tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

2008年全国高中数学联赛试题及答案


声明:本资料未经过编辑加工,可能存在错误,敬请谅解。 更多资料详见华东师大版《高中数学联赛备考手册(预赛试题集锦) 》

2008 年全国高中数学联赛
受中国数学会委托,2008 年全国高中数学联赛由重庆市数学会承办。中国数学会普及 工作委员会和重庆市数学会负责命题工作。 2008 年全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部 2000 年《全日制普通

高级中学数 学教学大纲》中所规定的教学要求和内容,但在方法的要求上有所提高。主要考查学生对基 础知识和基本技能的掌握情况,以及综合和灵活运用的能力。全卷包括 6 道选择题、6 道填 空题和 3 道大题,满分 150 分。答卷时间为 100 分钟。 全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨,在知识方面有所扩展,适当 增加一些竞赛教学大纲的内容。全卷包括 3 道大题,其中一道平面几何题,试卷满分 150 分。答卷时问为 120 分钟。

声明:本资料未经过编辑加工,可能存在错误,敬请谅解。 更多资料详见华东师大版《高中数学联赛备考手册(预赛试题集锦) 》


一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.函数 f ( x ) ? (A)0 2.设 A ? [ ? 2, 4 ) , B (A) [ ? 1, 2 )
5 ? 4x ? x 2? x
2



在 ( ? ? , 2 ) 上的最小值是 ( ) 。 (B)1
2

(C)2

(D)3

? { x x ? a x ? 4 ? 0} ,若 B ? A

,则实数 a 的取值范围为( ) 。 (D) [ 0 , 3 )

(B) [ ? 1, 2 ]

(C) [0, 3]

3.甲、乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得 1 分,负者得 0 分,比赛进行到有一人比 对方多 2 分或打满 6 局时停止.设甲在每局中获胜的概率为
1

2 3

,乙在每局中获胜的概率 ) 。
670 243

为 ,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数 ? 的期望 E ? 为 (
3

(A)

241 81

(B)

266 81

(C)

274 81

(D)

4.若三个棱长均为整数(单位:cm)的正方体的表面积之和为 564 cm2,则这三个正方体 的体积之和为 ( ) 。 (B) 764 cm3 (D) 586 cm3

(A)764 cm3 或 586 cm3 (C)586 cm3 或 564 cm3
? x ? y ? z ? 0, 5.方程组 ? x y z ? z ? 0 , ? ? xy ? yz ? xz ? y ? 0 ?

的有理数解 ( x , y , z ) 的个数为 ( ) 。

(A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 4

6.设 ? A B C 的内角 A、 B 、 C 所对的边 a、 b、 c 成等比数列,则
s in A c o t C ? c o s A s in B c o t C ? c o s B

的取值范围是( ) 。 (B) ( 0 ,
, 5 ?1 2 ) 5 ?1 2 )

(A) (0, ? ? ) (C) (
5 ?1 2

(D) (

5 ?1 2

, ?? )

二、填空题(每小题 9 分,共 54 分) 7.设 f ( x ) ? a x ? b ,其中 a , b 为实数,
f 7 ( x ) ? 1 2 8 x ? 3 8 1 ,则 a ? b ? f 1 ( x ) ? f ( x ) , f n ? 1 ( x ) ? f ( f n ( x ))

, n ? 1, 2 , 3, ? ,若

.
1 2

8.设 f ( x ) ? co s 2 x ? 2 a (1 ? co s x ) 的最小值为 ?

,则 a

?

.

声明:本资料未经过编辑加工,可能存在错误,敬请谅解。 更多资料详见华东师大版《高中数学联赛备考手册(预赛试题集锦) 》

9. 24 个志愿者名额分配给 3 个学校, 将 则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配 方法共有 种.
n ?1 n ( n ? 1)

10.设数列 { a n } 的前 n 项和 S n 满足: S n ? a n ?

, n ? 1, 2 , ? ,则通项 a n =



11.设 f ( x ) 是定义在 R 上的函数,若 f (0 ) ? 2 0 0 8 ,且对任意 x ? R ,满足
f ( x ? 2 )? f ( x )? ? 2 3 , f ( x ? 6) ? f ( x) ? 63 ? 2
x
x

,则 f ( 2008 ) =

.

12.一个半径为 1 的小球在一个内壁棱长为 4

6

的正四面体容器内可向各个方向自由运动, .

则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 三、解答题(每小题 20 分,共 60 分)

13.已知函数 f ( x ) ? | sin x | 的图像与直线 y ? kx ( k ? 0 ) 有且仅有三个交点,交点的横坐标 的最大值为 ? ,求证:
cos ? s in ? ? s in 3? ? 1?? 4?
2



14.解不等式
lo g 2 ( x
12

? 3x

10

? 5 x ? 3 x ? 1) ? 1 ? lo g 2 ( x ? 1)
8 6 4



15. 如图, 是抛物线 y 2 P

? 2x

上的动点, B 、 C 在 y 轴上, ( x ? 1) 2 点 圆

? y ? 1 内切于 ? P B C
2



求 ? P B C 面积的最小值.

第 15 题

声明:本资料未经过编辑加工,可能存在错误,敬请谅解。 更多资料详见华东师大版《高中数学联赛备考手册(预赛试题集锦) 》


1. 当 x ? 2 时, 2 ? x ? 0 ,因此 f ( x ) ?
? 2 ,当且仅当
1 2? x ? 2? x


2

1 ? (4 ? 4 x ? x ) 2? x

?

