tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

2009年福建省高考(文科)数学试卷无答案版+答案解析版


2009 年福建省高考数学试卷(文科)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1. (5 分) (2009?福建)若集合 A={x|x>0},B={x|x<3},则 A∩B 等于( A.{x|x<0} B.{x|0<x<3} C.{x|x>4} 2. (5 分) (2009?福建)下列函数中,与函数 A.f(x)=log2x B. 有相同定义域的

是( C.f(x)=|x| ) D.f(x)=2x ) D.R

3. (5 分) (2009?福建)一个容量 100 的样本,其数据的分组与各组的频数如下表 组别(0,10](10,20](20,30)(30,40)(40,50](50,60](60,70] 13 24 15 16 13 7 频数12 则样本数据落在(10,40)上的频率为( A.0.13 B.0.39 ) C.0.52 D.0.64

4. (5 分) (2009?福建)若双曲线 A .2 B.



=1(a>0)的离心率为 2,则 a=( C.

) D.1

5. (5 分) (2009?福建)如图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形,且体积为 .则该几何体的俯 视图可以是( )

A.

B.

C.

D.

6. (5 分) (2009?福建)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果是(



A .2

B.4

C .8

D.16 )

7. (5 分) (2009?福建)已知锐角△ ABC 的面积为 A.75° B.60°

,BC=4,CA=3,则角 C 的大小为( C.45° D.30°

8. (5 分) (2009?福建)定义在 R 上的偶函数 f(x)的部分图象如图所示,则在(﹣2,0)上,下列函数中与 f(x) 的单调性不同的是( )

A.y=x2+1 C. y=

B. y=|x|+1 D. y=

9. (5 分) (2009?福建)在平面直角坐标系中,若不等式组

(a 为常数)所表示的平面区域的面积等

于 2,则 a 的值为( A.﹣5

) B.1 C .2 D.3

10. (5 分) (2009?福建)设 m,n 是平面 α 内的两条不同直线,l1,l2 是平面 β 内的两条相交直线,则 α∥β 的一个 充分而不必要条件是( ) A.m∥β 且 l∥α B.m∥l1 且 n∥l2 C.m∥β 且 n∥β D.m∥β 且 n∥l2 11. (5 分) (2009?福建)若函数 f(x)的零点与 g(x)=4 +2x﹣2 的零点之差的绝对值不超过 0.25,则 f(x)可 以是( ) A.f(x)=4x﹣1 B.f(x)=(x﹣1)2 C.f(x)=ex﹣1 D. f(x)=ln(x﹣ )
x

12. (5 分) (2009?福建)设 , , 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满足 与 不共线, ⊥ , | |=| |,则| ? |的值一定等于 A. C. ( ) B. 以 , 为两边的三角形面积

以 , 为邻边的平行四边形的面积 , 为两边的三角形面积

D. 以 , 为邻边的平行四边形的面积

二、填空题(共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分) 2 13. (4 分) (2009?福建)复数 i (1﹣2i)的实部是 _________

14. (4 分) (2009?福建)点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点,若在该圆周上随机取一点 B,则劣弧 小于 1 的概率为 _________ .
2

的长度

15. (4 分) (2009?福建)若曲线 f(x)=ax +lnx 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是 _________ . 16. (4 分) (2009?福建)五位同学围成一圈依序循环报数,规定:①第一位同学首次报出的数为 1.第二位同学首 次报出的数也为 1,之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和;②若报出的是 3 的倍数,则报该数 的同学需拍手一次,当第 30 个数被报出时,五位同学拍手的总次数为 _________ . 三、解答题(共 6 小题,满分 74 分) 17. (12 分) (2009?福建)等比数列{an}中,已知 a1=2,a4=16 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若 a3,a5 分别为等差数列{bn}的第 3 项和第 5 项,试求数列{bn}的通项公式及前 n 项和 Sn. 18. (12 分) (2009?福建)袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个,现一次有放回地随机摸取 3 次,每次摸取一 个球 (Ⅰ)试问:一共有多少种不同的结果?请列出所有可能的结果; (Ⅱ)若摸到红球时得 2 分,摸到黑球时得 1 分,求 3 次摸球所得总分为 5 的概率. 19. (12 分) (2009?福建)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) ,其中 ω>0, (I)若 ,求 φ 的值; ,求函数 f(x)的解析式;并

(Ⅱ)在(I)的条件下,若函数 f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于

求最小正实数 m,使得函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位所对应的函数是偶函数. 20. (12 分) (2009?福建)如图,平行四边形 ABCD 中,∠DAB=60°,AB=2,AD=4 将△ CBD 沿 BD 折起到△ EBD 的位置,使平面 EDB⊥平面 ABD (I)求证:AB⊥DE (Ⅱ)求三棱锥 E﹣ABD 的侧面积.

