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第二册上册第六章第2节算术平均数与几何平均数(文)






高二 梁文莉





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内容标题 编稿老师

算术平均数与几何平均数

【本讲教育信息】
一. 教学内容:

§6.2 算术平均数与几何平均数

目标:初步理解算术平均数和几何平均数的概念,初步掌握重要不等式“如果 a、b?R, a?b 那么a 2 +b 2 ? 2ab”和定理“如果a、b是正数,那么 ? ab ”,理解定理的几何意义, 2 并能运用它们进行简单的证明和求值。 二. 重点、难点: 重点:重要不等式及定理。 难点:重要不等式及定理的应用。 [知识要点介绍] 由于(a ? b) 2 ? 0,即a 2 ? b 2 ? 2ab ? 0
? a 2 ? b 2 ? 2ab(当且仅当a ? b时取“ ? ”号)

当a ? 0,b ? 0时,根据上述不等式,有( a ) 2 ? ( b ) 2 ? 2 a ? b 即a ? b ? 2 ab a?b ? ? ab (当且仅当a ? b时,取“ ? ”号) 2 故有下面两个重要结论: (1)如果a、b ? R,则a 2 ? b 2 ? 2ab(当且仅当a ? b时,取“ ? ”号); a?b (2)如果a、b是正数,那么 ? ab (当且仅当a ? b时取“ ? ”号)。 2

——定理 a?b 我们称 为a、b的算术平均数,称 ab为a、b的几何平均数。 2 该定理又可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 a?b 联系数列知识,如果把 看作是正数a、b的等差中项, ab 看作正数a、b的等比 2 中项,那么该定理还可叙述为:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。 下面我们结合图形来看看该定理的意义:

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D
ab

A

a

C

b

B

D’
以 a+b 长的线段为直径作圆,在直径 AB 上取点 C,使 AC=a,CB=b。 过点 C 作垂直于直径 AB 的弦 DD’,连结 AD、DB,易证 Rt?ACD~Rt?DCB,那么 2 CD =CA·CB
即CD ? ab

a?b a?b ,显然r ? CD,即 ? ab 2 2 其中当且仅当点 C 与圆心重合,即 a=b 时,等号“=”成立。 故该定理的几何意义是“半径不小于半弦” a?b 上述两个重点结论中出现的a 2 ? b 2 ? 2ab和 ? ab 是两个基本又重要的不等式。 2 学习时,要注意以下几点: a?b (1)a 2 ? b 2 ? 2ab和 ? ab成立的条件是不同的: 2 前者只要求 a、b 都是实数,而后者则要求 a、b 都是正数。 (2)这两个不等式都是带有等号的不等式,因此对定理中“当且仅当 a=b 时取‘=’ 号”这句话的理由要搞清楚。 (3)应用这两个不等式可以证明其他不等式。当然它们本身也是根据不等式的意义、 性质证出的,因此,凡是用它们可以获证的不等式,一般也可以直接根据不等式的意义、性 质来证明。 a?b (4)应用 ? ab ,我们可以求某些非二次函数的最大值、最小值。 2 16 如求函数y ? x ? ( x ? 0) 的最小值。 x 16 ?x ? 0 ? ?0 x 16 16 ?y ? x ? ?2? x? ?8 x x 16 当且仅当x ? ,即x ? 4时,y取得最小值,且y min ? 8 x 在利用算术平均数与几何平均数的关系求某些函数的最大值、最小值时,要注意: (1)函数式中,各项必须都是正数。 1 1 例如,对于函数式x ? ,当x ? 0时,绝不能错误地认为关系式x ? ? 2成立 x x 1 并由此得出x ? 的最小值是2 x 1 事实上,当x ? 0时,x ? 的最大值是 ? 2 x 这个圆的半径r ?

