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江苏省南京市鼓楼区2015-2016学年九年级数学上学期期末考试试题(含解析) 新人教版


江苏省南京市鼓楼区 2015-2016 学年九年级数学上学期期末考试试 题
一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 2 分,共 12 分.在每小题所给出的四个选项中,恰 有一项是符合题目要求的,请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸相应位置上) 1.从单词“happy”中随机抽取一个字母,抽中 p 的概率为( A. B. C.
2

/>
D.

2.一元二次方程 x +x﹣2=0 的根的情况是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 3.若 x1,x2 是一元二次方程 2x ﹣7x+5=0 的两根,则 x1+x2 的值是( A.﹣7 B. C. D.7
2



4.下列哪一个函数,其图形与 x 轴有两个交点( ) 2 2 A.y=17(x+50) +2016 B.y=17(x﹣50) +2016 2 2 C.y=﹣17(x+50) +2016 D.y=﹣17(x﹣50) ﹣2016 5.如图,⊙O 的内接四边形 ABCD 中,∠A=115°,则∠BOD 等于( )

A.57.5°

B.65° C.115°
2

D.130°

6.已知二次函数 y=x ﹣x+a(a>0),当自变量 x 取 m 时,其相应的函数值小于 0,那么下 列结论中正确的是( ) A.m﹣1>0 B.m﹣1<0 C.m﹣1=0 D.m﹣1 与 0 的大小关系不确定

二、填空题(本大题共 10 小题,每小题 2 分,共 20 分.不需写出解答过程,请把答案直 接填写在答题纸相应位置上) 7.已知⊙O 的半径为 5cm,圆心 O 到直线 l 的距离为 4cm,那么直线 l 与⊙O 的位置关系 是 . 8.如图,在△ABC 中,D、E 分别是 AB、AC 上的点,且 DE∥BC,若 AD:AB=4:9,则 S△ADE:

S△ABC=



9. 若线段 AB=6cm, 点 C 是线段 AB 的一个黄金分割点 (AC>BC) , 则 AC 的长为 (结果保留根号).

cm

10.若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为 6cm,圆心角为 120°的扇形,则该圆锥的高为 cm. 11. 已知正六边形的边长为 4cm, 分别以它的三个不相邻的顶点为圆心, 边长为半径画弧 (如 图),则所得到的三条弧的长度之和为 cm.(结果保留 π )

12. 如图, 电线杆上的路灯距离地面 8m,身高 1.6m 的小明 (AB) 站在距离电线杆的底部 (点 O)20m 的 A 处,则小明的影子 AM 长为 m.

13.某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚,尺寸如图,若菜农身高为 1.8m,他在不弯 腰的情况下,在棚内的横向活动范围是 m.

14.AB 为半圆 O 的直径,现将一块等腰直角三角板如图放置,锐角顶点 P 在半圆上,斜边 过点 B,一条直角边交该半圆于点 Q.若 AB=2,则线段 BQ 的长为 .

15.若二次函数 y=ax +bx+c 的图象如图所示,则不等式 a(x﹣2) +b(x﹣2)+c<0 的解集 为 .

2

2

16. 如图, 在⊙O 中, AD 是直径, BC 是弦, D为 则 BC 的长是 m.

的中点, 直径 AD 交 BC 于点 E, AE=5, ED=1,

三、解答题(本大题共 11 小题,共 88 分.请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤) 2 17.(1)解方程:2x ﹣4x﹣6=0. 2 (2)①直接写出函数 y=2x ﹣4x﹣6 的图象与 x 轴交点坐标; 2 ②求函数 y=2x ﹣4x﹣6 的图象的顶点坐标. 18.九(2)班组织了一次朗读比赛,甲、乙两队各 10 人的比赛成绩(10 分制)如下表(单 位:分): 甲 7 8 9 7 10 10 9 10 10 10 乙 10 8 7 9 8 10 10 9 10 9 (1)甲队成绩的中位数是 分,乙队成绩的众数是 分; (2)计算乙队成绩的平均数和方差; 2 (3)已知甲队成绩的方差是 1.4 分 ,则成绩较为整齐的是

队.

19. 如图, G 是边长为 8 的正方形 ABCD 的边 BC 上的一点, 矩形 DEFG 的边 EF 过点 A, GD=10. (1)求 FG 的长; (2)直接写出图中与△BHG 相似的所有三角形.

20.一个不透明的袋子中装有 3 个红球和 1 个白球,这些球除颜色外都相同. (1)从中随机摸出 1 个球,记录颜色后放回,搅匀,再摸出 1 个球.摸出的两个球中,1 个为红球,1 个为白球的概率为 ; (2)从中随机摸出 1 个球,记录颜色后不放回,再摸出 1 个球.求摸出的两个球中,1 个 为红球,1 个为白球的概率. 21. 在淘宝一年一度的“双十一”活动中, 某电商在 2014 年销售额为 2500 万元, 要使 2016 年“双十一”的销售额达到 3600 万元,平均每年“双十一”销售额增长的百分率是多少?