21. (12 分) (2009?福建)已知函数 f(x)= x +ax +bx,且 f′(﹣1)=0. (1)试用含 a 的代数式表示 b; (2)求 f(x)的单调区间; (3)令 a=﹣1,设函数 f(x)在 x1、x2(x1<x2)处取得极值,记点 M(x1,f(x1) ) ,N(x2,f(x2) ) .证明:线 段 MN 与曲线 f(x)存在异于 M,N 的公共点.

3

2

22. (14 分) (2009?福建)已知直线 x﹣2y+2=0 经过椭圆

的左顶点 A 和上顶点 D,椭

圆 C 的右顶点为 B,点 S 是椭圆 C 上位于 x 轴上方的动点,直线 AS,BS 与直线 (1)求椭圆 C 的方程; (2)求线段 MN 的长度的最小值;

分别交于 M,N 两点.

(3)当线段 MN 的长度最小时,在椭圆 C 上是否存在这样的点 T,使得△ TSB 的面积为 ?若存在,确定点 T 的 个数,若不存在,说明理由.

2009 年福建省高考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1. (5 分) (2009?福建)若集合 A={x|x>0},B={x|x<3},则 A∩B 等于( A.{x|x<0} B.{x|0<x<3} C.{x|x>4} 考点: 专题: 分析: 解答:

) D.R

交集及其运算. 计算题. 根据题意,在数轴上表示出 A、B,进而由交集的定义,可得答案. 解:根据题意,在数轴上表示出 A、B,可得: 进而由交集的定义,取两个集合的公共部分,可得 A∩B={x|0<x<3}, 故选 B.
5488857

点评: 本题考查集合的交集的运算,解此类问题时,可以借助数轴. 2. (5 分) (2009?福建)下列函数中,与函数 A.f(x)=log2x B. 有相同定义域的是( C.f(x)=|x| ) D.f(x)=2x

考点: 函数的定义域及其求法;对数函数的定义域. 专题: 计算题. 分析: 运用直接法解决,先求出函数 定义域,再观察选项中各函数的定义域,相同的话即为答案.
5488857

解答:

解:∵函数

定义域为 x>0,

又函数 f(x)=log2x 定义域 x>0, 故选 A. 点评: 本题主要考查了函数的定义域及其求法,特别是对数函数的定义域,属于基础题. 3. (5 分) (2009?福建)一个容量 100 的样本,其数据的分组与各组的频数如下表 组别(0,10](10,20](20,30)(30,40)(40,50](50,60](60,70] 13 24 15 16 13 7 频数12 则样本数据落在(10,40)上的频率为( ) A.0.13 B.0.39 C.0.52

D.0.64

考点: 频率分布表. 专题: 计算题. 分析: 根据表格可以看出(10,20]的频数是 13, (20,30]的频数是 24, (30,40]的频数是 15,把这三个数字相加, 得到要求区间上的频数,用频数除以样本容量得到频率. 解答: 解:由表格可以看出(10,20]的频数是 13, (20,30]的频数是 24, (30,40]的频数是 15, ∴(10,40)上的频数是 13+24+15=52,
5488857

∴样本数据落在(10,40)上的频率为

=0.52.

故选 C. 点评: 本题考查频率分布表,解题时先做出这几个区间上的频数,再除以样本容量,本题也可以先做出几个区间 上对应的频率,在把频率相加,得到要求的频率.

4. (5 分) (2009?福建)若双曲线 A .2 B.



=1(a>0)的离心率为 2,则 a=( C.

) D.1

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 由题意知 解答: 解:

5488857

=2, (a>0) ,由此可以求出 a 的值.

=2, (a>0) ,

∴a= . 故选 B. 点评: 本题考查双曲线的离心率,比较简单.会利用公式就能求出实数 a. 5. (5 分) (2009?福建)如图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形,且体积为 .则该几何体的俯 视图可以是( )

A.

B.

C.

D.

考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 压轴题;图表型. 分析: 解法 1:结合选项,正方体的体积否定 A,推出正确选项 C 即可. 解法 2:对四个选项 A 求出体积判断正误;B 求出体积判断正误;C 求出几何体的体积判断正误;同理判断 D 的正误即可. 解答: 解:解法 1:由题意可知当俯视图是 A 时,即每个视图是变边长为 1 的正方形,那么此几何体是立方体,
5488857

显然体积是 1,注意到题目体积是 ,知其是立方体的一半,可知选 C. 解法 2:当俯视图是 A 时,正方体的体积是 1; 当俯视图是 B 时,该几何体是圆柱,底面积是 ,高为 1,则体积是 ;

当俯视是 C 时,该几何是直三棱柱, 故体积是 ,

当俯视图是 D 时,该几何是圆柱切割而成, 其体积是 .

