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吉林省长春市普通高中2016届高三质量监测(一)数学(文)试题


长春市普通高中 2016 届高三质量监测(一)

数学试题卷(文科)
考生须知: 1. 本试卷分试题卷和答题卡,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 2. 答题前,在答题卡指定位置上填写学校、班级、姓名和准考证号. 3. 所有答案必须写在答题卡上,写在试卷上无效. 4. 考试结束,只需上交答题卡.

第Ⅰ卷(选择题,共 60

分)
一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,请将正确选项涂在答题卡上) 1. 已知集合 A ? {0,1, 2} , B ? {z | z ? x ? y, x ? A, y ? A} ,则 B ? A. {0,1, 2,3, 4} 2. 复数 A. 1 3. 4. 5.
2

B. {0,1, 2}

C. {0, 2, 4}

D. {1, 2}

1? i ( i 是虚数单位)等于 1? i
B. 2 C. i C. x ? ?1 D. 2i D. x ? 1 D. 20

抛物线 y ? ?4 x 的准线方程为 A. y ? ?1 B. y ? 1

? ? 已知向量 a, b 满足 a ? b ? (5,?10), a ? b ? (3,6) ,则 a ? b ? A. ?12 B. ?20 C. 12
下列说法中正确的是 A. “ f (0) ? 0 ”是“函数 f ( x ) 是奇函数”的充要条件;

2 B. 若 p : ?x0 ? R , x02 ? x0 ? 1 ? 0 ,则 ? p : ?x ? R , x ? x ? 1 ? 0 ;

C. 若 p ? q 为假命题,则 p, q 均为假命题; D. “若 ? ? 6.

?
6

,则 sin ? ?

1 ? 1 ”的否命题是“若 ? ? ,则 sin ? ? ”. 6 2 2

7.

? y ≥ 2x ? 2 若实数 x , y 满足 ? ? y ≥ ? x ? 1 ,则 z ? 2 x ? y 的最小值为 ? y ≤ x ?1 ? A. ?2 B. ?1 C. 1 执行如图所示的程序框图,输出的 s 为

D. 2
开始

2015 2016 2016 C. 2015
A.

2014 2015 2017 D. 2016
B.

k ? 1, s ? 0
k ≤ 2015 ?



输出 s

s ? s?

1 k (k ? 1)

结束

k ? k ?1

8.

在△ ABC 中, AB ? 2 , AC ? 3 , BC ? 10 ,则△ ABC 的面积为 A.

6 4

B.

15

C.

3 15 4

D.

3 6 16

-1-

9.

已知几何体的三视图如图所示, 则该几何体的表面积为 A. 4 ? 6 C. 2 ? 2 2 ? 6 B. 6 ? 6 D. 2 ? 2 3 ? 6
2 2

3
2

正视图

侧视图

10. 已知函数 y ?

x3 ,则其图像为 e| x |
y
O

俯视图
y x
O

x

A.
y
O

B.
y x
O

x

C. 11. 函数 f ( x) ? sin( x ?

) cos( x ? ) ,下列判断正确的是 6 6 ? ? A. f ( x ) 的最小正周期为 B. f ( x ? ) 是奇函数 2 6
C. f ( x ) 的一个对称中心为 (

?

?

D.

?

12. 设 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,对 x ? R ,都有 f ( x ? 2) ? f ( x ? 2) ,且当 x ? [?2, 0]
x 时, f ( x) ? ( ) ? 1 ,若在区间 [?2, 6] 内关于 x 的方程 f ( x) ? loga ( x ? 2) ? 0 (a ? 1) 恰

6

, 0)

D. f ( x ) 的一条对称轴为 x ?

?
6

有 3 个不同实根,则 a 的取值范围是 A. 3 4 ? a ? 2 C.
3

1 2

B. 1 ? a ? 2 D. 1 ? a ? 3 7

4?a? 9
6

-2-

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题-21 题为必考题,每个试题考生都必须作答, 第 22 题-24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在答题卡中的横线上). 13. 利用分层抽样的方式在学生总数为 1200 人的年级中抽出 20 名同学,其中有女生 8 人, 则该年级男生的人数约为____________. 14. 已知 x log3 2 ? 1 ,则 4 ? 2 ? ____________.
x x

x2 y 2 ? a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 . 若椭圆上存在点 P 使 15. 设椭圆 2 ? 2 ? 1( a b ?F1PF2 ? 90? . 则椭圆的离心率的取值范围是____________.
16. 已知一个四面体的所有棱长都为 2,则该四面体的外接球表面积为____________. 三、解答题(本大题包括 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤). 17. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a2 ? 0 , S5 ? 2a4 ?1 . ⑴ 求数列 {an } 的通项公式; ⑵ 设 bn ? 2 n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .
a

