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重庆市南开中学2016届高三12月月考数学(理)试题


重庆南开中学高 2016 级高三(上)12 月月考 数学试题(理科)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 第 I 卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。

? 1 ? 1、已知集

合 M ? x x 2 ? 1 ? 0 , N ? ? x ? 2 x ?1 ? 4, x ? Z ? ,则 M ? N ? ( ? 2 ?

?

?



A、 ?1?

B、 ??1,0?

C、 ??1,0,1? ) C、 2

D、 ?

2、抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点到准线的距离为( A、

1 4

B、

1 2

D、4

3、已知命题 p : 对任意 x ? R ,有 cos x ? 1 ,则( ) A、 ? p : 存在 x ? R ,使 cos x ? 1 B、 ? p : 对任意 x ? R ,有 cos x ? 1 C、 ? p : 存在 x ? R ,使 cos x ? 1 D、 ? p : 对任意 x ? R ,有 cos x ? 1 4、若 P ? 2,1? 为圆 ? x ? 1? ? y 2 ? 25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程为(
2



A、 x ? y ? 1 ? 0 C、 x ? y ? 3 ? 0

B、 2 x ? y ? 3 ? 0 D、 2 x ? y ? 5 ? 0 )

5、等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 4a1 ,2a2 , a3 成等差数列,若 a1 ? 1 ,则 S4 ? ( A、7 B、8 C、15 D、16

6、已知函数 f ? x ? ? sin ? 2x ? ? ?? 0 ? ? ? ? ? ,若将函数 y ? f ? x ? 的图像向左平移 后所得图像对应的函数为偶函数,则实数 ? ? ( A、 )

?
6

个单位

5? 6

B、

2? 3

C、

?
3

D、

?
6

? y 2 ? 4 x2 ? 0 7、已知 P ? x, y ? 为区域 ? 内的任意一点,当该区域的面积为 2 时, z ? x ? 2 y 的 ?0 ? x ? a
最大值是( A、5 ) B、0 C、 2 D、 2 2

8、已知抛物线 C 的顶点是椭圆

x2 y2 ? ? 1 的中心,焦点与该椭圆的右焦点 F2 重合,若抛物 4 3


线 C 与该椭圆在第一象限的交点为 P ,椭圆的左焦点为 F1 ,则 PF1 ? (

A、

2 3

B、

7 3

C、

5 3

D、2

? ? ? ?? 9、 已知函数 f ? x ? ? ln x ? tan ? ? ? ? ? 0, ? ? 的导函数为 f ' ? x ? , 若使得 f ' ? x0 ? ? 3 f ? x0 ? ? 0 ? 2 ?? ?
成立的 x0 ? 1 ,则实数 ? 的取值范围为( )

?? ? ? A、 ? , ? ?6 2?

? ?? B、 ? 0, ? ? 3?

?? ? ? C、 ? , ? ?6 4?

?? ? ? D、 ? , ? ?3 2?

???? ? ??? ? ??? ? m 10、正三角形 ABC 内一点 M 满足 CM ? mCA ? nCB, ?MCA ? 45? ,则 的值为(
A、 3 ? 1 B、 3 ? 1 C、

3 ?1 2

n 3 ?1 D、 2



11、已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 ? a, b ? 0 ? 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,过 F2 的直线与双曲 a2 b2


线 C 的右支相交于 P, Q 两点, 若 PQ ? PF1 , 且P 则双曲线的离心率 e ?( F 1 ?P Q , A、 2 ? 1 B、 2 2 ? 1 C、 5 ? 2 2 D、 5 ? 2 2 )

12、已知数列 ?an ? 满足: a1 ? , an?2 ? an ? 3n , an?6 ? an ? 91? 3n ,则 a2015 ? ( A、

3 8

32015 3 ? 2 2

B、

32015 8

C、

32015 3 ? 8 2

D、

32015 2

第 II 卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填写在答题卡相对应位置上。 ? ? ? ? 13、已知向量 a ? ? x ? 1, x ? 1? , b ? ? ?2,1? ,若 a // b ,则实数 x ? 。 14、若实数 x, y 满足 x ? 0, y ? 0 ,且 x ? 4 y ? 40 ,则 lg x ? lg y 的最大值为 。