故选 C. 点评: 本题是基础题,考查几何体的三视图的识别能力,作图能力,依据数据计算能力;注意三视图的投影规则 是主视、俯视 长对正;主视、左视高平齐,左视、俯视 宽相等. 6. (5 分) (2009?福建)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果是( )

A .2 考点: 专题: 分析: 解答:

B.4

C .8

D.16

循环结构. 阅读型;图表型. 根据程序框图可知,程序运行时,列出数值 S 与 n 对应变化情况,从而求出当 S=2 时,输出的 n 即可. 解: .由框图可知,程序运行时,数值 S 与 n 对应变化如下表:
5488857

故 S=2 时,输出 n=8. 故选 C 点评: 本题主要考查了直到型循环结构,循环结构有两种形式:当型循环结构和直到型循环结构,当型循环是先 判断后循环,直到型循环是先循环后判断,属于基础题. 7. (5 分) (2009?福建)已知锐角△ ABC 的面积为 A.75° B.60° ,BC=4,CA=3,则角 C 的大小为( C.45° D.30° )

考点: 解三角形. 专题: 计算题. 分析: 先利用三角形面积公式表示出三角形面积,根据面积为 3 解答: 解:S= BC?AC?sinC= ×4×3×sinC=3
5488857

和两边求得 sinC 的值,进而求得 C.

∴sinC= ∵三角形为锐角三角形 ∴C=60° 故选 B 点评: 本题主要考查了解三角形的实际应用.利用三角形的两边和夹角求三角形面积的问题,是三角形问题中常 用的思路. 8. (5 分) (2009?福建)定义在 R 上的偶函数 f(x)的部分图象如图所示,则在(﹣2,0)上,下列函数中与 f(x) 的单调性不同的是( )

A.y=x2+1 C. y=

B. y=|x|+1 D. y=

考点: 奇偶函数图象的对称性;奇偶性与单调性的综合. 专题: 常规题型;压轴题. 分析: 首先利用偶函数的对称性, 判断出 f (x) 在 (﹣2, 0) 为减函数. 然后分别分析选项中 4 个函数的单调性. 最 后判断答案即可. 解答: 解:利用偶函数的对称性 知 f(x)在(﹣2,0)上为减函数.
5488857

又 y=x +1 在(﹣2,0)上为减函数; y=|x|+1 在(﹣2,0)上为减函数; y= 在(﹣2,0)上为增函数.

2

∴y=

在(﹣2,0)上为减函数.

故选 C. 点评: 本题考查函数的奇偶性与单调性的关系,涉及到二次函数,绝对值函数,一次函数,3 次函数,以及指数函 数的单调性.属于中档题.

9. (5 分) (2009?福建)在平面直角坐标系中,若不等式组

(a 为常数)所表示的平面区域的面积等

于 2,则 a 的值为( A.﹣5

) B.1 C .2 D.3

考点: 简单线性规划. 专题: 计算题;数形结合.
5488857

分析: 本题主要考查线性规划的基本知识,先画出约束条件 的可行域,根据已知条件中,表示的平

面区域的面积等于 2,构造关于 a 的方程,解方程即可得到答案. 解答: 解:不等式组 所围成的区域如图所示.

∵其面积为 2, ∴|AC|=4, ∴C 的坐标为(1,4) , 代入 ax﹣y+1=0, 得 a=3. 故选 D.

点评: 平面区域的面积问题是线性规划问题中一类重要题型,在解题时,关键是正确地画出平面区域,然后结合 有关面积公式求解. 10. (5 分) (2009?福建)设 m,n 是平面 α 内的两条不同直线,l1,l2 是平面 β 内的两条相交直线,则 α∥β 的一个 充分而不必要条件是( ) A.m∥β 且 l∥α B.m∥l1 且 n∥l2 C.m∥β 且 n∥β D.m∥β 且 n∥l2 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;平面与平面之间的位置关系. 分析: 本题考查的知识点是充要条件的判断,我们根据面面平行的判断及性质定理,对四个答案进行逐一的分析, 即可得到答案. 解答: 解:若 m∥l1,n∥l2, m.n?α,l1.l2?β,l1,l2 相交 则可得 α∥β.即 B 答案是 α∥β 的充分条件 若 α∥β 则 m∥l1,n∥l2 不一定成立,即 B 答案是 α∥β 的不必要条件 故 m∥l1,n∥l2 是 α∥β 的一个充分不必要条件 故选 B 点评: 判断充要条件的方法是:①若 p?q 为真命题且 q?p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的充分不必要条件;②若 p?q 为假命题且 q?p 为真命题,则命题 p 是命题 q 的必要不充分条件;③若 p?q 为真命题且 q?p 为真命 题,则命题 p 是命题 q 的充要条件;④若 p?q 为假命题且 q?p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的即不充分也 不必要条件.⑤判断命题 p 与命题 q 所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命题 p 与命题 q 的关系.
5488857