18. (本小题满分 12 分) 为了调查某高中学生每天的睡眠时间,现随机对 20 名男生和 20 名女生进行问卷调查, 结果如下: 女生: 睡眠时间(小时) [4,5) [5, 6) [6, 7) [7,8) [8,9] 人数 男生: 睡眠时间(小时) 人数 2 4 8 4 2

[4,5)
1

[5, 6)
5

[6, 7)
6

[7,8)
5

[8,9]
3

⑴ 现把睡眠时间不足 5 小时的定义为“严重睡眠不足” ,从睡眠时间不足 6 小时的女生 中随机抽取 3 人,求此 3 人中恰有一人为“严重睡眠不足”的概率; ⑵ 完成下面 2 ? 2 列联表,并回答是否有 90% 的把握认为“睡眠时间与性别有关”? 睡眠少于 7 小时 睡眠不少于 7 小时 合计 男生 女生 合计
P(K ≥k) k
2
2

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.82 8

n(ad ? bc)2 (K ? ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

C1 A1
?

19. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA1 ? 平面 ABC , ?BAC ? 90 ,

B1

AB ? AC ? 2 , AA1 ? 3 .
C
-3-

A

B

P 点,若△ PBC 为等边三角形,求出点 P 的位置; ⑴ 过 BC 的截面交 A 1A 于
⑵ 在⑴条件下,求四棱锥 P ? BCC1B1 与三棱柱 ABC ? A1B1C1 的体积比. 20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的方程为

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) ,离心率 e ? ,过焦点且与长轴垂直的 2 a b 2

直线被椭圆所截得线段长为 1. ⑴ 求椭圆 C 的方程; ⑵ D, E, F 为曲线 C 上的三个动点,D 在第一象限,E , F 关于原点对称, 且 | DE |?| DF | , 问△ DEF 的面积是否存在最小值?若存在,求出此时 D 点的坐标;若不存在,请说明理由. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e x ? ax ? 1 . ⑴ 判断函数 f ( x ) 的单调性; ⑵ 设 F ( x) ? f ( x) ? x ln x ,若函数 F ( x) 存在零点,求实数 a 的取值范围. 请考生在 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲. 已知△ ABC 中,AB ? AC , 以点 B 为圆心, 以 BC 为半径的圆分别交 AB, AC 于 D, E 两点,且 EF 为该圆的直径. ⑴ 求证: ?A ? 2?F ;
B

A D E C

1 ⑵ 若 AE ? EC ? 1 ,求 BC 的长. 2
23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程选讲. 已知曲线 C 的参数方程为 ?

F

? ? x ? 3 cos ? ( ? 为参数) ,直线 l 的极坐标方程为 ? ? y ? sin ?

? ? sin(? ? ) ? 2 2 .
4
⑴ 写出曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程; ⑵ 设点 P 为曲线 C 上的动点,求点 P 到直线 l 距离的最大值. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲. 已知函数 f ( x) ?| x ? a | ? | x ? 5 | . ⑴ 若不等式 f ( x) ≥ 3 恒成立,求 a 的取值范围; ⑵ 当 a ? 2 时,求不等式 f ( x) ≥ x2 ? 8x ? 15 的解集.

-4-

长春市普通高中 2016 届高三质量监测(一) 数学(文科)试题参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. A 2. C 3. D 4. D 5. D 6. B 7. A 8. C 9. B 10. A 11. B 12. A 简答与提示: 1. 【命题意图】本题考查集合中元素的计算与集合的性质. 【试题解析】 A 题意可知,集合 B ? {z | z ? x ? y, x ? A, y ? A} ? {0,1, 2,3, 4} ,故选 A. 2. 【命题意图】本题考查复数的除法运算. 【试题解析】C 3. 4.

