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江西省宜春市奉新一中2016届高三上学期第二次月考数学试卷(理科)


2015-2016 学年江西省宜春市奉新一中高三(上)第二次月考数学 试卷(理科)
一、选择题: (5*12=60 分) 1.已知集合 A={x|﹣1≤x≤1},B={x|x2﹣5x+6≥0},则下列结论中正确的是( A.A∩B=B B.A∪B=A C.A?B D.?RA=B 2.已知函数 f(x)的定义域为(0,1) ,则函数 f(2x+1)的定义域为( A. (﹣1

,1) B. C. (﹣1,0) D. )

)

3.设命题甲:ax2+2ax+1>0 的解集是实数集 R;命题乙:0<a<1,则命题甲是命题乙成立 ) 的( A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件

4.已知函数 f(x)=cos A.f(x)的最小正周期是 2π B.当 x∈ 时,f(x)的值域为 对称

,则函数 f(x)满足(

)

C.f(x)的图象关于直线 x= D.若 x1≠x2,则 f(x1)≠f(x2) 5.要得到函数 y=2cos(2x+ A.向左平移 C.向右平移 个单位

)的图象,只需将函数 y=sin2x+ 个单位

cos2x 的图象(

)

B.向右平移

个单位 D.向左平移

个单位

6.若函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0 且|φ|< 值从 1 减小到﹣1,则 f( A.1 B. C. )=( D.0 )

)在区间[



]上是单调减函数,且函数

7.有以下四个命题,其中真命题的个数为( ) ①△ ABC 中,“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件;

②若命题 p:?x∈R,sinx≤1,则¬p:?x∈R,sinx<1; ③函数 y=3sin(2x﹣ )+2 的单调递减区间是[ +2kπ, π+2kπ](k∈z) ; = .

④若函数 f(x)=x2+2x+2a 与 g(x)=|x﹣1|+|x+a|有相同的最小值,则 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

8.设函数 f(x)=

,给出以下三个结论:①f(x)为偶函数;②f )

(x)为周期函数;③f(x+1)+f(x)=1,其中正确结论的个数为( A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个

9.已知函数 f(x)是(﹣∞,+∞)上的奇函数,且 f(x)的图象关于直线 x=1 对称,当 x∈[﹣ 1,0]时,f(x)=﹣x,则 f+f=( ) A.﹣1 B.0 C.1 D.2 10.若关于 x 的方程 x3﹣3x+m=0 在 A.[﹣2,2] B.[0,2]

上有根,则实数 m 的取值范围是(

)

C.[﹣2,0] D.

11.如图所示,当甲船位于 A 处时获悉,在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等 待营救,甲船立即前往营救,同时把消息告知在甲船的南偏西 30°相距 10 海里 C 处的乙船, ) 乙船立即朝北偏东 θ+30°角的方向沿直线前往 B 处营救,则 sinθ 的值为(

A.

B.

C.

D.

12.若函数 f(x)的定义域为 D 内的某个区间 I 上是增函数,且 F(x)=

在 I 上也是

增函数,则称 y=f(x)是 I 上的“完美函数”,已知 g(x)=ex+x﹣lnx+1,若函数 g(x)是区 间[ ,+∞)上的“完美函数”,则正整数 m 的最小值为( A.1 B.2 C.3 D.4 )

二、填空题: (5*4=20 分)

13.已知函数 f(x)=

,则 f(f( ) )的值是=__________.

14.已知 cos(

)= ,则 sin(

)=__________.

15.已知 a,b,c 分别为△ ABC 三个内角 A,B,C 的对边,a=2,且(a+b) (sinA﹣sinB)= (c﹣b)sinC,则△ ABC 面积的最大值为__________.

16.已知函数

,在下列四个命题中:

①f(x)是奇函数; ②对定义域内任意 x,f(x)<1 恒成立; ③当 时,f(x)取极小值;

④f(2)>f(3) , 正确的是:__________.

三、解答题: (12+12+12+12+12+10=70 分) 17.已知集合 A={x|2﹣a≤x≤2+a},B={x|x2﹣5x+4≥0}, (1)当 a=3 时,求 A∩B,A∪(?RB) ; (2)若 A∩B=?,求实数 a 的取值范围.