22.在作二次函数 y1=ax +bx+c 与一次函数 y2=kx+m 的图象时,先列出下表: x ? ﹣1 0 1 2 3 4 5 ? y1 ? 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 5 12 ? y2 ? 0 2 4 6 8 10 12 ? 请你根据表格信息回答下列问题, 2 (1)二次函数 y1=ax +bx+c 的图象与 y 轴交点坐标为 ; (2)当 y1>y2 时,自变量 x 的取值范围是 ; 2 (3)请写出二次函数 y1=ax +bx+c 的三条不同的性质. 23.请探究两个等腰三角形相似的条件,用文字语言直接写出探究的结果即可.

2

24.(1)如图(1),已知射线 OP 与线段 OH,在射线 OP 上取点 D、E、F,且 OD=DE=EF, 用尺规作出 OH 的三等分点 M、N;(不写作法,保留作图痕迹) (2)请用尺规在图(2)中∠BAC 的内部作出一点 O,使点 O 到 AB 的距离等于点 O 到 AC 的 距离的 2 倍.(不写作法,保留作图痕迹)

25.如图,在矩形 ABCD 中,点 O 是对角线 AC 上一点,以 OC 为半径的⊙O 与 CD 交于点 M, 且∠BAC=∠DAM. (1)求证:AM 与⊙O 相切; (2)若 AM=3DM,BC=2,求⊙O 的半径.

26.某家禽养殖场,用总长为 110m 的围栏靠墙(墙长为 22m)围成如图所示的三块矩形区 域, 矩形 AEHG 与矩形 CDEF 面积都等于矩形 BFHG 面积的一半, 设 AD 长为 xm, 矩形区域 ABCD 2 的面积为 ym . (1)求 y 与 x 之间的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围; (2)当 x 为何值时,y 有最大值?最大值是多少?

27.如图(1),在矩形 ABCD 中,AB=3,BC=4,连接 BD.现将一个足够大的直角三角板的 直角顶点 P 放在 BD 所在的直线上,一条直角边过点 C,另一条直角边与 AB 所在的直线交于 点 G. (1)是否存在这样的点 P,使点 P、C、G 为顶点的三角形与△GCB 全等?若存在,画出图形, 并直接在图形下方写出 BG 的长.(如果你有多种情况,请用①、②、③、?表示,每种情 况用一个图形单独表示,如果图形不够用,请自己画图) (2)如图(2),当点 P 在 BD 的延长线上时,以 P 为圆心、PB 为半径作圆分别交 BA、BC 延长线于点 E、F,连 EF,分别过点 G、C 作 GM⊥EF,CN⊥EF,M、N 为垂足.试探究 PM 与

FN 的关系.

2015-2016 学年江苏省南京市鼓楼区九年级(上)期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 2 分,共 12 分.在每小题所给出的四个选项中,恰 有一项是符合题目要求的,请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸相应位置上) 1.从单词“happy”中随机抽取一个字母,抽中 p 的概率为( )

A. B. C. D. 【考点】概率公式. 【分析】由单词“happy”中有两个 p,直接利用概率公式求解即可求得答案. 【解答】解:∵单词“happy”中有两个 p, ∴抽中 p 的概率为: . 故选 C. 【点评】此题考查了概率公式的应用.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.

2.一元二次方程 x +x﹣2=0 的根的情况是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 【考点】根的判别式. 【专题】压轴题. 【分析】先计算出根的判别式△的值,根据△的值就可以判断根的情况. 2 2 【解答】解:△=b ﹣4ac=1 ﹣4×1×(﹣2)=9, ∵9>0, ∴原方程有两个不相等的实数根. 故选 A. 【点评】本题主要考查判断一元二次方程有没有实数根主要看根的判别式△的值.△>0, 有两个不相等的实数根;△=0,有两个相等的实数根;△<0,没有实数根.

2

3.若 x1,x2 是一元二次方程 2x ﹣7x+5=0 的两根,则 x1+x2 的值是( A.﹣7 B. C. D.7 【考点】根与系数的关系. 【专题】计算题. 【分析】直接根据根与系数的关系求解.

2



【解答】解:根据题意得,x1+x2=﹣

= .

故选 C. 2 【点评】本题考查了根与系数的关系:若 x1,x2 是一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)的两根 时,x1+x2= ,x1x2= .