1? i (1 ? i)2 2i ? ? ? i ,故选 C. 1 ? i (1 ? i)(1 ? i) 2

【命题意图】本题考查抛物线的准线的概念,是对学生的基础知识的直接考查. 【试题解析】D 由题意,抛物线 y 2 ? ?4 x 的准线为 x ? 1 ,故选 D. 【命题意图】本题主要对向量的基本运算进行考查.

? ? ? ? ? ? ? ? ? (a ? b) ? (a ? b) ? ( a ? b) ? ( a ? b) 【试题解析】D a ? ? (4, ?2) , b ? ? (1, ?8) ,则 2 2 ? ? a ? b ? 4 ? 16 ? 20 ,故选 D.
【命题意图】本题是对逻辑问题的综合考查,全面考查考生对各种逻辑问题的理解. 【试题解析】D 选项 A 中,由奇函数定义可知,“ f (0) ? 0 ”是“函数 f ( x ) 是奇函数”的 既不充分也不必要条件; 选项 B 中, 若 p :?x0 ? R ,x02 ? x0 ? 1 ? 0 , 则 ? p :?x ? R ,

5.

x2 ? x ? 1 ≤ 0 ;选项 C 中,若 p ? q 为假命题,只能判定 p, q 中至少有一个为假命题;
6. 选项 D 的说法正确,故选 D. 【命题意图】本题考查线性规划以及目标函数的几何意义等知识. 【试题解析】B 图为可行域,而目标函数 z ? 2 x ? y 可化为
y F(3,4)

y ? 2 x ? z ,即 ?z 为该直线在 y 轴上的截距,当直线过 (0,1) 时, 截距取得最大值,此时 z 取得最小值为 ?1 ,故选 B.
7.

1

O 【命题意图】本题考查程序框图的基本运作过程,同时通过程序 x 1 框图也对数列中的裂项求和做出考查. 【试题解析】A 由程序框图,当 k ? 2015 时,还应该进入循环,而当 k ? 2016 时,不

再进入循环,故输出结果为 8.

2015 ,故选 A. 2016
10 6 , sin C ? ,故 4 4

【命题意图】本题主要考查解三角形,以及利用余弦定理搭建三角形中边与角的关系式. 【试题解析】C 由题意,根据余弦定理可得, cos C ?

S? ABC ?
9.

1 3 15 ,故选 C. AC ? BC ? sin C ? 2 4

【命题意图】本题主要考查考生对三视图的理解,以及简单几何体表面积的计算. 【试题解析】B 由三视图可知,该几何体是底面为等腰直角三角形,高为 3 的三棱锥,

且顶点在底面上的投影为斜边的中点,据此可求得该几何体的表面积为 6 ? 6 .故选 B. 10. 【命题意图】本题考查考生对图像特征的理解,以及利用求导等手段发现函数特点的方 法. 【试题解析】A 函数 y ?

x3 为奇函数,且 y? |x ?0 ? 0 ,可推出在原点处切线斜率为 0, e| x |
-5-

故选 A. 11. 【命题意图】本题考查三角变换公式,以及 y ? A sin(? x ? ? ) 中各个量对函数图像的影 响. 【试题解析】B 由题可知 f ( x ?

?

1 ) ? sin 2 x ,故选 B. 6 2

12. 【命题意图】本题主要考查函数图像、函数零点,通过指数函数和对数函数以及函数周 期的表达式,来构建函数与函数关系. y 【试题解析】A 由题意可知, f ( x) ? loga ( x ? 2) 的图 像如右图所示,若要保证 f ( x) ? loga ( x ? 2) 有三个交 点, 只需 log a 4 ? 3 ? log a 8 , 即 4 ? a ? 8 ,3 4 ? a ? 2 .
3

-2

O

2

6 x

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 720 14. 6 15.

2 ? e ?1 2

16. 6?

简答与提示: 13. 【命题意图】本题考查分层抽样的主要知识. 【试题解析】由于样本容量为 20,所以其中的男生人数为 12,从而年级男生人数为

1200 ?

12 ? 720 (人). 20
x x 2log 2 3

14. 【命题意图】本题考查对数运算的基本性质. 【试题解析】由条件可知 x ? log2 3 ,故 4 ? 2 ? 2

? 2log2 3 ? 9 ? 3 ? 6 .

