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定积分的简单应用1


§3.5 定积分的概念、微积分基本定理及其简单应用(1)
知识要点梳理
1.一般地,如果函数 y=f(x)在某个区间 I 上的图像是一条连续不断的曲线,那么我们就 把它称为区间 I 上的连续曲线。 2 .以直代曲求曲边梯形的面积的方法与步骤:①分割,②近似代替,③求和,④取极限. 3. 定积分的定义: 如 果 函 数 f(x) 在 区 间 [a,b] 上 图

像 是 连 续 曲 线 , 用 分 点

a ? x0 ? x1 ? x2 ? ? ? xi ?1 ? xi ? ? ? xn ? b 将区间[a,b]等分成 n 个小区间。在每个小区
间 ? xi ?1 , xi ? 上任取一点 ?i (i ? 1, 2,?, n) 作和式

? f (? )?x ? ?
i ?1 i

n

b?a f (?i ) ,当 n ? ? 时, n i ?1
n

上述和式无限趋近某个常数,这个常数叫做函数 f ( x ) 在区间 [a,b] 上的定积分。记作 :

? f (x)dx 。即 ? f (x)dx = lim ?
b b a a
n ?? i ?1

n

b?a f (? i ) . n

其中 f(x)叫做被积函数,x 叫做积分变量, f(x)dx 叫做被积 式,b,a 分别叫做积分上限和下限,区间[a,b]叫做积分区间。 4.定积分的几何意义:

? f (x)dx 表示介于 x 轴,曲线 y=f(x),与
a

b

直线 x=a,x=b 之间部分的曲边梯形面积的代数和,在 x 轴上方的面 积取正号,在 x 轴下方的面积取负号.(如下图(1) 、 (2)

5.微积分基本定理(牛顿-莱布尼兹公式): 如 果 f(x) 是 区 间 [a,b] 上 图 像 连 续 不 断 的 函 数 , 并 且 F ˊ (x)=f(x), 那 么

? f (x)dx =F(x)|
a

b

b a

=F(b)-F(a).

其中 F(x)叫做 f(x)的一个原函数。 6.定积分的性质: ① kf ( x )dx ? k f ( x )dx ,(其中 k 为常数);② [f ( x) ? g( x)]dx ? f ( x)dx ? g( x)dx ;
a a a a a

?

b

?

b

?

b

?

b

?

b

1

③ f ( x )dx ? f ( x )dx ? f ( x )dx (其中 a<b<c)。
a a c

?

b

?

c

?

b

7.利用函数的奇偶性求定积分:若 f(x)是[-a,a]上的奇函数,则 [-a,a]上的偶函数,则

?

a

?a

f ( x )dx ? 0 ;若 f(x)是

?

a

?a

f ( x )dx ? 2? f ( x )dx .
0

a

8.定积分的求法:①定义法(用微分思想求曲边梯形的面积 , 分割,近似代替,求和,取极 限.);②牛顿-莱布尼兹公式法;③几何意义法:若 y=f(x) ,x 轴,与直线 x=a,x=b 之间的各部 分区域是可求面积的规则图形,则可直接求其面积.比如求

?

1

?1

偶函数的 1 ? x 2 dx .④利用奇、

性质求. 9. 定积分的简单应用 (1)定积分在几何中的应用:如图曲线 y=f1(x), y=f2(x)与直线 x=a,x=b 围成的曲边梯形 面积 S= f 2 ( x ) ? f 1 ( x )dx .(如图 2-5-6(1)
a

?

b

(2)定积分在物理中的应用: ( i )变速直线运动的路程 : 运动速度为 V(t), 则在 t=a 到 t=b 时间内物体的位移为 S= v( t )dt .
a

?

b

(ii)变力作功:力 F 是位移 s 的函数,则在 s=a 到 s=b 时间内力所做的功为 W= F(s)ds .
a

?

b

疑难点、易错点剖析:
1.定积分

?

b

a

f ( x)dx 是一个常数。

2.用定义求定积分的一般方法是:

(1) 分割: n 等分区间[a,b];(2)近似代替: 取点 (4)取极限: ?
b

?i ?? xi ?1, xi ?

? f (? ) ? ; (3) 求和:
i ?1 i

n

b?a n ;

a

f ( x)dx ? lim ? f (?i ) ?
n ?? i ?1

n

b?a n

3.利用微积分基本定理(即牛顿-莱布尼兹公式)求定积分,关键是找到满足 F’(x)=f(x) 的函数 F(x),即找被积函数 f(x)的原函数 F(x),利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的 关系,运用基本初等函数求导公式和导数四则运算法则从反方向上求出 F(x)。 4.利用定积分求曲边梯形的面积,要利用数形结合的方法确定出被积函数和积分上、下 限。 5.几种典型的曲边梯形的计算方法: (1)由三条直线 x=a,x=b(a<b), x 轴和曲线 y=f(x)(f(x) ? 0 )围成的曲边梯形面积 S=

?

b

(如下图 1) (2)由三条直线 x=a,x=b(a<b), x 轴和曲线 y=f(x)(f(x) ? 0 )围成的曲边梯形面积
a

f ( x)dx

S= |

?

b

a

f ( x)dx |? ?? f ( x)dx
a

b

(如下图 2)

(3)由条直线 x=a,x=b(a<b), 和两条曲线 y=f(x),y=g(x)(f(x) ? g ( x) )围成的曲
2

边梯形面积 S=

? [ f ( x) ? g ( x)]dx (如下图 3)
a

b

6.与数学其他知识模块的结合 :借用定积分的求法与意义 ,可与数学中的其他知识结合 , 比如可与导数,解析几何,二次函数等知识内容构成综合题.

直击考点
考点 1 利用微积分基本定理、定积分的性质求定积分
考例 1:求下列定积分的值: ① (8 x ? x 8 )dx
0

?

1



?

3

?2

| x ? x 2 | dx



?

1

?1

( x cos x ? 3 x 2 )dx



?1? x
0

1

x

2

dx

锦囊妙计: 求定积分最常用的方法当然是牛顿-莱布尼兹公式,但有时不易找到公式中的 F(x),此时可用其它的方式间接来求定积分,比如可用定积分的几何意义,或利用函数的奇偶 性来求.变式与拓展:① ? ( x ?
1 e

1 x

) 2 dx ② ? | sin x | dx ③ ? ( 1 ? x 2 ? x 3 cos x ? 2)dx
0 ?1

3?

1

考点 2.

用定积分的几何意义求定积分

考例 2.用定积分的几何意义求值: ①

?

2

? 2

2 ? x 2 dx ; ② ?0( 1 ? ( x ? 1) 2 ? x )dx

1

思路分析:①根据定积分的几何意义,利用平面几何知识可得面积;②可利用定积分的 几何意义及公式一起解决;

锦囊妙计:根据定积分的几何意义,可将一些特殊函数的定积分转化为利用平面几何知 识求某些规则图形的面积。 举一反三:求定积分:

?

1

?1

2 ? x 2 dx .

3

考点 3

定积分的上(下)限含有变量问题与函数的最值。

考例 3:已知 f(x)=

? (1 ? x ? 2t)dt ,求 f(x)的最小值.
0

x

思路分析: 求积分后即转化为求二次函数的最值,注意到隐含条件 x≥0.

锦囊妙计: 解决此类问题应注意积分式中的积分变量是什么,切忌想当然. 举一反三:函数 f(a)=

? (6 x
0

1

2

? 4ax ? a 2 )dx 的最小值为

.

4


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