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2015年全国高中数学联赛模拟试题05


2015 年全国高中数学联赛模拟试题 05 第一试 (时间:8:00-9:20 满分:120) 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.

x2 ? 2x ? 3 1.函数 y ? 2 ( x ? R ) 的值域是 x ? 4x ? 5
2.函数 y ? tan(2013 x ) ? tan(2014 x ) ? tan(2015 x ) 在 [0, ? ] 中的零点个数为
* 3.设 P 1, P 2 是平面上的两点, P 2 k ?1 是 P 2 k 关于 P 1 的对称点, P 2k ?2 是 P 2 k ?1 关于 P 2 的对称点, k ? N ,

若| P 1P 2 |? 1 ,则 | P 2013 P 2014 |? 4.设动点 P (t , 0), Q (1, t ) ,其中参数 t ? [0,1] ,则线段 PQ 扫过的平面区域的面积是 5.从正十二边形的顶点中取出 4 个顶点,它们两两不相邻的概率是 6.一个球外接于四面体 ABCD ,另一半径为 1 的球与平面 ABC 相切,且两球内切于点 D ,已知 AD ? 3 ,

cos ?BAC ?

4 1 ,cos ?BAD ? cos ?CAD ? ,则四面体 ABCD 的体积为 5 2

7.设AB是抛物线y 2 =2 px的一条焦点弦,且AB与x轴不垂直,P是y轴上异于O的一点 y +y 满足O,P,A,B四点共圆,点A,B,P的纵坐标分别为y1 ,y2 ,y0 ,则 1 2 =____ y0
( s) 8. 用 ? 表示非空整数集 S 中所有元素的和,设 A ? ?a1 , a2 ,? a11? 是正整数集,
且 a1 ? a2 ? ? a11 ,若对每个正整数 n ? 1500 ,存在 A 的子集 S,使得 ? ( S ) ? n , 则满足上述要求的 a10 的最小值为 .

二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分. 9. (本小题满分 16 分)已知 x, y , z 是正实数,求证:

z?y x?z y?x ? ? ?0 x ? 2 y y ? 2z z ? 2x

10. (本小题满分 20 分)设 x1 , x2 ,? , xn ,? 是不同的正实数. 证明: x1 , x2 ,? , xn ,? 是一个等比数列的充分必要条件是:对所有整数 n (? 2) ,都有

x1 x2

2 2 xn xn ? x12 ? ? 2 x2 ? x12 k ?1 xk xk ?1

n ?1

x2 y2 ? ? 1 交于 A, B 两点,过椭圆 C 的右焦点 F 、倾 16 11 (1)用 ? 表示四边形 MANB 的面积; 斜角为 ? 的直线 l 交弦 AB 于点 P ,交椭圆 C 于点 M , N . (2)求四边形 MANB 的面积取到最大值时直线 l 的方程.
11. (本小题满分 20 分)已知直线 y ? x 与椭圆 C:

2015 年全国高中数学联赛模拟试题 05 加试 (时间:9:40-12:10 满分:180) 一、 (本小题满分 40 分)如图, ?ABC 的外心为 O , E 是 AC 的中点,直线 OE 交 AB 于 D ,点 M , N 分别 是 ?BCD 的外心与内心,若 AB ? 2 BC ,证明: ?DMN 为直角三角形.
C F E N M A D H B P

O 二、 (本小题满分 40 分) 对给定的自然数 m 与 n , m < n ,任意一个由 n 个连续整数组成的集合都含有两个不同的数,它们的乘 积能被 mn 整除.

三、 (本小题满分 50 分) 求证:数列 an = 3 cos ? n arccos
n

? ?

1? (n ? N * ) 的每一项都是整数,但都不是 3 的倍数 ? 3?

(本小题满分 50 分) 四、 圆周上有 n 个点,用弦两两连结起来,其中任何 3 条弦都不在圆内共点,求由此形成的互不重叠的圆内 区域的个数.

