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高中数学竞赛模拟试题一


高中数学竞赛模拟试题一
一、选择题: 1. 设 集 合 M ? {?2,0,1}, N ? {1,2,3,4,5} , 映 射 f : M ? N 使 得 对 任 意 的 x ? M , 都 有

x ? f ( x) ? xf ( x) 是奇数,则这样的映射 f 的个数是
(A)45 (B)27 (C)15 (D)11

/>(



2.设平面上有四个互异的点 A、B、C、D,已知 ( DB ? DC ? 2DA) ? ( AB ? AC) ? 0 ,则△ABC 的形状是 (A)等腰三角形 (B)直角三角形 (C)等腰直角三角形 (D)等边三角形 3.设函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ? ax ? ( )

b ,它们的图象在 x 轴上的公共点处有公切线,则当 x ? 1 时, x
( )

f ( x) 与 g ( x) 的大小关系是

(A) f ( x) ? g ( x) (B) f ( x) ? g ( x) (C) f ( x) ? g ( x) (D) f ( x) 与 g ( x) 的大小不确定

x2 y2 4.设 AB 是椭圆 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 ) 的长轴, 若把 AB100 等分, 过每个分点作 AB 的垂线, a b
交 椭 圆 的 上 半 部 分 于 P1 、 P2 、 … 、 P99 , F1 为 椭 圆 的 左 焦 点 , 则 ( )

F1 A ? F1 P 1 ? F 1P 2 +… ? F 1P 99 ? F 1 B 的值是

(A) 98a (B) 99 a (C) 100 a (D) 101a 5.已知正方体 ABCD—A1B1C1D1,过顶点 A1 在空间作直线 l ,使直线 l 与直线 AC 和 BC1 所成的 角都等于 600,这样的直线 l 可以作 ( ) (A)4 条(B)3 条(C)2 条(D)1 条 6. ( 26 ? 5) 2n?1 的小数表示中,小数点后至少连续有 (A) 2n ? 1 个零(B) 2n ? 2 个零(C) 2n ? 3 个零(D) 2n ? 4 个零 二、填空题: 7.已知 5 sin 2? ? sin 2 ,则
0





tan( ? ? 10 ) 的值是_____________________. tan( ? ? 10 )

8.乒乓球比赛采用 7 局 4 胜制,若甲、乙两人实力相当,获胜的概率各占一半,则打完 5 局后仍 不能结束比赛的概率等于_____________________. 9.不等式

4x 2 (1 ? 1 ? 2 x ) 2

? 2 x ? 9 的解集为_______________________.

. 10.把半径为 1 的 4 个小球装入一个大球内,则此大球的半径的最小值为_______________.

11.设 a1 , a2 ,?, a2002 均为正实数, 且 最小值为____________________.

1 1 1 1 则 a1 ? a2 ? ?? a ? ? ?? ? , 2 0 0 2 2 ? a1 2 ? a2 2 ? a2002 2



12.关于 x 的三次函数 y ? f ( x) 的两个极值点为 P、 Q, 其中 P 为原点, Q 在曲线 y ? 1 ? 上,则曲线 y ? f ( x) 的切线斜率的最大值的最小值为_______________. 三、解答题:

2x ? x 2

x2 y2 13.已知椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) ,过椭圆中心 O 作互相垂直的两条弦 AC、BD,设点 A、 a b
B 的离心角分别为 ? 1 和 ? 2 ,求 cos( ?1 ? ? 2 ) 的取值范围。 14.若 a 、 b 、 c ? R ,且满足
?

kabc ? (a ? b) 2 ? (a ? b ? 4c) 2 ,求 k 的最大值。 a?b?c

15.某电器商经过多年的经验发现本店每个月售出的电冰箱的台数 ? 是一个随机变量, 它的分布列 如下:

?

1

2

3

……

12

P

1 12

1 12

1 12

……

1 12

设每售出一台电冰箱, 电器商获利 300 元。 如销售不出而囤积于仓库, 则每台每月需花保养费 100 元。问电器商每月初购进多少台电冰箱才能使自己月平均收益最大?