4.下列哪一个函数,其图形与 x 轴有两个交点( ) 2 2 A.y=17(x+50) +2016 B.y=17(x﹣50) +2016 2 2 C.y=﹣17(x+50) +2016 D.y=﹣17(x﹣50) ﹣2016 【考点】抛物线与 x 轴的交点. 2 2 2 【分析】对于方程 17(x+50) +2016=0,17(x﹣50) +2016=0,﹣17(x+50) +2016=0,﹣ 2 2 17(x﹣50) ﹣2016=0,先判断它们的根的情况,然后根据△=b ﹣4ac 决定抛物线与 x 轴的 交点个数确定正确选项. 2 2 【解答】解:A、方程 17(x+50) +2016=0 没有实数解,则抛物线 y=17(x+50) +2016 与 x 轴没有公共点,所以 A 选项错误; 2 2 B、方程 17(x﹣50) +2016=0 没有实数解,则抛物线 y=17(x﹣50) +2016 与 x 轴没有公共 点,所以 B 选项错误; 2 2 C、方程﹣17(x+50) +2016=0 有两个不相等的实数解,则抛物线 y=﹣17(x+50) +2016 与 x 轴有 2 个公共点,所以 C 选项正确; 2 2 D、方程﹣17(x﹣50) ﹣2016=0 没有实数解,则抛物线 y=﹣17(x﹣50) ﹣2016 与 x 轴没 有公共点,所以 D 选项错误. 故选 C. 2 【点评】 本题考查了抛物线与 x 轴的交点: 把求二次函数 y=ax +bx+c (a, b, c 是常数, a≠0) 2 与 x 轴的交点坐标问题转化为解关于 x 的一元二次方程.对于二次函数 y=ax +bx+c(a,b, 2 2 c 是常数,a≠0),△=b ﹣4ac 决定抛物线与 x 轴的交点个数:△=b ﹣4ac>0 时,抛物线 2 2 与 x 轴有 2 个交点;△=b ﹣4ac=0 时,抛物线与 x 轴有 1 个交点;△=b ﹣4ac<0 时,抛物 线与 x 轴没有交点. 5.如图,⊙O 的内接四边形 ABCD 中,∠A=115°,则∠BOD 等于( )

A.57.5°

B.65° C.115°

D.130°

【考点】圆内接四边形的性质;圆周角定理. 【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠C=65°,根据圆周角定理得到答案. 【解答】解:∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形, ∴∠A+∠C=180°,又∠A=115°, ∴∠C=65°, 则∠BOD=130°, 故选:D. 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理,掌握圆内接四边形的对角互补、 在同圆或等圆中, 同弧或等弧所对的圆周角相等, 都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题 的关键. 6.已知二次函数 y=x ﹣x+a(a>0),当自变量 x 取 m 时,其相应的函数值小于 0,那么下 列结论中正确的是( ) A.m﹣1>0 B.m﹣1<0 C.m﹣1=0 D.m﹣1 与 0 的大小关系不确定 【考点】二次函数的性质. 【分析】根据二次函数的性质,由于二次项系数为 1,故函数开口方向向上,根据函数解析 式的特点,当 x=1 时,y=a,x=0 时,y=a,又 a>0,据此即可画出函数草图,利用数形结合 的思想即可解答. 【解答】解:根据题意画出图形:
2

∵当自变量 x 取 m 时,其相应的函数值 y<0, ∴可知 m﹣1 表示的点在 A、B 之间, ∴m﹣1>0, ∴当自变量 x 取 m﹣1 时,函数值 y<0. 故选:A. 【点评】本题考查的是二次函数的性质,根据题意画出图形,利用数形结合求解是解答此题 的关键. 二、填空题(本大题共 10 小题,每小题 2 分,共 20 分.不需写出解答过程,请把答案直 接填写在答题纸相应位置上) 7.已知⊙O 的半径为 5cm,圆心 O 到直线 l 的距离为 4cm,那么直线 l 与⊙O 的位置关系是 相交 . 【考点】直线与圆的位置关系. 【分析】由题意得出 d<r,根据直线和圆的位置关系的判定方法判断即可. 【解答】解:∴⊙O 的半径为 5cm,如果圆心 O 到直线 l 的距离为 4cm,

∴4<5, 即 d<r, ∴直线 l 与⊙O 的位置关系是相交. 故答案为:相交. 【点评】本题考查了直线和圆的位置关系的应用;注意:已知⊙O 的半径为 r,如果圆心 O 到直线 l 的距离是 d,当 d>r 时,直线和圆相离,当 d=r 时,直线和圆相切,当 d<r 时, 直线和圆相交. 8.如图,在△ABC 中,D、E 分别是 AB、AC 上的点,且 DE∥BC,若 AD:AB=4:9,则 S△ADE: S△ABC= 16:81 .

【考点】相似三角形的判定与性质. 【分析】由 DE∥BC,证出△ADE∽S△ABC,根据相似三角形的性质即可得到结论. 【解答】解:∵DE∥BC, ∴△ADE∽△ABC, ∴S△ADE:S△ABC=( ) = , 故答案为:16:81. 【点评】 本题考查了相似三角形的判定与性质, 根据相似三角形面积的比等于相似比的平方 解决问题.
2

9.若线段 AB=6cm,点 C 是线段 AB 的一个黄金分割点(AC>BC),则 AC 的长为

3(



1) cm(结果保留根号). 【考点】黄金分割. 【专题】计算题. 【分析】把一条线段分成两部分,使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项,这样

的线段分割叫做黄金分割,他们的比值(

)叫做黄金比.