18.已知函数 (1)求 f(x)的最小正周期; (2)若 递增区间; (3)求(2)中 y=g(x)在 上的值域. 在 x=



处取得最大值,求 y=g(x)的单调

19.在△ ABC 中, c,已知 cosC+(cosB﹣ 角 A,B,C 对应的边分别是 a,b, (1)求角 A 的大小; (2)若△ ABC 的面积 S=5 ,b=5,求 sinBsinC 的值. 20.已知函数 f(x)=ax2﹣2

sinB)cosA=0,

x,g(x)=﹣

(a,b∈R)

(1)当 b=0 时,若 f(x)在(﹣∞,2]上单调递减,求 a 的取值范围; (2)求满足下列条件的所有整数对(a,b) :存在 x0,使得 f(x0)是 f(x)的最大值,g(x0) g x 是 ( )的最小值. 21.已知函数 f(x)=xlnx(x∈(0,+∞) (Ⅰ)求 g(x)= 的单调区间与极大值;

x2, = ′ x0) (Ⅱ) 任取两个不等的正数 x1, 且 x1<x2, 若存在 x0>0 使 f( 成立,求证:x1<x0<x2 (Ⅲ)己知数列{an}满足 a1=1,an+1=(1+ 数的底数) . )an+ (n∈N+) ,求证:an< (e 为自然对

三.请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时请写清 题号 22.在直角坐标系 xoy 中以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆 C1,直线 C2 的极坐 标方程分别为 ρ=4sinθ,ρcos( (Ⅰ)求 C1 与 C2 交点的极坐标; Q 为 C1 与 C2 交点连线的中点, (Ⅱ) 设 P 为 C1 的圆心, 已知直线 PQ 的参数方程为 (t∈R 为参数) ,求 a,b 的值. )=2 .

23.设函数 f(x)=|x+ |+|x﹣a|(a>0) . (Ⅰ)证明:f(x)≥2; (Ⅱ)若 f(3)<5,求 a 的取值范围.

2015-2016 学年江西省宜春市奉新一中高三(上)第二次 月考数学试卷(理科)
一、选择题: (5*12=60 分) 1.已知集合 A={x|﹣1≤x≤1},B={x|x2﹣5x+6≥0},则下列结论中正确的是( ) A.A∩B=B B.A∪B=A C.A?B D.?RA=B 【考点】集合的包含关系判断及应用. 【专题】集合. 【分析】由 x2﹣5x+6≥0,解得 x≥3,x≤2, 【解答】解:由 x2﹣5x+6≥0,化为(x﹣2) (x﹣3)≥0,解得 x≥3,x≤2,∴B={x|x≥3,x≤2}, ∴A?B, 故选:C. 【点评】本题考查了一元二次不等式的解法、集合之间的关系,考查了推理能力与计算能力, 属于基础题. 2.已知函数 f(x)的定义域为(0,1) ,则函数 f(2x+1)的定义域为( A. (﹣1,1) B. C. (﹣1,0) D. )

【考点】函数的定义域及其求法. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】直接由 2x+1 在函数 f(x)的定义域内求解 x 的取值集合得答案. 【解答】解:∵函数 f(x)的定义域为(0,1) , 由 0<2x+1<1,得 ∴函数 f(2x+1)的定义域为 . .

故选:B. 【点评】本题考查了函数的定义域及其求法,考查了复合函数的定义域,是高考常见题型, 属基础题,也是易错题. 3.设命题甲:ax2+2ax+1>0 的解集是实数集 R;命题乙:0<a<1,则命题甲是命题乙成立 ) 的( A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;一元二次不等式的解法. 【分析】利用充分必要条件的判断方法判断两命题的推出关系,注意不等式恒成立问题的处 理方法. 【解答】解:ax2+2ax+1>0 的解集是实数集 R ①a=0,则 1>0 恒成立

②a≠0,则

,故 0<a<1

由①②得 0≤a<1.即命题甲?0≤a<1.因此甲推不出乙,而乙?甲,因此命题甲是命题乙成 立的必要非充分条件. 故选 B. 【点评】本题考查命题的充分必要性,考查不等式恒成立的等价关系.值域数形结合的思想 和等价转化的思想的运用.

4.已知函数 f(x)=cos A.f(x)的最小正周期是 2π B.当 x∈ 时,f(x)的值域为 对称

,则函数 f(x)满足(

)

C.f(x)的图象关于直线 x=

D.若 x1≠x2,则 f(x1)≠f(x2) 【考点】三角函数中的恒等变换应用. 【专题】计算题;解题思想;方程思想;三角函数的图像与性质. 【分析】化简函数的解析式,然后求解函数的周期,判断对称轴,推出结果即可. 【解答】解:函数 f(x)=cos 函数的周期为:π,A 不正确;x= x= = sin2x. 时,函数的最大值为: ,B 不正确; 对称,C 正确;所以 D

时,函数取得最小值:﹣ ,所以 f(x)的图象关于直线 x=

不正确; 故选:C. 【点评】本题考查三角函数的恒等变换,三角函数的简单性质的应用,考查计算能力.

