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北师大版数学(理)提升作业:阶段滚动检测(五)(含答案)


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阶段滚动检测(五)
第一~八章

(120 分钟

150 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的 四个

选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(2013·合肥模拟)已知直线 l1:ax+2y+1=0 与直线 l2:(3-a)x-y+a=0, 若 l1⊥l2,则实数 a 的值为( (A)1 (B)2 (C)6 ) (D)1 或 2

2.(2013·赣州模拟)M(x0,y0)为圆 x2+y2=a2(a>0)内异于圆心的一点,则 直线 x0x+y0y=a2 与该圆的位置关系为( (A)相切 (C)相离 (B)相交 (D)相切或相交 上的任意一点,α 为曲线在点 P 处的切线的倾 ) (C)( , ] (D)[ ,π ) )

3.已知点 P 是曲线 y=

斜角,则α 的取值范围是( (A)[0, ) (B)[ , ]

4.(2013·咸阳模拟)已知实数 4,m,9 构成一个等比数列,则圆锥曲线 +y2=1 的离心率为( (A) (C) 或 (B) (D) 或 7 )

5.(2013·蚌埠模拟)设椭圆 + =1 和双曲线 -x2=1 的公共焦点分别为 F1,F2,P 为这两曲线的一个交点,则|PF1|·|PF2|的值为( (A)3 (B)2 (C)3 (D)2 )

6.定义:平面直角坐标系内横坐标为整数的点称为“横整点”,过函数 y= 条数为( (A)10 图像上任意两个“横整点”作直线,则倾斜角大于 45°的直线 ) (B)11 (C)12 (D)13

7.( 滚动交汇考查)若直线 ax-by+2=0(a>0,b>0) 被圆 x2+y2+2x-4y+1=0 截得的弦长为 4,则 + 的最小值是( (A) + (C)3 (B)2 +3 (D) )

8.(2013·抚州模拟)已知抛物线 y2=4x,焦点为 F,△ABC 三个顶点均在 抛物线上,若 + + =0,则| |+| |+| |等于( (A)8 (B)6 (C)3 (D)0 )

9.(滚动单独考查)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且对任意的 x ∈R,都有 f(x+2)=f(x).当 0≤x≤1 时,f(x)=x2.若直线 y=x+a 与函数 y=f(x) 的图像在 [0,2] 内恰有两个不同的公共点 , 则实数 a 的值是 ( (A)0 (C)- 或) (B)0 或(D)0 或-

10.已知 F1,F2 是椭圆 + =1(a>b>0)的左、右焦点,点 P 在椭圆上,且∠ F1PF2= .记线段 PF1 与 y 轴的交点为 Q,O 为坐标原点,若△F1OQ 与四边形

OF2PQ 的面积之比为 1∶2,则该椭圆的离心率等于( (A)2(B)2 -3 (C)4-2

) (D) -1

二、 填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请把正确答案填在 题中横线上) 11.(2013·宜春模拟)设 m 为常数,若点 F(0,5)是双曲线 - =1 的一个 焦点,则 m= 12.若椭圆 . + =1 的离心率 e= ,则 k 的值为 .

13.设抛物线 y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,A 为 垂足,如果 AF 的斜率为- ,那么|PF|= .

14.(2013·安庆模拟)若曲线 C1:x2+y2-2x=0 与曲线 C2:y(y-mx-m)=0 有 四个不同的交点,则实数 m 的取值范围是 .

15.(2013·景德镇模拟)抛物线 y=-x2 上的点到直线 4x+3y-8=0 距离的 最小值是 .

三、 解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答时应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤) 16.(12 分 )(2013 ·蚌埠模拟 ) 已知△ ABC 中 , 点 A,B 的坐标分别为 (- ,0), ( ,0),点 C 在 x 轴上方. (1)若点 C 坐标为( ,1),求以 A,B 为焦点且经过点 C 的椭圆的方程. (2)过点 P(m,0)作倾斜角为 π 的直线 l 交(1)中曲线于 M,N 两点,若点 Q(1,0)恰在以线段 MN 为直径的圆 上,求实数 m 的值. 17.(12 分)如图,在空间几何体 ABCDEF 中,底面 CDEF 为矩

形,DE=1,CD=2,AD⊥底面 CDEF,AD=1. 平面 BEF⊥底面 CDEF,且 BE=BF= .

