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简单线性规划两种教学法比较


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2 0 0 1 年   第 5期  数 学 通 报 

2 l  

简 单 线 性 规 划 两 种 教 学 法 比 较 
薛 红 霞  ( 山西省太原市省实验中学
为加 强理论 与实 际的联 系 , 培 养 学 生 应 用 数  学 知识解决 实

际问 题 的意 识 和能 力 , 高 中数 学 新   教材 中 , 增选 简单线 性规划 为必修 内容之一 . 如何  用 图解法求 线性规 划 问题 的最 优 解 , 是 本 节 的重  点难 点所在 . 教 师 教 学 用 书 中 建 议 通 过 比 较 平 行  线在  轴或 Y轴上 的截距 大 小求 解 ( 本 文 中称 之  为途径 1 ) . 本人 在教 学 中则 是通 过 比较 等值 线 的  值 的大小求解 ( 本 文 中称之 为途 径 2 ) . 寻 求 最优  解的这 两种途径 , 何 者更科学 、 更 符 合 学 生 学 习 心 

0 3 0 0  ̄)  

由  = 2 x+Y, 得 Y =一2   +2 , 则 ;为 直 线  :   = 一2 x+   的纵 截 距 . 令  =0可 画出 直 线  :   y =一2 x, 将 0向 右 平 行 移 动 可 画 出 直 线   , 2 , ,   且 当 直线 向 右平 行 移 动 时 其 纵截 距 随 之增 大 ,  




由 图可 见 直 线 2 】 , 2 3 与 可 行 域 的 公 共 点 A( 1 , 1 ) ,   ( 5 , 2 ) 分别是使 目标 函数 z=2   +Y取得 最大  值 和最小 值 的最优 解 , 且: 川  =2×1 . +1=3 , : 一 


2 × 5+ 2 : 1 2  

途径 2   画出可行 域 , 如 图 1中 阴影 部 分  

理呢 ? 本文拟 就此做一 比较 , 与 大家共商 .  
1 知 识 准备  

定义 : 平面内, 如果方 程 血 +   +c=O ( A、   B不 同时为 0 ) 的直线 z 上任一 点 的坐标 (  , , ) 都  使 函数 F( x , , )= A x+  y取值 c , 那么把直 线 z   称为一条 等值线 

0  

j 二  
:   ̄  


x - 4 y + 3 = 0  
\   .   “5 y = 2 5  

图 2  

\  
囤 1  

\  



途 径 详 介 

例 1 求 z=2  +v 的最大值 和最小值 , 式 中 
r   一 4y ≤ 一 3,  

令 := 0 , 作 直线 f 0 : 2   +, : 0 , 将  向右 平  行 移 动 得 一 组 等 值 线 】 : 2 x+Y = 3 , 2 2 : 2 x+, - _   7 . 5 , f 1 : 2  +y= 1 2 , …, 可见 , 该组 等值线 中位于  右方 的等值 线 的值 比位 于左 方 的等 值 线 的值 要  大, 故 可 知等 值线 z   , 如与可 行域 的公 共 点 A ( 1 ,   1 ) , B ( 5 , 2 ) 分别是使 目标 函数取 得最 小值 和最 大  值 的最优解 , 且 一 =2   x   1+1:3 , : 一 =2×5  
+2 = l 2.  

变量(  , , ) 满足下列条件: { 3 x+5 y≤2 5 ,  
【   > 1
.  



途径 比较  

途径 1   画出可行 域 , 如图 1 中的 阴影部 分 .  

3 . 1   从 学 习心 理 学 的 角 度 看 两 种 求 解 途径   先看 一例 :  
参 考 文截  1 张 思明主绾 中学数 学建 摸教学的实践与撩索 北京教育出版社 , 】 9 蚺   2 扬 骞 立足 于数 学应 用 的数 学谭程 改 革 中学 数学 教 学参考 , ] 9 9 9 , 8  
3   任 志鸿 主编 高中全 程复 习优 化设 计 学 苑 出版社 、 1 9 9 9 、 1 0  

‘  

键词 之 间 的数 量 关 系 , 然 后 再 从 大 脑 中提 取 相 应  

的数学 知识 , 建立恰 当的数 学模型 , 实 际问题 的解 
决就显 得水到渠成 了 !  

4 高 考命 题 的 理论与 实 践 东 方出版 社 , ] 9 9 7   5   《 大学^ 学 考试 与 中学数 学关 系研 究》课 题组 /编 高考考 棱 内容 与要 
求( 理 科 )如 _ I } , 1  

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2 0 0 1 年  第 5 期  数学通报 
例 2 求 == 2 x— Y的 最 大 值 和最 小 值 , 式  中变 量   , Y满 足 下 列 条 件 
r   一 4y   一 3,  

{ 3 x+5 y   2 5 ,  
> 1.  