5.要得到函数 y=2cos(2x+ A.向左平移 C.向右平移 个单位

)的图象,只需将函数 y=sin2x+ 个单位

cos2x 的图象(

)

B.向右平移

个单位 D.向左平移

个单位

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】 由两角差的余弦把 y=sin2x+ 【解答】解:y=sin2x+ cos2x= cos2x 化积, 然后看 x 发生如何变化得 y=2cos (2x+ . ) .

又数 y=2cos(2x+ =2

) = cos2x 的图象向左平移 个单位,即可得到 y=2cos(2x+ , )的图象.

∴只需要将 y=sin2x+

故选:A. 【点评】本题考查了 y=Asin(ωx+φ)型函数的图象,考查了两角和与差的三角函数,是中档 题.

6.若函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0 且|φ|< 值从 1 减小到﹣1,则 f( A.1 B. C. )=( D.0 )

)在区间[



]上是单调减函数,且函数

【考点】正弦函数的图象. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】根据函数的单调性和最值求出 ω 和 φ 的值即可得到结论. 【解答】解:∵f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0 且|φ|< 且函数值从 1 减小到﹣1, ∴ ∵T= ,即函数的周期 T=π, ,∴ω=2, )在区间[ , ]上是单调减函数,

则 f(x)=sin(2x+φ) , ∵f( ∴sin( 即 +φ= )=sin(2× +φ)=1, +2kπ,k∈Z, +φ)=1,

即 φ= ∵|φ|<

+2kπ,k∈Z, , , ) , + )=sin( + )=cos = ,

∴当 k=0 时,φ= 即 f(x)=sin(2x+ 则 f(

)=sin(2×

故选:C.

【点评】 本题主要考查三角函数的图象的应用, 根据条件求出 ω 和 φ 的值是解决本题的关键. 7.有以下四个命题,其中真命题的个数为( ) ①△ ABC 中,“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件; ②若命题 p:?x∈R,sinx≤1,则¬p:?x∈R,sinx<1; ③函数 y=3sin(2x﹣ )+2 的单调递减区间是[ +2kπ, π+2kπ](k∈z) ; = .

④若函数 f(x)=x2+2x+2a 与 g(x)=|x﹣1|+|x+a|有相同的最小值,则

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】对应思想;导数的综合应用;三角函数的图像与性质;简易逻辑. 【分析】根据正弦定理,可判断①;写出原命题的否定,可判断②;求出函数的单调区间, 可判断③,求出 a 值,进而求出积分,可判断④ 【解答】解:①△ ABC 中,“A>B”?“a>b”?“2RsinA>2RsinB”?“sinA>sinB”,故“A>B” 是“sinA>sinB”的充要条件,即①是真命题; ②若命题 p:?x∈R,sinx≤1,则¬p:?x∈R,sinx>1,故②是假命题; ③由 2x﹣ ∈[ +2kπ, +2kπ](k∈z)得:x∈[ +kπ, π+kπ](k∈z) ;

即函数 y=3sin(2x﹣

)+2 的单调递减区间是[

+kπ, π+kπ](k∈z) ,故③是假命题;

④若函数 f(x)=x2+2x+2a 的最小值为:2a﹣1, 函数 g(x)=|x﹣1|+|x+a|的最小值为:|a+1|, 由 2a﹣1=|a+1|得:a=2, 则 = = = ,故④是真命题; ﹣

故真命题的个数为 2 个, 故选:B. 【点评】本题以命题的真假判断为载体考查了正弦定理,全称命题的否定,正弦函数的单调 性,函数的最值,积分等知识点,难度中档.

