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2014届高三数学解析几何难点专练:圆的方程


圆的方程 1.点 P(2,-1)为圆(x-1) +y =25 内弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程为( C ) A.x+y-1=0 B.2x+y-3=0 C.x-y-3=0 D.2x-y-5=0 解析:由圆的方程知圆心坐标为(1,0),圆心与 P 点的连线的斜率为-1,所以直线 AB 的斜率为 1,又过点 P(2,-1),所以直线 AB 的方程为 x-y-3=0,故选 C. 2 2 2 2.在平面直角坐标系内,若曲线 C:x +y +2ax-4ay+5a -4=0 上所有的点均在第 二象限内,则实数 a 的取值范围为( D ) A.(-∞,-2) B.(-∞,-1) C.(1,+∞) D.(2,+∞) 2 2 2 解析:曲线 C:x +y +2ax-4ay+5a -4=0, 2 2 即(x+a) +(y-2a) =4 表示以(-a,2a)为圆心,2 为半径的圆,当-a<-2 且 2a>0, 即 a>2 时,曲线 C 上所有的点均在第二象限内,故选 D. → → 2 2 3.已知 A、B、C 是圆 O:x +y =1 上不同的三个点,且OA·OB=0,存在实数 λ ,μ → → → 满足OC=λ OA+μ OB,则点(λ ,μ )与圆的位置关系是( B ) A.在单位圆外 B.在单位圆上 C.在单位圆内 D.无法确定 解析:因为点 A、B、C 在单位圆上, 2 故|OC|=1,于是有|OC| =1, → → 2 2 2 即(λ OA+μ OB) =1,展开得 λ +μ =1, 2 2 所以点(λ ,μ )在圆 x +y =1 上,故选 B. 16 2 2 4.圆心在原点且与直线 x+2y=4 相切的圆的方程是 x +y = . 5 4 4 解析:由题意,半径 R= = , 2 1+2 5 16 16 2 2 2 2 所以圆的方程为 x +y = ,故填 x +y = . 5 5 2 2 5.以抛物线 y =4x 上的点(x0,4)为圆心,并过此抛物线焦点的圆的方程是 (x-4) 2 +(y-4) =25 . 解析:抛物线的焦点为(1,0),准线为 x=-1, 2 根据点(x0,4)在抛物线上知 4 =4x0,解得 x0=4, 所以圆心为(4,4),半径为 x0+1=5, 2 2 故所求圆的方程为(x-4) +(y-4) =25. 2 2 2 2 6.点 P(4, -2)与圆 x +y =4 上任一点连线的中点的轨迹方程是 (x-2) +(y+1) =1 . 解析:设圆上任一点为 Q(s,t),PQ 的中点为 A(x,y), 4+s ? ?x= 2 则? -2+t ?y= 2 ? ? ?s=2x-4 ?t=2y+2 ? 2 2 ,解得? , 将其代入圆的方程, 2 2 得(2x-4) +(2y+2) =4, 2 2 整理得(x-2) +(y+1) =1. 2 2 7.若 x +y -4x+2my+m+6=0 与 y 轴的两交点位于原点的同侧, 则实数 m 的取值范 围是 m>3 或-6<m<-2 . 2 2 2 解析:圆方程配方,得(x-2) +(y+m) =m -m-2, m-2>0 ?m -- + 则? ?2< m -m-2 2 2 2 +m 2 >m -m-2 2 , 解得 m>3 或-6<m<-2. 8.已知圆心为 C 的圆经过点 A(1,1)和 B(2,-2),且圆心 C 在直线 l:x-y+1=0 上,求圆心为 C 的圆的标准方程. 解析:由已知求得 AB 的垂直平分线 l′的方程为 x-3y-3=0. 圆心

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