(1)求平面 ABE 与平面 ABF 所成的锐二面角的余弦值. (2)已知点 M,N 分别在线段 DF,BC 上,且 面 BCF,求λ ,μ 的值. 18.(12 分)(滚动单独考查)数列 bn+1= bn+ ,且 b1= ,Tn 为数列{bn}的前 n 项和. (1)求证:数列{bn- }是等比数列,并求数列{bn}的通项公式. (2)如果数列{bn}对任意 n∈N+,不等式 的取值范围. 19.(12 分)(2013·西安模拟)已知椭圆 + =1(a>b>0)右顶点与右焦点 的距离为 -1,短轴长为 2 . (1)求椭圆的方程. (2)过左焦点 F 的直线与椭圆分别交于 A,B 两点,若△OAB 的面积为 为坐标原点),求直线 AB 的方程. 20.(13 分)(2013·南昌模拟)已知△ABC 的边 AB 所 在直线的方程为 x-3y-6=0,M(2,0)满足 T(-1,1)在 AC 所在直线上且 · =0. (1)求△ABC 外接圆的方程. (2)一动圆过点 N(-2,0),且与△ABC 的外接圆外切,求此动圆圆心的轨 迹Γ 的方程. (3)过点 A 斜率为 k 的直线与曲线Γ 交于相异的 P,Q 两点, = ,点 (O ≥2n-7 恒成立,求实数 k =λ , =μ ,若 MN⊥平

满足 ·

>6,求 k 的取值范围.

21.(14 分)(2013·天津模拟)如图,分别过椭圆 E: + =1(a>b>0)左、 右焦点 F1,F2 的动直线 l1,l2 相交于 P 点,与椭圆 E 分别交于 A,B 与 C,D 不 同四点,直线 OA,OB,OC,OD 的斜率 k1,k2,k3,k4 满足 k1+k2=k3+k4.已知当 l1 与 x 轴重合时,|AB|=2 (1) 求椭圆 E 的方程. (2)是否存在定点 M,N,使得|PM|+|PN|为定值?若存在,求出 M,N 的坐标, 若不存在,说明理由. ,|CD|= .

答案解析
1.【解析】选 D.∵ =- , =3-a, ∴- (3-a)=-1, 解得 a=1 或 2. 2.【解析】选 C.由已知得:0< + <a2, 又圆心(0,0)到直线 x0x+y0y=a2 的距离为 d= = > =a.

故相离.

3.【解析】选 D.因为 y'==-1,

=-



∴-1≤y'<0, 即-1≤tanα<0, 又α∈[0,π),∴α ∈[ π,π). 4.【解析】选 C.因为 4,m,9 构成等比数列,所以 m2=36,得 m=〒6. 当 m=6 时,圆锥曲线 +y2=1 表示焦点在 x 轴上的椭圆, 其离心率 e= = ,

当 m=-6 时,圆锥曲线 y2- =1 表示焦点在 y 轴上的双曲线, 其离心率 e′= = ,

综上可知圆锥曲线的离心率为 或 . 5.【思路点拨】利用椭圆、双曲线的定义求解. 【解析】选 A.双曲线的焦点为(0,2),(0,-2),所以椭圆中的 m=2+4=6, 所以椭圆方程为 + =1.不妨设点 P 为第一象限的交点,根据椭圆和双曲 线的定义可知|PF1|+|P F2|=2 ,|PF1|-|PF2| =2 (或|PF2|-|PF1|=2 ), (|PF1|+|PF2|)2-(|PF1|-|PF2|)2=4|PF1|〃|PF2|, 即 4|PF1|〃|PF2|=24-12=12,所以|PF1|〃|PF2|=3. 6. 【解析】 选 B.共有 “横整点” (-3,0),(-2, ),(-1,2 ),(0,3),(1,2 ), (2, ),(3,0),其中满足条件的有(3,0)与(-2, ),(-1,2 ),(0,3), (1,2 ),(2, )的连线,共有 5 条;(-3,0)与(-2, ),(-1,2 )的连线, 共有 2 条;(2, )与(-1,2 ),(0,3),(1,2 )的连线,共有 3 条;(1,2 )