15、已知 f ? x ? ? sin x ? 2cos x ,若函数 g ? x ? ? f ? x ? ? m 在 x ? ? 0, ? ? 上有两个不同零点 ? 、

? ,则 cos ?? ? ? ? ?
16、 设点 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 是椭圆



x2 x x ? y 2 ? 1 上两点, 若过点 A, B 且斜率分别为 1 , 2 的 4 4 y1 4 y2

两直线交于点 P ,且直线 OA 与直线 OB 的斜率之积为 ? , E 为 。

1 4

?

6,0 ,则 PE 的最小值

?

三、解答题:本大题共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、 (本小题满分 12 分) 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a3 ? a4 ? 16 , S7 ? 63 。

(1)求数列 ?an ? 的通项公式;

? a ? 1 (2)设数列 ? 1 ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ? 。 2 ? an an ?1 ?

18、 (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,已知角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a , b, c ,且 tan A tan C ? (1)求 B 的大小; (2)若 BA ? BC ? b2 ,试判断 ?ABC 的形状。

1 ? 1。 2cos A cos C

??? ? ??? ?

1 2

19、 (本小题满分 12 分) 已知抛物线 C : y 2 ? 2 px

? p ? 0? 的焦点为 F ?1,0? ,抛物线 E : x2 ? 2 py 的焦点为 M 。

(1)若过点 M 的直线 l 与抛物线 C 有且只有一个交点,求直线 l 的方程; (2)若直线 MF 与抛物线 C 交于 A 、 B 两点,求 ?OAB 的面积。

20、 (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 1 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,左、右焦点分别是 F1 , F2 ,点 P 为椭圆 2 a b 2

C 上任意一点,且 ?PF1 F2 面积最大值为 3 。

(1)求椭圆 C 的方程; (2)过 F2 作垂直于 x 轴的直线 l 交椭圆于 A 、 B 两点(点 A 在第一象限) , M 、 N 是椭圆 上位于直线 l 两侧的动点,若 ?MAB ? ?NAB ,求证:直线 MN 的斜率为定值。

21、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? e x , g ? x ? ? ln x ? m 。 (1)当 m ? ?1 时,求函数 F ? x ? ?

f ? x? x

? x ? g ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上的极值;

3 。 10 (参考数据: ln 2 ? 0.693,ln 3 ? 1.099,ln 5 ? 1.609,ln 7 ? 1.946 )
(2)若 m ? 2 ,求证:当 x ? ? 0, ?? ? 时, f ? x ? ? g ? x ? ? 请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请

写清题号。 22、 (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 已知 ?ABC 中, AB ? AC, D 为 ?ABC 外接圆劣弧 ? ,延长 AC 上的点(不与点 A 、 C 重合)

BD至E ,延长 AC交BC 的延长线于 F 。
(1)求证: ?CDF ? ?EDF ; (2)求证: AB ? AC ? DF ? AD ? FC ? FB 。

23、 (本小题满分 10 分)选修 4-4:极坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲线

? x ? 8cos? ? x ? ?2 ? cos ? ? ( ? 为参数) , C2 : ? ( ? 为参数) 。 C1 : ? y ? 2 3 sin ? ? ? y ? 3 ? sin ? ?
(1)将 C1 , C2 的方程化为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; ( 2 )若 C1 上的点 P 对应的参数为 ? ?

?
2

, Q 为 C2 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线 l :

? cos ? ? ?

? ?

??

? ? 3 的距离的最大值。 3?

24、 (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? 3x ? 2 。 (1)解不等式 f ? x ? ? 4 ? x ? 1 ; (2)已知 2m ? n ? 1? m, n ? 0? ,若 3x ? a ? f ? x ? ? 范围。

1 2 ? ? a ? 0? 恒成立,求实数 a 的取值 m n

重庆南开中学高 2016 级高三 12 月月考 数学(理科)参考答案
一、选择题 BCAC CDAB 二、填空题 13. ? ADDB

1 3

14.2

15.

