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高二文科数第一学期期末复习《圆锥曲线》(含答案)


高二文科数学第一学期期末复习《圆锥曲线》
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合 题目要求的. 1 椭圆

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到一个焦点的距离为 5,则 P 到另一个焦点的距离为( 25 9
B.6
2



>A.5 2 双曲线

C.4 ) C. (? 5,0)

D.10

x ? y 2 ? 1 的焦点坐标为( 4 A. (? 3,0) B. (0,? 3)
2

D. (0,? 5 )

3 抛物线 y ? 4 x 的准线方程是( A. y ? 1 B. y ? ?1

) C. y ?

1 16

D. y ? ? ) 条件

1 16

4 若 k ? R ,则 k ? 3 是方程 A.充分不必要

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线的( k ?3 3
C.充要条件

B.必要不充分

D.既不充分也不必要 )

x2 y 2 5 双曲线 2 ? 2 ? 1 的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率是( b a
A.2 B. 3 C. 2 D.

3 2

6 抛物线 y 2 ? 12 x 的准线与双曲线 A 3 3
2

x2 y 2 ? ? 1 的两条渐近线所围成的三角形面积等于 9 3
C.2 D. 3

B 2 3

7 过抛物线 y ? 4 x 的焦点的直线 l 交抛物线于 P( x1 , y1 ) 、 Q( x2 , y2 ) 两点,如果 x1 ? x2 ? 6 , 则 PQ ? A.9
2 2

(

) B.8 C.7 ) D. D.6

8 以椭圆

x y ? ? 1 的焦点为顶点、顶点为焦点的的双曲线方程是( 24 49 x2 y2 x2 y2 y2 x2 ? ?1 ? ?1 ? ?1 A. B. C. 25 24 24 25 25 24

y2 x2 ? ?1 24 25

2 9 过抛物线 y ? 4 x 的焦点作直线 l 交抛物线于 A、B 两点,若线段 AB 中点的横坐标为 3,则 | AB | 等于

(

) A.2 B.4 C.6 D.8 10 竖在地面上的两根旗杆的高分别为 10 米和 15 米,相距 20 米,则地面上到两旗杆顶点的仰角相等的 点的轨迹是( ) A. 圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 11 已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 的离心率 e ? 2 ,则双曲线的焦距为 a 2 12

1

12 以双曲线 x 2 ?

y2 ? 1 的一个焦点为圆心,离心率为半径的圆的方程是___________ 3

x2 y2 ? ? 1 上 一 点 M 到 左 焦 点 F1 的 距 离 是 2 , N 是 MF1 的 中 点 , O 为 坐 标 原 点 , 则 13 椭 圆 25 9 . ON ?
14 设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y 2 ? ax (a ? 0) 的焦点 F ,且和 y 轴交于点 A ,若 ?OAF ( O 为坐标原点) 的面积为 4,则抛物线方程为____________ 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤. 15(本小题满分 12 分)双曲线的离心率等于 2,且与椭圆 准方程.

x2 y2 ? ? 1 有相同的焦点,求此双曲线的标 25 9

16(本小题满分 12 分) 已知椭圆焦点在 X 轴,短轴长为 6,离心率为 中点的弦所在的直线方程.
3 2

。 (1)求椭圆标准方程。(2)求椭圆中以点 P(4,2) 为

17(本小题满分 14 分)某隧道横断面由抛物线和矩形的三边组成,尺寸 如图 2 所示,某卡车载一集装箱,箱宽 3m,车与箱共高 4m, 此车能否通过此隧道?请说明理由.

2

18(本小题满分 14 分)如图所示,F1、F2 分别为椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右两个焦点,A、 a2 b2

B 为两个顶点,该椭圆的离心率为

5 , ?ABO 的面积为 5 . 5

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程和焦点坐标; (Ⅱ)作与 AB 平行的直线 l 交椭圆于 P、Q 两点, PQ ?