AA B D B A 提示:当 x ? ? 2 时, x ? f ( x) ? xf ( x) ? ?2 ? f (?2) 为奇数,则 f (?2) 可取 1、3、5,有 3 种

取法; 当 x ? 0 时,x ? f ( x) ? xf ( x) ? f (0) 为奇数, 则 f (0) 可取 1、 3、 5, 有 3 种取法; 当x ?1 时, x ? f ( x) ? xf ( x) ? 1 ? 2 f (1) 为奇数,则 f (1) 可取 1、2、3、4、5,有 5 种取法。由乘法原 理知共有 3 ? 3 ? 5 ? 45 个映射 提示: DB ? DC ? 2DA ? DB ? DC ? 2 AD ? AB ? AC 提示: f ( x) 与 g ( x) 的图象在 x 轴上有公共点 (1,0) ,∴ g (1) ? 0,即a ? b ? 0 .

1 b 1 1 ' , g ( x) ? a ? 2 ,由题意 f ' (1) ? g ' (1) ? 1,即a ? b ? 1 ,∴ a ? , b ? . x 2 2 x 1 1 1 1 1 1 1 ) ,则 F ' ( x) ? ? ? 2 ? ? ( ? 1) 2 ? 0 令 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln x ? ( x ? 2 2x x 2 2x 2 x
∵ f ' ( x) ? ∴ F ( x) 在其定义域内单调递减.由∵ F (1) ? 0 ,∴当 x ? 1 时, F ( x) ? 0 ,即 f ( x) ? g ( x) . 提示: (方法一)由椭圆的定义知 F1 P i ? F2 P i ? 2a ( i ? 1,2, ?,99),

? ? ( F1 Pi ? F2 Pi ) ? 2a ? 99 ? 198a. 由题意知 P 1, P 2 , ?, P 99 关于 y 轴成对称分布,
i ?1 99

99

? ? ( F1 Pi ) ?
i ?1

1 99 ? ( F1 Pi ? F2 Pi ) ? 99a. 又? F1 A ? F1 B ? 2a ,故所求的值为101a . 2 i ?1

(方法二) F1 A ? F1 P 1 ? F 1P 2 +… ? F 1P 99 ? F 1B

? (a ? exA ) ? (a ? ex1 ) ? ? ? (a ? ex99 ) ? (a ? exB )

? 101 a ? e( x A ? x1 ? x2 ? ? x99 ? xB ) ? 101 a. (A, P 1, P 2 , ?, P 99 ,B 关于 y 轴成对称分布)
提示:易知异面直线 AC 与 BC1 所成的角为 600,因此,本题等价于:已知直线 a 与 b 所成的角为 600, 则过空间一点 P 且与 a 、b 所成的角都是 600 的直线有且仅有多少条?这不难可判断有 3 条。 提 示 : 由 二 项 式 定 理 知 易 证 [( 26 ? 5) 2n?1 ? ( 26 ? 5) 2n?1 ] ? Z , 因 此 ( 26 ? 5) 2n?1 与

( 26 ? 5) 2n?1 的小数部分完全相同。
? 0 ? 26 ? 5 ? 1 26 ? 5 ?
1 1 ? 0 ? ( 26 ? 5) 2 n ?1 ? ( ) 2 n ?1 , , 即 ( 26 ? 5) 2n?1 的小数表示 10 10