1 2? x

? (2 ? x) ? 2 ?

1 2? x

? (2 ? x)

时取等号.而此方程有解 x ? 1 ? ( ? ? , 2 ) ,因此 f ( x ) 在 ( ? ? , 2 ) 上

的最小值为 2.故选 C. 2. 因为 x 2 ? a x ? 4 ? 0 有两个实根 x1 ?
x1 ? ? 2 且 x 2 ? 4

a 2
a 2

?

4?

a

2

4
? 4? a
2

, x2

?

a 2

?

4?

a

2

,故 B

? A

等价于

4

,即

a 2

?

4?

a

2

? ?2



? 4

,解之得 0 ? a ? 3 .故选 D。

4

4

3.方法一: 依题意知, ? 的所有可能值为 2、4、6. 设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比 赛停止的概率为 (
2 1 2 5 2 ) ?( ) ? 3 3 9

.若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得
? 2) ? 5 9

一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有 P ( ?
4 5 20 P ( ? ? 4 ) ? ( )( ) ? 9 9 81

, . 故选 B。

,P ( ? ? 6 ) ? ( ) 2 ?
9

4

16 81

, E? 故

5 ? 2? ? 4 ? 9

2 0 1 6 26 6 ? ? 6 ? 8 1 8 1 8 1

方法二: 依题意知,? 的所有可能值为 2、4、6.令 A k 表示甲在第 k 局比赛中获胜,则 A k 表 示乙在第 k 局比赛中获胜.由独立性与互不相容性得
P ( ? ? 2 ) ? P ( A1 A 2 ) ? P ( A1 A 2 ) ? 5 9



P ( ? ? 4 ) ? P ( A1 A 2 A3 A 4 ) ? P ( A1 A 2 A3 A 4 ) ? P ( A1 A 2 A3 A 4 ) ? P ( A1 A 2 A 3 A 4 )

2 3 1 1 3 2 20 ? 2[( ) ( ) ? ( ) ( )] ? 3 3 3 3 81



P ( ? ? 6 ) ? P ( A1 A 2 A3 A 4 ) ? P ( A1 A 2 A3 A 4 ) ? P ( A1 A 2 A3 A 4 ) ? P ( A1 A 2 A 3 A 4 )
2 2 1 2 16 ? 4( ) ( ) ? 3 3 81

, .故选 B。

因此 E ?

? 2?

5 9

? 4?

20 81

? 6?

16 81

?

266 81

4. 设这三个正方体的棱长分别为 a、 b、 c ,则有 6 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? 5 6 4 ,即 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 9 4 。 不妨设 1 ?
a ? b ? c ? 10

,从而 3 c ? a ? b ? c ? 9 4 ,c ? 3 1 .故 6 ? c ? 10 ,c 只能取 9、
2 2 2 2 2

8、7、6 . 若 c ? 9 ,则 a 2 ? b 2 ? 9 4 ? 9 2 ? 1 3 ,易知 a ? 2 , b ? 3 ,得一组解 ( a , b , c ) ? ( 2, 3, 9 ) . 若 c ? 8 , 则 a 2 ? b 2 ? 9 4 ? 6 4 ? 3 0 , b ? 5 .但 2 b ? 30 ,即 b ? 4 ,从而 b ? 4 或 5.若
2

b?5

,则 a ? 5 无解;若 b ? 4 ,则 a ? 1 4 无解.因此 c=8 时无解.
2 2

声明:本资料未经过编辑加工,可能存在错误,敬请谅解。 更多资料详见华东师大版《高中数学联赛备考手册(预赛试题集锦) 》

若 c ? 7 ,则 a 2 ? b 2 ? 9 4 ? 4 9 ? 4 5 ,有唯一解 a ? 3 , b ? 6 . 若 c ? 6 ,则 a 2 ? b 2 ? 9 4 ? 3 6 ? 5 8 ,此时 2 b ? 5 8 ,即 b ? 2 9 。故 b ? 6 ,但 b ? c ? 6 ,
2 2

所以 b ? 6 ,此时 a ? 5 8 ? 3 6 ? 2 2 无解.
2

, 综 上 , 共 有 两 组 解 (a b c , ? )

( 2 或 3 a,, b9 c )) ? (3, 6, 7 ) , ( ,
3

, 体 积 为

V1 ? 2

3

?3

3

?9

3

? 7 6 4 (cm )或 V 2 ? 3 ? 6 ? 7 ? 5 8 6 (cm ) 。故选 A。
3 3

3

3

5. 若 z ? 0 ,则 ?

? x ? y ? 0, ? xy ? y ? 0.

解得 ?

? x ? 0, ?y ? 0

或?

? x ? ? 1, ? y ? 1.

若 z ? 0 ,则由 xyz ? z ? 0 得 x y ? ? 1 . 由x ? y ? z ? 0 得z
? ?x ? y

① ②


? y ? xy ? y ? 0
2

将②式代入 xy ? yz ? xz ? y ? 0 得 x 2 由①式得 x ? ?
1 y

. .易知 y 3
? y ?1 ? 0

③ 无有理数根,

,代入③式化简得 ( y ? 1)( y 3

? y ? 1) ? 0

故 y ? 1 ,由①式得 x ? ? 1 ,由②式得 z ? 0 ,与 z ? 0 矛盾,故该方程组共有两组有理数解
? x ? ? 1, ? x ? 0, ? 或 ? y ? 1, ? ? y ? 0, ? z ? 0. ? z ? 0 ? ?