【解答】解:根据黄金分割点的概念和 AC>BC,得:AC=

AB=3(

﹣1).

故本题答案为:3(

﹣1).

【点评】此题考查了黄金分割点的概念,要熟记黄金比的值.

10.若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为 6cm,圆心角为 120°的扇形,则该圆锥的高为 4 cm.

【考点】圆锥的计算. 【分析】易得扇形的弧长,除以 2π 即为圆锥的底面半径,加上母线长 6,利用勾股定理即 可求得圆锥的高. 【解答】解:圆锥的侧面展开图的弧长为: ∴圆锥的底面半径为 4π ÷2π =2, ∴该圆锥的高为: =4 . =4π ,

【点评】用到的知识点为:圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长;圆锥的高,母线 长,底面半径组成直角三角形. 11. 已知正六边形的边长为 4cm, 分别以它的三个不相邻的顶点为圆心, 边长为半径画弧 (如 图),则所得到的三条弧的长度之和为 8π cm.(结果保留 π )

【考点】弧长的计算;正多边形和圆. 【分析】先求得正多边形的每一个内角,然后由弧长计算公式. 【解答】解:方法一:

先求出正六边形的每一个内角=

=120°,

所得到的三条弧的长度之和=3×

=8π (cm);

方法二:先求出正六边形的每一个外角为 60°, 得正六边形的每一个内角 120°, 每条弧的度数为 120°, 三条弧可拼成一整圆,其三条弧的长度之和为 8π cm. 故答案为:8π . 【点评】 本题考查了弧长的计算和正多边形和圆. 与圆有关的计算, 注意圆与多边形的结合.

12. 如图, 电线杆上的路灯距离地面 8m,身高 1.6m 的小明 (AB) 站在距离电线杆的底部 (点 O)20m 的 A 处,则小明的影子 AM 长为 5 m.

【考点】相似三角形的应用. 【分析】根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解. 【解答】解:由题意得, = ,

即 = , 解得:AM=5. 故答案为:5. 【点评】 本题考查了相似三角形的应用, 利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的 关键. 13.某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚,尺寸如图,若菜农身高为 1.8m,他在不弯 腰的情况下,在棚内的横向活动范围是 3 m.

【考点】二次函数的应用. 2 【分析】设抛物线的解析式为:y=ax +b,由图得知点(0,2.4),(3,0)在抛物线上, 列方程组得到抛物线的解析式为:y=﹣ x +2.4,根据题意求出 y=1.8 时 x 的值,进而求出 答案; 2 【解答】解:设抛物线的解析式为:y=ax +b, 由图得知:点(0,2.4),(3,0)在抛物线上,
2



,解得:


2

∴抛物线的解析式为:y=﹣ x +2.4, ∵菜农的身高为 1.8m,即 y=1.8, 则 1.8=﹣ x +2.4,
2

解得:x= (负值舍去)

故他在不弯腰的情况下,横向活动范围是:3 米, 故答案为:3. 【点评】 此题主要考查了二次函数应用以及一元二次方程的解法, 正确理解方程与函数关系 是解题关键. 14.AB 为半圆 O 的直径,现将一块等腰直角三角板如图放置,锐角顶点 P 在半圆上,斜边 过点 B,一条直角边交该半圆于点 Q.若 AB=2,则线段 BQ 的长为 .

【考点】圆周角定理. 【分析】连接 AQ,BQ,根据圆周角定理可得出∠QAB=∠P=45°,∠AQB=90°,故△ABQ 是等 腰直角三角形,根据勾股定理即可得出结论. 【解答】解:连接 AQ,BQ, ∵∠P=45°, ∴∠QAB=∠P=45°,∠AQB=90°, ∴△ABQ 是等腰直角三角形. ∵AB=2, 2 ∴2BQ =4, ∴BQ= . .

故答案为:

【点评】本题考查的是圆周角定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的 关键. 15.若二次函数 y=ax +bx+c 的图象如图所示,则不等式 a(x﹣2) +b(x﹣2)+c<0 的解集 为 x<3 或 x>5 .
2 2

【考点】二次函数与不等式(组).

【分析】直接利用函数图象即可得出结论. 【解答】解:∵由函数图象可知,当 x<1 或 x>3 时,函数图象在 x 轴的下方, ∴函数 y=a(x﹣2) +b(x﹣2)+c 的图象与 x 轴的交点为 3,5, 2 ∴等式 a(x﹣2) +b(x﹣2)+c<0<0 的解集为 x<3 或 x>5. 故答案为:x<3 或 x>5. 【点评】 本题考查的是二次函数与不等式组, 能根据题意利用数形结合求出不等式的解集是 解答此题的关键.
2

16. 如图, 在⊙O 中, AD 是直径, BC 是弦, D为 则 BC 的长是 2 m.

