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【成才之路】2015届高考数学二轮复习 专题6 第2讲 推理与证明素能训练(文、理)


【成才之路】2015 届高考数学二轮复习 专题 6 第 2 讲 推理与证明 素能训练(文、理)

一、选择题 1.(2013·常德市模拟)设 m、n 是不同的直线,α 、β 是不同的平面,且 m、n? α , 则“α ∥β ”是“m∥β 且 n∥β ”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 [答案] A [解析] ∵m、n? α ,α ∥β ? m∥β 且

n∥β ;若 m∥β ,n∥β ,m? α ,n? α ,则 当 m 与 n 相交时,α ∥β ,否则 α ∥β 不成立,故选 A. 2.过点 P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x +y ≤4}分为两部分,使得这两部分的 面积之差最大,则该直线的方程为( A.x+y-2=0 C.x-y=0 [答案] A [解析] 本题主要考查了过圆内一点最短弦问题及点斜式方程的 求法. 两部分的面积之差最大是指直线与圆相交弦长最短时,此时直线 与 OP 垂直(如图所示),kOP=1,则所求直线斜率为-1.故所求直线方 程为 y-1=-(x-1)即 x+y-2=0. 3. (文)(2014·衡水中学模拟)若{an}是等差数列, 首项 a1>0, a2011+a2012>0, a2011·a2012<0, 则使前 n 项和 Sn>0 成立的最大正整数 n 是( A.2011 C.4022 [答案] C [解析] ∵a2011+a2012>0,a2011·a2012<0,a1>0, ∴a2011>0,a2012<0,∴S4022>0,S4023<0,∴选 C. 1 3 2 (理)(2014·郑州市质检)等差数列{an}中的 a1、a4027 是函数 f(x)= x -4x +12x+1 的 3 极值点,则 log2a2014( A.2 C.4 ) B.3 D.5 ) B.2012 D.4023 ) B.y-1=0 D.x+3y-4=0
2 2

) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1

[答案] A [解析] f′(x)=x -8x+12=0 则 x1=2,x2=6,即 a1=2,a4027=6 或 a1=6,a4027=2,
2

a1+a4027 a2014= =4
2 ∴log2a2014=2,故选 A. 4.(2014·东北三省三校二模)设函数 f(x)的导函数为 f′(x),若对任意 x∈R 都有

f′(x)>f(x)成立,则(

)

A.f(ln2014)<2014f(0) B.f(ln2014)=2014f(0) C.f(ln2014)>2014f(0) D.f(ln2014)与 2014f(0)的大小关系不确定 [答案] C [解析] 令 g(x)=

f x ,则 ex f x


g′(x)=

f

x ex- ex ex 2

f

x -f x >0, ex

∴g(x)为增函数,∵ln2014>0,∴g(ln2014)>g(0), 即

f eln2014

>

f e0



∴f(ln2014)>2014f(0),故选 C. 5. 将正奇数 1,3,5,7, ?排成五列(如下表), 按此表的排列规律, 89 所在的位置是( )

A.第一列 C.第三列 [答案] D

B.第二列 D.第四列

[解析] 正奇数从小到大排, 则 89 位居第 45 位, 而 45=4×11+1, 故 89 位于第四列. 6.观察下图:

2

则第( A.2010 C.1006 [答案] C

)行的各数之和等于 2011 .(

2

) B.2009 D.1005

[解析] 由题设图知,第一行各数和为 1;第二行各数和为 9=3 ;第三行各数和为 25 =5 ;第四行各数和为 49=7 ;?,∴第 n 行各数和为(2n-1) ,令 2n-1=2011,解得 n =1006. [点评] 观察可见,第 1 行有 1 个数,第 2 行从 2 开始有 3 个数,第 3 行从 3 开始有 5 个数,第 4 行从 4 开始有 7 个数,?,第 n 行从 n 开始,有 2n-1 个数,因此第 n 行各数的 和为 n+(n+1)+(n+2)+?+(3n-2)= 二、填空题 2 2 3 2 3 4 4 2 2 7.(文)(2013·眉山二诊)已知 2+ =2 × ,3+ =3 × ,4+ =4 × ,?,若 9 3 3 8 8 15 15 + =9 × (a、b 为正整数),则 a+b=________. [答案] 89 [解析] 观察前三式的特点可知,3=2 -1,8=3 -1,15=4 -1,故其一般规律为 n+
2 2 2 2 2 2