11. (5 分) (2009?福建)若函数 f(x)的零点与 g(x)=4 +2x﹣2 的零点之差的绝对值不超过 0.25,则 f(x)可 以是( ) 2 x A.f(x)=4x﹣1 B.f(x)=(x﹣1) C.f(x)=e ﹣1 D. f(x)=ln(x﹣ )

x

考点: 函数的零点. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先判断 g(x)的零点所在的区间,再求出各个选项中函数的零点,看哪一个能满足与 g(x)=4x+2x﹣2 的 零点之差的 绝对值不超过 0.25. 解答: x 解:∵g(x)=4 +2x﹣2 在 R 上连续,且 g( )= + ﹣2= ﹣ <0,g( )=2+1﹣2=1>0.
5488857

设 g(x)=4 +2x﹣2 的零点为 x0,则 <x0< , 0<x0﹣ < ,∴|x0﹣ |< . 又 f(x)=4x﹣1 零点为 x= ;f(x)=(x﹣1) 零点为 x=1; f(x)=e ﹣1 零点为 x=0;f(x)=ln(x﹣ )零点为 x= , 故选 A. 点评: 本题考查判断函数零点所在的区间以及求函数零点的方法,属于基础题.
x 2

x

12. (5 分) (2009?福建)设 , , 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满足 与 不共线, ⊥ , | |=| |,则| ? |的值一定等于 A. C. ( ) B. 以 , 为两边的三角形面积

以 , 为邻边的平行四边形的面积 , 为两边的三角形面积

D. 以 , 为邻边的平行四边形的面积

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 利用向量的数量积公式表示出
5488857

,有已知得到

的夹角与

夹角的关系,利用三角函数的诱

导公式和已知条件表示成 解答:

的模及夹角形式,利用平行四边形的面积公式得到选项.

解:假设 与 的夹角为 θ,| ? |=| |?| |?|cos< , >|=| |?| |?|cos(90°±θ)|=| |?| |?sinθ, 即为以 , 为邻边的平行四边形的面积.

故选 A. 点评: 本题考查向量的数量积公式、三角函数的诱导公式、平行四边形的面积公式. 二、填空题(共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分) 2 13. (4 分) (2009?福建)复数 i (1﹣2i)的实部是 ﹣1

考点: 专题: 分析: 解答:

复数代数形式的乘除运算;复数的基本概念. 计算题. 利用 i 的幂运算,直接化简,然后求出复数的实部.
5488857

解:复数 i (1﹣2i)=﹣(1﹣2i)=﹣1+2i, 所以复数的实部为﹣1 故答案为:﹣1 点评: 本题考查复数代数形式的乘除运算,复数的基本概念,考查计算能力,是基础题.

2

14. (4 分) (2009?福建)点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点,若在该圆周上随机取一点 B,则劣弧 小于 1 的概率为 .

的长度

考点: 几何概型. 专题: 计算题. 分析: 本题考查的知识点是几何概型的意义,关键是要找出事件:“劣弧
5488857

的长度小于 1”对应的弧长大小,然后

将其代入几何概型的计算公式进行求解. 解答: 解:如图所示, ∵劣弧 ∴劣弧 则劣弧 =1, =1, 的长度小于 1 的概率为 P=

故答案为: .

点评: 本题考查的知识点是几何概型的意义, 简单地说, 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 (面 积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型. 15. (4 分) (2009?福建)若曲线 f(x)=ax +lnx 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是 {a|a<0} . 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先求出函数的定义域,然后求出导函数,根据存在垂直于 y 轴的切线,得到此时斜率为 0,问题转化为 x>
5488857

2

0 范围内导函数 的正负进行判定即可. 解答:

存在零点,再将之转化为 g(x)=﹣2ax 与

存在交点,讨论 a

解:由题意该函数的定义域 x>0,由 因为存在垂直于 y 轴的切线,



故此时斜率为 0,问题转化为 x>0 范围内导函数 再将之转化为 g(x)=﹣2ax 与

存在零点.