与(0,3)的连线,共有 1 条;综上共计 11 条.故选 B. 7.【解析】选 A.圆的方程可化为(x+1)2+(y-2)2=4,其圆心 C(-1,2),半 径 r=2,由弦长为 4 可知圆心在直线上,即-a-2b+2=0, 即 a+2b=2,而 + = (a+2b)( + )= (3+ + )≥ (3+2 )= + ,当且仅当 = , 即 a=2 -2,b=2- 时取等号. 8.【解析】选 B.设 A,B,C 三点的横坐标分别为 x1,x2,x3, 根据已知 + + =0, 且 F(1,0), ∴x1 +x2+x3=3. 根据抛物线的定义可知| |+| |+| |=x1+x2+x3+3 =6. 9. 【思路点拨】 可画出函数 y=f(x)在一个周期内的图像,数形结合求解. 【解析】选 D.∵f(x+2)=f(x), ∴周期 T=2. 又 0≤x≤1 时,f(x)=x2,结合 f(x)是偶函数,可画出函数 y=f(x)在一个周期内的图像如图.

显然 a=0 时,y=x 与 y=x2 在[0,2]内恰有两个不同的公共点. 另当直线 y=x+a 与 y=x2(0≤x≤1)相切时也恰有两个不同公共点,由题

意知 y′=(x2)′=2x=1, ∴x= . ∴ A( , ),又 A 点在 y=x+a 上, ∴a=- . 10.【解析】选 D.依题知,F1P⊥F2P, 所以,△F1QO∽△F1F2P, 因为△F1OQ 与四边形 OF2PQ 的面积之比为 1∶2, 所以 所以, = , = ,

设椭圆的焦距为 2c, 则|F1P|= c,|F2P|= c+c=2a , =c,

由椭圆的定义可得: 所以 e= = = -1.

11.【解析】∵F(0,5)是双曲线 - =1 的一个焦点, ∴m+9=25,∴m=16. 【答案】16 12. 【解析】 ①若焦点在 x 轴上,即 k+8>9 时,a2=k+8,b2=9,e2= = 解得 k=4. ②若焦点在 y 轴上,即 0<k+8<9 时, a2=9,b2=k+8,e2= = 解得 k=- . = =, = =,

综上,k=4 或 k=- . 答案:4 或【误区警示】 本题易由于没有分情况讨论,想当然地以为焦点在 x 轴上, 从而漏掉一解导致错误. 13. 【解析】 抛物线的焦点为 F(2,0),准线为 x=-2,因为 PA⊥l,设 P(m,n), 则 A(-2,n),因为 AF 的斜率为- ,所以 上 , 所 以 8m=(4 =8. =- ,得 n=4 ,点 P 在抛物线 )2=48,m=6, 因 此

P(6,4 ),|PF|= 答案:8

14.【解析】整理曲线 C1 方程得,(x-1)2+y2=1,知曲线 C1 为以点 C1(1,0) 为圆心 , 以 1 为半径的圆 ; 曲线 C2 则表示两条直线 , 即 x 轴与直线 l:y=m(x+1),显然 x 轴与圆 C1 有两个交点,直线 l 与圆 C1 相交,故有圆心 C1 到直线 l 的距离 d= <r=1,解得 m∈(- , ).又当 m=0 时,直线 l

与 x 轴重合,此时只有两个交点,应舍去.故 m∈(- ,0)∪(0, ). 答案:(- ,0)∪(0, ) 15.【解析】如图,设与直线 4x+3y-8=0 平行且与抛物线 y=-x2 相切的直 线为 4x+3y+b=0,

联立方程,得

即 3x2-4x-b=0,则Δ=16+12b=0,解得 b=- ,所

以切线方程为 4x+3y- =0,则切点到直线 4x+3y-8=0 的距离也就是所求 的最小值,此最小值即为两直线间的距离,为 答案: 16.【思路点拨】(1)设椭圆方程为 + =1(a>b>0),确定椭圆的几何量, 即可求出以 A,B 为焦点且经过点 C 的椭圆的方程. (2)设出直线方程,代入椭圆方程,利用根与系数的关系及 Q 恰在以 MN 为直径的圆上,求实数 m 的值. 【解析】(1)设椭圆方程为 + =1(a>b>0),c= , 2a=|AC|+|BC|=4,∴a=2,得 b= , 椭圆方程为 + =1. (2)直线 l 的方程为 y=-(x-m), 令 M(x1,y1),N(x2,y2), 联立方程解得 3x2-4mx+2m2-4=0, 所以 若 Q 恰在以线段 MN 为直径的圆上, 则 〃 =-1, =.

