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福建省厦门市2013-2014学年高二上学期期末质量检测数学文试题(word版)


厦门市2013-2014学年高二上学期期末质量检测数学(文)试题 一、选择题 1、表示“a 为非正数”的式子是 A.a<0 B.a≤0 C.a=0 D.a≥0

2、给出下列语句: ① a ?3 ? 0
2

②与一条直线相交的两直线平行吗?

③3+1=5

④5x-3>6

r />
其中不是命题的是 A.①③④ B.①②③ C.①②④ D.②③④

3、已知双曲线的焦点在 y 轴上,实轴 长为8,虚轴 长为6,则该双曲线的渐近线方程为

A. y ? ?

4 x 3

B. y ? ?

3 x 4

C. y ? ?

5 x 4

5 D. y ? ? x 3

4、设△ABC 的外接圆的半径为 R,且 AB=4,C=45°,则 R=

A. 2

B.4 2

C.3 2

D.2 2

5、已知 a<b<0,c<0,则下列不等式错误的是

2 2 A. ? a b

b a B. ? a b

C.a ? b
2

2

D.

2 2 ? a?c b?c

6、在正项等比数列 A.64

?an ?中,已知 a1 ? a7 ? 64 ,则 a3 ? a5 的最小值为
C.16 y≤1 D.8

B.32

7、若变量 x,y 满足约束条件 x+y≥0 ,则 z=x-2y 的最大值为 x-y-2≤0 A.4 B.3
2

C.2

D.1

8、设抛物线 y ? 8x 的焦点为 F,准线为 L,P 为抛物线上一点,PA⊥L,A 为垂足,如果

直线的斜率为 ? 3 ,那么|PF|=

A.4 3

B.8

C.8 3

D.16

9、如图,为了测量禁区内的楼房 DC 的高度,测量点可选在禁区外的建筑物 AB 上。若测得 楼高 AB=30米,∠BAC=45°,∠CAD=60°,则楼房 DC 的高度为

A.15 2 米

B.30 6 ? 2 米

?

?

C.30(3 ? 3) 米

D.30( 2 ? 3) 米

A

B

C

x2 y2 ? ?1 1 , F2 ,直线 l 为 ?F 1PF 2 的外 10、动点 P 为椭圆 25 16 上任意一点,左右焦点分别是 F
角平分线,过 F1 作直线 l 的垂线,垂足为 Q,则点 Q 的轨迹方程是

A.x 2 ? y 2 ? 25
二、填空题

B.x 2 ? y 2 ? 16

C.x 2 ? y 2 ? 25

D.x 2 ? y 2 ? 16

11、若α 是三角形的内角,且

sin ? ?

1 2 ,则α 等于

12、已知命 p:有的三角形是等边三角形,则 ? p :

1 ?2 13、不等式 x 的解集为
x2 y2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 2 b 1 , F2 ,若 14、椭圆 a ,点 A 为其上任意一点,左右焦点为 F

| AF 1 |, | F 1F 2 |, | AF 2 | 成等差数列,则次椭圆的离心率为
15、函数 y ? log2 ( x ? 4) ? 2(a ? 0, a ? 1) 的图像恒过顶点 A, 若点 A 在直线 mx+ny+1=0 上,

1 1 ? 其中 mn>0,则 m n 的最小值为

?a ? 16、定义:数列 n 对一切正整数 n 均满足
下关于“凸数列”的说法: (1)等差数列

an ? an ? 2 ? an ?1 ?a ? 2 ,称数列 n 为“凸数列” ,一

?an ?一定是凸数列 ?an ?一定是凸数列

(2)首项 a1 ? 0 ,公比 q>0 且 q≠1 的等比数列 (3)若数列 (4)凸数列

?an ?为凸数列,则数列 ?an?1 ? an ? 是单调递增数列 ?an ?为单调递增数列的充要条件是存在 n0 ? N ? ,使得 an ?1 ? an
0 0

其中正确说法的个数是 三、解答题 17、设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 c(1? cos A) ? 3a ? sin C (1)求角 A 的大小 (2)若 a=2,△ABC 的面积为 3 ,求△ABC 的周长

18、数列 列,且

?an ?的前 n 项和 Sn ? 2n ?1 ,数列 ?bn ?是以 a1 为首项,公差为 d(d≠0)的等差数 ?an ?与 ?bn ?的通项公式

b1 , b3 , b9 成等比数列

(1)求数列 (2)若

cn ? an ? bn ,求数列 ?cn ?的前 n 项和 Tn

19、命题 p:已知“a-1<x<a+1:”是“ x ? 6 x ? 0 ”的充分不必要条件
2

?x ? (?1,?? ), x ?
命题 q:

4 ?a x ?1 恒成立

如果 p 为真命题,命题 p 且 q 为假,求实数 a 的取值范围

20、某圆锥曲线有下列信息: ①曲线是轴对称图形,且两坐标轴都是对称轴 ②焦点在 x 轴上且焦点到坐标原点的距离为1 ③曲线与坐标轴的交点不是两个

3 (1, ) ④曲线过点 A 2
(1)判断该圆锥曲线的类型并求曲线的方程 (2)点 F 是改圆锥曲线的焦点, 点 F 是 F 关于坐标原点 O 的对称点, 点 P 为曲线上的动点, 探求以|PF|以及 | PF | ? | PF | 的取值范围
'
'