2015 年全国高中数学联赛模拟试题 05 第一试参考解答 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.

x2 ? 2x ? 3 ( x ? R ) 的值域是 x2 ? 4 x ? 5 x2 ? 2x ? 3 ? ( y ? 1) x 2 ? (4 y ? 2) x ? 5 y ? 3 ? 0 (1) y ? 1 时,该方程有解(2) y ? 1 时,因为 x ? R ,所 解:由 y ? 2 x ? 4x ? 5 2 2 以 ? ? (4 y ? 2) ? 4( y ? 1)(5 y ? 3) ? 0 ? y ? 4 y ? 2 ? 0 2 ? 2 ? y ? 2 ? 2 所 以 , 2 ? 2 ? y ? 2 ? 2
1.函数 y ? 且 y ? 1 综合(1)(2) 2 ? 2 ? y ? 2 ? 2 ,故答案为 [2 ? 2, 2 ? 2] 法二: y ?

x 2 ? 2 x ? 3 ( x ? 2) 2 ? 2( x ? 2) ? 3 ? ,令 x ? 2 ? tan ? ,则 x2 ? 4 x ? 5 ( x ? 2) 2 ? 1

y?

tan 2 ? ? 2 tan ? ? 3 ? sin 2 ? ? 2sin ? cos ? ? 3cos 2 ? ? 2 ? sin 2? ? cos 2? tan 2 ? ? 1

? 2 ? 2 sin(2? ? ) ,故该函数的值域为 [2 ? 2, 2 ? 2] 4 2 x ? 2 x ? 3 x 2 ? 4 x ? 5 ? 2( x ? 1) 2( x ? 1) ? ? 1? (1) x ? ?1 时, y ? 1 法三: y ? 2 2 2 x ? 4x ? 5 x ? 4x ? 5 ( x ? 1) ? 2( x ? 1) ? 2 2 2 2 ,因为 | ( x ? 1) ? |?| x ? 1| ? ?2 2 (2) x ? ?1 时, y ? 1 ? 2 ? ? x 1 | x 1| ( x ? 1) ? ?2 x ?1 2 2 2 所以 x ? 1 ? ? ?2 2 或 x ? 1 ? ? 2 2 所以 ( x ? 1) ? ?2? 2?2 2 x ?1 x ?1 x ?1 2 2 2 2 2 或 ( x ? 1) ? ? ? 且 ?0 ? 2 ? 2 2 ? 2 所以, 2 2 x ?1 ? 2 ? 2 2 ( x ? 1) ? 2 2 2 ?2 ?2 ( x ? 1) ? x ?1 x ?1 2 2 ? 2 ?1 且 ? 0 所以, 2 ? 2 ? y ? 2 ? 2 且 y ? 1 即 ? 2 ?1 ? 2 2 ?2 ?2 ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? x ?1 x ?1 综合(1)(2) 2 ? 2 ? y ? 2 ? 2 ,故答案为 [2 ? 2, 2 ? 2]
2( x 2 ? 2 x ? 1) 法四:求导 y'? 2 , 该 函 数 在 区 间 ( ??, ?1 ? 2] 及 [?1 ? 2, ??) 上 单 调 递 增 , 在 区 间 ( x ? 4 x ? 5) 2

?

[?1 ? 2, ?1 ? 2] 上单调递减,计算即得答案为 [2 ? 2, 2 ? 2] 2.函数 y ? tan(2013 x ) ? tan(2014 x ) ? tan(2015 x ) 在 [0, ? ] 中的零点个数为 解: y ? tan(2013 x ) ? tan(2014 x) ? tan(2015 x) sin 2013 x sin 2015 x sin 2014 x sin 4028 x sin 2014 x ? ? ? ? ? cos 2013x cos 2015 x cos 2014 x cos 2013 x cos 2015 x cos 2014 x sin 2014 x(2 cos 2 2014 x ? cos 2013x cos 2015 x) 由于 ? cos 2013x cos 2014 x cos 2015 x 2 cos 2 2014 x ? cos 2013x cos 2015 x ? cos 4028 x ? 1 ? cos 2013x cos 2015 x ? 1 ? sin 2013 x sin 2015 x ? 0
所以, sin 2014 x ? 0 在 [0, ? ] 上的零点个数即是因为 y ? sin 2014 x 的最小正周期为

?

y ? sin 2014 x 的图象有 1007 个周期,每个周期有两个零点,考虑到两个端点为闭区间,故答案为 2015 * 3.设 P 1, P 2 是平面上的两点, P 2 k ?1 是 P 2 k 关于 P 1 的对称点, P 2k ?2 是 P 2 k ?1 关于 P 2 的对称点, k ? N ,若 | P 1P 2 |? 1 ,则 | P2013 P2014 |? 解:设 Pn 点对应的复数为 zn 由题意: z2 k ?1 ? z2 k ? 2 z1 , z2 k ?1 ? z2 k ? 2 ? 2 z2