即 m2+1-(m+1)(x1+x2)+2x1x2=0, 3m2-4m-5=0, 解得 m= .

17.【解析】(1)如图,分别以 DE,DC,DA 为 x,y,z 轴,



















,





A(0,0,1),D(0,0,0),E(1,0,0),F(1,2,0),C(0,2,0). 又平面 BEF⊥底面 CDEF,则点 B 的横坐标为 1,由 BE=BF= B 的纵坐标和竖坐标都为 1,即 B(1,1,1). 设平面 ABE 的一个法向量为 n=(x,y,z), 又 =(-1,0,1), =(0,1,1). 得 取 z=1,得 n=(1,-1,1). ,EF=2,得点

设平面 ABF 的一个法向量为 m=(x',y',z'), 又 得 =(1,1,0), =(0,-1,1), 取 y'=-1,

得 m=(1,-1,-1). 由 cos<n,m>= = ,

得平面 ABE 与平面 ABF 所成的锐二面角的余弦值为 . (2)由 同理由 则 由 =λ =μ ,得 M(λ,2λ,0), ,得 N(μ,2-μ,μ).

=(λ-μ,2λ+μ-2,-μ), 得λ=μ= .

18.【解析】(1)对任意 n∈N+,都有 bn+1= bn+ ,

所以 bn+1- = (bn- ). 则数列{bn- }是等比数列,首项为 b1- =3, 公比为 . 所以 bn- =3〓( )n-1,bn=3〓( )n-1+ . (2)因为 bn=3〓( )n-1+ . 所以 Tn=3(1+ + +…+ = + =6(1- )+ . ≥2n-7 恒成立, 对任意 n∈N+恒成立. )+

因为不等式 化简得 k≥ 设 cn= = -

,则 cn+1-cn = .

当 n≥5 时,cn+1<cn,数列{cn}为单调递减数列, 当 1≤n<5 时,cn+1>cn,数列{cn}为单调递增数列, =c4<c5= , 所以 n=5 时,cn 取得最大值 . 所以要使 k≥ 对任意 n∈N+恒成立,k≥ .

【变式备选】在等比数列{an}中,an>0(n∈N+),公比 q∈(0,1),且 a1a5+2a3a5+a2a8=25,又 a3 与 a5 的等比中项为 2. (1)求数列{an}的通项公式. (2)设 bn=log2an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. (3)是否存在 k∈N+,使得 + +…+ <k 对任意 n∈N+恒成立,若存在,求出 k 的最小值;若不存在,请说明理由.

【解析】(1)∵a1a5+2a3a5+a2a8=25, ∴ +2a3a5+ =25, ∴(a3+a5)2=25, 又 an>0,∴a3+a5=5, 又 a3 与 a5 的等比中项为 2, ∴a3a5=4,而 q∈(0,1), ∴a3>a5,∴a3=4,a5=1, ∴q= ,a1=16, ∴an=16〓( )n-1=25-n. (2)∵bn=log2an=5-n,∴bn+1-bn=-1, b1=log2a1=log216=log224=4, ∴{bn}是以 4 为首项,-1 为公差的等差数列, ∴Sn= . ,

(3)由(2)知 Sn= ∴ = .

当 n≤8 时, >0;当 n=9 时, =0; 当 n>9 时, <0. ∴当 n=8 或 9 时, + + +…+ 有最大值, 且最大值为 18. 故存在 k∈N+,使得 + +…+ <k 对任意 n∈N+恒成立,k 的最小值为 19.

19.【解析】(1)由题意, 解得 a= ,c=1, 即椭圆方程为 + =1. (2)当直线 AB 与 x 轴垂直时, |AB|= , 此时 S△AOB= ,不符合题意,故舍去; 当直线 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为:y=k(x+1), 代入消去 y 得:(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 所以|AB|= . , 〃 .