的中点, 直径 AD 交 BC 于点 E, AE=5, ED=1,

【考点】垂径定理;勾股定理. 【分析】连接 OB,根据题意求出圆的半径,根据勾股定理求出 BE,根据垂径定理的推论计 算即可. 【解答】解:连接 OB, ∵AE=5,ED=1, ∴AD=6, ∴OB=0D=3,OE=2, ∵AD 是直径,D 为 ∴OE⊥BC,BE=EC, 在 Rt△OBE 中,BE= ∴BC=2BE=2 故答案为:2 , . = , 的中点,

【点评】本题考查的是垂径定理及其推论和勾股定理的应用,掌握垂径定理的推论:平分弦

(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧、弦的垂直平分线经过圆心,并且 平分弦所对的两条弧、平分弦所对一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 是解题的关键. 三、解答题(本大题共 11 小题,共 88 分.请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤) 2 17.(1)解方程:2x ﹣4x﹣6=0. 2 (2)①直接写出函数 y=2x ﹣4x﹣6 的图象与 x 轴交点坐标; 2 ②求函数 y=2x ﹣4x﹣6 的图象的顶点坐标. 【考点】抛物线与 x 轴的交点;解一元二次方程-因式分解法;二次函数的性质. 【专题】计算题. 2 【分析】(1)先把方程整理为 x ﹣2x﹣3=0,然后利用因式分解法解方程; 2 2 (2)①利用抛物线与 x 轴的交点问题,通过解方程 2x ﹣4x﹣6=0 可得到函数 y=2x ﹣4x﹣6 的图象与 x 轴交点坐标,于是利用(1)中的解可直接得到交点坐标; ②把抛物线解析式配成顶点式,然后根据二次函数的性质求解. 2 【解答】解:(1)解方程 2x ﹣4x﹣6=0, 2 整理得 x ﹣2x﹣3=0, (x﹣3)(x+1)=0, x﹣3=0 或 x+1=0, 所以 x1=3,x2=﹣1; 2 (2)①函数 y=2x ﹣4x﹣6 的图象与 x 轴交点坐标(3,0),(﹣1,0); 2 ②y=2(x ﹣2x)﹣6 2 =2(x ﹣2x+1﹣1)﹣6 2 =2(x﹣1) ﹣8, 所以抛物线的顶点(1,﹣8). 2 【点评】 本题考查了抛物线与 x 轴的交点: 把求二次函数 y=ax +bx+c (a, b, c 是常数, a≠0) 与 x 轴的交点坐标问题转化为解关于 x 的一元二次方程. 也考查了解一元二次方程和二次函 数的性质. 18.九(2)班组织了一次朗读比赛,甲、乙两队各 10 人的比赛成绩(10 分制)如下表(单 位:分): 甲 7 8 9 7 10 10 9 10 10 10 乙 10 8 7 9 8 10 10 9 10 9 (1)甲队成绩的中位数是 9.5 分,乙队成绩的众数是 10 分; (2)计算乙队成绩的平均数和方差; 2 (3)已知甲队成绩的方差是 1.4 分 ,则成绩较为整齐的是 乙 队. 【考点】方差;加权平均数. 【分析】(1)根据中位数的定义求出最中间两个数的平均数;根据众数的定义找出出现次 数最多的数即可; (2)先求出乙队的平均成绩,再根据方差公式进行计算; (3)先比较出甲队和乙队的方差,再根据方差的意义即可得出答案. 【解答】解:(1)把甲队的成绩从小到大排列为:7,7,8,9,9,10,10,10,10,10, 最中间两个数的平均数是(9+10)÷2=9.5(分),

则中位数是 9.5 分; 乙队成绩中 10 出现了 4 次,出现的次数最多, 则乙队成绩的众数是 10 分; 故答案为:9.5,10;

(2)乙队的平均成绩是: 则方差是:

(10×4+8×2+7+9×3)=9,
2 2 2 2

[4×(10﹣9) +2×(8﹣9) +(7﹣9) +3×(9﹣9) ]=1;

(3)∵甲队成绩的方差是 1.4,乙队成绩的方差是 1, ∴成绩较为整齐的是乙队; 故答案为:乙. 【点评】本题考查方差、中位数和众数:中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新 排列后,最中间的那个数(或最中间两个数的平均数),一般地设 n 个数据,x1,x2,?xn 的平均数为 ,则方差 S = [(x1﹣ ) +(x2﹣ ) +?+(xn﹣ ) ],它反映了一组数据 的波动大小,方差越大,波动性越大,反之也成立. 19. 如图, G 是边长为 8 的正方形 ABCD 的边 BC 上的一点, 矩形 DEFG 的边 EF 过点 A, GD=10. (1)求 FG 的长; (2)直接写出图中与△BHG 相似的所有三角形.
2 2 2 2