3 5

16. 2 2 ? 6

三、解答题 17.解: (1) an ? 2n ? 1 ; (2)

a1 3 3 1 1 3 1 1 1 ? ? ( ? ) , Tn ? ( ? )? . an an?1 (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3 2 3 2n ? 3 2

18.解: (1) B ?

?
3



(2)由 ac ? b 2 ? a 2 ? c 2 ? ac ,得 a ? c ,又 B ?

?
3

,故为等边三角形.

19.解: (1) p ? 2 , M (0,1) , l 的方程为 x ? 0 ,或 y ? 1 ,或 y ? x ? 1 ; (2) S ?OAB ? 20.解: (1)

1 OF y1 ? y2 ? 2 2 . 2

x2 y2 ? ?1; 4 3

(2) A(1, ) ,设 MN : y ? kx ? m ,联立椭圆方程, 得 (4k 2 ? 3) x 2 ? 8kmx? 4m2 ?12 ? 0 ,

3 2

由 k AM ? k AN

3 3 y2 ? ?0得 2? 2 ? 0, x1 ? 1 x2 ? 1 y1 ?
3 2 3 2

即 (kx1 ? m ? )( x2 ? 1) ? (kx 2 ? m ? )( x1 ? 1) ? 0 ,

3 2k (4m 2 ? 12) 3 ? 8km ? 2kx1 x2 ? (m ? ? k )(x1 ? x2 ) ? 3 ? 2m ? ? (m ? ? k ) 2 ? 3 ? 2m ? 0 2 2 4k ? 3 2 4k ? 3
化简得 (2k ? 1)(2m ? 2k ? 3) ? 0 ,? k ? 21.解: (1) F ( x) ?

1 为定值. 2

ex ex ? x(ln x ? 1) , F ?( x) ? 2 ( x ? 1) ? ln x , x x

? F ( x) 在(0,1)单调减,在 (1,??) 单调增,

? 极小值为 F (1) ? e ? 1 ,无极大值;
(2)构造函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? e x ? ln x ? 2 ,

? h?( x) ? e x ?

1 在 (0,??) 单调增, x

1 ? h?( ) ? e ? 2 ? 0 , h?(1) ? 0 , 2
1 1 ? h?( x) 在 (0,??) 上有唯一零点 x0 ? ( ,1) ,? e x0 ? x ,即 x0 ? ? ln x0 , 0 2
0 由 h(x)的单调性,有 h( x) ? h( x0 ) ? e ? ln x0 ? 2 ?

x

1 ? x0 ? 2 , x0

构造函数 ? (t ) ? t ? ? 2 在(0,1)上单调减,? x0 ? ( ,1) ,

1 t

1 2

?? ( x0 ) ? 0 ,即 h( x0 ) ?

3 3 . ,? f ( x ) ? g ( x) ? 10 10 22.解: (1) ?CDF ? ?ABC ? ?ACB ? ?ADB ? ?EDF ;
(2) AB ? AC ? AB2 ? AD ? AF ,

FD ? FA ? FC ? FB ,两式相乘即可.
23.解: (1) C1 : ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1,表示圆,

C2 :

x2 y2 ? ? 1 ,表示椭圆; 64 12

(2) P(?2,4) , Q(8 cos? ,2 3 sin ? ) , M (?1 ? 4 cos? ,2 ? 3 sin ? ) ,

l : x ? 3y ? 2 3 ? 0
d? ? 1 ? 4 cos? ? 3 (2 ? 3 sin ? ) ? 2 3 12 ? ( 3 ) 2
5 1 ?x? ; 4 2

?

4 cos? ? 3 sin ? ? 1 2

?

5 sin(? ? ? ) ? 1 2

? 3.

24.解: (1) ?

(2) 3x ? a ? 3x ? 2 ? (3x ? 2) ? (3x ? a) ? a ? 2 ,

1 2 1 2 ? ? ( ? )( 2m ? n) ? 8 ,? a ? 2 ? 8 ,解得 0 ? a ? 6 . m n m n


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