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1.3-空间几何体的表面积和体积


1.3 简单几何体的表面积和体积

回忆复习有关概念 1、直棱柱: 侧棱和底面垂直的棱柱叫直棱柱

2、正棱柱: 底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱
底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面中心 3、正棱锥: 的棱锥

被平行于底面的平面所截, 4、正棱台: 正棱锥 截面和底面之间的部分叫正棱台

/> 斜高的概念
作直三棱柱、正三棱锥、正三棱台各一个,找出 斜高
A1 C1 B1
P

A1 A

C1 B1 D1 C O B D

C A

C

B O A D

B

2、分别作出一个圆柱、圆锥、圆台,并找出旋转轴 A

A

B
A B

C

D

B

C C

D

分别经过旋转轴作一个平面,观察得到的轴截面是 什么形状的图形.

矩 形

等腰三角形

等腰梯形

1、表面积:几何体表面的面积 2、体积:几何体所占空间的大小。

表面积、全面积和侧面积
? 表面积:立体图形的所能触摸到的面积之和叫做它的表面积。 (每个面的面积相加 ) ? 全面积 全面积是立体几何里的概念,相对于截面积(“截面 积”即切面的面积)来说的,就是表面积总和 ? 侧面积指立体图形的各个侧面的面积之和(除去底面)

1.几何体的表面积

(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积
之和 . (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是 矩 形 、 扇形 、 扇环形;它们的表面积等于侧面积 与底面面积之和.

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知识点一:柱、锥、台、球的表面积与侧面积
(1)柱体的侧面积
①直棱柱:设棱柱的高为h,底面多边形的周长为c,



S直棱柱侧= ch .(类比矩形的面积)
②圆柱:如果圆柱的底面半径为r,母线长为l,那么 S圆柱侧=

2πrl
.

(类比矩形的面积)

把直三棱柱侧面沿一条侧棱展开,得到什么图形? 侧面积怎么求?

h

c
a

b

h

h
b

a

c

S直棱拄侧 =(a ? b ? c) ? h ? ch

棱柱的侧面展开图是什么?如何计算它的表面积?

h

S表面积 ? S侧 ? 2S底

正棱柱的侧面展开图

思考:把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线 展开,分别得到什么图形?展开的图形与原图 有什么关系?

r

l

长方形
长= 2?r

宽= l

S圆柱侧 ? S长方形 =2?rl

r O?
l
O
2? r

S表面积 ? S侧 ? 2S底
S ? 2? r ? 2? rl ? 2? r (r ? l )
2

圆柱的侧面展开图是矩形

(2)锥体的侧面积

①正棱锥:设正棱锥底面正多边形的周长为c,斜 高为h′,则 S正棱锥侧=

1∕2ch′

.(类比三角形的面积)

②圆锥:如果圆锥的底面半径为r,母线长为l,那 么 S圆锥侧=

πrl
.

(类比三角形的面积)

把正三棱锥侧面沿一条侧棱展开,得到什么图形? 侧面积怎么求?

h'
h'

1 S正 棱 锥 侧 = ch' 2

棱锥的侧面展开图是什么?如何计算它的表面积?

正三棱锥的侧面展开图

h

/

h

/

侧面展开

h'

h'
正五棱锥的侧面展开图

S表面积 ? S侧 ? S底

思考:把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线 展开,分别得到什么图形?展开的图形与原图 有什么关系?

扇形

n ?l l扇= 180
2

R扇=l

l

r

n?l 1 S圆 锥 侧 =S扇= ? l扇l ? ?rl 360 2

2? r

l

r O

圆锥的侧面展开图是扇形

S ? ? r ? ? rl ? ? r (r ? l )
2

(3)台体的侧面积

①正棱台:设正n棱台的上底面、下底面周 长分别为c′、c,斜高为h′,则正n棱台的侧面积公 式:S正棱台侧= . c′)h′ 1∕2(c+

②圆台:如果圆台的上、下底面半径分别为 r′、r,母线长为l,则S圆台侧= .

πl(r′+r)

注:表面积=侧面积+底面积.

把正三棱台侧面沿一条侧棱展开,得到什么图形? 侧面积怎么求?(类比梯形的面积)

h'

h'

1 S正 棱 台 侧 = (c ? c' )h' 2

棱台的侧面展开图是什么?如何计算它的表面积?