9 5 ,求直线 l 的方程. 5



19(本小题满分 14 分)设 F1 , F2 分别为椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右两个焦点. a2 b2

(Ⅰ)若椭圆 C 上的点 A(1, )到F1 , F2 两点的距离之和等于 4,求椭圆 C 的方程和焦点坐标; (Ⅱ)设点 P 是(Ⅰ)中所得椭圆上的动点, Q(0, ), 求 | PQ | 的最大值 。

3 2

1 2

3

20 (本小题满分 14 分)已知点 M 2 3,1 在椭圆 C :

?

?

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上,椭圆的两个焦点 a2 b2

F1 ? 2 3,0 和 F2 2 3,0 ,斜率为 ? 1 的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的 P 、 Q 两点
(I)求椭圆 C 的方程.; (II)若点 B 的坐标为 (0,2) ,是否存在直线 l ,使 ?BPQ 为以 PQ 为底边的等腰三角形?若存在,求出 直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.

?

?

?

?

4

圆锥曲线训练题(文科)参考答案 一、选择题 题号 答案 二、填空题 11 1 A 2 C 3 D 4 C 5 C 6 A 7 B 8 C 9 D 10 A

8

12

( x ?1)2 ? y 2 ? 4

13

4

14

y 2 ? 8x

三、解答题

x2 y2 ? ? 1 的焦点坐标为(-4,0)和(4,0) 15 解:∵ 椭圆 , 25 9
则可设双曲线方程为

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0) , a 2 b2

∵ c=4,又双曲线的离心率等于 2,即
2 2 2

c ? 2 ,∴ a=2. a
x2 y2 ? ? 1. 4 12

∴ b ? c ? a =12.故所求双曲线方程为

16 解:解: (1)b=3, =

c a

3 2

x2 y2 ? ?1 ,所以 a=6,b=3.所以椭圆标准方程 36 9

(2)设以点 P( 4,2) 为中点的弦的两端点分别为 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) , 由点 A 、 B 在椭圆

x2 y2 ? ? 1 上得 36 9
2 x2 y2 ? 2 ?1 36 9

x12 y12 ? ?1 , 36 9
两式相减得:
2 2

2 2 x12 ? x2 y 2 ? y2 ? 1 ?0 36 9

即 4( y1 ? y2 ) ? ?( x1 ? x2 )
2 2

? 4( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? ?( x1 ? x2 )( x1 ? x2 )
由 x1 ? x2 ? 8, y1 ? y2 ? 4

显然 x1 ? x2 不合题意,? x1 ? x2

? k AB ?

y1 ? y2 x ? x2 8 1 ?? 1 ?? ?? x1 ? x2 4( y1 ? y2 ) 4?4 2

5

所以,直线 AB 的方程为 y ? 2 ? ?

1 ( x ? 4) 2

即所求的以点 P( 4,2) 为中点的弦所在的直线方程为 x ? 2 y ? 8 ? 0 17 解 : 18. 解 : 取 抛 物 线 顶 点 为 原 点 , 水 平 向 右 为 x 轴 正 方 向 建 立 直 角 坐 标 系 , 设 抛 物 线 方 程 为
x2 ? ?2 py( p ? 0) ,
? 3) , 当 x ? 3 时, y ? ?3 ,即取抛物线与矩形的结合点 (3,

代入 x2 ? ?2 py ,得 9 ? 6 p ,则 p ? 已知集装箱的宽为 3m,取 x ?

3 ,故抛物线方程为 x2 ? ?3 y . 2

3 1 3 ,则 y ? ? x 2 ? ? . 3 4 2

3 1 而隧道高为 5m, 5m ? m ? 4 m ? 4m . 4 4 所以,卡车可以通过此隧道. 18 解

?c 5 ? ? 5 2 5 ? 2 2 2 5 (1) 由题设知: ? a ,又 a ? b ? c ,将 c ? 代入, a, b ? 5 a 1 ? ab ? 5 ? ?2
得到:

a 2 20 ? 2 ? a 2 ,即 a4 ? 25 ,所以 a 2 ? 5 , b2 ? 4 5 a
x2 y 2 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。4 分 ? ? 1, 5 4

故椭圆方程为

焦点 F1、F2 的坐标分别为(-1,0)和(1,0) , 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。5 分 (2)由(1)知 A(? 5,0), B(0, 2) ,

? k PQ ? k AB ?