8.设函数 f(x)=

,给出以下三个结论:①f(x)为偶函数;②f )

(x)为周期函数;③f(x+1)+f(x)=1,其中正确结论的个数为( A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】规律型;函数思想;综合法;简易逻辑. 【分析】由题意可得 f(x)= =

,检验 f(﹣x)=f(x) ,即可判断

①,由于 f(x)的函数值是 1,0 交替出现,故函数是以 2 为周期的周期函数,可判断②,

由于 x+1,x 中必定一个是奇数,一个是偶数,则 f(x+1)与 f(x)的值一个是 1,一个是 0, 可判断③. 【解答】解:∵f(x)= = ,

∴f(﹣x)=

=

=

=f(x) ,故 f(x)为偶函数,①

正确. 由于 f(x)的函数值是 1,0 交替出现,故函数是以 2 为周期的周期函数,②正确. 由于 x+1,x 中必定一个是奇数,一个是偶数,则 f(x+1)与 f(x)的值一个是 1,一个是 0, 则 f(x+1)+f(x)=1,③正确. ∴正确结论的个数为:3. 故选:D. 【点评】本题主要考查了函数的奇偶性的定义、周期性的定义的应用,解题的关键是对已知 函数的化简,是基础题. 9.已知函数 f(x)是(﹣∞,+∞)上的奇函数,且 f(x)的图象关于直线 x=1 对称,当 x∈[﹣ 1,0]时,f(x)=﹣x,则 f+f=( ) A.﹣1 B.0 C.1 D.2 【考点】函数奇偶性的性质. 【专题】计算题;转化思想;函数的性质及应用. 【分析】由函数的对称性可得 f(x)=f(2﹣x) ,再由奇偶性可得 f(x)=﹣f(x﹣2) ,由此可 推得函数的周期,根据周期性可把 f,f 转化为已知区间上求解 【解答】解:因为 f(x)图象关于 x=1 对称,所以 f(x)=f(2﹣x) , 又 f(x)为奇函数,所以 f(2﹣x)=﹣f(x﹣2) ,即 f(x)=﹣f(x﹣2) , 则 f(x+4)=﹣f(x+2)=﹣[﹣f(x)]=f(x) , 故 4 为函数 f(x)的一个周期, 从而 f+f=f(﹣1)+f(0) , f 0 =0 f 1 而 ( ) , (﹣ ) , 故 f(﹣1)+f(0)=1, 即 f+f=1, 故选:C 【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质,熟练掌握函数奇偶性的性质,是解答的关 键. 10.若关于 x 的方程 x3﹣3x+m=0 在 A.[﹣2,2] B.[0,2]

上有根,则实数 m 的取值范围是(

)

C.[﹣2,0] D.

【考点】函数的零点与方程根的关系;函数的值域;利用导数研究函数的单调性. 【专题】计算题;函数思想;构造法.

【分析】分离参数 m=﹣x3+3x,记 f(x)=﹣x3+3x,x∈[0, ],要使原方程有解,则 m∈[f(x)
min,f(x)max].

【解答】解:分离参数 m 得,m=﹣x3+3x,x∈[0, ], 记 f(x)=﹣x3+3x,x∈[0, ], 要使原方程有解,则 m∈[f(x)min,f(x)max], 令 f'(x)=﹣3x2+3=0,解得 x=±1,分析可知, 函数 f(x)在(﹣∞,﹣1)单调递减, (﹣1,1)单调递增, (1,+∞)单调递减, 所以,当 x∈[0, ]时,f(x)先增后减,在 x=1 取得最大值,即: f(x)max=f(1)=2,f(x)min=min{f(0) ,f( )}=0, 因此,m∈[ ,2], 故选:B. 【点评】本题主要考查了应用导数研究函数的单调性,单调区间和最值,以及函数零点与方 程的判断,属于中档题. 11.如图所示,当甲船位于 A 处时获悉,在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等 待营救,甲船立即前往营救,同时把消息告知在甲船的南偏西 30°相距 10 海里 C 处的乙船, ) 乙船立即朝北偏东 θ+30°角的方向沿直线前往 B 处营救,则 sinθ 的值为(

A.

B.

C.

D.

【考点】解三角形的实际应用. 【专题】应用题;解三角形. 【分析】连接 BC,在三角形 ABC 中,利用余弦定理求出 BC 的长,再利用正弦定理求出 sin∠ACB 的值,即可求出 sinθ 的值. 【解答】解:连接 BC,在△ ABC 中,AC=10 海里,AB=20 海里,∠CAB=120° 根据余弦定理得:BC2=AC2+AB2﹣2AC?AB?cos∠CAB=100+400+200=700, ∴BC=10 海里, 根据正弦定理得 ,





∴sin∠ACB=



∴sinθ=



故选:A. 【点评】解三角形问题,通常要利用正弦定理、余弦定理,同时往往与三角函数知识相联系.