15. 【命题意图】本题通过平面几何的性质考查椭圆离心率的求取,对学生的运算求解能力 提出很高要求,是一道中档题. 【试题解析】以线段 F1F2 为直径的圆与椭圆有公共点,所以 b ? c ,即 a ? c ? c ,
2 2 2 2 2

1 2 2 ? e ,所以 ? e ? 1. 2 2
16. 【命题意图】本题考查了球的内接几何体问题,特别涉及到了正方体的局部几何体的外 接球问题. 【试题解析】已知四面体棱长为 2,可知其外接球的半径为 6 ,从而其表面积为 6? .
2

-6-

三、解答题 17. (本小题满分 12 分) 【命题意图】 本题考查数列通项公式及其前 n 项和公式的求法, 其中涉及错位相减法在数 列求和问题中的应用. 【试题解析】 (1) 设公差为 d ,有 a1 ? d ? 0,5a1 ? 10d ? 2a1 ? 6d ?1, 解得 d ? ?1, a1 ? 1 ,所以 an ? 2 ? n . (6 分)

1 2[1 ? ( )n ] 2 ? 4 ? 22 ? n . (2) 由(1)知, bn ? 22?n ,所以 Tn ? 1 1? 2

(12 分)

18. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查学生对概率知识的理解,以及统计案例的相关知识,同时 考查学生的数据处理能力. 【试题解析】解:(1) 选取的 20 名女生中,“睡眠严重不足”的有 2 人,设为 A, B ,睡眠

, ABb , ABc , 时 间 在 [5, 6) 的 有 4 人 , 设 为 a, b, c, d . 从 中 选 取 3 人 的 情 况 有 ABa

ABd , Aab, Aac, Aad , Abc, Abd , Acd , Bab, Bac, Bad , Bbc, Bbd , Bcd , abc, abd , acd , bcd ,其中恰有 1 人“睡眠严重不足”的有 12 种,因此 3 人中恰有一个为“严重睡眠 12 3 ? 不足”的概率为 (6 分) 20 5
(2) 男生 女生 合计 睡眠少于 7 小时 12 14 26 睡眠不少于 7 小时 8 6 14 合计 20 20 40

19.

(12 分) (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题以三棱柱为载体,考查立体几何的基础知识. 本题通过分层设计,考 查了体积运算等知识,考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【试题解 析】 解: (1) 由题意 PC ? PB ? 2 2 ,在 三棱柱中,由 AA1 ? 平面 ABC 且 AB ? AC ? 2 可得, PA ? 2 ,故点 P 的位置为 AA1 的三等分点,且靠近 A 1 处. (6 分)

20(12 ? 6 ? 14 ? 8)2 40 ? ? 0.440 ? 2.706 20 ? 26 ?14 ? 20 91 所以没有 90% 的把握认为“睡眠时间与性别有关” k?

1 1 1 2 (2) 由(1)可知, VABC ? A1B1C1 ? ? 2 ? 2 ? 3 ? 6 , VP ? A1B1C1 ? ? ? 2 ? 2 ? 1 ? 2 3 2 3 1 1 4 4 2 VP ? ABC ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? ,所以 VP ? BCC1B1 ? 6 ? ? ? 4 , 3 2 3 3 3 2 所以所求两个几何体的体积比为 . (12 分) 3
20. (本小题满分 12 分) 【命题意图】 本小题考查椭圆的标准方程的求取, 直线和椭圆的位置关系及函数最值的求 法,考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.

2b 2 c 3 ? 1,可解得 a ? 2, b ? 1 ,因此椭圆的标 【试题解析】(1) 由题意, e ? ? ,又 a a 2

-7-

准方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4
1 x k

(5 分)

(2) 由题意知 OD ? EF ,设 EF : y ? kx (k ? 0) , OD : y ? ? 设 E( x1 , y1 ), F (? x1 , ? y1 ), D( x2 , y2 ),

? x2 4 1? k 2 ? ? y2 ? 1 由? 4 ,消去 y 得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 4 ,所以 | EF |? 1 ? k 2 | 2 x1 |? 1 ? 4k 2 ? y ? kx ?
同理可得 x2 ?

2 1? 4 k2

, | OD |? 1 ?