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1 1 1 1 ? 0 ? ?( x ? ) ? (?x) ? (? ) ? 2 ? x ? ? ?2 x x x x 1 可以看出,当x ? ?1时,x ? 的最大值是 ? 2 x (2)函数式中,含变数的各项的和或积必须是常数,并且只有当各项相等时,才能利 用算术平均数与几何平均数的关系求某些函数的最大值或最小值。 这是因为x ? 0 ? ?x ? 0, ?

【例题分析】
例 1. 设a、b、c ? R,求证:a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ac 分析: 利用重要不等式a 2 ? b 2 ? 2ab证明。 证明: ? a 2 ? b 2 ? 2ab,b 2 ? c 2 ? 2bc,a 2 ? c 2 ? 2ac 1 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? (2a 2 ? 2b 2 ? 2c 2 ) 2 1 ? [(a 2 ? b 2 ) ? ( b 2 ? c 2 ) ? (c 2 ? a 2 )] 2 1 ? (2ab ? 2bc ? 2ac) 2

? ab ? bc ? ac
? a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ac 说明:对于与“三项和”有关的不等式证明问题常常将“三项和”拆成“六项和” 。

例 2. 若a ? b ? 1,P ? lg a ? lg b ,Q ? 小。

1 a?b (lg a ? lg b) ,R ? lg ,试比较P、Q、R的大 2 2

a?b ? ab 及对数的性质进行解答。 2 解: ? a ? b ? 1, ? lg a ? lg b ? 0 1 ? (lg a ? lg b) ? lg a ? lg b 2
分析: 利用定理
?Q ? P

a?b a?b ? ab, ? lg( ) ? lg ab 2 2 1 即R ? lg ab ? (lg a ? lg b) ? Q 2 从而P ? Q ? R 又
说明:解答本题前应弄清各种符号的意义及运算关系、运算性质。 例 3. 已知实数a、b、c、d满足a + b = 7,c + d = 5,求(a ? c) 2 ? ( b ? d) 2 的最小值。 错误解法: (a ? c) 2 ? ( b ? d) 2
? a 2 ? 2ac ? c 2 ? b 2 ? 2 bd ? d 2 ? (a 2 ? d 2 ) ? ( b 2 ? c 2 ) ? 2ac ? 2bd

? 2ad ? 2bc ? 2ac ? 2bd
? 2(a ? b)(c ? d )

? 70
当且仅当a ? d且b ? c时取等号

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错误原因:两次用不等式 a2+b2≥2ab,等号要同时取到,若 a=d 且 b=c,则 a+b=c +d,与已知 a+b=7,c+d=5 矛盾,故不可能同时有 a=d 且 b=c。 正确解法: 令a ? c ? m,b ? d ? n 则m ? n ? a ? c ? b ? d ? 12
? m 2 ? n 2 ? 2 mn ? 2( m2 ? n 2 ) ? m2 ? n 2 ? 2mn

即2( m 2 ? n 2 ) ? ( m ? n) 2
? ( a ? c) 2 ? ( b ? d ) 2 ? m 2 ? n 2 ? ( m ? n) 2 12 2 ? ? 72 2 2 当且仅当m ? n,即a ? c ? b ? d ? 6时,取等号

??a ? c) 2 ? ( b ? d) 2 的最小值是72

说明:
(1)a 2 ? b 2 ? ( a ? b) 2 ,也是常用不等式,记住此不等式的结构特点及导出方法。 2

(2)使用不等式求最值要注意其条件,特别是“能否相等” ,尽量减少“等号”成立的 次数。 例 4. 求y ?
x2 ? 5 x2 ? 4

的最小值。

错解: 设 x 2 ? 4 ? t,则x 2 ? 4 ? t 2
把x 2 ? t 2 ? 4 代入y ? x2 ? 5 x2 ? 4 ? t2 ? 1 1 ?t? ?2 t t