存在交点.当 a=0 不符合题意,

当 a>0 时,如图 1,数形结合可得显然没有交点, 当 a<0 如图 2,此时正好有一个交点,故有 a<0. 故答案为:{a|a<0}

点评: 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,函数零点等有关基础知识,考查运算求解能力、推理 论证能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,属于基础题. 16. (4 分) (2009?福建)五位同学围成一圈依序循环报数,规定:①第一位同学首次报出的数为 1.第二位同学首 次报出的数也为 1,之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和;②若报出的是 3 的倍数,则报该数 的同学需拍手一次,当第 30 个数被报出时,五位同学拍手的总次数为 7 次 . 考点: 带余除法. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 这样得到的数列这是历史上著名的数列, 叫斐波那契数列. 寻找规律是解决问题的根本, 否则, 费时费力. 首 先求出这个数列的每一项除以 3 所得余数的变化规律,再求所求就比较简单了. 解答: 解:这个数列的变化规律是:从第三个数开始递增,且是前两项之和, 那么有 1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987 分别除以 3 得余数分别是 1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0、2、2、1、0 由此可见余数的变化规律是按 1、1、2、0、2、2、1、0 循环周期是 8. 在这一个周期内第四个数和第八个数都是 3 的倍数, 所以在三个周期内共有 6 个报出的数是三的倍数, 后面 6 个报出的数中余数是 1、1、2、0、2、2,只有一个是 3 的倍数,故 3 的倍数总共有 7 个, 也就是说拍手的总次数为 7 次. 故答案为:7 点评: 本题考查的知识点是带余除法,由已知我们不难得到数列为斐波那契数列,然后分析数列各项除 3 的余数, 易得余数成周期变化.
5488857

三、解答题(共 6 小题,满分 74 分) 17. (12 分) (2009?福建)等比数列{an}中,已知 a1=2,a4=16 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若 a3,a5 分别为等差数列{bn}的第 3 项和第 5 项,试求数列{bn}的通项公式及前 n 项和 Sn. 考点: 等差数列与等比数列的综合. 专题: 计算题;转化思想. 分析: (I)由 a1=2,a4=16 直接求出公比 q 再代入等比数列的通项公式即可.
5488857

(Ⅱ)利用题中条件求出 b3=8,b5=32,又由数列{bn}是等差数列求出 前 n 项和 Sn. 解答: 解: (I)设{an}的公比为 q 3 由已知得 16=2q ,解得 q=2 ∴ =2
n

.再代入求出通项公式及

(Ⅱ)由(I)得 a3=8,a5=32,则 b3=8,b5=32 设{bn}的公差为 d,则有

解得



从而 bn=﹣16+12(n﹣1)=12n﹣28 所以数列{bn}的前 n 项和 .

点评: 本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识,考查运算求解能力,考查归化与转化思想. 18. (12 分) (2009?福建)袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个,现一次有放回地随机摸取 3 次,每次摸取一 个球 (Ⅰ)试问:一共有多少种不同的结果?请列出所有可能的结果; (Ⅱ)若摸到红球时得 2 分,摸到黑球时得 1 分,求 3 次摸球所得总分为 5 的概率. 考点: 等可能事件的概率;随机事件. 专题: 计算题. 分析: (1)由分步计数原理知这个过程一共有 8 个结果,按照一定的顺序列举出所有的事件,顺序可以是按照红 球的个数由多变少变化,这样可以做到不重不漏. (2)本题是一个等可能事件的概率,由前面可知试验发生的所有事件数,而满足条件的事件包含的基本事 件为: (红、红、黑) 、 (红、黑、红) 、 (黑、红、红) ,根据古典概型公式得到结果. 解答: 解: (I)一共有 8 种不同的结果,列举如下: (红、红、红、 ) 、 (红、红、黑) 、 (红、黑、红) 、 (红、黑、黑) 、 (黑、红、红) 、 (黑、红、黑) 、 (黑、黑、 红) 、 (黑、黑、黑) (Ⅱ)本题是一个等可能事件的概率 记“3 次摸球所得总分为 5”为事件 A 事件 A 包含的基本事件为: (红、红、黑) 、 (红、黑、红) 、 (黑、红、红)事件 A 包含的基本事件数为 3 由(I)可知,基本事件总数为 8,
5488857

∴事件 A 的概率为 点评: 用列举法列举基本事件的个数,不仅能让学生直观的感受到对象的总数,而且还能使学生在列举的时候注 意作到不重不漏.解决了求古典概型中基本事件总数这一难点.