侧面展开
h'
h'

S表面积 ? S侧 ? S上底 ? S下底

正四棱台的侧面展开图

思考:把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线 展开,分别得到什么图形?展开的图形与原图 有什么关系?

扇环

r1

r2

l

S圆台侧 =S扇环=?(r1 ? r2 )l

S ? ? ( r ? r 2 ? r ' l ? rl )

'2

r' x ? r x?l

r 'O’
l

x

2?r '

2? r

rx ? r ' x ? r ' l

r

O

S侧 ? ? r(l ? x) ? ? r ' x ? ? (rl ? rx ? r ' x)
? ? (r ' l ? rl )

圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系?

l

r

O?

r 'O’
l
l

r

O

r
'2

O

O

S ? ? r 2 ? ? rl ? ? r (r ? l )

S ? ? ( r ? r 2 ? r ' l ? rl )

S ? 2? r 2 ? 2? rl ? 2? r (r ? l )

小结:1、弄清楚柱、锥、台的侧面展 开图的形状是关键; 2、对应的面积公式
1 S三 棱 锥 = ch' 2
C’=0

S圆锥侧= πrl r1=0

1 S正 棱 台 = (c+c' )h' 2
C’=C

S圆台侧=π(r1+r2)l r1=r2
S圆柱侧= 2πrl

S直棱柱 =ch' ? ch

例1:一个正三棱台的上、下底面边长 分别是3cm和6cm,高是3/2cm,求三棱 台的侧面积. A1 O1 C1 D1 B1 分析:关键是 C 求出斜高,注 A 意图中的直角 O E D 梯形 B

例2:圆台的上、下底面半径分别为2 和4,高为 2 3 ,求其侧面展开图扇环 所对的圆心角 答:1800 分析:抓住相似三角形中的相似比是解 题的关键 小结:1、抓住侧面展开图的形状,用好 相应的计算公式,注意逆向用公式;

2、圆台问题恢复成圆锥图形在圆 锥中解决圆台问题,注意相似比.

例3:圆台的上、下底半径分别是10cm和 20cm,它的侧面展开图的扇环的圆心角是 1800,那么圆台的侧面积是多少?(结果 中保留π)

例1:一个正三棱柱的底面是边长为5的 正三角形,侧棱长为4,则其侧面积为 ______;
解:60 例2:正四棱锥底面边长为6 ,高是4,中 截面把棱锥截成一个小棱锥和一个棱台, 求棱台的侧面积。

解:45

例3 已知棱长为a,各面均为等边三角形的四面 体S-ABC,求它的表面积 . 分析:四面体的展开图是由四个全等的正三角形 组成. S 解:先求 ?ABC的面积,过点S作 SD ? BC,
A B D C

3 因为BC=a,SD ? SB ? sin 60 ? a 2
?

交BC于点D.

S ?ABC 所以:

1 1 3 3 2 ? BC ? SD ? a ? a? a 2 2 2 4

因此,四面体S-ABC 的表面积.

例4(2010年广东省惠州市高三调研)如图,已 知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2,D,E是 CC1,BC的中点,AE=DE. (1)求此正三棱柱的侧棱长; (2)正三棱柱ABC-A1B1C1的表面积.

【思路点拨】 (1)证明△AED为直 角三角形,然后求侧棱长;(2)分别求出 侧面积与底面积.

【解】 (1)设正三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱长 为 x. ∵△ABC 是正三角形, ∴AE⊥BC. 又底面 ABC⊥侧面 BB1C1C,且交线为 BC, ∴AE⊥侧面 BB1C1C, x2 在 Rt△AED 中, 由 AE=DE, 得 1+ = 3, 4 解得 x=2 2.即正三棱柱的侧棱长为 2 2.

(2)S=S 侧+S 底, S 侧=3×2×2 2=12 2, 1 S 底=2× 3×2×2=2 3, ∴S=S 侧+S 底=12 2+2 3.
【点评】 求表面积应分别求各部分面的面积,所以应弄 清图形的形状,利用相应的公式求面积,规则的图形可直 接求,不规则的图形往往要再进行转化,常分割成几部分 来求.