中小数点后面至少接连有 2n ? 1 个零,因此, ( 26 ? 5) 2n?1 的小数表示中,小数点后至少连续有

2n ? 1 个零。 3 【答案】 ? .提示:弦切变换,构造齐次式解题. 2

5 sin[(? ? 10 ) ? (? ? 10 ] ? sin[( 10 ? ? ) ? (10 ? ? )] ? 4 sin(? ? 10 ) cos(? ? 10 ) ? ?6 cos(? ? 10 ) sin(? ? 10 ) .
5 . 提示: (方法一)打完 5 局后仍不能结束比赛的情况是甲、乙两人中任意某个人任 8 1 2 5 1 3 1 3 ) ( 1? ) ? . 意胜 3 局,另一个人胜 2 局,其概率为 C 2 ? C( 5 2 2 8
【答案】 (方法二)打完 5 局后能结束比赛的情况是:甲、乙两人中任意某个人任意胜 4 局或 5 局全胜, 其概率等于 C 2 ? [C 5 ( ) (1 ?
1 4 4

1 2

1 3 5 1 5 ) ? C5 ( ) ] ? ,所以,打完 5 局后仍不能结束比赛的概率等于 2 2 8

1?

3 5 ? . 8 8 1 2 45 ) .提示:原不等式等价于 4x 2 ? (2x ? 9) ? (2 ? 2x ? 2 1 ? 2x ) 8

0) ? (0, 【答案】 [? ,

2 设 1 ? 2 x ? t ,则 t ? 0且t ? 1 , 2 x ? t ? 1,从而原不等式可化为

?t ? 0 ?t ? 0 7 ? ? ? ?t ? 1 ? 0 ? t ? 1或1 ? t ? ?t ? 1 2 ? 2 ? 2 2 2 2 2 ?(t ? 1) ? (1 ? t ) (t ? 8) ?(t ? 1) ? t ? 8
【答案】1 ?

6 .提示:4 个小球在大球内两两相切,4 个小球的球心连线构成 1 个正四面体,正 2

四面体的中心与大球的球心重合,大球的半径等于正四面体的外接球半径加上小球的半径,所以 大球半径为

3 3 6 6 6 .( 其中 , h 表示正四面体的高 , a 表示 h ?1? ? ? a ?1? ? 2 ?1 ? 1? 4 4 3 4 2

正四面体的棱长.) 【答案】 4002
2002

. 提示:令

1 ? xi 2 ,且 x1 ? x2 ? ? ? xi ? 1 , ? xi ,则 ai ? 2 ? 2 ? ai xi

. 其中 i ? 1,2,?,2002

? a1 ? a2 ? ? ? a 2002 ? 2 2002 ?

1 ? ( x2 ? x3 ? ? ? x2002 ) x1 x2 ? x2002

? ( x1 ? x3 ? ? ? x2002 ) ? ?? ( x1 ? x2 ? ? ? x2001 )
? 2 2002 ? 1 ? 2001? 2001 x2 x3 ? x2002 ? 2001? 2001 x1 x3 ? x2002 ? ? ? 2001? 2001 x1 x2 ? x2001 x1 x2 ? x2002

2002 ? 2 2002 ? 2001 ? 40022002

【答案】

3 . 提 示 : 设 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d , 依 题 意 知 : f (0) ? 0且f ' (0) ? 0 , 4

∴c ? d ? 0 , 故 f ( x) ? ax3 ? bx2 , f ' ( x) ? 3ax2 ? 2bx , 由 y ? 1?

2 x ? x 2 及点 Q 在其上,

可 设 Q 点 的 坐 标 为 (1 ? cos? ,1 ? sin ? ),? ? [0, ? ] . 由 Q 为 y ? f ( x) 的 一 个 极 值 点 得
3 2 ? ?1 ? sin ? ? a(1 ? cos? ) ? b(1 ? cos? ) , ? 2 ? 0 ? 3 a ( 1 ? cos ? ) ? 2 b ( 1 ? cos ? ) ?