12.若函数 f(x)的定义域为 D 内的某个区间 I 上是增函数,且 F(x)=

在 I 上也是

增函数,则称 y=f(x)是 I 上的“完美函数”,已知 g(x)=ex+x﹣lnx+1,若函数 g(x)是区 间[ ,+∞)上的“完美函数”,则正整数 m 的最小值为( A.1 B.2 C.3 D.4 )

【考点】函数的最值及其几何意义. 【专题】新定义;转化思想;转化法;函数的性质及应用. 【分析】运用导数判断 g(x)=ex+x﹣lnx+1,与 G(x)= 增函数,再由新定义即可求整数 m 的最小值. 【解答】解:∵g(x)=ex+x﹣lnx+1,x>0, ∴g′(x)=ex+1﹣ 在(0,+∞)单调递增,g′( )= ∴可以得出:g(x)在[ ,+∞)上是单调递增. ﹣1>0, 在[ ,+∞)上都是单调递

∵G(x)=



∴G′(x)= 设 m(x)=xex﹣ex﹣2+lnx,

,x>0,

m′(x)=xex+ >0,m(x)在(0,+∞)上单调递增, m( )=﹣ m( )= ﹣2﹣ln2<0,m(1)=e﹣e﹣2+0=﹣2<0, ﹣2+ln( )>0,

∴在[ ,+∞)上,有 G′(x)>0 成立, ∴函数 G(x)= 在[ ,+∞)上是单调递增函数, 在[ ,+∞)上都是单调递增函数,

综合判断:g(x)=ex+x﹣lnx+1,与 G(x)= g(x)=ex+x﹣lnx+1,与 G(x)=

在[1,+∞)上不是都为单调递增函数,

∵函数 g(x)是区间[ ,+∞)上的“完美函数”,

∴m≥3, 即整数 m 最小值为 3. 故选 C. 【点评】本题以新定义的形式考查函数的单调性,考查运用所学知识分析解决新问题的能力, 多次构造函数,求解导数,判断单调递增,属于难题. 二、填空题: (5*4=20 分)

13.已知函数 f(x)=

,则 f(f( ) )的值是=﹣2.

【考点】对数的运算性质;函数的值. 【专题】计算题;函数的性质及应用. 【分析】利于抑制投机求出 f( )的值,然后求解所求表达式的值.

【解答】解:∵函数



∴f( )=2+

=4. =f(4)= =﹣2.

故答案为:﹣2. 【点评】本题考查函数值的求法,指数以及对数的运算法则,解题方法是由里及外逐步求解, 考查计算能力.

14.已知 cos(

)= ,则 sin(

)=﹣ .

【考点】两角和与差的正弦函数. 【专题】计算题;三角函数的求值. 【分析】观察得, ( ﹣ ) . ﹣α)= ,且( ﹣( ﹣α)+(α﹣ +( )=﹣ , ﹣α)=﹣ . ﹣α)+(α﹣ )=﹣ ,结合题意,利用诱导公式即可求得 sin(α

【解答】解:∵cos( ∴sin(α﹣

)=sin[﹣

﹣α)]=﹣sin[

﹣α)]=﹣cos(

故答案为:﹣ . 【点评】本题考查诱导公式,观察得到( 化的能力,属于中档题. ﹣α)+(α﹣ )=﹣ 是关键,考查观察与转

15.已知 a,b,c 分别为△ ABC 三个内角 A,B,C 的对边,a=2,且(a+b) (sinA﹣sinB)= (c﹣b)sinC,则△ ABC 面积的最大值为 . 【考点】正弦定理. 【专题】计算题;转化思想;分析法;解三角形. 【分析】由条件利用正弦定理可得 b2+c2﹣bc=4.再由余弦定理可得 A= ,利用基本不等式

可得 bc≤4,当且仅当 b=c=2 时,取等号,此时,△ ABC 为等边三角形,从而求得它的面积 的值. 【解答】解:△ ABC 中,∵a=2,且(2+b) (sinA﹣sinB)=(c﹣b)sinC, ∴利用正弦定理可得(2+b) (a﹣b)=(c﹣b)c,即 b2+c2﹣bc=4,即 b2+c2﹣4=bc, ∴cosA= = = ,∴A= .

再由 b2+c2﹣bc=4,利用基本不等式可得 4≥2bc﹣bc=bc, ∴bc≤4,当且仅当 b=c=2 时,取等号, 此时,△ ABC 为等边三角形,它的面积为 = ×2×2× = ,

故答案为: . 【点评】本题主要考查正弦定理的应用,基本不等式,属于中档题.