? 函数的最小值为2 1 错 误 原 因 : t ? ? 2,要求t ? 1时等号成立,但是t ? x 2 ? 4 ? 2,故“ ? ”不可能成 t 立,也就是说使等号成立的 t 不存在,故上面解法是错误的。

正确解法: 设 x 2 ? 4 ? t,则t ? 2 1 下面证明函数y ? t ? 在t ?[2, ? ?) 上是增函数 t 设t 2 ? t 1 ? 2,则 1 1 y 2 ? y1 ? t 2 ? ? (t 1 ? ) t2 t1 1 1 ? (t 2 ? t 1 ) ? ( ? ) t 2 t1 1 ? ( t 2 ? t 1 )( t 2 t 1 ? 1) t 1t 2
?t 2 ? t1 ? 2
? y 2 ? y1 ? 0

? t 2 ? t 1 ? 0,t 1 t 2 ? 1 ? 0,t 1 t 2 ? 0

1 ? 函数y ? t ? 在[2, ? ?) 上是增函数 t 1 5 ? 2 2 说明:(1)使用不等式求函数的最值,一定要确定“=”能否取得。 ? 当t ? 2,即x ? 0时,y有最小值,且y min ? 2 ?

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k ( k ? 0) ,在(??, ? k ],[ k , ? ?) 上是增函数,在 x [? k ,0) ,(0, k ]上是减函数。 (2) 可以证明函数y ? x ?
例 5. 甲、乙两地相距 S 千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过 c 千米/时,已 知汽车每小时的运输成本 (以元为单位) 由可变部分和固定部分组成: 可变部分与速度 v (千 米/时)的平方成正比,比例系数为 b;固定部分为 a 元。 (1)把全程运输成本 y(元)表示为速度 v(千米/时)的函数,并指出这个函数的定 义域; (2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶。 S 解: (1)依题意得汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为 ,全程运输成本为 v S S a y ? a ? ? bv 2 ? ? S( ? bv) v v v 故所求函数及其定义域为: a y ? S( ? bv) ,v ?(0,c] v (2)依题意知 a、b、S、v 均为正数 a ?S( ? bv) ? 2S ab v a a 当且仅当 ? bv,即v ? 时上式“ ? ”成立。 v b
若 a ? c,则当v ? b a 时,全程运输成本最小。 b

a ? c,则a ? bc 2 , ? v ? (0,c] b a a ?S( ? bv) ? S( ? bc) v c 1 1 ? S[a( ? ) ? b( v ? c)] v c S ? (c ? v)(a ? bcv) vc ? c ? v ? 0,且a ? bc 2 若
?a ? b c v ? a ? bc 2 ? 0 a a ?S( ? bv) ? S( ? bc) v c 当且仅当v ? c时“ ? ”成立,也即v ? c时,全程运输成本最小。

综上可知,为使全程运输成本y最小,当

a ? c时,行驶速度应为v ? b

a a ;当 ?c b b

时,行驶速度应为 v=c。 说明:抓住基本关系:全程成本=每小时成本×时间,成本=可变成本+固定成本,列 出函数关系式。求最值时要注意变量的定义域。

【模拟试题】
一. 选择题:

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1. 已知 x ? 0 ,则 x 2 ?

的最小值是( ) x2 A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 2. 设 x、y 都是正实数,则下列不等式中等号不成立的是( 1 1 ?2 A. x ? ? 1 x x? x 1 1 B. ( x ? )( y ? ) ? 4 x y 1 1 C. ( x ? y)( ? ) ? 4 x y
lg x ? lg y 2 lg 2 x ? lg 2 y ) ? 2 2 3. 设 x ? 1,y ? 1 ,且 x ? y ,下列各式中最小的是( 2xy 2 x?y A. B. C. x?y x?y 2

16



D. (

) D.