思考:怎样求斜棱柱的侧面积?

1)侧面展开图是——
平行四边形 2)S斜棱柱侧=直截面周长×侧棱长

3) S侧=所有侧面面积之和

几何体的表面积问题小结 1.高考中对几何体的表面积的考查一般在客观题中, 借以考查空间想象能力和运算能力,只要正确把握几何体 的结构,准确应用面积公式,就可以顺利解决. 2.多面体的表面积是各个面的面积之和.圆柱、 圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将这个 曲面展为平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆 的面积之和. 3.几何体的表面积应注意重合部分的处理.

知识点二.柱、锥、台、球的体积
公理1、长方体的体积等于它的长、宽、高的积 。

V长方体= abc V长方体= sh

推论1 、长方体的体积等于它的底面积s和高h的积 。 推论2 、正方体的体积等于它的棱长a 的立方。

V正方体= a3

一:柱体的体积

定理1: 柱体(棱柱、圆柱)的体积等于它 的底面积 s 和高 h 的积。

V柱体= sh
推论 : 底面半径为r,高为h圆柱的体积是

V圆柱= ? r2h

二:锥体体积
例2 如图:三棱柱AD1C1-BDC,底面积为S,高为h. : 问:(1)从A点出发棱柱能分割成几个三棱锥?
D1
A C1 D1 D1 A A C1

A D B
答:可分成棱锥A-D1DC, 棱锥A-D1C1C, 棱锥A-BCD.

C

D

C

C

D B

C

问题:锥体(棱锥、圆锥)的体积
3.1.锥体(棱锥、圆锥)的体积

(底面积S,高h)
V三棱锥 1 ? sh 3

注意:三棱锥的顶点和底面可以根据需要变换,四 面体的每一个面都可以作为底面,可以用来求点到 面的距离
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定理︰如果一个锥体(棱锥、圆锥)的底面 积是S,高是h,那么它的体积是:

V锥体=

推论:如果圆锥的底面半径是r,高是h, 那么它的体积是: 1 V圆锥= 3 πr2h
h h

1 Sh 3

S

S

S

三.台体的体积
上下底面积分别是s/,s,高是h,则

1 V台体= h(s + ss' + s') 3
x s/

s/ s

h
s

推论:如果圆台的上,下底面半径是r1.r2,高是 h,那么它的体积是:
1 V圆台= 3 πh

(r ? r 1r 2 ?r 2 )

2 1

2

五.柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系?

上底扩大

上底缩小

V ? Sh

S? ? S

S? ? 0 1 1 V ? Sh V ? ( S ? ? S ?S ? S )h 3 3
S为底面面积, h为柱体高

S为底面面积, S分别为上、下底面 面积,h 为台体高 h为锥体高

几何体的体积小结 1.求空间几何体的体积除利用公式法外,还 常用分割法、补体法、转化法等,它们是解决一 些不规则几何体体积计算问题的常用方法. 2.计算柱体、锥体、台体的体积关键是根据 条件找出相应的底面面积和高,要充分利用多面体 的截面及旋转体的轴截面,将空间问题转化为平面 问题.

知识点二.柱、锥、台、球的体积
(1)长方体的体积 V长方体=abc= Sh .

(其中a、b、c为长、宽、高,S为底面 积,h为高) (2)柱体(圆柱和棱柱)的体积 V柱体=Sh. 其中,V圆柱=πr2h(其中r为底面半径).

(3)锥体(圆锥和棱锥)的体积

1 V锥体= Sh. 3
其中V圆锥= 1∕3π, r2h r为底面半径.

(4)台体的体积公式 V台=h(S++S′). 注:h为台体的高,S′和S分别为上下 两个底面的面积. . 1∕3πh(r2+rr′+ r′2) 注:h为台体的高,r′、r分别为上、下 两底的半径. (5)球的体积
V球= . R3 1∕3π

其中V圆台=

知识点三、球的表面积和体积


第一步:分割

球面被分割成n个网格, 表面积分别为:

?S1,?S 2,?S3 ...?S n
O 则球的表面积:

S ? ?S1 ? ?S2 ? ?S3 ? ... ? ?Sn

?Si
O

?Vi

?Vi 设“小锥体”的体积为: 则球的体积为: V ? ?V1 ? ?V2 ? ?V3 ? ... ? ?Vn

第二步:求近似和

?Si
?hi
O O

?Vi

1 ?Vi ? ?S i ?hi 3
由第一步得: V ? ?V1 ? ?V2 ? ?V3 ? ... ? ?Vn

1 1 1 1 V ? ?S1?h1 ? ?S 2 ?h2 ? ?S3?h3 ? ... ? ?S n ?hn 3 3 3 3

第三步:转化为球的表面积

?hi

?Si

如果网格分的越细,则: “小锥体”就越接近小棱锥。

R
O

?hi 的值就趋向于球的半径R ?Vi 1 ? ?Vi ? ?S i R 3 1 1 1 1 ?Si V ? ?Si R ? ?S2 R ? ?S3 R ? ... ? ?Sn R 3 3 3 3 1 1 ? R( ?S i ? ?S 2 ? ?S3 ? ... ? ?S n ) ? RS 3 3 ?Vi 4 3 ② 球的体积: V ? ?R 3 由①② 得:



S ? 4πR

2

设球的半径为R,则球的体积公式为 V球= 4∕3π . R3 例1.(2009年高考上海卷)若球O1、O2表 面积之比=4,则它们的半径之比=______.
R1 解析:S 球=4πR ,故 = R2
2

S1 = 4=2. S2

答案:2

例2:
2倍。 (1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的—
(2)若球半径变为原来的2倍,则表面积变为原来的—倍。

4

(3)若两球表面积之比为1:2,则其体积之比是——— 1 : 2 2。
3 (4)若两球体积之比是1:2,则其表面积之比是——— 1: 4。

例3.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个 顶点都在球O的球面上,问球O的表面积。
分析:正方体内接于球,则由球和正方体都是中心对称图形可 知,它们中心重合,则正方体对角线与球的直径相等。

D A O D1 A1 B1 B

C A

D B O D1 A1 B1

C

略解:
Rt?B1 D1 D中 : B1 D ? 2 R,B1 D ? 2a 3 a 2

C1

C1

(2 R ) 2 ? a 2 ? ( 2a ) 2 , 得:R ? ? S ? 4?R 2 ? 3?a 2

? a2 变题1.如果球O和这个正方体的六个面都相切,则有S=——。
变题2.如果球O和这个正方体的各条棱都相切,则有S=—— 2 2 ? a。

关键: 找正方体的棱长a与球半径R之间的关系

例4已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离 等于球半径的一半,且AB=BC=CA=2cm,求球的体 积,表面积. 解:如图,设球O半径为R, 截面⊙O′的半径为r,

O A
O?

? O ?O ?

R , ?ABC是 正 三 角 形 , 2

C

O?A ?

B

2 3 2 3 ? AB ? ?r 3 2 3

例5、有三个球,一球切于正方体的各面,一 球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的 各顶点,求这三个球的体积之比. 作轴截面

规律方法总结
1.直棱柱的侧面展开图是一些矩形,正棱锥的侧 面展开图是一些全等的等腰三角形,正棱台的侧面展 开图是一些全等的等腰梯形. 2.斜棱柱的侧面积等于它的直截面(垂直于侧棱并 与每条侧棱都相交的截面)的周长与侧棱长的乘积.
3.如果直棱柱的底面周长是c,高是h,那么它的侧面 积是S直棱柱侧=ch. 4.应注意各个公式的推导过程,不要死记硬背公式本 身,要熟悉柱体中的矩形、锥体中的直角三角形、台体中的 直角梯形等特征图形在公式推导中的作用.

规律方法总结
5.如果不是正棱柱、正棱锥、正棱台,在求其侧面积 或全面积时,应对每一个侧面的面积分别求解后再相加. 6.求球的体积和表面积的关键是求出球的半径.反之, 若已知球的表面积或体积,那么就可以得出其半径的大 小. 7.计算组合体的体积时,首先要弄清楚它是由哪些基 本几何体构成,然后再通过轴截面分析和解决问题.
8.计算圆柱、圆锥、圆台的体积时,关键是根据条件找 出相应的底面面积和高,应注意充分利用多面体的截面和旋 转体的轴截面,将空间问题转化为平面问题求解.


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