故选 B。

6.设 a、 b、 c 的公比为 q ,则 b
s in A c o t C ? c o s A s in B c o t C ? c o s B ?

? aq, c ? aq

2

,而

s in A c o s C ? c o s A s in C s in B c o s C ? c o s B s in C
s i n ( C A? s i n ( C B? ? ) )

?

? s ?i n B(

? ? s ?i n A(

)B ? )A

s i n b ? q. s i n a

因此,只需求 q 的取值范围.因为 a、 b、 c 成等比数列,最大边只能是 a 或 c ,因此 a、 b、 c
?a ? aq ? aq , ? 要构成三角形的三边,必须且只需 a ? b ? c 且 b ? c ? a .即有不等式组 ? 即 2 ?aq ? aq ? a ?
2

?1 ? 5 5 ?1 ? q ? , ? ? q ? q ? 1 ? 0, ? ? 2 2 解得 ? 从而 ? 2 ?q ? q ? 1 ? 0. 5 ?1 5 ?1 ? ? q ? 或q ? ? . ? ? 2 2
2

5 ?1 2

? q ?

5 ?1 2

,因此所求的取

值范围是 (

5 ?1 2

,

5 ?1 2

) .故选

C。
n?2

7. 由题意知
7

fn ( x) ? a x ? (a
n

n ?1

?a

? ? ? a ? 1) b ? a n x ?

a ?1
n

a ?1

?b

,由

得 f 7 ( x ) ? 1 2 8x ? 3 8 1

a ? 128
7



a ?1 a ?1

? b ? 3 8 1 ,因此 a ? 2

,b ? 3 ,a ? b ? 5 .

声明:本资料未经过编辑加工,可能存在错误,敬请谅解。 更多资料详见华东师大版《高中数学联赛备考手册(预赛试题集锦) 》

8.

f ( x ) ? 2 co s x ? 1 ? 2 a ? 2 a co s x ? 2 (c o s x ?
2

a 2

) ?
2

1 2

a ? 2a ? 1,
2

(1) a ? 2 时, f ( x ) 当 co s x ? 1 时取最小值 1 ? 4 a ; (2) a ? ? 2 时, f ( x ) 当 co s x ? ? 1 时取最小值 1; (3) ? 2 ? a ? 2 时, f ( x ) 当 c o s x
? a 2

时取最小值 ?
1 2

1 2

a ? 2a ? 1 .
2

又 a ? 2 或 a ? ? 2 时, f ( x ) 的 c 不能为 ? 故?
1 2 a ? 2a ? 1 ? ?
2

, (舍去).

1 2

,解得 a

? ?2 ?

3

,a

? ?2 ?

3

9. 方法一:用 4 条棍子间的空隙代表 3 个学校,而用 ? 表示名额.如
| ? ? ?? | ?? ? | ?? |

表示第一、二、三个学校分别有 4,18,2 个名额.若把每个“ ? ”与每个“ | ”都视为一个位置, 由于左右两端必须是“|”,故不同的分配方法相当于 2 4 ? 2 ? 2 6 (个)位置(两端不在内)被 2 个“|”占领的一种“占位法”.“每校至少有一个名额的分法”相当于在 24 个“ ? ”之间的 23 个空隙中选出 2 个空隙插入“|”,故有 C 2 3 2
? 253

(种).又在“每校至少有一个名额的分法”中

“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有 31 种. 综上知, 满足条件的分配方法共有 253 -31=222(种). 方法二:设分配给 3 个学校的名额数分别为 x1、 x 2、 x 3 ,则每校至少有一个名额的分法 数为不定方程 x1 ? x 2 ? x 3 ? 2 4 的正整数解的个数,即方程 x1 ?
2 数,它等于 3 个不同元素中取 21 个元素的可重组合: H 3 1

x 2 ? x 3 ? 2 1 的非负整数解的个
21 2

? C 2 3 ? C 2 3 ? 2 5 3 .又在“每校至

少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有 31 种.综上知,满足 条件的分配方法共有 253-31=222(种) . 10.
a n ?1 ? S n ?1 ? S n ? n ( n ? 1)( n ? 2 ) ? a n ?1 ? n ?1 n ( n ? 1) ? an





2 a n ?1 ? =

n? 2?2 ( n ? 1)( n ? 2 )
? 2 ( n ? 1 )( n ? 2 ) 1

?

1 n ?1

?

1 n ( n ? 1)
1

? an

? an ?

n ( n ? 1)


1

由此得 2 ( a n ? 1 ? 令 bn ? a n ?
an ? 1 2
n

( n ? 1 )( n ? 2 )

) ? an ?

n ( n ? 1)


1 2
n

1 n ( n ? 1)

, b1 ? a 1 ?

1 2

?

1 2

( a1 ? 0 ) , 有

bn ?1 ?

1 2

bn

, 故 bn ?

,所以

?