【考点】相似三角形的判定与性质;矩形的性质;正方形的性质. 【分析】(1)根据 = ,可以求出 FG,由 ED=FG,只要求出 = 即可,根据相似三角 形的性质即可求解; (2)根据正方形的角都是直角,其余两个角加起来为 90°,根据对顶角、余角等关系,可 以看出△AFH,△DCG,△DEA,△GBH 均是相似三角形. 【解答】解:(1)在正方形 ABCD 和矩形 DEFG 中,∠E=∠C=90°, ∵∠EDA 与∠CDG 均为∠ADG 的余角, ∴∠EDA=∠CDG, ∴△DEA∽△DCG, ∴ = ∵ED=FG,

∴ = , ∵GD=10,AD=CD=8, ∴ = , ∴FG=6.4; (2)△AFH,△DCG,△DEA,△GBH 均是相似三角形. 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质,在做题过程中,要找全相似三角形要,综合 考虑,解题的关键是掌握相似三角形判定和性质. 20.一个不透明的袋子中装有 3 个红球和 1 个白球,这些球除颜色外都相同. (1)从中随机摸出 1 个球,记录颜色后放回,搅匀,再摸出 1 个球.摸出的两个球中,1 个为红球,1 个为白球的概率为 ; (2)从中随机摸出 1 个球,记录颜色后不放回,再摸出 1 个球.求摸出的两个球中,1 个 为红球,1 个为白球的概率. 【考点】列表法与树状图法. 【分析】(1)首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与摸出的两 个球中,1 个为红球,1 个为白球的情况,再利用概率公式即可求得答案; (2)首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与摸出的两个球中,1 个为红球,1 个为白球的情况,再利用概率公式即可求得答案. 【解答】解:(1)画树状图得:

∵共有 16 种等可能的结果,摸出的两个球中,1 个为红球,1 个为白球的有 6 种情况,

∴摸出的两个球中,1 个为红球,1 个为白球的概率为: 故答案为: ; (2)编画树状图得:

= ;

∵共有 12 种可能出现的结果,它们出现的可能性相同,摸出“1 个是红球,1 个白球”(记 为事件 B)的结果有 6 种,

∴摸出的两个球中,1 个为红球,1 个为白球的概率为: = . 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情 况数之比. 21. 在淘宝一年一度的“双十一”活动中, 某电商在 2014 年销售额为 2500 万元, 要使 2016 年“双十一”的销售额达到 3600 万元,平均每年“双十一”销售额增长的百分率是多少? 【考点】一元二次方程的应用. 【专题】增长率问题. 【分析】增长率问题,一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率),参照本题,如果设 平均增长率为 x,根据“在 2014 年销售额为 2500 万元,要使 2016 年“双十一”的销售额 达到 3600 万元”,即可得出方程. 【解答】解:设平均每年“双十一”销售额增长的百分率是 x,根据题意得 2 2500(1+x) =3600, (1+x) = 1+x=± , x1= =20%,x2=﹣ (不合题意,舍去), 答:平均每年“双十一”销售额增长的百分率是 20%. 【点评】本题考查求平均变化率的方法.若设变化前的量为 a,变化后的量为 b,平均变化 2 率为 x,则经过两次变化后的数量关系为 a(1±x) =b. 22.在作二次函数 y1=ax +bx+c 与一次函数 y2=kx+m 的图象时,先列出下表: x ? ﹣1 0 1 2 3 4 5 ? y1 ? 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 5 12 ? y2 ? 0 2 4 6 8 10 12 ? 请你根据表格信息回答下列问题, 2 (1)二次函数 y1=ax +bx+c 的图象与 y 轴交点坐标为 (0,﹣3) ; (2)当 y1>y2 时,自变量 x 的取值范围是 x<﹣1 或 x>5 ; 2 (3)请写出二次函数 y1=ax +bx+c 的三条不同的性质. 【考点】二次函数的性质. 【分析】(1)令 x=0,求得 y 的数值,确定与 y 轴交点坐标即可; (2)先利用待定系数法求出二次函数与一次函数的解析式,求出两函数图象的交点,进而 可得出结论; (3)利用二次函数的性质:开口方向,对称轴,增减性直接得出答案即可. 2 【解答】解:(1)二次函数 y1=ax +bx+c 的图象与 y 轴交点坐标为(0,﹣3); (2)由题意得,
2 2





解得


2 2

∴二次函数的解析式为 y=x ﹣2x﹣3=(x﹣1) ﹣4. ∵一次函数 y2=kx+m 的图象过点(﹣1,0),(0,2),





解得



∴一次函数的解析式为 y=2x+2, 如图所示,

当 x<﹣1 或 x>5 时,二次函数的值大于一次函数的值. (3)该函数的图象开口向上;当 x=1 时,函数有最大值;当 x<1 时,y 随 x 的增大而减小, 当 x≥1 时,y 随 x 的增大而增大;顶点坐标为(1,﹣4);对称轴为直线 x=1. 【点评】此题考查二次函数的性质,待定系数法求函数解析式,结合图象,利用二次函数的 性质解决问题. 23.请探究两个等腰三角形相似的条件,用文字语言直接写出探究的结果即可. 【考点】相似三角形的判定;等腰三角形的性质. 【分析】若要判定两三角形相似,最主要的方法是找两对对应相等的角. 【解答】解:①顶角相等的两个等腰三角形相似; ②底角相等的两个等腰三角形相似; ③腰和底成比例的两个等腰三角形相似. 【点评】本题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定.相似三角形的判定定理:(1) 平行线法:平行于三角形的一边的直线与其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似; (2)三边法:三组对应边的比相等的两个三角形相似; (3)两边及其夹角法:两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似;

