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【创新设计】2015高考数学(理)(江西)二轮专题补偿练:三角函数与三角恒等变换


补偿练5
一、选择题

三角函数与三角恒等变换
(建议用时:40 分钟)

π 3 π 3π 1.已知 cos(2+α)=5,且 α∈(2, 2 ),则 tan α= 4 A.3 3 C.-4 解析 3 B.4 3 D.± 4

(

).

π 3 3 因为

cos(2+α)=5,所以 sin α=-5,显然 α 在第三象限,所以 cos α=

4 3 - ,故 tan α= . 5 4 答案 B ( ).

3 2.已知 α 是第四象限的角,若 cos α=5,则 tan 2α= 15 A. 7 20 C. 7 解析 16 B. 7 24 D. 7

3 4 2tan α 由 cos α=5,α 在第四象限得 tan α=-3,从而 tan 2α= = 1-tan2 α

24 = 4 2 7. 1-?-3? 答案 D ( ).

4 2×?-3?

π 3.若函数 y=sin 2x 的图象向左平移 个单位得到 y=f(x)的图象,则 4 A.f(x)=cos 2x C.f(x)=-cos 2x 解析 y=sin 2x B.f(x)=sin 2x D.f(x)=-sin 2x

图象上所有 ? π? ― ― → y=sin2?x+4? π ? ? 点向左移4个单位

π? ? =sin?2x+2?=cos 2x. ? ?
-1-

答案

A ( 2 B.-3 2 D.3 π? ? ?2α-2? 1 + cos π? ? ? ? ∵cos2?α-4?= 2 ? ? 2α π? 2 ? ,∴cos2?α-4?=3. ? ? ).

π? 1 ? 4.已知 sin 2α=3,则 cos2?α-4?= ? ? 1 A.-3 1 C.3

解析 =

1+sin 2 D

答案

5.函数 f(x)= 3sin 2x+cos 2x 图象的一条对称轴方程是 π A.x=-12 5π C.x=12 解析 π B.x=3 2π D.x= 3

(

).

π? 3 1 π π ? f(x)=2( 2 sin 2x+2cos 2x)=2sin?2x+6?,由 2x+6=kπ+2,k∈Z,得 x ? ?

kπ π 2π = 2 +6,k∈Z,令 k=1,得 x= 3 . 答案 D 6 π 2x+ 2 cos 2x 的图象向右平移4个单位得到函数 g(x)的图 ( B.-1 D.2 2 由于 f(x)= 2 sin π? 6 ? 2x+ 2 cos 2x= 2sin?2x+3?, ? ? ).

2 6.将函数 f(x)= 2 sin ?π? 象,则 g?4?= ? ? 6 A. 2 C. 2 解析

π 其图象向右平移4个单位后得到 g(x)= ? ? π? π? x- ?+ ?的图象, 2sin ?2? ? ? 4? 3?

-2-

π 6 ? ?π π? π? ?π? - ?+ ?= 2sin = . ∴g?4?= 2sin?2? 3 2 ? ? ? ?4 4? 3? 答案 A

π π? ? 7.函数 f(x)=2sin(ωx+φ)?ω>0,-2<φ<2?的部分图象如图所示,则 ω,φ 的值 ? ? 分别是( ).

A.2,-

π 3

π B.2,-6 π C.4,-6 π D.4,3 解析 3 5π π 3π 2π 5π 由图知4T=12-(-3)= 4 ,T=π,则 ω= T =2.注意到函数 f(x)在 x=12

5π π π π π 时取到最大值,则有 2×12+φ=2kπ+2,k∈Z,而-2<φ<2,故 φ=-3. 答案 A ( 1 B.-4 7 D.8 π 1 π ?π ?π ?? 1 ?π ? 1 + α ? ? 由 sin?3-α?=4得 sin?2-? = ,即 cos( + α ) = ,∴ cos( ?6 ?? 4 6 4 3+2α)= ? ? ? ).

?π ? 1 ?π ? 8.若 sin?3-α?=4,则 cos?3+2α?= ? ? ? ? 7 A.-8 1 C.4 解析

π π 1 7 cos[2(6+α)]=2cos2(6+α)-1=2×(4)2-1=-8. 答案 A

-3-

π π 9.函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<2)的最小正周期为 π,若其图象向右平移3个 单位后关于 y 轴对称,则 π A.ω=2,φ=3 π C.ω=4,φ=6 解析 π B.ω=2,φ=6 π D.ω=2,φ=-6 ( ).

2π π 由 ω =π, 得 ω=2, 因为将 f(x)的图象向右平移3个单位后得 g(x)=sin(2x

2π 2π π π - 3 +φ)的图象,又 g(x)为偶函数,所以- 3 +φ=kπ+2,(k∈Z),又|φ|<2, π 取 k=-1,得 φ=6. 答案 B

1 10.已知函数 f(x)=Asin ωx(A>0,ω>0)的最小正周期为 2,且 f(6)=1,则函数 y 1 =f(x)的图象向左平移3个单位后所得图象的函数解析式为 π A.y=2sin(πx+3) 1 C.y=2sin(πx+3) 解析 1 π B.y=2sin(πx-3) 1 1 D.y=2sin(πx-3) ( ).

2π π ?1? 由最小正周期为 2,得 ω =2,则 ω=π,又 f?6?=1,所以 Asin6=1,A ? ? 1 πx,将函数 y=f(x)的图象向左平移3个单位后得到 y=

=2,所以 f(x)=2sin

π? ? ? 1?? ? 2sin?π?x+3??=2sin?πx+3?的图象. ? ? ?? ? ? 答案 A

π? ? 11.设函数 f(x)= 3sin(2x+φ)+cos(2x+φ)?|φ|<2?,且其图象关于直线 x=0 对称, ? ? 则 π A.y=f(x)的最小正周期为 π,且在(0,2)上为增函数 π B.y=f(x)的最小正周期为 π,且在(0,2)上为减函数 ( ).