1 n ( n ? 1)



声明:本资料未经过编辑加工,可能存在错误,敬请谅解。 更多资料详见华东师大版《高中数学联赛备考手册(预赛试题集锦) 》

11. 方法一:由题设条件知
f ( x ? 2 ) ? f ( x ) ? ? ( f ( x ? 4 ) ? f ( x ? 2 )) ? ( f ( x ? 6 ) ? f ( x ? 4 )) ? ( f ( x ? 6 ) ? f ( x )) ? ?3 ? 2
x?2

? 3?2

x?4

? 63 ? 2 ? 3 ? 2
x

x



因此有

f ( x ? 2) ? f ( x) ? 3 ? 2

x

,故

f ( 2 0 0 8) ? f ( 2 0 0 8) ? f ( 2 0 0 6 ) ? f ( 2 0 0 6 ) ? f ( 2 0 0 4 ) ? ? ? f ( 2 ) ? f (0 ) ? f (0 )
? 3 ? (2
2006

?2

2004

? ? ? 2 ? 1) ? f (0 )
2

? 3?

4

1 0 0 3 ?1

?1

4 ?1

? f (0)

? 2

2008

? 2007


x

方法二: 令 g ( x )

? f (x) ? 2

,则
x?2

g ( x ? 2) ? g ( x) ? f ( x ? 2) ? f ( x) ? 2 g ( x ? 6) ? g ( x) ? f ( x ? 6) ? f ( x) ? 2

? 2 ? 3?2 ? 3?2 ? 0
x x x x x x

, ,

x?6

? 2 ? 63 ? 2 ? 63 ? 2 ? 0

即 g ( x ? 2 ) ? g ( x ), g ( x ? 6 ) ? g ( x ) ,故 g ( x ) ? g ( x ? 6) ? g ( x ? 4) ? g ( x ? 2) ? g ( x ) ,得 g ( x ) 是 周期为 2 的周期函数,所以
f ( 2 0 0 8) ? g ( 2 0 0 8) ? 2
2008

? g (0 ) ? 2

2008

? 2

2008

? 2007



12. 如图 1,考虑小球挤在一个角时的情况,记小球半径为 r ,作平面 A 1 B1C 1 //平面 A B C , 与小球相切于点 D , 则小球球心 O 为正四面体 P
A 1 B1 C 1 的中心.因 V P ? A B C ?
1 1 1

垂足 D ? A 1 B1 C 1 的中心,P O ? 面 A1 B1 C 1 ,
1 3 ? S ?A B C ? O D
1 1 1



1 3

S ? A B C ? P D ? 4 ? V O ? A1 B1 C 1 ? 4 ?
1 1 1



故 P D ? 4 O D ? 4 r ,从而 P O ? P D ? O D ? 4 r ? r ? 3 r . 记此时小球与面
P P1 ? P O ? O P1 ?
2 2

PAB

的 切 点 为 P1 , 连 接 O P1 , 则
2 2

(3 r ) ? r

? 2

2r



(第 12 题图 1)

考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为 P A B )相切时的情况,易知小球在面 P A B 上最靠近 边的切点的轨迹仍为正三角形,记为 P1 E F ,如图 2.记正四 面体的棱长为 a ,过 P1 作 P1 M 有 PM
? P P1 ? c o s M P P1 ? 2 2r ?
? PA

于 M .因 ? M P P1

?

?
6



3 2

?

6r

, 故小三角形的边长

第 12 题图 2)

声明:本资料未经过编辑加工,可能存在错误,敬请谅解。 更多资料详见华东师大版《高中数学联赛备考手册(预赛试题集锦) 》
P1 E ? P A ? 2 P M ? a ? 2 6 r

.小球与面 P A B 不能接触到的部分的面积为(如图 2 中阴影部
2 6 r ) ) ? 3 2 ar ? 6 3r
2

分) S ? P A B 又r

? S ?P EF ? 1

3 4

(a ? (a ? 2
2



? 1 ,a ? 4 6

,所以 S ? P A B ? S ? P E F ? 2 4 3 ? 6 3 ? 1 8 3 .由对称性,且正四面体共 4 个
1

面,所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为 7 2

3


3? 2 )

13. f ( x ) 的图象与直线 y ? kx ( k ? 0 ) 的三个交点如答 13 图所示,且在 ( ? , 切点为 A (? , ? sin ? ) , ?
? (? , 3? 2 ).

内相切,其

由于 f ? ( x ) ? ? co s x , x ? ( ? , ? ) ,所
2

3

以 ? cos ?

? ?

s in ?

?

,即 ?

? tan ?

.因此
(第 13 题)

cos ? s in ? ? s in 3?

?

cos ? 2 s in 2 ? c o s ?

?

1 4 s in ? c o s ?
4

?

c o s ? ? s in ?
2 2

4 s in ? c o s ?
y

?

1 ? ta n ?
2

4 ta n ?

?

1?? 4?

2



14. 方法一:由 1 ? lo g 2 ( x 4 等价于
x
12

? 1) ? lo g 2 ( 2 x ? 2 )

,且 lo g 2

在 (0, ? ? ) 上为增函数,故原不等式

? 3x ? 3x

10

? 5x ? 3x ? 1 ? 2x ? 2
8 6 4

. .