19. (12 分) (2009?福建)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) ,其中 ω>0, (I)若 ,求 φ 的值;

(Ⅱ)在(I)的条件下,若函数 f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于

,求函数 f(x)的解析式;并

求最小正实数 m,使得函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位所对应的函数是偶函数. 考 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;两角和与差的正弦函数. 点: 专 综合题;转化思想. 题: 分 (I)利用特殊角的三角函数值化简 ,根据 析:
5488857

直接求出 φ 的值; ,求出周期,求

(Ⅱ)解法一:在(I)的条件下,若函数 f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于

出 ω,得到函数 f(x)的解析式;函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位所对应的函数是偶函数.推出 ,可求最小正实数 m. 解法二:在(I)的条件下,若函数 f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 ,求出周期,求出 ω,

得到函数 f(x)的解析式;利用 g(x)是偶函数当且仅当 g(﹣x)=g(x)对 x∈R 恒成立,使得函数 f(x) 的图象向左平移 m 个单位所对应的函数是偶函数.化简 解 解: (I)由 答: 即 又 ,∴ 依题意, 又 ,故 ω=3, 得 ,然后再求最小正实数 m.

(Ⅱ)解法一:由(I)得, ∴

函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位后所对应的函数为 当 解法二: 由 (I) 得, 即 从而,最小正实数 , 依题意, 又 , 故 ω=3, ∴

g(x)是偶函数当且仅

函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位后所对应的函数为 仅当 g(﹣x)=g(x)对 x∈R 恒成立 亦即 立.∴ 对 x∈R 恒成 =

,g(x)是偶函数当且

即 故

对 x∈R 恒成立.∴ ∴ 从而,最小正实数

点 本题是中档题,考查三角函数的字母变量的求法,三角函数的图象的平移,偶函数的性质,转化思想的应用, 评:考查计算能力,是常考题.

20. (12 分) (2009?福建)如图,平行四边形 ABCD 中,∠DAB=60°,AB=2,AD=4 将△ CBD 沿 BD 折起到△ EBD 的位置,使平面 EDB⊥平面 ABD (I)求证:AB⊥DE (Ⅱ)求三棱锥 E﹣ABD 的侧面积.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 计算题;证明题. 分析: (I)要证:AB⊥DE,容易推出 AB⊥BD,可证明 AB⊥平面 EBD 即可. (Ⅱ)求三棱锥 E﹣ABD 的侧面积,需要求出三个侧面三角形的面积即可. 解答: 解: (I)证明:在△ ABD 中,∵AB=2,AD=4,∠DAB=60°
5488857

∴ ∴AB +BD =AD ,∴AB⊥DB, 又∵平面 EBD⊥平面 ABD 平面 EBD∩平面 ABD=BD,AB?平面 ABD,∴AB⊥平面 EBD, ∵DE?平面 EBD,∴AB⊥DE. (Ⅱ)解:由(I)知 AB⊥BD,CD∥AB,∴CD⊥BD,从而 DE⊥DB 在 Rt△ DBE 中,∵ ,DE=DC=AB=2 ∴ 又∵AB⊥平面 EBD,BE?平面 EBD, ∴AB⊥BE, ∵BE=BC=AD=4,∴ ,
2 2 2

∵DE⊥BD,平面 EBD⊥平面 ABD∴ED⊥平面 ABD 而 AD?平面 ABD,∴ED⊥AD,∴ 综上,三棱锥 E﹣ABD 的侧面积,

点评: 本题考查棱锥的侧面积,直线和直线的垂直,是中档题.

21. (12 分) (2009?福建)已知函数 f(x)= x +ax +bx,且 f′(﹣1)=0. (1)试用含 a 的代数式表示 b; (2)求 f(x)的单调区间; (3)令 a=﹣1,设函数 f(x)在 x1、x2(x1<x2)处取得极值,记点 M(x1,f(x1) ) ,N(x2,f(x2) ) .证明:线 段 MN 与曲线 f(x)存在异于 M,N 的公共点. 考点: 导数的几何意义;利用导数研究函数的单调性;函数在某点取得极值的条件. 专题: 计算题;证明题;压轴题. 分析: (1)据求导法则求出导函数,代入已知条件得关系. (2)令导数为 0 得两个根,分类讨论两个根大小判断根左右两边导数的符号,得函数单调性. (3)由(2)求出极值点,由两点式求出直线方程,与曲线方程联立判断有无其他公共点. 解答: 解:解法一: (1)依题意,得
5488857