2

n-

n+
2

n-

=(2n-1) .

2

b a

2

b a

n n 9 9 2 =n × 2 , 此式显然对任意 n∈N, n≥2 都成立, 故当 n=9 时, 此式为 9+ =81× , n2-1 n -1 80 80
∴a=80,b=9,a+b=89. (理)(2013·陕西理,14)观察下列等式 1 =1, 1 -2 =-3, 1 -2 +3 =6, 1 -2 +3 -4 =-10, ?? 照此规律,第 n 个等式可为________. [答案] 1 -2 +3 -4 +?+(-1)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

n+1 2

n =(-1)n+1·

n n+
2

(n∈N )

*

[解析] 观察上述各式等号左边的规律发现,左边的项数每次加 1,故第 n 个等式左边 有 n 项,每项所含的底数的绝对值也增加 1,依次为 1,2,3?n,指数都是 2,符号成正负交 替出现可以用(-1) 以表示为 (-1)
n+1 n+1

表示,等式的右边数的绝对值是左边项的底数的和,故等式的右边可

·

n n+
2

,所以第 n 个式子可为 1 -2 +3 -4 +?+(-1)

2

2

2

2

n+1 2

n =(-1)n+
3

1

·

n n+
2

(n∈N ).

*

8 .(2014·哈三中二模 ) 对称数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数,如 22,121,3443,94249 等,显然 2 位对称数有 9 个;11,22,33,?,99,3 位对称数有 90 个, 101,111,121,?,191,202,?,999,则 2n+1(n∈N )位对称数有________个. [答案] 9×10
n
*

[解析] 易知对称数的位数与个数如表: 位数 个数
n

2 9

3 90

4 90

5 900

? ?

∴2n+1 倍对称数有 9×10 个. 9.(文)(2014·东北三省三校二模)观察下列等式: 1 =1 1 +2 =3 1 +2 +3 =6 1 +2 +3 +4 =10 ,?,根据上述规律,第 n 个等式为______________. [答案] 1 +2 +?+n =
3 3 3 3 3 3 2 3 2, 3 3 2, 3 3 3 2, 3

n2 n+
4

2

[解析] 本题考查归纳推理, 等式左边是连续 n 个正整数的立方和, 右边的数都是整数 的平方,由于 1=1,1+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10,∴第 n 个等式右边是(1+2+3 +?+n) ,即[
3 2

n n+
2
3

],

2

故填 1 +2 +?+n =

3

n2 n+
4

2

.

1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 (理)(2014·石家庄模拟)已知数列{an}: , , , , , , , , , ,?,根据它 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 的前 10 项的规律,则 a99+a100 的值为________. [答案] 113 56
*

[解析] 由前 10 项的构成规律知,分子分母和为 n+1(n∈N )的共有 n 项,从和为 2 到和为 n+1 的最后一项,共有 1+2+3+?+n= 91,n=14 时,

n n+
2

项,当 n=13 时,

n n+
2



n n+
2

=105,因此 a99 和 a100 分别为和为 15 的第 8 项和第 9 项,∴a99+

a100= + =

7 8

8 113 . 7 56

三、解答题 10.(文)已知函数 f(x)= +lnx(a∈R),当 x=1 时,函数 y=f(x)取得极小值. (1)求 a 的值;

a x

4

1 3 (2)证明:若 x∈(0, ),则 f(x)> -x. 2 2 [解析] (1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞),