即 分组分解

x

12

10

? 5x ? 3x ? 2x ? 1 ? 0
8 6 4

x

12

? x

10

? x

8

?2 x

10

? 2x ? 2x
8

6

?4 x ? 4 x ? 4 x
8 6
6 4

4

?x ? x ? x
4

2

?x ? x ?1 ? 0
2



( x ? 2 x ? 4 x ? x ? 1)( x ? x ? 1) ? 0 ,
8 6 4 2 4 2

所 以 x4 ? x2 ?1 ? 0 , (x ?
2

?1 ? 2

5

)( x ?
2

?1 ? 2

5

) ? 0 。 所 以 x2 ?
5 ?1 2
y

?1 ? 2

5

, 即

?

?1 ? 2

5

? x ?

? ? 1 2

.故原不等式解集为 ( ?
? 1) ? lo g 2 ( 2 x ? 2 )
4

5

5 ?1 2

,

)



方法二: 由 1 ? lo g 2 ( x 4 式等价于
x
12

,且 lo g 2

在 (0, ? ? ) 上为增函数,故原不等

? 3x

10

? 5x ? 3x ? 1 ? 2x ? 2
8 6 4





声明:本资料未经过编辑加工,可能存在错误,敬请谅解。 更多资料详见华东师大版《高中数学联赛备考手册(预赛试题集锦) 》
2 x
2

?

1 x
6

? x ? 3 x ? 3 x ? 1 ? 2 x ? 2 ? ( x ? 1) ? 2 ( x ? 1) ,
6 4 2 2 2 3 2

(

1 x
2

) ? 2(
3

1 x
2

) ? ( x ? 1) ? 2 ( x ? 1)
2 3 2

, 显然 g ( t ) ? t 3 ? 2 t 在 R 上为增函数,由此上 ,解得 x 2
5 ?1 2

令 g ( t ) ? t 3 ? 2 t ,则不等式为 g ( 面不等式等价于
5 ?1 2 5 ?1 2
1 x
2

1 x
2

) ? g ( x ? 1) ,
2

? x ?1
2

,即 ( x 2 ) 2

? x ?1 ? 0
2

?

,故原不等式解集为

(?

,

)


y0 ? b x0

15. 设 P ( x 0 , y 0 ), B (0, b ), C (0, c ) ,不妨设 b ? c .直线 P B 的方程: .又圆心 (1, 0 到 )
2

y?b ?

x

,化简得

( y0 ? b ) x ? x0 y ? x0b ? 0

PB

的距离为 1, 易 知
x0 ? 2

y0 ? b ? x0b ( y0 ? b ) ? x0
2 2

?1

,故

( y 0 ? b ) ? x0 ? ( y0 ? b)
2 2 2

? 2 0 b( 0y ? x

b? )

2 0

x , b
2

, 上 式 化 简 得
? ?2 y0 x0 ? 2

同理有 ( x 0 ? 2 ) c ? 2 y 0 c ? x 0 ? 0 ( x0 ? 2 )b ? 2 y 0b ? x0 ? 0 ,
2

. 所以 b ? c

,b c ?

? x0 x0 ? 2
4 x0
2



则 (b ? c ) 2

?

4 x0 ? 4 y0 ? 8 x0
2 2

( x0 ? 2 )

2

. P ( x 0 , y 0 ) 是抛物线上的点, y 02 因 有
? 1 2 (b ? c ) ? x0 ? x0 x0 ? 2 ? x0 ? ( x 0 ? 2) ?

则 ? 2 x0 , (b ? c ) 2 ?
4 x0 ? 2 ?4 ? 2

( x0 ? 2 )


2

b?c ?

2 x0 x0 ? 2
2

. 所以 S ? P B C

4 ? 4 ? 8 .当

( x0 ? 2 ) ? 4

时,上式取等号,此时 x 0 ? 4, y 0 ? ? 2 2 .

因此 S ? P B C 的最小值为 8.

声明:本资料未经过编辑加工,可能存在错误,敬请谅解。 更多资料详见华东师大版《高中数学联赛备考手册(预赛试题集锦) 》


一、 (本题满分 50 分)



如图,给定凸四边形 A B C D ,? B ? ? D ? 1 8 0 ? ,P 是平面上 的动点,令
f (P ) ? PA ? BC ? PD ?CA ? PC ? AB



(1)求证:当 f ( P ) 达到最小值时, P 、 A、 B 、 C 四点共圆; (2)设 E 是 ? A B C 外接圆 O 的 ? B 上一点,满足: A
BC EC ? 3 ? 1 ,? E C B ?
1 2 ?ECA

AE AB

?

3 2

, 答一图 1
2

,又 DA , DC 是 ? O 的切线, A C ?

,求 f ( P ) 的最小值.

二、 (本题满分 50 分) 设 f ( x ) 是周期函数, T 和 1 是 f ( x ) 的周期且 0 ? T (1)若 T 为有理数,则存在素数 p ,使
1 p
? 1 .证明:

是 f ( x ) 的周期;

( 2 ) 若 T 为 无 理 数 , 则 存 在 各 项 均 为 无 理 数 的 数 列 { a n } 满 足 1 ? a n ? a n ?1 ? 0
( n ? 1 , 2? ,? ? )且每个 a n ,

( n ? 1, 2, ? ??) 都是 f ( x ) 的周期.