16.已知函数

,在下列四个命题中:

①f(x)是奇函数; ②对定义域内任意 x,f(x)<1 恒成立; ③当 时,f(x)取极小值;

④f(2)>f(3) , ②④ 正确的是: . 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】转化思想;函数的性质及应用;三角函数的图像与性质;简易逻辑. 【分析】判断出函数的奇偶性,可判断①,求出函数的值域,可判断②;判断出函数的极值 点,可判断③;利用函数的单调性,比较两个函数值,可判断④. 【解答】解:①∵函数 ∴ = = , =f(x) ,

故 f(x)是偶函数,故①错误; ②∵根据三角函数线的定义知|sinx|≤|x|, ∴ ∵x≠0, ≤1,



<1 成立,故②正确;

③∵f′(x)=



∵f′( ∴x=

)=

≠0,

不是极值点,

∴③错误; ④∵ <2<3<π,

∴sin2>sin3>0, ∴ > ,∴④正确,

故答案为:②④. 【点评】本题以命题的真假判断为载体考查了三角函数的奇偶性,值域,极值,单调性是三 角函数图象和性质的综合应用,难度较大. 三、解答题: (12+12+12+12+12+10=70 分) 17.已知集合 A={x|2﹣a≤x≤2+a},B={x|x2﹣5x+4≥0}, (1)当 a=3 时,求 A∩B,A∪(?RB) ; (2)若 A∩B=?,求实数 a 的取值范围. 【考点】集合关系中的参数取值问题;交、并、补集的混合运算. 【专题】计算题. 【分析】 (1)当 a=3 时,求出集合 A,B,然后求出 CRB,即可求 A∩B,A∪(CRB) ; (2)若 A∩B=Φ,只需 2﹣a>1,并且 2+a<4,即可求实数 a 的取值范围. 【解答】解: (1)当 a=3 时,A={x|﹣1≤x≤5},B={x|x2﹣5x+4≥0}={x|x≤1 或 x≥4}, CRB={x|1<x<4} 所以 A∩B={x|﹣1≤x≤5}∩{x|x≤1 或 x≥4}={x|﹣1≤x≤1 或 4≤x≤5}, A∪(CRB)={x|﹣1≤x≤5}∪{x|1<x<4}={x|﹣1≤x≤5}; (2)A∩B=Φ 所以 或 2﹣a>2+a,解得 a<1 或 a<0,

所以 a 的取值范围是(﹣∞,1) 【点评】本题考查集合的基本运算,不等式的解集的求法,注意等价变形的应用,常考题型.

18.已知函数 (1)求 f(x)的最小正周期; (2)若 递增区间; 在 x=



处取得最大值,求 y=g(x)的单调

(3)求(2)中 y=g(x)在

上的值域.

【考点】两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法;三角函数的最值. 【专题】方程思想;转化思想;三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 【分析】 (1)利用倍角公式、同角三角函数基本关系式即可得出; (2)g(x)=f(x+?)=2sin(2x+2?)+1,当 代入上式,得 ?,再利用正弦函数的单调性即可得出. (3)利用正弦函数的单调性即可得出. 【解答】解: (1) ,k∈z 时取得最大值,将

=2sin2x(1+sin2x)+cos4x =2sin2x+2sin22x+cos4x =2sin2x+1 ∴最小正周期为 . ,k∈z 时取得最大值,

(2)g(x)=f(x+?)=2sin(2x+2?)+1,当 将 ∴ ∴ 解得 ∴g(x)的单调增区间为 (3)由(2)得 , ∴ ∴g(x)∈ ,得 , 代入上式,得 ,得 ,k∈z, , ,k∈z, ,k∈z, ,k∈z ,由

,得

. 【点评】本题考查了三角函数的图象与性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 19.在△ ABC 中, c,已知 cosC+(cosB﹣ 角 A,B,C 对应的边分别是 a,b, 1 A ( )求角 的大小; (2)若△ ABC 的面积 S=5 ,b=5,求 sinBsinC 的值. 【考点】余弦定理的应用;正弦定理. 【专题】方程思想;转化思想;综合法;解三角形. 【分析】 (1)利用和差化积、诱导公式、三角函数求值即可得出. sinB)cosA=0,

(2)利用三角形的面积计算公式、正弦定理余弦定理即可得出. 【解答】解: (1)由验证可得: 化为 ,又 sinB≠0, ∴ ,又 cosA≠0, ∴ , 又 0<A<π,故 (2)∵ . ,得 bc=20,又 b=5,∴c=4. , .