1007

,故 [0, ? ] 之间函数

所以, z2 k ? 2 ? z2 k ? 2( z2 ? z1 ) ? z2 k ? z2 ? 2(k ? 1)( z2 ? z1 )

z2 k ?1 ? 2 z1 ? [ z2 ? 2(k ? 1)( z2 ? z1 )] ? ?(2k ? 1) z2 ? 2kz1 所以, z2 k ? 2 ? z2 k ?1 ? z2 ? 2k ( z2 ? z1 ) ? (2k ? 1) z2 ? 2kz1 ? 4k ( z2 ? z1 ) 所以, | P2 k ?1 P2 k ? 2 |?| z2 k ? 2 ? z2 k ?1 |?| 4k ( z2 ? z1 ) |? 4k ,所以, | P2013 P2014 |? 4024 4.设动点 P (t , 0), Q (1, t ) ,其中参数 t ? [0,1] ,则线段 PQ 扫过的平面区域的面积是 2 解 : 直线 PQ 的方程为 tx ? (t ? 1) y ? t ? 0 , t ? 0 时 , 直 线方程为 y ? 0 , t ? 1 时 , 直线方程为 x ? 1 , 故不妨设 t 1? x 0 ? t ? 1 ,直线方程为 y ? ? (1 ? t )] ,对每个 0 ? x ? 1 ,当 t ? (0, x] 变化时 ( x ? t ) ? (2 ? x) ? [ 1? t 1? t 0 ? y ? 2 ? x ? 2 1 ? x , 所以, 线段 PQ 扫过的平面区域是函数 y ? 2 ? x ? 2 1 ? x 及直线 x ? 0, x ? 1, y ? 0
围成的封闭图形,由积分的几何意义
3 1 2 4 1 1 2 1 ? x ? 2 1 ? x ) dx ? [2 x ? x ? (1 ? x ) ] 0 ? ,故答案为 (2 ?0 2 3 6 6 1

5.从正十二边形的顶点中取出 4 个顶点,它们两两不相邻的概率是 解:将这十二个点依次标为 A1 , A2 ,? , A12 ,从十二个点中取 4 个点的方法数为 C12 ,取出的四个点两两不相邻的 包含以下两类,(1)如果不取 A12 点,则从 A1 , A2 ,? A11 这 11 个点中取 4 个点,两两不相邻,则方法数为 C8 (相当于 把 4 个点插到 7 个点中(2)如果取 A12 点,由于不能取 A1 , A11 ,故从 A2 , A3 ,? A10 这 9 个点中取三个点,两两不相邻,
3 C84 ? C7 7 ? 4 33 C12 6.一个球外接于四面体 ABCD ,另一半径为 1 的球与平面 ABC 相切,且两球内切于点 D ,已知 AD ? 3 , 4 1 ,则四面体 ABCD 的体积为 cos ?BAC ? ,cos ?BAD ? cos ?CAD ? 5 2

4

4

方法数为 C7 (相当于把三个点插到 6 个点中)故所求概率为

3

7.设AB是抛物线y 2 =2 px的一条焦点弦,且AB与x轴不垂直,P是y轴上异于O的一点 y +y 满足O,P,A,B四点共圆,点A,B,P的纵坐标分别为y1 ,y2 ,y0 ,则 1 2 =____ y0 p 解:设直线l AB :ky =x - ,与抛物线方程联立得:y 2 -2 pky -p 2 =0,由于y1 ,y2是 2 方程的两根,且y1 ? y2 ,则有y1 y2 =-p 2 ,设直线PA, PB的斜率为k1 ,k2 ,
则k 1 =

2 p ? y2 -y0 ? y1 -y0 2 p ? y1 -y0 ? ,因为A, P , O , B四点共圆, = , k2 = 2 2 y1 y2 2 y1 2p 所以,?APB ? ?AOB , tan ?APB ? tan ?AOB

2 p ? y1 -y0 ? 2 p ? y2 -y0 ? 2 p ? y2 -y1 ? ? k1 -k2 y12 y2 2 ? y1 y2 -y0 ? y1 +y2 ? ? ? tan ?APB ? = = 4 2 2 p ? y1 -y0 ? 2 p ? y2 -y0 ? p +4 p ? y1 -y0 ?? y2 -y0 ? 1+k1 k2 ? 1+ 2 2 y1 y2 令y0 =0 ? tan ?AOB = ? 2 p ? y2 -y1 ? y1 y2 p +4 p y1 y2 ?
4 2

=

2 ? y2 -y1 ? 3p ?