(4)两角法:有两组角对应相等的两个三角形相似. 24.(1)如图(1),已知射线 OP 与线段 OH,在射线 OP 上取点 D、E、F,且 OD=DE=EF, 用尺规作出 OH 的三等分点 M、N;(不写作法,保留作图痕迹) (2)请用尺规在图(2)中∠BAC 的内部作出一点 O,使点 O 到 AB 的距离等于点 O 到 AC 的 距离的 2 倍.(不写作法,保留作图痕迹)

【考点】作图—复杂作图;平行线分线段成比例. 【专题】计算题. 【分析】(1)连结 FH,分别过点 E、F 作 FH 的平行线交 OH 于 N、M,根据平行线分线段成 比例定理可得到 OM=MN=NH; (2)以 A 为圆心,任意长为半径画弧交 AC 与 M,交 AB 与 N,然后利用(1)的作法作 MN 的三等份点即可得到 O 点. 【解答】解:(1)如图 1,点 M、N 为所作;

(2)如图 2,点 O 为所作.

【点评】本题考查了作图﹣复杂作图:复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图,一般 是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性 质,结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作. 25.如图,在矩形 ABCD 中,点 O 是对角线 AC 上一点,以 OC 为半径的⊙O 与 CD 交于点 M, 且∠BAC=∠DAM. (1)求证:AM 与⊙O 相切; (2)若 AM=3DM,BC=2,求⊙O 的半径.

【考点】切线的判定;勾股定理;相似三角形的判定与性质. 【分析】 (1) 首先连接 OE, 由四边形 ABCD 是矩形, ∠BAC=∠DAM, 可证得∠OMC+∠DMA=90°, 即可得∠AMO=90°,则可证得 AM 与⊙O 相切; (2)易证得△BAC∽△DAM,由相似三角形的性质得到 = ,得到 = ,根据 AM=3DM, 2 2 2 BC=2 求得 AC=6,在△DAM 中,根据勾股定理得 DM +AD =AM ,即可求得 DM 和 AM,在△AMO 中, 2 2 2 根据 AM +MO =AO 求得 OM 的长,即可得⊙O 的半径. 【解答】(1)证明:连接 OM. 在矩形 ABCD 中,AB∥DC,∠D=90° ∴∠BAC=∠DCA, ∵OM=OC, ∴∠OMC=∠OCM. ∵∠BAC=∠DAM, ∴∠DAM=∠OMC. ∴∠OMC+∠DMA=∠DAM+∠DMA. 在△DAM 中,∠D=90°, ∴∠DAM+∠DMA=180°﹣90°=90°. ∴∠OMC+∠DMA=90°. ∴∠AMO=90°, ∴AM⊥MO. 点 M 在⊙O 上,OM 是⊙O 的半径, ∴AM 与⊙O 相切. (2)在△BAC 与△DAM 中, ∵∠BAC=∠DAM,∠B=∠D, ∴△BAC∽△DAM, ∴ = ,

∴ = . ∵AM=3DM, ∴AC=3BC.BC=2, ∴AC=6, 2 2 2 在△DAM 中,DM +AD =AM 2 2 2 即 DM +2 =(3DM) 解得 DM= .AM= . 2 2 2 在△AMO 中,AM +MO =AO 即( 解得 MO= ) +MO =(6﹣MO) . .
2 2 2

【点评】此题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及勾股定理.此 题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用. 26.某家禽养殖场,用总长为 110m 的围栏靠墙(墙长为 22m)围成如图所示的三块矩形区 域, 矩形 AEHG 与矩形 CDEF 面积都等于矩形 BFHG 面积的一半, 设 AD 长为 xm, 矩形区域 ABCD 2 的面积为 ym . (1)求 y 与 x 之间的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围; (2)当 x 为何值时,y 有最大值?最大值是多少?