由余弦定理得 a2=b2+c2﹣2bccosA=21,故 又由正弦定理得

【点评】本题考查了和差化积、诱导公式、三角函数求值、三角形的面积计算公式、正弦定 理余弦定理,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 20.已知函数 f(x)=ax2﹣2

x,g(x)=﹣

(a,b∈R)

(1)当 b=0 时,若 f(x)在(﹣∞,2]上单调递减,求 a 的取值范围; (2)求满足下列条件的所有整数对(a,b) :存在 x0,使得 f(x0)是 f(x)的最大值,g(x0) g x 是 ( )的最小值. 【考点】利用导数研究函数的单调性;导数在最大值、最小值问题中的应用. 【专题】计算题;函数的性质及应用. 【分析】 (1)当 b=0 时,f(x)=ax2﹣4x,讨论 a 的取值并结合二次函数的单调性,建立关于 实数 a 的不等式即可解出实数 a 的取值范围; (2)当 a=0 时,易得一次函数 f(x)没有最大值,不符合题意.因此(x)为二次函数,可 得 a<0,函数 f(x)取最大值时对应的 x= 个整数,化简得 a2= ,结合题意得到 =a 是一

,即可得出满足条件的整数只有 a=﹣1,从而得到 b=﹣

1 或 3,得到满足条件的所有整数对(a,b) . 【解答】解: (1)当 b=0,时,f(x)=ax2﹣4x, 若 a=0,f(x)=﹣4x,则 f(x)在(﹣∞,2]上单调递减,成立, 故 a≠0,要使 f(x)在[2,+∞)上单调递增,必须满足 即实数 a 的取值范围是[0,1]; (2)若 a=0,f(x)=﹣2 ∴f(x)为二次函数, 要使 f(x)有最大值,必须满足 ,即 a<0 且 ≤ b≤ , x,可得 f(x)无最大值,故 a≠0, ,解之得 0<a≤1

此时,x=x0=

时,f(x)有最大值.

又∵g(x)取最小值时,x=x0=a, 依题意, ∵a<0 且 ∴0 ≤b≤ =a∈Z,可得 a2= , ,

,结合 a 为整数得 a=﹣1,此时 b=﹣1 或 b=3.

综上所述,满足条件的实数对(a,b)是: (﹣1,﹣1) , (﹣1,3) . 【点评】本题给出含有根号和字母参数的二次函数,讨论函数的单调性与值域.着重考查了 二次函数的图象与性质、方程整数解的讨论等知识,属于中档题. 21.已知函数 f(x)=xlnx(x∈(0,+∞) (Ⅰ)求 g(x)= 的单调区间与极大值;

x2, = ′ x0) (Ⅱ) 任取两个不等的正数 x1, 且 x1<x2, 若存在 x0>0 使 f( 成立,求证:x1<x0<x2 (Ⅲ)己知数列{an}满足 a1=1,an+1=(1+ )an+ (n∈N+) ,求证:an< (e 为自然对

数的底数) . 【考点】函数在某点取得极值的条件;利用导数研究函数的单调性;导数在最大值、最小值 问题中的应用. 【专题】导数的综合应用. 【分析】 (Ⅰ)由 f(x)求出 f(x+1) ,代入 g(x) ,对函数 g(x)求导后利用导函数的符号 求出函数 g(x)在定义域内的单调区间,从而求出函数的极大值; (Ⅱ)求出 f′(x0) ,代入 f′(x0)= 后把 lnx0 用 lnx1,lnx2 表示,再把

lnx0 与 lnx2 作差后构造辅助函数,求导后得到构造的辅助函数的最大值小于 0,从而得到 lnx0 <lnx2,运用同样的办法得到 lnx1<lnx0,最后得到要证的结论; (Ⅲ)由给出的递推式 an+1=(1+ 由此把递推式 an+1=(1+ 中的 ln(1+x)<x 得到 )an+ )an+ 说明数列{an}是递增数列,根据 a1=1,得到 an≥1, ,结合(Ⅰ) ,分别取 n=1,2,3,…,n﹣1,得到 n 个

放大得到

式子后累加即可证得结论. 【解答】 (Ⅰ)解:由 f(x)=xlnx(x∈(0,+∞) ) . ∴f(x+1)=(x+1)ln(x+1) (x∈(﹣1,+∞) ) .