2 p ? y2 -y1 ? ? ? y1 y2 -y0 ? y1 +y2 ? ? ? p +4 p
4 2

? y1 -y0 ?? y2 -y0 ?

2 ? y2 -y1 ? 3p

p +4 ? y1 -y0 ?? y2 -y0 ?
2

y1 y2 -y0 ? y1 +y2 ?

=

1 3 y1 +y2 =4 y0

? 3 y1 y2 -3 y0 ? y1 +y2 ? =p 2 +4 ? y1 -y0 ?? y2 -y0 ? ,而-p 2 =y1 y2 ? y0 ? y1 +y2 ? =4 y0 2 ?

8. 用 ? (s) 表示非空整数集 S 中所有元素的和,设 A ? ?a1 , a2 ,? a11? 是正整数集,且 a1 ? a2 ? ? a11 ,若对 每个正整数 n ? 1500 ,存在 A 的子集 S,使得 ? ( S ) ? n , 则满足上述要求的 a10 的最小值为 8.解:令 S k ? a1 ? a2 ? ? ? ak (1 ? k ? 11) 若 ak ? sk ?1 ? 1, 则不存在 S ? A ,使 ? ( S ) ? S k ?1 ? 1
k S1 ? a1 ? 1 , 于是由 (1) 及归纳法易得 S k ? 2 ? 1(1 ? k ? 11) , S11 ? S10 ? a11 ? 1500, 所以 S10 ? 750. 若 S10 ? 750 ,则 a11 ? 750 (否则 750 无法用 ? ( S ) 表示出)



(1) 又由题设得 所以 S k ? S k ?1 ? ak ? 2 S k ?1 ? 1
8

另一方面,令 A ? ?1, 2, 4,8,16,32, 64,128, 247, 248, 750?
7 6 0

又 S8 ? 2 ? 1 ? 255, 于是 2a10 ? a9 ? a10 ? S10 ? S8 ? 495 ,所以 a10 ? 248.

当 n ? 255 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 时,可找到 S ? ?1, 2, 4,? ,128? ,使 ? ( S ) ? n. 当 n ? 255 ? 247 ? 502 时,存在 S ? ?1, 2, 4,? ,128, 247? ,使 ? ( S ) ? n.

248? ,使 ? ( S ) ? n. 当 n ? 502 ? 248 ? 750 时,存在 S ? ?1, 2, 4,? ,128, 247,
当 n ? 750 ? 750 时,存在 S ? A ,使 ? ( S ) ? n. 于是, a10 的最小值为 248。 二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分. 9.已知 x, y , z 是正实数,求证: 证明:由于

z?y x?z y?x ? ? ?0 x ? 2 y y ? 2z z ? 2x

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ) ? [( x ? 2 y ) ? ( y ? 2 z ) ? ( z ? 2 x)]( )?9 x ? 2 y y ? 2z z ? 2x x ? 2 y y ? 2z z ? 2x 1 1 1 所以, ( x ? y ? z )( ? ? )?3 x ? 2 y y ? 2z z ? 2x ( z ? y ) ? ( x ? 2 y ) ( x ? z ) ? ( y ? 2 z ) ( y ? x) ? ( z ? 2 x) 所以, ? ? ?3 x ? 2y y ? 2z z ? 2x z?y x?z y?x 即 ? ? ?0 x ? 2 y y ? 2z z ? 2x 1 1 1 法二:令 x ? 2 y ? c, y ? 2 z ? a, z ? 2 x ? b ? x ? (4b ? c ? 2a ), y ? (4c ? a ? 2b), z ? (4a ? b ? 2c) 9 9 9 z?y x?z y ? x 1 a ? b ? 2c b ? c ? 2a a ? c ? 2b 所以, ? ? ? ( ? ? ) x ? 2 y y ? 2z z ? 2x 3 c a b (3 x ? 3 y ? 3 z )(
a b b c a c a b b c 1 a c 1 ? [( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? 6] ? [2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? 6] ? 0 3 c a b a c b 3 c a b a c b z?y 法三、不妨设 x ? y ? z ? 1 ,可将不等式化为 ? ? 0 ,证明过程略 1 ? ( z ? y) 10. (本小题满分 20 分)设 x1 , x2 ,? , xn ,? 是不同的正实数.