三、 (本题满分 50 分) 设 ak (1) 0
? 0

,k

? 1, 2, ? , 2 0 0 8

.证明:当且仅当 ? a k ? 1 时,存在数列 { x n } 满足以下条件:
k ?1

2008

? x 0 ? x n ? x n ? 1 , n ? 1, 2 , 3, ?
x n 存在;
2008



(2) lim (3) x n

n? ?

? x n ?1 ?

?

2007

ak xn?k ?

?

a k ?1 x n ? k

, n ? 1, 2 , 3, ? .

k ?1

k ?0

声明:本资料未经过编辑加工,可能存在错误,敬请谅解。 更多资料详见华东师大版《高中数学联赛备考手册(预赛试题集锦) 》


意点 P ,有
PA ? BC ? PC ? AB ? PB ? AC



一、方法一: (1)如答一图 1,由托勒密不等式,对平面上的任 .因此

f (P ) ? PA ? BC ? PC ? AB ? PD ? CA ? PB ? CA ? PD ?CA ? (PB ? PD ) ?CA



因为上面不等式当且仅当 P 、 A、 B 、 C 顺次共圆时取等号,因此 当 且 仅 当 P 在
f ( P )? (P ? B
?ABC

A 的 外 接 圆 且 在 ?C 上 时 ,

又因 P )D . C A P B ? P D ? B D ?

, 此不等式当且仅

第 1 题图

1 当 B , P , D 共线且 P 在 B D 上时取等号.因此当且仅当 P 为 ? A B C 的外接圆与 B D 的交点时,
f (P)

取最小值 f ( P ) m in ? A C ? B D .故当
??

f (P)

达最小值时, P 、 A、 B 、 C 四点共圆.
AE AB ? s in 2 ? s in 3? ? 3 2

(2)记 ? E C B

,则 ? E C A ? 2? ,由正弦定理有

,从而

3 sin 3 ? ? 2 sin 2 ?
2

,即 3 (3 sin ? ? 4 sin 3 ? ) ? 4 sin ? co s ? ,所以 ,整理得 4
3 co s ? ? 4 co s ? ?
2

3 3 ? 4 3 (1 ? co s ? ) ? 4 co s ? ? 0

3 ? 0,

解得
BC EC

c o s ? ?

3 2

或 cos ? ? ?

1 2 3

( 舍 去 ) 故 ? ? 30? , ? AC E ? 60? . ,
0

由已知

?

3 ?1

=
1 2

s in ? ? E A C ? 3 0 s in ? E A C

?

, 有

sin ( ? E A C ? 3 0 ) ? ( 3 ? 1) sin ? E A C

?

, 即 , ,

3 2

s in ? E A C ?

c o s ? E A C ? ( 3 ? 1) s in ? E A C

,整理得

2? 2

3

sin?EAC ?

1 2

c o s? E A C
?



ta n ? E A C ?

1 2? 3

? 2?
?

3

, 可 得

? EAC ? 75

?

, 从 而

? E ? 45

, ? A D C 为等腰直角三角形.因 A C ? 2 ,则 C D ? 1 .又 ? A B C 也 是 等 腰 直 角 三 角 形 , 故 B C ? 2 , B D 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? 1 ? 2 co s 1 3 5 ? ? 5 , B D ? 5 . 故
? D AC ? ? D C A ? ? E ? 45

f ( P ) m in ? B D ? A C ?

5?

2 ?

10



方法二: (1) 如图 2, 连接 B D 交 ? A B C 的外接圆 O 于 P0 点(因为 D 在 ? O 外,故 P0 在 B D 上) . 过 A , C , D 分 别 作 P0 A , P 0C , P 0D 的 垂 线 , 两 两 相 交 得
? A1 B 1 C 1 ,易知 P0
?ABC

在 ? A C D 内,从而在 ? A1 B1C 1 内,记
x, y, z

之 三 内 角 分 别 为 , 又 因

, 则 ,
(第 1 题图 2)

? A P0 C ? 1 8 0 ? ? y ? z ? x B 1 A1 ? P0 C

B 1 C 1 ? P0 A ? x

,得 ? B1 ? y ,同理有 ? A1

, ? C1 ? z ,
? ?CA

所以 ? A1 B1C 1 ∽ ? A B C .设 B1C 1 ? ? B C , C 1 A1 有

, A1 B1 ? ? A B ,则对平面上任意点 M ,

声明:本资料未经过编辑加工,可能存在错误,敬请谅解。 更多资料详见华东师大版《高中数学联赛备考手册(预赛试题集锦) 》
? f ( P0 ) ? ? ( P0 A ? B C ? P0 D ? C A ? P0 C ? A B )
? P0 A ? B1 C 1 ? P0 D ? C 1 A1 ? P0 C ? A1 B1

? 2 S ?A B C
1 1

1

? M A ? B1 C 1 ? M D ? C 1 A1 ? M C ? A1 B 1
? ? (M A ? BC ? M D ? CA ? M C ? AB )

? ? f (M ) ,

从而

f ( P )? 0

f ( M. M )由

点的任意性, P0 点是使 f ( P ) 达最小值的点. 知 由点 P0 在 ? O 上,

故 P0、 A、 B 、 C 四点共圆. (2)由(1) f ( P ) 的最小值 f ( P0 ) ? , 由 正 弦 定 理 有
3

2

?