21、某学校餐厅每天供应2000名学生用餐,每周一有 A,B 两种菜可供选择,调查统计表明, 凡事在这周一选 A 种菜的,下周一会有百分之二十改选 B;而选 B 种菜的,下周一会有百分 之三十改选 A。用

an , bn 分别表示在第 n 周星期一选 A 的人数和选 B 的人数,且 a1 ? 1200

(1)证明:数列

?an ?1200 ?为等比数列

(2)若第1周周一选 A 的人数为1600人,则第5周星期一选 A 的人数为多少?

22、已知抛物线 y ? 4 x ,点 A 为其上一动点,P 为 OA 的中点(O 为坐标原点) ,且点 P
2

恒在抛物线 C 上

(1)求曲线C的方程 (2)若M点为曲线C上一点,其纵坐标为2,动直线L交曲线C与T、R 两点 ①证明:当动直线 L 恒过定点 N(4,-2)时,∠TMR 为定值 ②几何画板演示可知,当∠TMR 等于①中的那个定值时,动直线 L 必经过某个定点, 请指出这个定点的坐标(只需写出结果,不必证明)

厦门市 2013-2014 学年(上)高二质量检测

数学(文科)参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1-5: BCADD 6-10: CBBCA 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分.
? 11. 30 或 150?

12. 所有三角形都不是等边三角形

13. ? x | x ? 0或x ?

? ?

1? ? 2?

1 14. 2

15 5 ? 2 6

16. 2 个

三、解答题:本大题共 6 小题,共 76 分. 17. (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由已知及正弦定理得

sin C(1 ? cos A) ? 3sin Asin C ,

------------------------------------------2 分

∵ sin C ? 0 ,∴ 1 ? cos A ? 3 sin A ,即 2sin( A ? ∴ A? ∴A?

?
6

) ? 1 --------------------------3 分

?
?
3 6

?

?
6

或 A?

?
6

?

5? (舍弃) , 6



------------------------------------------------------------------------------6 分

(Ⅱ)∵ a ? 2 , A ?

?
3

22 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos
由余弦定理得

?
3 ,即 b2 ? c 2 ? bc ? 4 ,① ----------------------8 分

1 ? bc sin ? 3 3 ∵ ?ABC 的面积为 3 ,即 2 ,
∴ bc ? 4 ,②
2

-----------------------------------------------------------------------------10 分

联立①②得: (b ? c) ? 4 ? 3bc ? 16 , ∴ b ? c ? 4 , 周长为 6-------------------------------------------------------------------------------12 分

18. (本题满分 12 分) 解:解析: (1) n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1 ; -------------------------------------------------------------1 分

n n?1 n?1 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2 ?1 ? (2 ?1) ? 2 ( a1 满足) ;-----------------------3 分



{a } an ? 2n?1 , n ? N * ; (本小题也可以先判断 n 为等比数列)-------------------4 分
2

b1 , b3 , b9 成等比数列,有 b3 ? b1 ? b9 即 (1 ? 2d )2 ? 1? (1 ? 8d ) ,则 d ? 1 或 0 (舍) ,
5分 则

bn ? 1 ? (n ?1) ? n ;

---------------------------------------------------------------------------6 分 -------------------------------------------------7 分

(2) cn ? an ? bn ? 2n?1 ? n

数 列 ---------12 分

{cn} 的 前 n 项 和

Tn ? (a1 ? a 2?

n2 ? n an ) ? b (?1 b ? 2 bn ? ) n ? 2 ? 2

1

19. (本题满分 12 分) 解:解:∵x2-6x<0,∴0<x<6. -----------------------------------------------------2 分

?a-1≥0, ? 所以命题 p 为真, 即 “a-1<x<a+1” 是 “x2-6x<0” 的充分不必要条件得到? ?a+1≤6, ?

即 1≤a≤5.

-------------------------------------------------------------------------------------5 分

若命题 q 为真:

x ? ?1,? x ? 1 ? 0,

?y ? x?

4 4 ? ( x ? 1) ? ?1 x ?1 x ?1

? 2 ( x ? 1) ?

4 4 ?1 ? 3 x ?1 ? x ?1 x ? 1 即 x ? 1 时取 " ? " 号) (当且仅当
4 ? a 恒成立 ? 3 ? a x ?1
------------------------------9 分 ---------------------------------------10 分 -------------------------------------------12 分

?x ? (?1, ??), x ?

依题意 p 为真, p 且 q 为假,则 q 为假 则有 1≤a≤5.且 a ? 3 ,得到 3 ? a ? 5 所以 a 的取值范围为 [3,5] 20. (本题满分 13 分)

解:解: (1)该曲线与坐标轴至少有 3 个交点知该曲线为焦点在 x 轴上的椭圆, 且 2c ? 2, c ? 1 -----------------------------------------------------------------2 分

F1、F2 分别是该圆锥曲线的左、右焦点,

| AF1 | ? | AF2 |? 22 ?