证明: x1 , x2 ,? , xn ,? 是一个等比数列的充分必要条件是:对所有整数 n (? 2) ,都有 10.必要性:若 x1 , x2 ,? , xn ,? 是一个等比数列,设 xk ? ar
k ?1

x1 x2

2 2 xn xn ? x12 ? ? 2 x2 ? x12 k ?1 xk xk ?1
n ?1

,则

x1 x2

2 xn r 2( n ?1) ? ? r k ?1 xk xk ?1 n ?1

?r
k ?1

n ?1

1
2 k ?1

? 1 ? r 2 ? ? ? r 2( n ? 2) ?

r

2( n ?1) 2

?1 x ? x = . r ?1 x ?x
2 n 2 2 2 1 2 1
2 2 2 ? x3 x3 ? x12 x1 ? x3 , ? ? ? ? 2 x2 ? x1 x2 x2 x3 ? x2 ? x12

充分性:当 n=2 时,两边都等于 1.当 n=3 时,有
2

,记 xk ? ar 化简得 x1 x3 ? x2 ,所以, x1 , x2 , x3 成等比数列.假设 x1 , x2 ,? , xn ?1 成等比数列( n ? 4 )

k ?1



k ? 1, 2,? , n ? 1 , xn ? aun ,则

?u

2 ? un ?1 , ? ? 2 ? r 1 ? 2 2 4 2 n ?6 n ?3 2 2 2n?4 2 n ?1 n ?3 2 n ?4 ? , un ? ( r ? r )un ? r ?0, ?un (1 ? r ? r ? ? ? r ) ? r un ? ? (r ? 1) ? (un ? 1)r

2 ?1 1 un 1 1 ? ? 3 ? ? ? 2 n ?5 ? n ? 2 r ?r r r r un

n

? r n ?1 ?? un ? r n ?3 ? ? 0 ,因为 un ? 0 ,所以 un ? r n ?1 ,即 xn ? ar n ?1 ,从而 x1 , x2 ,? , xn 成等比数列.

由数学归纳法知, x1 , x2 ,? , xn ,? 是一个等比数列.

x2 y2 ? ? 1 交于 A, B 两点,过椭圆 C 的右焦点 F 、倾 16 11 (1)用 ? 表示四边形 MANB 的面积; 斜角为 ? 的直线 l 交弦 AB 于点 P ,交椭圆 C 于点 M , N . (2)求四边形 MANB 的面积取到最大值时直线 l 的方程. 解 (1)直线 MN 的倾斜角为 ? ,记 ?MFO ? ? ,则 ? ? ? ? ? , 2ab 2 2ab 2 ? ? | MN |? 2 .而 AB 与 MN 所成的角为 ? ? ,则四边形 MANB 面积 2 2 2 2 2 4 a ? c cos ? a ? c cos ? 1 sin cos ? ? ? ? .…………5 分 S MANB ? | AB | ? | MN | sin( ? ? ) ? 2 | OA | ?ab 2 ? 2 2 2 2 4 a ? c cos ? ? 4 33 4 33 ? 4 66 2 2 2 ? 而 a ? 16, b ? 11, c ? 5 ,A 点坐标为 ? ? 9 , 9 ? ,且 | OA |? 9 , ? ?
11. (本小题满分 20 分)已知直线 y ? x 与椭圆 C:

352 33 sin ? ? cos ? 352 33 sin ? ? cos ? , ? ? ? 9 9 16 ? 5 cos 2 ? 16 ? 5 cos 2 ? 4 33 4 33 其中 0 ? ? ? arctan 或 arctan ? ? ? ? .……………10 分 4 33 ? 9 5 4 33 ? 9 5 ? ? 4 33 sin ? ? cos ? ,? ? ,而 f (? ) 只可能在 ? ? ?arctan (2)记 f (? ) ? 2 ? 时才可能取到最大值.对 16 ? 5 cos ? 4 33 9 5 ? ? ? 2 (cos ? ? sin ? )(16 ? 5 cos ? ) ? (sin ? ? cos ? )(10 cos ? sin ? ) f (? ) 求导数得到: f ?(? ) ? . (16 ? 5 cos 2 ? ) 2 2 令 f ?(? ) ? 0 ,则有 (1 ? tan ? )(16 tan ? ? 11) ? (tan ? ? 1)(10 tan ? ) ? 0 . ……15 分
从而, S MANB ?