S ?A B C ? 2 ? S ?ABC
1 1 1

,记 ? E C B ? ? ,则 ? E C A ? 2? , 而 , 2
s 即i

AE AB

?

s in 2 ? s in 3?

?

3 2
3


3?


4

3

s ?i ? n

3 ?

n

2

3 (3 sin ? ? 4 sin ? ) ? 4 sin ? co s ?
3 c o?s ?
2

,所以
?

3?( 1

2

? o?s c

) ? ? c ,s 整 4 o

理0 得

4

4?c ?o s ?

, 解 得 c o s? 3 0

3 2

或 cos ? ? ?

1 2 3

(舍去) 故 ? ? 30? , ,
0

? AC E ? 60

?









BC EC

?

3 ?1

=
1 2

s in ? ? E A C ? 3 0 s in ? E A C

?

,



sin ( ? E A C ? 3 0 ) ? ( 3 ? 1) sin ? E A C

?

,即

3 2

s in ? E A C ?

c o s ? E A C ? ( 3 ? 1) s in ? E A C



整理得

2? 2

3

s in ? E A C ?

1 2

cos ? E A C

,故 ta n ? E A C ?
2

1 2? 3

? 2?

3

,可得 ? E A C

? 75

?



所以 ? E

? 45? , ?ABC

为等腰直角三角形, A C ?

, S ? A B C ? 1 ,因为 ? A B1 C

? 4 5 ? , B1 点

在 ? O 上, ? A B1 B 故?
? 5 2

? 90?

,所以 B1 B D C 1 为矩形, B1 C 1 ? B D ? 1 ? 2 ? 2 ? 1 ? 2 co s 1 3 5 ? ? 5 ,
5 2 ?1 ? 10

,所以

f ( P ) m in ? 2 ?



方法三: (1)引进复平面,仍用 A , B , C 等代表 A , B , C 所对应的复数.由三角形不等式,对 于复数 z 1 , z 2 ,有 z1 ? z 2 ? z 1 ? z 2 ,当且仅当 z 1 与 z 2 (复向量)同向时取等号. 有 所以
? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? P A? B C ? P C A B ? ? P? A B?C ? ? ?? ? ? ?? P C A B ? , ? ? ??

( A ? P ) (C ? B ) ?

( C ? P ) ( B?

A)

? ( A ? P ) (C ? B ) ? (C ? P ) ( B ? A ) ? ?P ?C ? A ?B ? C ?B ? P ? A



声明:本资料未经过编辑加工,可能存在错误,敬请谅解。 更多资料详见华东师大版《高中数学联赛备考手册(预赛试题集锦) 》
? ? ?? ? ? ? ? ? ( B ? P ) ( C ? A ) ? P B ? A, C

从而

? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ??? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? P A ? B C? P C ? A B ? P ?D ? CPAB ? A C ? P D? A C ??? ? ???? ???? ? ( PB ? PD ) ? AC ???? ???? ? BD ? AC



② ,使得

①式取等号的条件是复数 ( A ? P )( C ? B ) 与 ( C
( A ? P )( C ? B ) ? ? ( C ? P )( B ? A ) ,
???? 向量 P C

? P )( B ? A ) 同向,故存在实数 ? ? 0

A? P C ? P

??? ? 旋转到 P A

???? 所成的角等于 B C

C ? B ??? ? 旋转到 A B 所成的角,从而 P 、 A、 B 、 C

? ?

B ? A

,所以

A? P arg( ? ) C ? P

B? A , ) arg( C? B

四点共圆.

②式取等号的条件显然为 B , P , D 共线且 P 在 B D 上.故当 f ( P ) 达最小值时 P 点在 ? A B C 之 外接圆上, P 、 A、 B 、 C 四点共圆. (2)由(1)知
f ( P ) m in ? B D ? A C

.以下同方法一.
n m

二、 (1)若 T 是有理数,则存在正整数 m , n 使得 T ? 得
m a ? n b ? 1 .于是

且 (m , n)

? 1 ,从而存在整数 a , b

,使

1 m

?

m a ? nb m

? a ? b T ? a ?1 ? b ? T

是 f ( x ) 的周期.又因 0 ? T ? 1 ,从
1 p ? m?? 1 m

而 m ? 2 .设 p 是 m 的素因子,则 m (2)若
? 1 a2 ? 1 ? ? ? a1

? pm ? , m ? ? N

?

,从而

是 f ( x ) 的周期.

T

是无理数,令
? 1 ? a n ?1 ? 1 ? ? ? an ? an ?

a1 ? 1 ?

?1 ?T ?

? T ? ?

, 则 0 ? a1 ? 1 , 且 a1 是 无 理 数 , 令

? ? a1 ?



, 由数学归纳法易知 a n 均为无理数且 0 ? a n ? 1 .又

? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? ?? ? ? 1 ,故 1 ? a n ? ? ? a n ,即 a n ? 1 ? 1 ? ? ? a n ? a n .因此 { a n } 是递减数列. an ? an ? ? an ? ? an ? 1
1 最后证:每个 a n 是 f ( x ) 的周期.事实上,因 1 和 T 是 f ( x ) 的周期,故 a 1 ? 1 ? ? ? T 亦是 ?T ? ? ?

f ( x ) 的周期.假设 a k 是 f ( x ) 的周期,则 a k ? 1 ? 1 ? ?