a 1 x-a f ′(x)=- 2+ = 2 . x x x
∵x=1 时函数 y=f(x)取得极小值, ∴f ′(1)=0,∴a=1. 当 a=1 时,在(0,1)内 f ′(x)<0,在(1,+∞)内 f ′(x)>0, ∴x=1 是函数 y=f(x)的极小值点,满足题意. ∴a=1. 3 3 (2)证明:f(x)> -x 等价于:f(x)+x> 2 2 令 g(x)=f(x)+x,则 g ′(x)= 令 h(x)=x +x-1. 1 1 ∵h(0)=-1<0,h( )=- <0, 2 4 1 1 ∴0<x< 时,g′(x)<0,∴g(x)在(0, )上单调递减. 2 2 1 1 3 3 3 ∴g(x)>g( ),即 g(x)>2-ln2+ = +(1-ln2)> ,∴f(x)> -x. 2 2 2 2 2 (理)(2014·沈阳市质检)已知函数 f(x)=mx-sinx,g(x)=axcosx-2sinx(a>0). (1)若函数 y=f(x)是(-∞,+∞)上的单调递增函数,求实数 m 的最小值; π (2)若 m=1,且对于任意 x∈[0, ],都有不等式 f(x)≥g(x)成立,求实数 a 的取值 2 范围. [解析] (1)∵函数 f(x)=mx-sinx 在 R 上单调递增, ∴f′(x)≥0 恒成立, ∵f′(x)=m-cosx, ∴m≥cosx,∴mmin=1. (2)∵m=1,∴函数 f(x)=x-sinx, ∵f(x)≥g(x),∴x+sinx-axcosx≥0, π 对于任意 x∈[0, ],令 H(x)=x+sinx-axcosx, 2 则 H′(x)=1+cosx-a(cosx-xsinx)=1+(1-a)cosx+axsinx. ①当 1-a≥0 时,即 0<a≤1 时,H′(x)=1+(1-a)cosx+axsinx>0,
2

x-1 x2+x-1 , 2 +1= x x2

5

π ∴H(x)在[0, ]上为单调增函数, 2 ∴H(x)≥H(0)=0 符合题意,∴0<a≤1; ②当 1-a<0 时,即 a>1 时,令 h(x)=1+(1-a)cosx+axsinx, 于是 h′(x)=(2a-1)sinx+axcosx, ∵a>1,∴2a-1>0,∴h′(x)≥0, π ∴h(x)在[0, ]上为单调增函数, 2 π π ∴h(0)≤h(x)≤h( ),即 2-a≤h(x)≤ a+1, 2 2 π ∴2-a≤H′(x)≤ a+1. 2 (ⅰ)当 2-a≥0,即 1<a≤2 时,H′(x)≥0, π ∴H(x)在[0, ]上为单调增函数,于是 H(x)≥H(0)=0,符合题意,∴1<a≤2; 2 π (ⅱ)当 2-a<0,即 a>2 时,存在 x0∈(0, ),使得当 x∈(0,x0)时,有 H′(x)<0, 2 此时 H(x)在(0,x0)上为单调减函数, 从而 H(x)<H(0)=0,不能使 H(x)>0 恒成立. 综上所述,实数 a 的取值范围为 0<a≤2.