则有

=

=ln(x+1)﹣x,

此函数的定义域为(﹣1,+∞) . . 故当 x∈(﹣1,0)时,g′(x)>0;当 x∈(0,+∞)时,g′(x)<0. 所以 g(x)的单调递增区间是(﹣1,0) ,单调递减区间是(0,+∞) , 故 g(x)的极大值是 g(0)=0; (Ⅱ)证明:由 f(x)=xlnx(x∈(0,+∞) ) ,得 f′(x)=lnx+1, 所以 ,

于是

=

=





(t>1) ,则



因为 t﹣1>0,只需证明 lnt﹣t+1<0. 令 s(t)=lnt﹣t+1,则 ,

∴s(t)在 t∈(1,+∞)上递减,所以 s(t)<s(1)=0, 于是 h(t)<0,即 lnx0<lnx2,故 x0<x2. 同理可证 x1<x0,故 x1<x0<x2. (Ⅲ)证明:因为 a1=1, 于是 所以 由(Ⅰ)知当 x>0 时,ln(1+x)<x. 所以(*)式变为 . (*) . = ,所以{an}单调递增,an≥1. ,

即 令 k=2,3,…,n,这 n﹣1 个式子相加得

(k∈N,k≥2) ,

= = = 即 . ,

所以



【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性,考查了通过构造函数,利用函数的单调性 和极值证明不等式,训练了累加法求数列的通项公式,考查了利用放缩法证明不等式,是一 道难度较大的综合题型. 三.请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时请写清 题号 22.在直角坐标系 xoy 中以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆 C1,直线 C2 的极坐 标方程分别为 ρ=4sinθ,ρcos( (Ⅰ)求 C1 与 C2 交点的极坐标; Q 为 C1 与 C2 交点连线的中点, (Ⅱ) 设 P 为 C1 的圆心, 已知直线 PQ 的参数方程为 (t∈R 为参数) ,求 a,b 的值. 【考点】点的极坐标和直角坐标的互化;直线与圆的位置关系;参数方程化成普通方程. 【专题】压轴题;直线与圆. 【分析】 (I)先将圆 C1,直线 C2 化成直角坐标方程,再联立方程组解出它们交点的直角坐标, 最后化成极坐标即可; (II)由(I)得,P 与 Q 点的坐标分别为(0,2) , (1,3) ,从而直线 PQ 的直角坐标方程为 x﹣y+2=0,由参数方程可得 y= x﹣ +1,从而构造关于 a,b 的方程组,解得 a,b 的值. )=2 .

【解答】解: (I)圆 C1,直线 C2 的直角坐标方程分别为 x2+(y﹣2)2=4,x+y﹣4=0, 解 得 或 ,

∴C1 与 C2 交点的极坐标为(4,

) . (2



) .

(II)由(I)得,P 与 Q 点的坐标分别为(0,2) , (1,3) ,

故直线 PQ 的直角坐标方程为 x﹣y+2=0, 由参数方程可得 y= x﹣ +1,





解得 a=﹣1,b=2. 【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程、把参数方程化为普通方程的方法, 方程思想的应用,属于基础题.

23.设函数 f(x)=|x+ |+|x﹣a|(a>0) . (Ⅰ)证明:f(x)≥2; (Ⅱ)若 f(3)<5,求 a 的取值范围. 【考点】绝对值不等式的解法. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】 (Ⅰ)由 a>0,f(x)=|x+ |+|x﹣a|,利用绝对值三角不等式、基本不等式证得 f(x) ≥2 成立. (Ⅱ)由 f(3)=|3+ |+|3﹣a|<5,分当 a>3 时和当 0<a≤3 时两种情况,分别去掉绝对值, 求得不等式的解集,再取并集,即得所求. f =|x+ |+|x﹣a|≥( | x+ ) |=|a+ |=a+ ≥2 ∵a>0, 【解答】 解: (Ⅰ) 证明: (x) ﹣ (x﹣a) 故不等式 f(x)≥2 成立. (Ⅱ)∵f(3)=|3+ |+|3﹣a|<5, ∴当 a>3 时,不等式即 a+ <5,即 a2﹣5a+1<0,解得 3<a< 当 0<a≤3 时,不等式即 6﹣a+ <5,即 a2﹣a﹣1>0,求得 综上可得,a 的取值范围( , ) . . <a≤3. =2,

【点评】本题主要考查绝对值三角不等式,绝对值不等式的解法,体现了转化、分类讨论的 数学思想,属于中档题.


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