9 9 ? 02 ? ? 4 4 4

2 所以 2a ? 4, a ? 2, b ? 4 ?1 ? 3 ------------------------------------------------------------5 分

x2 y 2 ? ?1 3 所以所求圆锥曲线的标准方程为 4

-------------------------------------6 分

另解:待定系数法,若直接用通径长公式要扣 2 分。 (2)设 P( x0 , y0 ) ,则满足
2 x0 y2 3x 2 2 ? 0 ? 1 ? y0 ? 3 ? 0 (?2 ? x0 ? 2) 4 3 4

| PF1 |2 ? ( x0 ? 1) 2 ? 3 ?

2 3x0 x2 ? 0 ? 2 x0 ? 4 4 4

-----------------------------------------7 分
2 3x0 x2 ? 0 ? 2 x0 ? 4 ? [1,9] 4 4 ,



?2 ? x0 ? 2 得到

| PF1 |2 ? ( x0 ? 1) 2 ? 3 ?

| PF1 |?[1,3] -------------------------------------------------------------------------------------------------9 分 | PF1 | ? | PF2 |? 2a ? 4


|PF | | P1F? | (?4 P | 1 F ?| ) 1 |? | P F 2 ?

4P ? |22 P| F 1|F

|

| PF1 |?[1,3] 知 | PF1 | ? | PF2 |?[3, 4] ----------------------------------------------13 分

21. (本题满分 13 分) 解:解析: (1)由题意,得: an?1 ? 0.8an ? 0.3bn ;因为 an ? bn ? 2000 , 有

an?1 ? 600 ? 0.5an

---------------------------------------------------------------------2 分

an?1 ? 1200 0.5an ? 600 1 ? ? a ? 1200 a ? 1200 2 ,---------------------------------------------------4 分 n 证明: n


a1 ?1200 ? 0 , ------------------------------------------------------------------------------------------5 分

1 {a ?1200} 是以 2 为公比的等比数列.---------------------------------------------6 分 则 n
(2)若 a1 ? 1600 ,则 {an ?1200} 是以 400 为首项,

1 为公比的等比数列, 2

1 an ? 1200 ? 400 ? ( ) n?1 2 , ----------------------------------------------------------------9 分 有 1 an ? 1200 ? 400 ? ( ) n?1 2 , --------------------------------------------------------11 分 即


a5 ? 1225 .

-----------------------------------------------------------------------12 分

答:第 5 周星期一选 A 种菜的人数为 1225 人。---------------------------------------13 分

22. (本题满分 14 分) 解: (Ⅰ)设 P(x,y),则 A(2x,2y) ∵A 在抛物线 y ? 4 x 上,∴ (2 y) ? 4(2 x) 即 y ? 2 x
2

2

2

∴抛物线 C 的方程为 y ? 2 x . ------------------------------------------------4 分
2

另解:依题意,易知抛物线 C 的方程为 y 2 ? 2 px( p ? 0) 。取点 A(4,4),则点 P(2,2)在抛物线 C 上, 带入得 p ? 1 ,所以抛物线 C 的方程为 y 2 ? 2 x 。 (Ⅱ)①∵M 点为曲线 C 上一点,其纵坐标为 2 ∴M(2,2) --------------------5 分

当直线 L 垂直 x 轴即为 x ? 4 时, T (4, 2 2), R(4, ?2 2)

此时,

kMT ? kMR ?

? 2 2 ?2 2 2 ?2 ?TMR ? ? ? ?1 2 . 2 ?2 ,所以
?
2 --------------------------------------------------------------------------.8 分

?TMR ?
所以可以猜

显然直线 L 不能与 x 轴平行,所以可以设直线 L 为 x ? 4 ? m( y ? 2)

T ( x1, y1 ), R( x2 , y2 )
2 y ? 2my ? 4m ? 8 ? 0, y1 ? y2 ? 2m, y1 y2 ? ?4m ? 8 -------------10 分 联立 y ? 2 x 得到
2

MT ? MR ? ( x1 ? 2, y1 ? 2) ? ( x2 ? 2, y2 ? 2) ? ( x1 ? 2, )( x2 ? 2) ? ( y1 ? 2)( y2 ? 2) ? (my1 ? 2m ? 2)(my2 ? 2m ? 2) ? ( y1 ? 2)( y2 ? 2) ? (m 2 ? 1) y1 y2 ? (2m 2 ? 2m ? 2)( y1 ? y2 ) ? (2m ? 2) 2 ? 4 ? (m 2 ? 1)(?4m ? 8) ? (2m 2 ? 2m ? 2)2m ? (2m ? 2) 2 ? 4 ?0
?TMR ?
所以

?
2 --------------------------------------------------------13 分

②定点为 N(4,-2)------------------------------------------------------------------------------14 分


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