【考点】二次函数的应用. 【分析】 (1)根据矩形 AEHG 与矩形 CDEF 面积都等于矩形 BFHG 面积的一半,得到矩形 AEFB 面积是矩形 CDEF 面积的 3 倍,求得 AD=3DE,于是得到 y=x(55﹣ 量 x 的取值范围为:24≤x<40; (2)把 y=﹣ x +55x 化为顶点式:y=﹣
2 2

x)=﹣

x +55x,自变

2

( x﹣20) +550,根据二次函数的性质即可得

到结论. 【解答】解:(1)∵矩形 AEHG 与矩形 CDEF 面积都等于矩形 BFHG 面积的一半, ∴矩形 AEFB 面积是矩形 CDEF 面积的 3 倍, ∴AD=3DE, ∵AD=x, ∴GH= x, ∵围栏总长为 110m, ∴2x+ x+2CD=110, ∴CD=55﹣ x,
2

∴y=x(55﹣ x)=﹣ x +55x, ∴自变量 x 的取值范围为:24≤x<40;

(2)∵y=﹣

x +55x=﹣

2

( x ﹣40 x)=﹣

2

( x﹣20) +550,

2

∵自变量 x 的取值范围为:24≤x<40,且二次项系数为﹣ <0, ∴当 x=24 时,y 有最大值,最大值为 528 平方米. 【点评】此题考查了二次函数的应用,以及列代数式,熟练掌握二次函数的性质是解本题的 关键. 27.如图(1),在矩形 ABCD 中,AB=3,BC=4,连接 BD.现将一个足够大的直角三角板的 直角顶点 P 放在 BD 所在的直线上,一条直角边过点 C,另一条直角边与 AB 所在的直线交于 点 G. (1)是否存在这样的点 P,使点 P、C、G 为顶点的三角形与△GCB 全等?若存在,画出图形, 并直接在图形下方写出 BG 的长.(如果你有多种情况,请用①、②、③、?表示,每种情 况用一个图形单独表示,如果图形不够用,请自己画图) (2)如图(2),当点 P 在 BD 的延长线上时,以 P 为圆心、PB 为半径作圆分别交 BA、BC 延长线于点 E、F,连 EF,分别过点 G、C 作 GM⊥EF,CN⊥EF,M、N 为垂足.试探究 PM 与 FN 的关系.

【考点】圆的综合题;全等三角形的判定与性质;线段垂直平分线的性质;矩形的性质;相 似三角形的判定与性质.

【专题】综合题. 【分析】(1)只需分点 G 在线段 AB 上(如图①)、在线段 AB 的延长线上(如图②)、在 线段 AB 的反向延长线上(如图③)三种情况讨论,即可解决问题; (2) 如图 2, 由 (1) 可知, 此时 BG=PG= , BC=PC=4. 易证△PGM∽△CPN, 从而可得 PM= CN;

易证△FNC∽△BCD,从而可得 FN= CN,即可得到 PM=FN. 【解答】解:(1)存在点 P,使点 P、C、G 为顶点的三角形与△GCB 全等. ①若点 G 在线段 AB 上,如图①.

当 BG=PC 时,根据 HL 可得 Rt△GBC≌Rt△CPG, 此时∠GCB=∠CGP, ∴PG∥BC, ∴∠GPC+∠PCB=90°. ∵∠GPC=90°, ∴∠PCB=90°, ∴点 P 在点 D 处, ∴BG=PC=DC=AB=3; ②若点 G 在线段 AB 的延长线上,如图②.

当 BG=PC 时,根据 HL 可得 Rt△GBC≌Rt△CPG, 此时 BC=PG,∠GCB=∠CGP, ∴OG=OC,OB=OP, ∴∠PBO=∠BPO= (180°﹣∠BOP), ∠OCG=∠OGC= (180°﹣∠GOC). ∵∠BOP=∠GOC,

∴∠PBO=∠OCG, ∴BD∥CG. ∵四边形 ABCD 是矩形, ∴AB∥DC,即 BG∥DC, ∴四边形 BGCD 是平行四边形, ∴BG=CD=3; ③若点 G 在线段 AB 的反向延长线上,如图③.

当 PC=BC 时,根据 HL 可得 Rt△GBC≌Rt△GPC, 此时 BG=PG, ∴点 G、C 在 BP 的垂直平分线上, ∴GC 垂直平分 BP, ∴∠BGC+∠GBD=90°. ∵∠CBD+∠GBD=90°, ∴∠BGC=∠CBD. 又∵∠GBC=∠BCD=90°, ∴△GCB∽△BDC, ∴ = . ∵BC=4,CD=3, ∴ = , ;

∴BG=

(2)如图 2,

由(1)可知,此时△GBC≌△GPC,且 BG=PG= ∵GM⊥EF,CN⊥EF, ∴∠GMP=∠PNC=90°, ∴∠MGP+∠GPM=90°. ∵∠GPC=90°, ∴∠GPM+∠NPC=90°, ∴∠MGP=∠NPC, ∴△PGM∽△CPN, ∴ = .

,BC=PC=4.



=

= ,即 PM= CN.

∵PB=PF,∴∠F=∠PBC. 又∵∠FNC=∠BCD=90°, ∴△FNC∽△BCD, ∴ = . ∵BC=4,DC=3, ∴ = ,

∴FN= CN, ∴PM=FN. 【点评】 本题主要考查了矩形的性质、 全等三角形的判定与性质、 相似三角形的判定与性质、 圆的定义、线段垂直平分线性质定理及其逆定理等知识,运用分类讨论的思想是解决第(1) 小题的关键,利用相似三角形的性质是解决第(2)小题的关键.


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