1 ? k2
4

2 1? 4 k2

?

2 1? k 2 4 ? k2
4 1 1 25 ?9( ? )2 ? 2 1? k 2 4

所以 S?DEF ?

1 | OD || EF |? 2

4?

9 9 ? 2 1? k (1 ? k 2 )2

?



1 1 2 5 2 5 ? ,即 k 2 ? 1, k ? ?1 时, S?DEF 取最小值,此时 D( , ) . (12 分) 2 1? k 2 5 5

21. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识,具体涉及到导数的运算,用导数来研 究函数的单调性等,以及函数图像的判定,考查学生解决问题的综合能力. 【试题解析】解:(1) f ( x) ? e x ? ax ? 1 , f ?( x) ? e x ? a , 当 a ≤ 0 时, f ?( x) ? 0 ,则 f ( x ) 在 R 上单调递增; 当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? e x ? a ? 0 ,得 x ? ln a , 则 f ( x ) 在 (??,ln a] 上单调递减,在 (ln a, ??) 上单调递增. (2) 令 F ( x) ? f ( x) ? x ln x ? 0 ,则 a ? 令 h( x ) ? (4 分)

e 1 ? ln x ? , x x

x

ex 1 ex ?1 ? ln x ? ? ? ln x ,当 x 无限靠近于 0 时, h( x) 趋近于 ?? . x x x xe x ? e x ? 1 1 (e x ? 1)( x ? 1) h?( x) ? ? ? ,令 h?( x ) ? 0 可得 x ? 1 ,可知 x ? (0,1)时, x2 x x2 h( x) 单调递减, x ? (1, ??) 时, h( x) 单调递增 . 因此 h( x) 的值域为 [h(1),?? ) ,即为 [e ? 1, ??) ,因此函数 F ( x) 存在零点时,实数 a 的取值范围是 [e ? 1, ??) .
(12 分)

22.

(本小题满分 10 分) 【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明,具体涉及到三角形相似等内容. 本小题重 点考查考生对平面几何推理能力. 【试题解析】 (1) 因为 AC ? AB ,所以 ?ABC ? ? ACB,又因为 BC ? BE ,所以 ?BEC ? ? ECB,所以 ?BEC ? ?ABC ,所以 ?A ? ?EBC ? 2?F . (5 分) (2) 由 (1) 可 知 ?ABC ∽ ?BEC , 从 而

EC BC ? , 由 A E ? 1, E C? 2, A C? 3 ,得 BC AC

(10 分) BC ? 6 . 23. (本小题满分 10 分) 【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识,具体涉及到极坐标方程 与平面直角坐标方程的互化、利用曲线的参数方程的几何意义求解曲线上点到直线的距

-8-

离等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想,对运算求解能力有一定要求. 【试题解析】 (1) 曲线 C 的普通方程为

x ? y ?4 ? 0.
(2) 设点 P 坐标为 ( 3 cos? ,sin ? ) ,

x2 ? y 2 ? 1,直线 l 的直角坐标方程为 3
(5 分)

| 3 cos ? ? sin ? ? 4 | ? ? 2 2 ? 2 sin(? ? ) 3 2 所以点 P 到直线 l 距离的最大值为 3 2 .
点 P 到直线 l 的距离 d ?

(10 分)

24. (本小题满分 10 分) 【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识,具体涉及到绝对值不等式解法等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想. 【试题解析】 (1) 由于 f ( x) ?| x ? a | ? | x ? 5 |?| a ? 5 | ,所以 f ( x) ? 3 ?| a ? 5 |? 3 , 解得 a ? 2 或 a ? 8 . (5 分)

? 7 ? 2 x, x ? 2 ? (2) f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 5 |? ? 3, 2 ? x ? 5 , ? 2 x ? 7, x ? 5 ?
原不等式等价于 ?

x?2 x?5 ? ? ? 2? x?5 ,或 ? ,或 ? 2 2 2 ?7 ? 2 x ? x ? 8 x ? 15 ?2 x ? 7 ? x ? 8 x ? 15 ?3 ? x ? 8x ? 15
(10 分)

解得 2 ? x ? 5 ? 3 ,原不等式解集为 {x | 2 ? x ? 5 ? 3} .

版权所有:高考资源网(www.ks5u.com)

-9-


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