16 tan 3 ? ? 6 tan 2 ? ? 21 tan ? ? 11 ? 0 .所以 (2 tan ? ? 1)(8 tan 2 ? ? tan ? ? 11) ? 0 . 1 2 而 8 tan ? ? tan ? ? 11 ? 0 无实根,则 tan ? ? ? . 2 ? ? 1 4 33 经检验 tan ? ? ? ,符合 ? ? ?arctan ,? ? . 2 4 33 ? 9 5 ? ? ?
化简得到 故所求直线 l 的方程为: y ? ?

1 5 x? . 2 2

……………………20 分

2015 年全国高中数学联赛模拟试题 05 加试参考答案 一、 (本小题满分 40 分) 如图, ?ABC 的外心为 O , E 是 AC 的中点,直线 OE 交 AB 于 D ,点 M , N 分别是 ?BCD 的外心与内心, 若 AB ? 2 BC ,证明: ?DMN 为直角三角形.

? 证: 由于点 O, M 皆在 BC 的中垂线上, 设直线 OM 交 BC 于 P , 交 ?M 于 F , 则 P 是 BC 的中点,F 是 BC C 的中点; 因 N 是 ?BCD 的内心,故 D, N , F 共线,且 FP ? BC .
又 OE 是 AC 的中垂线,则 DC ? DA ,而 DF , OE 为 ?BDC 的内、外角平分线, 故有 OD ? DF ,则 OF 为 ? M 的直径,所以, OM ? MF ,又因
E F

N 1 1 P ?BNF ? ?BDC ? ?DBC ? ?NBF , 2 2 M 则 NF ? BF . 作 NH ? BD 于 H ,则有, B D H A 1 DH ? ? BD ? DC ? BC ? O 2 1 1 1 1 ? ? BD ? DA ? BC ? ? ? AB ? BC ? ? BC ? BP ,且 ?NDH ? ?BDC ? ?FBP , 2 2 2 2 所以, Rt ?NDH ? Rt ?FBP ,故得 DN ? BF ? NF ,因此, MN 是 ?FOD 的中位线,从而 MN ∥ OD , 而 OD ? DN ,则 MN ? DN .故 ?DMN 为直角三角形. 1 证二:记 BC ? a, CD ? b, BD ? c ,因 DE 是 AC 的中垂线,则 AD ? CD ? b ,由条件 b ? c ? 2a ? ○ 延长 DN 交 ? M 于 F ,并记 FN ? e, DN ? x ,则 FB ? FC ? FN ? e ,对圆内接四边形 BDCF 用托勒密 2 ,由 ○ 1 、○ 2 得 2ae ? a ? x ? e ? , 所以 定理得 FC ? BD ? FB ? CD ? BC ? DF , 即 ec ? eb ? a ? x ? e ? ?? ○ x ? e ,即 N 是弦 DF 的中点,而 M 为外心,所以 MN ? DF ,故 ?DMN 为直角三角形.

二、 (本小题满分 40 分) 对给定的自然数 m 与 n , m < n ,任意一个由 n 个连续整数组成的集合都含有两个不同的数,它们的乘积能 被 mn 整除. 这 n 个数中,必有 n 的倍数 ai 和 m 的倍数 a j ; (1)若 i ? j ,则 mn ai a j ;

证明:设 n 个连续整数为 a1 ? a2 ? ? ? an ,则 n ? an ? ? a1 ? 1? ,由 m ? n 有 m ? an ? ? a1 ? 1? ,于是,在

三、 (本小题满分 50 分) 求证:数列 an =3 cos ? n arccos
n

? ?

1? (n ? N * ) 的每一项都是整数,但都不是 3 的倍数 ? 3?

(本小题满分 50 分) 四、 圆周上有 n 个点,用弦两两连结起来,其中任何 3 条弦都不在圆内共点,求由此形成的互不重叠的圆内 区域的个数


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2005全国高中数学联赛试题及答案

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2015全国高中数学联赛预赛模拟题6

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