? 2(1 ? sin ? ) ? a? ? (1 ? cos? ) 3 2b ? 显然 cos? ? ?1,? ? ? ,∴ 1 ? cos ? ? ? ,∴ ? , 3a 3 ( 1 ? sin ? ) ?b ? ? (1 ? cos? ) 2 ? 2b 1 ? cos ? 3 1 ? sin ? ' ' 2 ) ? f '( )? ? ∵ a ? 0 ,∴ f ( x) ? 3ax ? 2bx 存在最大值 f (? , 3a 2 2 1 ? cos ? 3 3 1 ? sin ? 3 ? ? k OQ ,其最小值为 . 数形结合可求得 ? 4 2 1 ? cos ? 2
解:当 AC 、 BD 与坐标轴重合时, cos( ?1 ? ? 2 ) ? 0 ;当 AC 、 BD 与坐标轴不重合时,令

?xOA ? ?1 , ?xOB ? ? 2 ,则 ?1 ? ? 2 ?

?
2

? 2k? (k ? Z ) ,∴ tan?1 ? tan? 2 ? ?1 .

由题意知, A(b cos?1 , a sin ?1 ) , B(b cos? 2 , a sin ? 2 ) , 则 tan ?1 ?

a a tan ? 1 , tan ? 2 ? tan ? 2 . b b
1? b2 tan?1 ? tan? 2 a 2 ? b2 a2 ? b2 1 a2 ? . ? ? 2ab b ab 1 (tan?1 ? tan? 2 ) ? ? tan? 2 a tan? 2

1 ? tan?1 ? tan? 2 ∴ cot( ?1 ? ? 2 ) ? ? tan?1 ? tan? 2

∴ cos(?1 ? ? 2 ) ? 1 ?

1 ? 1? 2 1 ? cot (?1 ? ? 2 )

1 a2 ? b2 . ? a2 ? b2 2 a2 ? b2 1? ( ) 2ab
3? ? 或 时 , 上 式 取 等 号 。 4 4

当 且 仅 当 tan? 2 ? 1 , 即 ∴ 0 ? cos(?1 ? ? 2 ) ?

BD 的 倾 斜 角 为

a2 ? b2 . a2 ? b2
2 2 2 2

解:由均值不等式得 (a ? b) ? (a ? b ? 4c) ? (a ? b) ? [(a ? 2c) ? (b ? 2c)]

? (2 ab) 2 ? (2 2ac ? 2 2bc) 2 ? 4ab ? 4 ? 2ac ? 4 ? 2bc ? 2 ? 2 ? 2 ? 2c ? ab

? 4ab ? 8ac ? 8bc ? 16c ab ,


(a ? b) 2 ? (a ? b ? 4c) 2 4ab ? 8ac ? 8bc ? 16c ab ? ( a ? b ? c) ? ? (a ? b ? c) abc abc

c 8 8 16 1 1 1 1 1 a a b b ?( ? ? ? )(a ? b ? c) ? 8( ? ? ? ? )( ? ? ? ? c) 4 b a 2c b a ab ab ab 2 2 2 2

? 8(5 ? 5

1 a 2b 2 c 5 ) ? ( 5 ? ) ? 100,等号成立当且仅当 a ? b ? 2c ? 0 , 2a 2 b 2 c 24

故 k 的最大值为 100 . 解:设 x 为电器商每月初购进的冰箱的台数,依题意,只需考虑 1 ? x ? 12 的情况。 设电器商每月的收益为 y 元,则 y 是随机变量 ? 的函数,且 y ? ? 器商每月获益的平均数,即数学期望为

(? ? x ) ?300x .电 ?300x ? 100( x ? ? ) (? ? x )

( x ? 2)]P2 ? ? Ey ? 300x( Px ? Px?1 ? ? ? P ( x ? 1)]P 12 ) ? [300 ? 100 1 ? [2 ? 300 ? 100

? [(x ? 1) ? 300 ? 100]Px?1
?

? 300 x(12 ? x ? 1) ?

1 1 x( x ? 1) ( x ? 1) x ? [300 ? ? 100 ? ] 12 12 2 2

25 (?2 x 2 ? 38 x) .∵ x ? N ,∴当 x ? 8或x ? 9 时,也就是电器商每月初购进 8 台或 9 台电冰箱, 3

收益最大.


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