途径 1   画 出 可 行 域 如 图 2中 阴影 部 分 .   由  =2 x—Y , 得 Y= 2 x一2 . 与例 l 相比, 此  处 为 直 线 1 : Y= 2 x一:的纵 截 距 的 相 反 数 . 故欲  求  的最大 值与最 小值 , 需先求 出直线族 , 一 2 x   +   中与 可 行 域 有 公 共 点 的 直 线 的纵 截 距 的 最 小  值和最 大值 .   途径 2   画 出 可 行 域 如 图 2中 阴 影 部 分 .   令 :=0 , 得 l o : 2 x—Y=0 , 平 行移 动直线 1  

用 途 径 l其 功 效 就 逊 色 了 .   ( 3 ) 学 生 认 知 结 构 建 立 的 比 较  此 处用  代表线 性规划 的 图解 法 , 用A   代 表  形 如 例 l的 线 性 规 划 问 题 , 用 A  代 表形 如 例 2的  线 性规 划 问题 . 学 生学 习 了例 1 之 后 已 建 立 了 如  图 3所 求 的 认 知 结 构 .  

A 

^‘  

得 一组等值 线 l I : 2 x~Y  

, 1 2 : 2 x—   =1 ,  

图 3  

图 4  

l 3 : 2 x— Y = 8 , …, 可见 直线 l 1 , b与 可行 域 的公 

共点 A I   1 , 警I , c ( 5 , 2 ) 分别是使 目 标 函数 : =2 x  
Y取 得最大值 和最小值 的最优解 +   ( 1 }学 生 掌 握 图解 法 难 易 比 较  用途径 1 求解 , 例1 的学 习经验对例 2 的学 习  产生 负迁移 , 无形 中使本节 难点更难 ; 用途径 2 求  解, 例 2是 此 种 问题 的 一 个 变 式 , 是对 例 l的 有 益   补充 . 通 过例 1 、 例 2的 学 习 , 学 生 便 可 较 全 面 地 了  解 简 单 线 性 规 划 问题 的解 法 . 也许有 人会说 , 用途  径2 求解 , 增加 了新概 念“ 等值 线 ” , 这是 否加重 学  生 的负 担 , 回答是 “ 不会 ” , 因为提 出等值线 概念 只  是将 一 组 平行 直 线 中 直 线 间 的 关 系 予 以 揭 示 , 多  出 了一 个 名 词 而 已 .   ( 2 } 对 学 生 能 力 培 养 的 比较  用途 径 2 求解 , 通过例 1 例 2的讲 解, 教师 ^ ●   A 图   稍  加启 发 , 学生 即可很轻 松地获得猜 想 : 任意 两条 平  行 的等值 线( 斜率 为 0的 除外 ) , 位 于右方 的等 值  线 的值 比位 于左方 的等值 线的值太 . 如果有 可能 ,   还可结合 “ 二元一 次不 等式表 示平 面 区域 ”中“ 以  二元 一次不等 式  +   一1>0 的解 为坐标 的点 的  集合 { (  , Y )l   +Y一1>0 ; 是在 直线  +Y一1   0 右 上方 的平 面 区域 ” 的论证 方法 , 给 出猜 想 的  证 明. 既使 学生 加深 了对 旧知识 的理解 , 又对 学生  进 行 了合情 推理 能力 、 创 造性思 维能 力 的培养 .  
— ● ● ●  

若 用途径 l 求解 , 学习例 1 的经验不 能纳入原  有认知 结构 , 将 引 起原 认 知 结 构 的 改变 , 如图4 :   若用途径 2 求解, 学 习例 2 时的经 验可纳入 原有认  知结构 , 而不 会 引起认 知结构 的改变 , 使原 认知结  构得 以巩 固 , 如图 5 . 可见 用途 径 2 不 会使 认 知结  构复 杂化 , 便 于学 生理解 、 掌握 , 减 轻 了学 生 的学   习负担 , 学 习效 果 自然会 好 .   3 . 2   从 数 学 学 科 体 系的 角 度 看 两 种 求 解 途 径   从新教 材第 7 . 4节 内容看 , 寻求 最优 解 是 其  核心 . 如 前文 所 述 , 用 途 径 2求 解 与 “ 7 . 4 . 1 ”的 联  系密 切 , 而用途径 1 求 解则 不可能将 “ 7 . 4 , r 中相  关 知识 升 华 .   线 性 整 数 规 划 问题 求 解 是 线性 规 划 问 题 中 的  难点 , 中学 阶段 只能 介绍观 察 法 , 就 习题 7 . 4第 4   题而言, 用 途 径 2更 易 寻 找 最 优 整 数 解 : 只需 从右  至左逐一 搜 寻值 为整数 的与可行域 有交点 的等值  线( 因 为 目标 函 数 的 系 数 为 整 数 )上 是 否 有 整 数 
点.  

在解 决与 复习参考题 七 B组第 4 、 5 题类 似 的  最值 问题时 , 可类 比上述 二例 , 用 途径 2求 解 , 不  但解决 了新 问题 , 而 且 深 化 了 旧知识 , 使学 生 对  “ 可行域” “目标 函 数 ”的 理 解 不 再 狭 隘 , 对“ 图解  法 ”的掌 握 不 再 呆 板 .   综 上所 述 , 用 途 径 2求 解 更 科 学 、 更 易 被 学 生  接受 , 更 有 益于学生 能力 的培养 .  


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