介质。当极板带电后,由于介质漏电,其电量而 逐渐减少。设介质的电阻率为 ? , t ? 0 时,两个极板的电量分别为 ?Q0 ,计算任意时刻极板的电量 和极板间距离球心 r 处的传导电流密度。 ? 任意时刻球形电容器之间的电场强度: E ? 根据电流连续方程:

?

q ? ? r 4?? r? 0 r 2

1

? ? ? 1 ? dq —— j ? E (欧姆定律) j ? dS ? ? ?S ? ? dt

? E ? dS ? ? dt ??
S

1 1

?

?

dq

q dq ? 4? r 2 ? ? 2 ? 4?? r? 0 r dt dq 1 dq 1 ? ?? q ? 0 —— dt dt ? r? 0 ? q ? r? 0 ?

1

?

t dq 1 ?? ? dt 0 Q0 q ? r? 0 ? Q
? 1

Q ? Q0 e

? r? 0 ?

t

? E?

? t q ? 1 ? r? 0 ? ? ?? 1 ? r Q e r 0 4?? r? 0 r 2 4?? r? 0 r 2

1

1

传导电流密度:

? 1 ? j? E?

?

? t 1 ? r? 0 ? ? ? Q e r 0 4?? r? 0 ? r 2

1

1

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