一、选择题 11.(文)(2013·重庆理,6)若 a<b<c,则函数 f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+ (x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间( A.(a,b)和(b,c)内 B.(-∞,a)和(a,b)内 C.(b,c)和(c,+∞)内 D.(-∞,a)和(c,+∞)内 [答案] A [解析] 因为 a<b<c,所以 f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c -a)(c-b)>0,由零点存在性定理知,选 A. (理)(2014·山东理,4)用反证法证明命题“设 a、b 为实数,则方程 x +ax+b=0 至 少有一个实根”时,要做的假设是( A.方程 x +ax+b=0 没有实根 B.方程 x +ax+b=0 至多有一个实根
3 3 3

)

)

6

C.方程 x +ax+b=0 至多有两个实根 D.方程 x +ax+b=0 恰好有两个实根 [答案] A [解析] 至少有一个实根的否定为:没有实根. 12.(文)正方形 ABCD 的边长是 a,依次连接正方形 ABCD 各边中点 得到一个新的正方形,再依次连接新正方形各边中点又得到一个新的正 方形, 依次得到一系列的正方形, 如图所示. 现有一只小虫从 A 点出发, 沿正方形的边逆时针方向爬行,每遇到新正方形的顶点时,沿这个正方 形的边逆时针方向爬行,如此下去,爬行了 10 条线段.则这 10 条线段的长度的平方和是 ( ) A. C. 1023 2 a 2048 511 2 a 1024 B. D. 1023 2 a 768 2047 2 a 4096
3

3

[答案] A 1 2 1 2 2 [解析] 由题可知,这只小虫爬行的第一段长度的平方为 a1=( a) = a ,第二段长度 2 4 的平方为 a2=(
2

2 2 1 2 1 2 a) = a ,?,从而可知,小虫爬行的线段长度的平方可以构成以 a2 1= a 4 8 4
10

1 2 1 a [1- 4 2 1 为首项, 为公比的等比数列,所以数列的前 10 项和为 S10= 2 1 1- 2

] =

1023a . 2048

2

? ?3 3 (理)对于大于 1 的自然数 m 的三次幂可以用技术进行以下方式的“分裂”:2 =? ?5 ?



7 ? ? 3 3 =?9 ? ?11 A.7 C.9

13 ? ?15 , 4 =? 17 ? ?19
3

, ?, 仿此, 若 m 的“分裂数”中有一个是 59, 则 m=(

3

)

B.8 D.10

[答案] B [解析] 由 2 3 4 的“分裂”规律可知 m 的分裂共有 m 项,它们都是连续的奇数,其 第一个奇数为(m-2)(m+1)+3,当 m=8 时,第一个奇数为 57,故 m=8,此时 8 =57+59 +61+63+65+67+69+71.
3 3, 3, 3 3

7

1 13.已知正三角形内切圆的半径是其高的 ,把这个结论推广到空间正四面体,类似的 3 结论是( )

1 A.正四面体的内切球的半径是其高的 2 1 B.正四面体的内切球的半径是其高的 3 1 C.正四面体的内切球的半径是其高的 4 1 D.正四面体的内切球的半径是其高的 5 [答案] C 1 1 1 [解析] 原问题的解法为等面积法,即 S= ah=3× ar? r= h,类比问题的解法应为 2 2 3 1 1 1 1 等体积法,V= Sh=4× Sr? r= h,即正四面体的内切球的半径是其高的 ,所以应选 C. 3 3 4 4 14.①已知 p +q =2,求证 p+q≤2,用反证法证明时,可假设 p+q≥2,②已知 a、b ∈R, |a|+|b|<1, 求证方程 x +ax+b=0 的两根的绝对值都小于 1.用反证法证明时可假设 方程有一根 x1 的绝对值大于或等于 1,即假设|x1|≥1.以下结论正确的是( A.①与②的假设都错误 B.①与②的假设都正确 C.①的假设正确;②的假设错误 D.①的假设错误;②的假设正确 [答案] D [解析] 反证法的实质是命题的等价性,因为命题 p 与命题的否定?p 真假相对,故直 接证明困难时,可用反证法.故选 D. 15.(2014·邯郸市模拟)已知直线 y=k(x+1)(k>0)与函数 y=|sinx|的图象恰有四个 公共点 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)其中 x1<x2<x3<x4,则有( A.sinx4=1 C.sinx4=kcosx4 [答案] B [解析] ∵直线 y=k(x+1)(k>0)与 y=|sinx|图象恰有四个公共点,如图 B.sinx4=(x4+1)cosx4 D.sinx4=(x4+1)tanx4 ) )
2 3 3

