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【创新方案】2015届高考数学一轮复习(回扣主干知识+提升学科素养)第八章 第三节 圆的方程教案 文


第三节
【考纲下载】 1.掌握确定圆的几何要素. 2.掌握圆的标准方程与一般方程.

圆 的 方 程

1.圆的定义、方程 定义 标 准 方程 一 般

平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 2 2 圆心 C 的坐标(a,b) (x-a) +(y-b) 2 =r (r>0) 半径为 r 2 2 充要

条件:D +E -4F>0

x2+y2+Dx+ Ey+F=0

圆心坐标:?- ,- ? 2? ? 2 半径 r=

? D

E?

D2+E2-4F
2

2.点与圆的位置关系 (1)理论依据:点与圆心的距离与半径的大小关系. (2)三个结论 2 2 2 圆的标准方程(x-a) +(y-b) =r ,点 M(x0,y0), 2 2 2 ①(x0-a) +(y0-b) =r ?点在圆上; 2 2 2 ②(x0-a) +(y0-b) >r ?点在圆外; 2 2 2 ③(x0-a) +(y0-b) <r ?点在圆内. 1.确定圆的方程需要几个独立条件? 提示:由圆的标准方程(或一般方程)知:确定圆的方程需要三个独立条件. 2 2 2.方程 x +y +Dx+Ey+F=0 一定表示圆吗? 2 2 2 2 提示:不一定.当 D +E -4F>0 时,上述方程才表示圆;当 D +E -4F=0 时,方程表

? ? 2 2 示一个点?- ,- ?;当 D +E -4F<0 时,方程不表示任何图形. 2? ? 2
D E

1.(教材习题改编)圆 x +y -4x+6y=0 的圆心坐标是( ) A.(2,3) B.(-2,3) C.(-2,-3) D.(2,-3) 2 2 解析:选 D 圆的方程可化为(x-2) +(y+3) =13,所以圆心坐标是(2,-3). 2 2 2.将圆 x +y -2x-4y+1=0 平分的直线是( ) A.x+y-1=0 B.x+y+3=0 C.x-y+1=0 D.x-y+3=0 2 2 2 2 解析:选 C 将圆 x +y -2x-4y+1=0 平分的直线必定过圆心,而圆 x +y -2x-4y +1=0 的圆心坐标为(1,2),且(1,2)在直线 x-y+1=0 上. 2 2 3.若点(2a,a+1)在圆 x +(y-1) =5 的内部,则 a 的取值范围是( )
1

2

2

A.-1<a<1 B.0 <a<1 1 1 C.-1<a< D.- <a<1 5 5 2 2 解析: 选 A ∵点(2a, a+1)在圆 x2+(y-1)2=5 的内部, ∴(2a) +a <5, 解得-1<a<1. 2 2 2 4.若方程 x +y +ax+2ay+ 2a +a-1=0 表示圆,则 a 的取值范围是____________. 2 2 2 解析:因为 x +y +ax+2ay+2a +a-1=0 表示圆, 2 2 2 2 2 2 2 所以 a +(2a) -4(2a +a-1)=5a -8a -4a+4=-3a -4a+4>0.解得-2<a< . 3 2? ? 答案:?-2, ? 3 ? ? 5.(教材习题改编)已知圆 C 经过 A(5,1),B(1,3)两点,圆心在 x 轴上,则圆 C 的方程 为__________________. 解析:设圆心坐标为(a,0),依题意得 2 2 2 2 (a-5) +1 =(a-1) +3 ,解得 a=2, 2 所以圆心坐标为(2,0),半径 r= - +1= 10, 2 2 即圆的方程为(x-2) +y =10. 2 2 答案:(x-2) +y =10

前沿热点(十) 高考中与圆有关的交汇问题 1.圆的定义及其标准方程,与圆有关的轨迹问题,点与圆的关系、点与圆的距离,在 高考中常常将它们综合在一起命制试题. 2.求圆的方程往往需要三个独立的条件即可求出,求与圆有关的轨迹方程经常考虑直 接法、定义法、相关点法等.涉及点与圆的距离问题,经常转化为点与圆心的距离问题等. [典例] (2013·新课标全国卷Ⅱ)在平面直角坐标系 xOy 中, 已知圆 P 在 x 轴上截得线 段长为 2 2,在 y 轴上截得线 段长为 2 3. (1)求圆心 P 的轨迹方程; 2 (2)若点 P 到直线 y=x 的距离为 ,求圆 P 的方程. 2 [解题指导] (1)利用圆在两坐标轴上截得的线段的长,分别得出半径的表达式,利用 半径相等即可求得方程; (2)依据(1)及点 P 到直线 y=x 的 距离可求出点 P 的坐标,进而求得半径,得出圆的方 程. [解] (1)设 P(x,y),圆 P 的半 径为 r. 2 2 2 2 2 2 由题设 y +2=r ,x +3=r .从而 y +2=x +3. 2 2 故点 P 的轨迹方程为 y -x =1. |x0-y0| 2 (2)设 P(x0,y0).由已知得 = . 2 2
?|x0-y0|=1, ? 2 2 又点 P 在双曲线 y -x =1 上,从而 得? 2 2 ? ?y0-x0=1.

由?

?x0-y0=1, ? ? ?y -x =1,
2 0 2 0

得?

?x0=0, ? ? ?y0=-1.

此时,圆 P 的半径 r= 3.

2

由?

?x0-y0=-1, ? ?y -x =1, ?
2 0 2 0

得?

?x0=0, ? ?y0=1. ?

此时,圆 P 的半径 r= 3. 2 2 2 2 故圆 P 的方程为 x +(y-1) =3 或 x +(y+1) =3. [名师点评] 解决本题的关键有以下两点: (1)注意圆心与弦的中点的连线与弦垂直; 2 2 (2)注意点 P 满足两个条件:一是点 P 在曲线 x -y =1 上;二是点 P 到直线 y= x 的距 2 离为 . 2 (2013·福建高考)如图,抛物线 E:y =4x 的 焦点为 F,准线 l 与 x 轴的交点为 A.点 C 在抛物线 E 上,以 C 为圆心,|CO|为半径作圆,设圆 C 与准线 l 交于不同的两点 M,N.
2

(1)若点 C 的纵坐标为 2,求|MN|; 2 (2)若|AF| =|AM|·|AN|,求圆 C 的半径. 2 解:(1)抛物线 y =4x 的准线 l 的方程为 x=-1. 由点 C 的纵坐标为 2,得点 C 的坐 标为(1,2), 所以点 C 到准线 l 的距离 d=2.又|CO|= 5, 2 2 所以|MN|=2 |CO| -d =2 5-4=2.

? ? ? ?2 2 2 2 2 (2)设 C? ,y0?,则圆 C 的方程为?x- ? +(y-y0) = +y0,即 x - x+y -2y0y= 16 2 ?4 ? ? 4?
0. 由 x=-1,得 y -2y0y+1+ =0, 2 设 M(-1,y1),N(-1,y2),则
2

2 y0

y2 0

y4 0

y2 0

y2 0

?1+y0?=2y2-4>0, ? ? 0 ?Δ =4y -4? ? 2?

2

? y ? ?y y = 2 +1.
2 0 1 2 2

2 0

由|AF | =|AM|·|AN|,得|y1y2|=4, 所以 +1=4,解得 y0=± 6,此时 Δ 2 ?3 ? ?3 所以圆心 C 的坐标为? , 6?或? ,- ?2 ? ?2

y

2 0

>0. 6? ?,

?

33 33 33 2 从而|CO| = ,|CO|= ,即圆 C 的半径为 . 4 2 2

3


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