? 1 ? ? ak ? ak ?

也是 f ( x ) 的周期.由数学归纳

法,已证得 a n 均是 f ( x ) 的周期.

三、必要性:假设存在 { x n } 满足(1)(2)(3) , , .注意到(3)中式子可化为
2008

x n ? x n ?1 ?

?

a k ( x n ? k ? x n ? k ?1 )

,n ? N* , 项 加 到 第
n

k ?1

其 中

x0 ? 0

. 将 上 式 从 第

1

项 , 并 注 意 到

x0 ? 0



声明:本资料未经过编辑加工,可能存在错误,敬请谅解。 更多资料详见华东师大版《高中数学联赛备考手册(预赛试题集锦) 》
x n ? a 1 ( x n ? 1 ? x1 ) ? a 2 ( x n ? 2 ? x 2 ) ? ? ? a 2 0 0 8 ( x n ? 2 0 0 8 ? x 2 0 0 8 )

. 由(ⅱ)可设 b ? lim x n ,将上式
n? ?

取极限得
b ? a 1 ( b ? x1 ) ? a 2 ( b ? x 2 ) ? ? ? a 2 0 0 8 ( b ? x 2 0 0 8 )
? b ? ? a k ? ( a 1 x1 ? a 2 x 2 ? ? ? a 2 0 0 8 x 2 0 0 8 )
k ?1 2008 2008

? b ? ? ak
k ?1



因此 ? a k ? 1 .
k ?1
2008 2008

2008

充分性:假设 ?

a k ? 1 .定义多项式函数如下: f ( s ) ? ? 1 ?
2008

?

ak s

k

, s ? [0,1] ,则 f ( s ) 在[0,1]内

k ?1

k ?1

在[0,1]上是递增函数,且 f (0 ) ? ? 1 ? 0 , 有唯一的根 s

f (1) ? ? 1 ?

?

ak ? 0

.因此方程

f (s) ? 0

k ?1

? s 0 ,且 0 ? s 0 ? 1 ,即 f ( s 0 ) ? 0



下取数列 { x n } 为 x n ?
xn ?

?
k ?1

n

s0

k

, n ? 1, 2 , ? ,则明显地 { x n } 满足题设条件(ⅰ) ,且
s0 ? s0
n ?1

?
k ?1

n

s0 ?
k

s0 ? s0

n ?1

1 ? s0

. 0 ? s 0 ? 1 , lim s 0n ? 1 ? , 因 故 因此 lim 0
n? ?

n? ?

x n ? lim

n? ?

1 ? s0
2008

?

s0 1 ? s0

, { xn } 即

的极限存在,满足(2) 最后验证 { x n } 满足(3) . ,因
x n ? x n ?1 ? s 0 ? ( ? a k s 0 ) s 0 ?
n k n k ?1 2008 2008

f ( s0 ) ? 0

,即 ? .

a k s 0 ? 1 ,从而
k

k ?1 2008

?

a k s0

n?k

?

?

a k ( x n ? k ? x n ? k ?1 )

k ?1

k ?1

综上,存在数列 { x n } 满足(1).


推荐相关:

2008年全国高中数学联赛试题及答案

2008 年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准(A 卷)说明: 1.评阅试卷时,请依据本评分标准.选择题只设 6 分和 0 分两档,填空题只设 9 分和 0...


2008年全国高中数学联赛试题及答案[1]

更多资料详见华东师大版《高中数学联赛备考手册(预赛试题集锦) 》 2008 年全国高中数学联赛受中国数学会委托,2008 年全国高中数学联赛由重庆市数学会承办。中国数学会...


2008年全国高中数学联赛试题及答案

2008年全国高中数学联赛试题及答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。2008 年全国高中数学联赛试题及答案一一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.函数 f ( x ) ...


2008年全国高中数学联赛、加赛试题及答案

高考网 www.igaokao.com 2008 全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准 (A 卷)说明: 1.评阅试卷时,请依据本评分标准.选择题只设 6 分和 0 分两档...


2008年全国高中数学联赛预赛试题及答案(湖南省)

2008年全国高中数学联赛预赛试题及答案(湖南省) 高中数学高中数学隐藏>> 高中数学辅导网 http://www.shuxuefudao.com 二 00 八年湖南省高中数学竞赛试题一、选择...


2008年全国高中数学联赛预赛试题及答案(江西省)

2008年全国高中数学联赛预赛试题及答案(江西省) 高中数学联赛高中数学联赛隐藏>> 2008 年全国高中数学联赛江西省预赛试题 年全国高中数学联赛江西省预赛试题一、选择题...


2008年全国高中数学联赛预赛试题及答案(湖南省)

2008年全国高中数学联赛预赛试题及答案(湖南省) 高中数学联赛高中数学联赛隐藏>> 二00 八年湖南省高中数学竞赛试题一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 ...


2008年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准(A卷)

2008年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准(A卷) 隐藏>> (A 卷)说明: 1.评阅试卷时,请依据本评分标准.选择题只设 6 分和 0 分两档,填空题只...


2008年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案B

高中数学竞赛高中数学竞赛隐藏>> 知识改变命运 教育开创未来 2008 年全国高中数学联合竞赛一试 试题参考答案(B 卷)说明: 1.评阅试卷时,请依据本评分标准.选择题只...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com