3

2

f′(x)=x +2ax+b. 由 f′(﹣1)=1﹣2a+b=0 得 b=2a﹣1. (2)由(1)得 f(x)=x +ax +(2a﹣1)x,故 f′(x)=x +2ax+2a﹣1=(x+1) (x+2a﹣1) . 令 f′(x)=0,则 x=﹣1 或 x=1﹣2a. ①当 a>1 时,1﹣2a<﹣1. 当 x 变化时,f′(x)与 f(x)的变化情况如下表:
3 2 2

2

由此得,函数 f(x)的单调增区间为(﹣∞,1﹣2a)和(﹣1,+∞) ,单调减区间为(1﹣2a,﹣1) . ②当 a=1 时,1﹣2a=﹣1.此时,f′(x)≥0 恒成立,且仅在 x=﹣1 处 f′(x)=0,故函数 f(x)的单调 增区间为 R. ③当 a<1 时,1﹣2a>﹣1,同理可得函数 f(x)的单调增区间为(﹣∞,﹣1)和(1﹣2a,+∞) ,单调减 区间为(﹣1,1﹣2a) . 综上所述:当 a>1 时,函数 f(x)的单调增区间为(﹣∞,1﹣2a)和(﹣1,+∞) ,单调减区间为(1﹣2a, ﹣1) ; 当 a=1 时,函数 f(x)的单调增区间为 R; 当 a<1 时,函数 f(x)的单调增区间为(﹣∞,﹣1)和(1﹣2a,+∞) ,单调减区间为(﹣1,1﹣2a) . (3)当 a=﹣1 时,得 f(x)= x ﹣x ﹣3x. 由 f′(x)=x ﹣2x﹣3=0,得 x1=﹣1,x2=3. 由(2)得 f(x)的单调增区间为(﹣∞,﹣1)和(3,+∞) ,单调减区间为(﹣1,3) , 所以函数 f(x)在 x1=﹣1,x2=3 处取得极值.故 M(﹣1, ) ,N(3,﹣9) . 所以直线 MN 的方程为 y=﹣ x﹣1.
2 3 2


3 2

得 x ﹣3x ﹣x+3=0.

3

2

令 F(x)=x ﹣3x ﹣x+3. 易得 F(0)=3>0,F(2)=﹣3<0,而 F(x)的图象在(0,2)内是一条连续不断的曲线, 故 F(x)在(0,2)内存在零点 x0,这表明线段 MN 与曲线 f(x)有异于 M,N 的公共点. 解法二: (1)同解法一. (2)同解法一.

(3)当 a=﹣1 时,得 f(x)= x ﹣x ﹣3x. 由 f′(x)=x ﹣2x﹣3=0,得 x1=﹣1,x2=3. 由(2)得 f(x)的单调增区间为(﹣∞,﹣1)和(3,+∞) ,单调减区间为(﹣1,3) ,所以函数 f(x) 在 x1=﹣1,x2=3 处取得极值, 故 M(﹣1, ) ,N(3,﹣9) . 所以直线 MN 的方程为 y=﹣ x﹣1. 由 x ﹣3x ﹣x+3=0. 解得 x1=﹣1,x2=1,x3=3. ∴ , ,
3 2 2

3

2

所以线段 MN 与曲线 F(x)有异于 M,N 的公共点(1,﹣

) .

点评: 本小题主要考查函数、导数等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查函数与方程思想、数形 结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想.

22. (14 分) (2009?福建)已知直线 x﹣2y+2=0 经过椭圆

的左顶点 A 和上顶点 D,椭

圆 C 的右顶点为 B,点 S 是椭圆 C 上位于 x 轴上方的动点,直线 AS,BS 与直线 (1)求椭圆 C 的方程; (2)求线段 MN 的长度的最小值;

分别交于 M,N 两点.

(3)当线段 MN 的长度最小时,在椭圆 C 上是否存在这样的点 T,使得△ TSB 的面积为 ?若存在,确定点 T 的 个数,若不存在,说明理由.

考点: 椭圆的标准方程;直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 压轴题. 分析: (1) 因为直线过椭圆的左顶点与上顶点, 故可解出直线与坐标轴的交点, 即知椭圆的长半轴长与短半轴长, 依定义写出椭圆的方程即可. (2)法一、引入直线 AS 的斜率 k,用点斜式写出直线 AS 的方程,与 l 的方程联立求出点 M 的坐标,以 及点 S 的坐标,又点 B 的坐标已知,故可解 出直线 SB 的方程,亦用参数 k 表示的方程,使其与直线 l 联 立,求出点 N 的坐标,故线段 MN 的长度可以表示成直线 AS 的斜率 k 的函数,根据其形式选择单调性法 或者基本不等式法求最值,本题适合用基本不等式求最值. 法二、根据图形构造出了可用基本不等式的形式来求最值.
5488857