xy


4. 如果 x、y ? R ,且 x ? y ? 5 ,则 3 x ? 3 y 的最小值是( A. 10 B. 6 3 C. 4 6

D. 18 3 a?b ab 5. 已知函数 f ( x) ? 2 x ,a、b 为正实数,设 M ? f ( ) ,N ? f ( ab ) , P ? f ( ) ,则 2 a?b M、N、P 的大小关系是( ) A. M ? N ? P B. M ? P ? N C. N ? P ? M D. P ? N ? M 6. 已知 0 ? a ? 1,0 ? x ? y ? 1 ,且 log a x ? log a y ? 1 ,那么 xy( A. B. C. D. 无最大值也无最小值 无最大值而有最小值 有最大值而无最小值 有最大值也有最小值



二. 填空题: 7. 设 lg x ? lg y ? 2 ,则 8. 当x ?
1 1 ? 的最小值是 x y

时,函数f ( x) ? x 2 (4 ? 2x 2 )(0 ? x ? 2 ) 的最大值是

9. 已知 x、y 满足 x ? y ? 1 ? 0 ,则 A ? 2 x ? 2 y 的最小值是_________ 10. 在 ?ABC 中,A、B、C 分别是边 a、b、c 的所对的角,若 a、b、c 成等差数列,则 ?B 的范围是_______。 11. 建造一个容积为 8m 3 ,深为 2m 的长方体蓄水池,如果池底和池壁的造价每平方米分 别为 120 元和 80 元,那么水池的最低总价为_________元。 三. 解答题(本大题共 3 小题,共 17 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 12. (本小题满分 5 分) 已知:a、b、c 为实数,求证: a 2 b 2 ? b 2 c 2 ? c 2 a 2 ? abc(a ? b ? c) 13. (本小题满分 6 分) 已知:实数 a、b、c 满足 ab ? bc ? ca ? 1,求证: a 2 ? b 2 ? c 2 ? 1

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14. (本小题满分 6 分) 某种生产设备购买时的费用为 10 万元,每年的设备管理费共计 9 千元,这种生产设备 的维修费各年为:第一年 2 千元,第二年 4 千元,第三年 6 千元??,依每年 2 千元逐年递 增,问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的平均费用最少)?

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【试题答案】
一. 1. B 1 二. 7. 5 2. A 8. 1 3. C 2 4. D 5. D 9. 2 2 11. 1760 6. C

3 三. 12. 证明: ? a、b、c 为实数 ? a 2 b 2 ? b 2 c 2 ? 2ab 2 c
b 2 c 2 ? c 2 a 2 ? 2abc 2

10. 0 ? ?B ?

?

a 2 b 2 ? c 2 a 2 ? 2a 2 bc 以上三式相加得: 2(a 2 b 2 ? b 2 c 2 ? c 2 a 2 ) ? 2(ab 2 c ? abc 2 ? a 2 bc) ? 2abc(a ? b ? c)

? a 2 b 2 ? b 2 c 2 ? c 2 a 2 ? abc(a ? b ? c)
13. 证明:? a 2 ? b 2 ? 2ab,b 2 ? c 2 ? 2bc,a 2 ? c 2 ? 2ac
? 2(a 2 ? b 2 ? c 2 ) ? 2(ab ? bc ? ca ) ? ab ? bc ? ca ? 1 ?a 2 ? b2 ? c2 ? 1 14. 解:设使用 x 年( x ? N * )的年平均费用为 y 万元 由已知:x 年的设备管理费为 0.9x 万元,维修费为: (0.2 ? 0.2x) x 0.2 ? 0.4 ? 0.6???0.2x ? 2 ? x 年的总费用为: (0.2 ? 0.2 x) x 10 ? 0.9 x ? 2 1 (0.2 ? 0.2 x) x 10 x 故y ? [10 ? 0.9 x ? ] ?1? ? x 2 x 10

? x ?N* 10 x ? ? 2 ,即y ? 3 x 10 10 x 当且仅当 ? ,即x ? 10时y取最小值 3 x 10 答:使用 10 年报费最合算 ?

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