原点到直线 AB 的距离 d=

所以三角形的面积 S= |AB|d= 由 S= ,得 k2=2,即 k=〒 ,

所以直线 AB 的方程为 x-y+ =0 或 x+y+ =0. 【变式备选】直线 l 与椭圆 + =1(a>b>0)交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点, 已知 m=(ax1,by1),n=(ax2,by2),若 m⊥n 且椭圆的离心率 e= ,又椭圆经 过点( ,1),O 为坐标原点. (1)求椭圆的方程. (2)若直线 l 过椭圆的焦点 F(0,c)(c 为半焦距),求直线 l 的斜率 k 的值. (3)试问:△AOB 的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请

说明理由. 【解析】 (1)∵ ∴a=2,b=1,∴椭圆的方程为 +x2=1. (2)依题意,设 l 的方程为 y=kx+ , 由 x1+x2= 得(k2+4)x2+2 kx-1=0,显然Δ>0. ,x1x2= .

由已知 m〃n=0 得: a2x1x2+b2y1y2=4x1x2+(kx1+ )(kx2+ ) =(4+k2)x1x2+ k(x1+x2)+3 =(k2+4)()+ k〃 +3=0,

解得 k=〒 . (3)①当直线 AB 的斜率不存在时, 即 x1=x2,y1=-y2, 由已知 m⊥n,得 4 - =0,即 =4 . 又 A(x1,y1)在椭圆上, 所以 + =1?|x1|= , |y1|= . S= |x1||y1-y2| = |x1|〃2|y1|=1,三角形的面积为定值. ②当直线 AB 的斜率存在时:设 AB 的方程为 y=k′x+t,

? (k′2+4)x2+2k′tx+t2-4=0, 必须Δ>0, 即 4k′2t2-4(k′2+4)(t2-4)>0, 得到 x1+x2= x1x2= . ,

∵m⊥n, ∴4x1x2+y1y2=0 ?4x1x2+(k′x1+t)(k′x2+t)=0, 代入整理得:2t2-k′2=4, S= |AB|= |t| = = =1,

所以三角形的面积为定值. 20.【解析】(1)∵ 〃 =0, ∴AT⊥AB,从而直线 AC 的斜率为-3. 所以 AC 边所在直线的方程为 y-1=-3(x+1). 即 3x+y+2=0. 由 ∵ = , 得点 A 的坐标为(0,-2),

∴M(2,0)为 Rt△ABC 外接圆的圆心. 又 r=|AM|= =2 .

所以△ABC 外接圆的方程为(x-2)2+y2=8. (2)设动圆圆心为 D,因为动圆过点 N,且与△ABC 外接圆 M 外切, 所以|DM|=|DN|+2 ,

即|DM|-|DN|=2 . 故点 D 的轨迹是以 M,N 为焦点,实轴长为 2 ,半焦距 c=2 的双曲线的左 支. 从而动圆圆心的轨迹方程Γ为 - =1(x≤- ). (3)PQ 直线方程为:y=kx-2,设 P(x1,y1),Q(x2,y2), 由 得(1-k2)x2+4kx-6 =0(x≤- ).



解得:- <k<-1. 故 k 的取值范围为(- ,-1). 21.【解析】(1)当 l1 与 x 轴重合时,k1+k2=k3+k4=0, 即 k3=-k4, ∴l2 垂直于 x 轴, 得|AB|=2a=2 |CD|= 得 a= = ,b= , , ,

∴椭圆 E 的方程为 + =1. (2)焦点 F1,F2 坐标分别为(-1,0),(1,0). 当直线 l1 或 l2 斜率不存在时,

P 点坐标为(-1,0)或(1,0). 当直线 l1,l2 斜率存在时,设斜率分别为 m1,m2, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 由 得(2+3 ∴x1+x2=x1x2= k1+k2= + =m1( =m1(2+ =m1(2+ ) )= . , ) . )x2+6 , x+3 -6=0,

同理 k3+k4= ∵k1+k2=k3+k4, ∴ = ,

即(m1m2+2)(m2-m1)=0. 由题意知 m1≠m2,∴m1m2+2=0. 设 P(x,y),则 〃 +2=0,

即 +x2=1(x≠〒1), 由当直线 l1 或 l2 斜率不存在时, P 点坐标为(-1,0)或(1,0)也满足, ∴ P(x,y) 点 在 椭 圆 +x2=1 上 , ∴ 存 在 点 M,N 其 坐 标 分 别 为

(0,-1),(0,1)(或(0,1),(0,-1)),

使得|PM|+|PN|为定值 2

.

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