8

∴当 x∈(π ,2π )时,函数 y=|sinx|=-sinx,y′=-cosx. 依题意,切点为(x4,y4),∴k=-cosx4, 又 x∈(π ,2π )时,|sinx4|=-sinx4 ∴y4=k(x4+1),即-sinx4=(-cosx4)·(x4+1), ∴sinx4=(x4+1)cosx4,故选 B. 二、填空题 16.(文)(2014·新课标Ⅰ理,14)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A、B、C 三个城 市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为________. [答案] A [解析] 由于甲没去过 B 城市,且比乙去过的城市多,因此甲最多去过两个城市,因此 甲去过 A、C 城市,又乙没去过 C 城市,三人去过同一城市,则该城市甲必去过,故只能是

A 城市.
(理)(2014·河北衡水中学二调)椭圆中有如下结论:椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上斜率为 1 的弦的中点在直线 2+ 2=0 上,类比上述结论:双曲线 2- 2=1(a,b>0)上斜率为 1 的弦 的中点在直线________上. [答案]

x 2 y2 a b

x a

y b

x2 y2 a b

x y - =0 a2 b2 x2 y2 a b x a y b

[解析] 椭圆 2+ 2=1(a>0,b>0)上斜率为 1 的弦的中点在直线 2+ 2=0 上.类比上

x2 y2 x y 述结论可知,双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)上斜率为 1 的弦的中点在直线 2- 2=0 上. a b a b
17.(文)(2013·哈尔滨质检)对于任意实数 x,符号[x]表示不超过 x 的最大整数.例 如 : [1] = 1 , [2.5] = 2. 那 么 [log21] + [log22] + [log23] + [log24] +? + [log21024] =

9

________. [答案] 8204 [解析] 依题意, 当 2 ≤n<2 +[log2(2 +1)]+?+[log2(2
2 3 9

k

k+1

(k∈N)时, k≤log2n<k+1(k∈N), ∴[log2n]=k, [log22 ]
k+1

k

k

k+1

-1)]=k·(2
1

-2 )=k·2 .因此所求的和等于 1·2 +
2 3 9

k

k

1

2·2 +3·2 +?+9·2 +10;记 S=1·2 +2·2 +3·2 +?+9·2 ,① 2S=1·2 +2·2 +3·2 +?+9·2 ,② 由①-②得-S=(2+2 +2 +?+2 )-9×2 =-8×2 -2,S=8×2 +2,故所求的 和等于 8×2 +2+10=8204. (理)平面向量也叫二维向量,二维向量的坐标表示及其运算可以推广到 n(n≥3)维向 量,n 维向量可用(x1,x2,x3,?,xn)表示.设向量 a=(a1,a2,a3,?,an),b=(b1,b2,
10 2 3 9 10 10 10 2 3 4 10

?aibi
i=1

n

b3,?,bn),规定向量 a 与 b 的夹角 θ 的余弦为 cosθ =
i ?a2 i=1 n i ?b2 i=1 n

.当 a=

(1,1,1,?,1n个1,b=(-1,-1,1,1,?,1n-2个1时,cosθ =________. [答案] [解析]

n-4
4 依据 n 维向量的坐标表示及 n 维向量 a 与 b 的夹角余弦公式得,当 a=
n

(1,1,1,?,1 n个 ,b=(-1,-1,1,1,?,1n-2个时, ?aibi=1×(-1)+1×(-1)+1×1
i=1

+?+1×1=n-4.
2 2 2 i=1 +1 +?+1 =n, ?a2

n

i=1

2 2 2 2 i=(-1) +(-1) +1 +?+1 =n, ?b2

n

i=1

∴cosθ =

n-4 n-4 = . n n·n

三、解答题 18.(2013·太原调研)设 x、y 为正实数,a= x +xy+y ,b=p xy,c=x+y. (1)如果 p=1,则是否存在以 a、b、c 为三边长的三角形?请说明理由; (2)对任意的正实数 x、y,试探索当存在以 a、b、c 为三边长的三角形时 p 的取值范围. [解析] (1)存在以 a、b、c 为三边长的三角形.
2 2