2 , 5

∴设直线 l 的方程为 y ? 2 x ? b , 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。7 分 5

2 ? y? x?b ? 5 由? ? 2 2 ?x ? y ?1 ? 4 ?5
得 8x ? 4 5bx ? 5b ? 20 ? 0 , 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。9 分
2 2

设 P (x1,y1),Q (x2,y2),则

x1 ? x2 ? ?

5b 5b2 ? 20 , 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。10 分 , x1 ? x2 ? 2 8
6

? y1 ? y2 ?

2 2 2 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。11 分 ( x1 ? 1) ? ( x2 ? 1) ? ( x1 ? x2 ) , 5 5 5

?| PQ | ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2
3 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 5

2 ? ? ? ?1 ? ( ) 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 5 ? ?

?

?

3 5b2 5b2 ? 20 9 ? 4? ? 8 5 4 5
2

解之, b ?

4 (验证判别式为正) ,所以直线 l 的方程为 y ? 2 x ? 2 5 5 5

。 。 。 。 。 。 。 。 。14 分

19 解(Ⅰ)椭圆 C 的焦点在 x 轴上, 由椭圆上的点 A 到 F1、F2 两点的距离之和是 4,得 2a=4,即 a=2. …….2 分

3 ( )2 3 1 又点 A(1, )在椭圆上 ,因此 2 ? 2 2 ? 1得b 2 ? 3, 于是c 2 ? 1. …….4 分 2 2 b
所以椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1, 焦点F1 (?1,0), F2 (1,0). 4 3

…….6 分

(Ⅱ)设 P( x, y ),则

4 x2 y2 ? ? 1? x 2 ? 4 ? y 2 3 4 3

…….8 分

1 4 1 1 17 | PQ |2 ? x 2 ? ( y ? ) 2 ? 4 ? y 2 ? y 2 ? y ? ? ? y 2 ? y ? …….10 分 2 3 4 3 4 1 3 ? ? ( y ? )2 ? 5 …….12 分 3 2 3 又? ? 3 ? y ? 3 ?当y ? ? 时, | PQ | max ? 5 …….14 分 2
20 解:解: (Ⅰ)依题意 半焦距 C ? 2 3 由 M 2 3,1

?

?

? MF2 ? 1 , MF1 ? 7 ,? 2a ? MF1 ? MF2 ? 8
?a ? 4
?b ? a ? c ? 4
2 2 2

x2 y2 ? ?1 所以,椭圆 C 的方程.的方程 16 4

(Ⅱ)设 PQ 的中点为 R , 直线的方程为 y ? ? x ? m

7

? x2 y2 ? ? ? 1 得 5x 2 ? 8mx ? 4m 2 ? 16 ? 0 . 由 ? 16 (* 4 ? ? y ? ?x ? m
要使得 l 与椭圆 C 相交于不同的 P 、 Q 两点,则有 ? ? 0 . 由 ? ? (?8m) 2 ? 4 ? 5 ? (4m2 ? 16) ? 16(?m2 ? 20) ? 0 , 化简得 | m |? 2 5 . ① 又由(*)可知 x R ?

x1 ? x 2 4 1 ? m , y R ? ? xR ? m ? m . 5 2 5

因为 | BP |?| BQ | ,所以 BR ? PQ ,即 k BR ? (?1) ? ?1.

1 m?2 yR ? 2 5 10 所以 ? ? 1 ,解得 m ? ? . 3 xR ? 0 4 m?0 5 10 10 ? 2 5 ,所以 m ? ? 适合①. 因为 3 3 10 所以存在满足题目条件的直线 l ; y ? ? x ? 3

8


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