-4-

π π C.y=f(x)的最小正周期为2,且在(0,4)上为增函数 π π D.y=f(x)的最小正周期为2,且在(0,4)上为减函数 解析 π ? ? f(x)= 3sin(2x+φ)+cos(2x+φ)=2sin?2x+6+φ?,∵图象关于 x=0 对 ? ?

π π π π π 称,∴6+φ=2+kπ(k∈Z),φ=3+kπ(k∈Z),又∵|φ|<2,∴φ=3,f(x)= π? 2π ? 2cos 2x.其最小正周期 T= 2 =π,且在?0,2?上单调递减. ? ? 答案 B

12.关于函数 f(x)=2(sinx-cos x)cos x 的四个结论: P1:最大值为 2; π P2:把函数 f(x)= 2sin 2x-1 的图象向右平移4个单位后可得到函数 f(x)=2(sin x-cos x)cos x 的图象; 7π 11π? ? P3:单调递增区间为?kπ+ 8 ,kπ+ 8 ?(k∈Z); ? ? π ?k ? P4:图象的对称中心为?2π+8,-1?(k∈Z).其中正确的结论有 ? ? A.1 个 C.3 个 解析 因为 f(x)=2sin xcos x-2cos2x B.2 个 D.4 个 ( ).

π? ? =sin 2x-cos 2x-1= 2sin?2x-4?-1. ? ? 所以最大值为 2-1,故 P1 错误. π ? π? 将 f(x)= 2sin 2x-1 的图象向右平移4个单位后得到 f(x)= 2sin 2?x-4?-1= ? ? π? ? 2sin?2x-2?-1 的图象,故 P2 错误. ? ? π π π π 3π 由- 2 + 2kπ≤2x - 4 ≤ 2 + 2kπ ,得- 8 + kπ≤x≤ 8 + kπ , k ∈ Z ,即增区间为 3π π kπ π ? π ? ?-8+kπ, 8 +kπ?(k∈Z),故 P3 正确.由 2x- =kπ,k∈Z,得 x= + ,k 4 2 8 ? ? ?kπ π ? ∈Z,所以函数的对称中心为? 2 +8,-1?,k∈Z,故 P4 正确. ? ?
-5-

答案

B

二、填空题 ? 1 3? 13.已知角 2α 的顶点在原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边过点?- , ?, ? 2 2? 2α∈[0,2π),则 tan α=________. 解析 sin 由三角函数定义可知 3 1 sin 2α 2α= 2 ,cos 2α=-2,∴tan 2α=cos 2α=- 3. 2π , 3

又 2α∈[0,2π),∴2α=

π ∴α=3,∴tan α= 3. 答案 3

14.函数 y=tan ωx(ω>0)与直线 y=a 相交于 A,B 两点,且|AB|最小值为 π,则函 数 f(x)= 3sin ωx-cos ωx 的单调增区间是__________. 解析 由函数 y=tan ωx(ω>0)的图象可知,函数的最小正周期为 π,则 ω=1,

π π π π 2π ? π? 故 f(x)=2sin?x-6?.由 2kπ-2≤x-6≤2kπ+2(k∈Z),得 2kπ-3≤x≤2kπ+ 3 (k ? ? ∈Z). 答案 π 2π [2kπ-3,2kπ+ 3 ](k∈Z)

1-cos 2α 1 15.已知sin αcos α =1,tan(β-α)=-3,则 tan(β-2α)=________. 解析 1-cos 2α 2sin2α 由sin αcos α=sin αcos α=2tan α=1,

1 得 tan α=2,∴tan(β-2α)=tan[(β-α)-α]= tan?β-α?-tan α = 1+tan?β-α?tan α 答案 -1 1 1 -3-2 5 -6

1 = 5 =-1. 1-6 6

π π 2π 16.设函数 f(x)=3sin (ωx+φ)(ω>0,-2<φ<2)的图象关于直线 x= 3 对称,它 的周期是 π,则下列说法正确的是______.(填序号)
-6-

3? ? ①f(x)的图象过点?0,2?; ? ? ? π 2π? ②f(x)在?12, 3 ?上是减函数; ? ? ?5π ? ③f(x)的一个对称中心是?12,0?; ? ? ④将 f(x)的图象向右平移|φ|个单位得到函数 y=3sin ωx 的图象. 解析 2π ∵周期为 π,∴ ω =π?ω=2,

?2 ? ?4π ? ∴f(x)=3sin(2x+φ),f?3π?=3sin? 3 +φ?, ? ? ? ? ?4π ? 则 sin? 3 +φ?=1 或-1, ? ? ? π π? ∵φ∈?-2,2?, ? ? 4π 4π 3π π ?5π 11 ? ∴ 3 +φ∈? 6 , 6 π?,∴ 3 +φ= 2 ?φ=6, ? ? π? ? ∴f(x)=3sin?2x+6?. ? ? 3 ①:令 x=0?f(x)= ,正确. 2 π π 3π π 2π π ②:令 2kπ+2<2x+6<2kπ+ 2 ,k∈Z?kπ+6<x<kπ+ 3 ,k∈Z.令 k=0?6 2π <x< 3 , ?π 2 ? ? π π? 即 f(x)在?6,3π?上单调递减,而在?12,6?上单调递增,错误. ? ? ? ? 5π ③:令 x=12?f(x)=3sin π=0,正确.

π ④:应平移12个单位,错误. 答案 ①③

-7-


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