10

当 p=1 时,b= xy. ∵c =x +y +2xy>x +y +xy=a , ∴c>a,又 a =x +xy+y >xy=b ,∴a>b,∴c>a>b, ∵x+y+ x +xy+y > xy显然成立, ∴
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

xy <1, x+y+ x2+xy+y2
2 2

∴c-a=x+y- x +xy+y = ∴a+b>c.

xy < xy=b, x+y+ x2+xy+y2

即 p=1 时,存在以 a、b、c 为三边长的三角形. (2)∵a<c,∴若 a、b、c 构成三角形,只需?
? ?a+c>b, ?c-a<b, ?

?x+y+ x2+xy+y2>p xy, 即? ?x+y- x2+xy+y2<p xy.
两边除以 xy,令 =t,得? 1

x y

? ?f ?g ?

t t
1

p, p.

这里 f(t)= t+ 1

t

+ 1

t+ +1, t

g(t)= t+

t



t+ +1. t
1 1 2 ,则 u≥2,t+ =u -2,

∵x、y 为正实数,∴t 为正数,令 u= t+ ∴g(t)=u- u -1, 令 h(u)=u- u -1(u≥2) 则 h′(u)=1-
2 2

t

t

u <0, u2-1

∴h(u)在[2,+∞)上单调递减, ∴h(u)≥h(2)=2- 3. 即 g(t)≤2- 3.又 f(t)= t+ 1 +

t

t+ +1≥2+ 2+1=2+ 3, t

1

当且仅当 t=1 时,f(t)取最小值 2+ 3,g(t)取最大值 2- 3, 因此 p 的取值范围为 2- 3<p<2+ 3. 因此,当 p 的取值范围为 2- 3<p<2+ 3时,以 a、b、c 为三边的三角形总存在.

11


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【成才之路】2014-2015高中数学(人教B版,选修2...2是无理数 [答案] C [解析] A 是三段论推理,B...6.“因为四边形 ABCD 是矩形,所以四边形 ABCD 的...


【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版,选修2-2)练习:2.1.1 第2课时 类比推理]

【成才之路】2014-2015高中数学(人教A版,选修2...给出下面类比推理命题(其中 Q 为有理数集,R 为...y1=y2 ? ? 6.由代数式的乘法法则类比得到向量的...


【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教B版)必修二强化练习:1.2.3 第2课时 平面与平面垂直]

【成才之路】2014-2015高中数学(人教B版)必修二强化练习:1.2.3 第2课时...α.举反例说明命题错误,正确的命题要有充分的说理根据(证明). 2.已知平面 ...


2015-2016学年高中数学 2.1.2 演绎推理练习 新人教A版选修2-2

【成才之路】 2015-2016 学年高中数学 2.1.2 ...演绎推理:“有些有理数是真分数, 整数是有理数,...因此此推理不符合演绎推理规则. 6.(2015·锦州市...


【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大版,选修1-2)练习:2章综合测试]

【成才之路】2014-2015高中数学(北师大版,选修...[答案] 有理数 整数 零 13. (2014· 天津红桥...2 a2 3 a3 4 a4 5 a5 6 a6 如图是统计该 6...


【成才之路】2014高考化学一轮复习 新提升达标作业3-1-1(含解析) 新人教版

【成才之路】2014高考化学一轮复习 新提升达标作业3-1-1(含解析) 新人教版_...5.(2013·试题调研)下列推理正确的是( ) ) A.铝粉在氧气中燃烧生成 Al2O3...

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