(3)在上一问的基础上求出参数 k,则直线 SB 的方程已知,可求出线段 AB 的长度,若使面积为 ,只须

点 T 到直线 BS 的距离为

即可,由此问题转化为研究与直线 SB 平行且距离为

的直线与椭圆的交点个

数问题,下易证 解答: 解: (1)由已知得,椭圆 C 的左顶点为 A(﹣2,0) , 上顶点为 D(0,1) ,∴a=2,b=1 故椭圆 C 的方程为 (4 分) ,

(2) 依题意, 直线 AS 的斜率 k 存在, 且 k>0, 故可设直线 AS 的方程为 y=k (x+2) , 从而



得(1+4k )x +16k x+16k ﹣4=0

2

2

2

2

设 S(x1,y1) ,则



,从而



, (6 分)

又 B(2,0)由





∴ 故 又 k>0,∴ ∴

, (8 分)

当且仅当

,即

时等号成立.

时,线段 MN 的长度取最小值 (10 分)

(2)另解:设 S(xs,yS) ,

依题意,A,S,M 三点共线,且所在直线斜率存在,

由 kAM=kAS,可得

同理可得:



所以,

=

不仿设 yM>0,yN< 当且仅当 yM=﹣yN 时取等号,

0 即 时,线段 MN 的长度取最小值 .

(3)由(2)可知,当 MN 取最小值时, 此时 BS 的方程为 ,∴ (11 分)

要使椭圆 C 上存在点 T,使得△ TSB 的面积等于 ,只须 T 到直线 BS 的距离等于 所以 T 在平行于 BS 且与 BS 距离等于 设直线 l':x+y+t=0,则由 的直线 l'上. 或 .



,解得

又因为 T 为直线 l'与椭圆 C 的交点,所以经检验得

,此时点 T 有两个满足条件. (14 分)

点评: 本题是解析几何中直线与圆锥曲线位置关系中很复杂的题目,要求答题者拥有较高的探究转化能力以及对 直线与圆锥曲线位置关系中特征有较好 的理解,且符号运算能力较强才能胜任此类题的解题工作,这是一 个能力型的题,好题.


推荐相关:

2013年福建省高考(文科)数学试卷无答案版+答案解析版

2013年福建省高考(文科)数学试卷无答案版+答案解析版_高考_高中教育_教育专区。2013 年福建省高考数学试卷(文科)一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,...


2009-2013福建省数学文科高考真题与答案解析

2009-2013福建省数学文科高考真题答案解析_高三数学_数学_高中教育_教育专区。含分类解析2009 福建数学试题(文史类)第 I 卷(选择题 共 60 分)一、选择题:本...


2015年福建省文科高考真题数学卷word版(附答案)

2015年福建省文科高考真题数学卷word版(附答案)_数学_高中教育_教育专区。2015 年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷) 数题目要求 的. 1.若 (1 ? i) ? (...


2011年福建省高考(文科)数学试卷无答案版+答案解析版

2011年福建省高考(文科)数学试卷无答案版+答案解析版_高考_高中教育_教育专区。...2011 年福建省高考数学试卷(文科)一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,...


2014年福建高考文科数学试题逐题详解 (纯word解析版)

2014年福建高考文科数学试题逐题详解 (纯word解析版)_高考_高中教育_教育专区。...( ) 2 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由对数函数的图象知,此函数...


2009年高考福建数学试题及答案(文数)

2009年高考福建数学试题答案(文数)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2009福建数学试题(文史类) 第I卷(选择题 共60分) 一、选择题:本大题共12小题。每小...


2015年高考福建省文科数学真题含答案解析(超完美版)

2015年高考福建省文科数学真题答案解析(超完美版)_高考_高中教育_教育专区。2015年高考福建省文科数学真题答案解析(超完美版) ...


2010年福建省高考数学试卷(文科)答案与解析

2010 年福建省高考数学试卷(文科)参考答案试题解析 一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1. (5 分) (2010?福建)若集合 A={x|1≤x≤...


2015年福建省高考数学试卷(文科)答案与解析

2015年福建省高考数学试卷(文科)答案解析_数学_高中教育_教育专区。答案精准,解析详尽!2015 年福建省高考数学试卷(文科)参考答案试题解析 一、选择题:本大题...


2009年北京市高考数学试卷(文科)答案与解析

2009年北京市高考数学试卷(文科)答案解析_高考_高中教育_教育专区。答案精准,解析详尽!2009 年北京市高考数学试卷(文科)参考答案试题解析 一、选择题(共 8 ...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com